17 - 18 Ankom [PDF]

Citation preview

17. Selesaikan setiap persamaan berikut ini untuk z . (a) iz=4−zi Solusi: iz=4−zi iz+iz=4−zi+iz



2 iz=4 2 iz



( 2i1 )=4 ( 2i1 ) z= z=



2 i



( 2i )( ii )



z= z=



2i 2 i



2i −1



z=−2 i



(b)



z =1−5 i 1−z



Solusi: z =1−5 i 1−z



( 1−zz ) ( 1−z )=( 1−5i ) ( 1−z ) z=1−5i− z+5 iz z + z−5 iz=1−5 i−z+ 5iz+ z+(−5 iz) 2 z−5 iz=1−5i



(2−5i )z=1−5 i z= z= z=



1−5 i 2−5 i



i 2+5 i ( 1−5 2−5 i )( 2+5 i ) 2



2−10 i+5 i−25 i 4−25i 2



z=



2−5 i−25(−1) 4−25(−1)



z=



2−5 i+25 4+25



z=



27−5i 29



(c) ( 2−i ) z+ 8 z 2 =0 Solusi:



( 2−i ) z+ 8 z 2 =0 ( 2−i+8 z ) z =0 Nilai z adalah z=0 Nilai z yang lain adalah: 2−i+8 z=0



2−i+8 z + (−2 ) +i=0+ (−2 )+ i 8 z=−2+i



z=



−2+i 8



atau z=



−1 1 + i 4 8



(d) z 2+ 16=0 Solusi: z 2+ 16=0 2



z + 16+ (−16 ) =0+(−16) z 2=−16 z=± √ −16 z=± √ (−1 )( 16 ) z=± 4 √−1 z=± 4 i



18. Bilangan kompleks z 1 dan z 2 memenuhi sistem persamaan



( 1−i ) z 1+3 z 2=2−3i



iz1 + ( 1+2 i ) z 2=1



Temukanlah z 1 dan z 2. Solusi: Misalkan



( 1−i ) z 1+3 z 2=2−3i z 1−iz1 +3 z 2=2−3 i ………………………………………. (i) iz1 + ( 1+2 i ) z 2=1 ………………………………….............. (ii) 5 Kalikan persamaan (i) dengan , maka diperoleh: 3 5 5 10 z − iz +5 z 2= −5i ……………………….................. (iii) 3 1 3 1 3



Kalikan persamaan (ii) dengan (1−2i), maka diperoleh: 2 2 iz1−2i z 1 + ( 1−4 i ) z 2=1−2i



Substitusikan i 2=−1, sehingga: iz1−2(−1) z 1+ ( 1−4 (−1) ) z 2=1−2i iz1 +2 z1 +5 z 2=1−2i ……………………………………... (iv)



Selisih dari persamaan (iii) dan (iv) adalah:



(



)



5 5 10 z − iz1−iz 1−2 z1= −5 i − (1−2i ) ……………... (v) 3 1 3 3



Kalikan persamaan (v) dengan 3, sehingga diperoleh: 5 z 1−5 iz1−3 iz1−6 z 1=( 10−15 i )−( 3−6 i ) −z 1−8 iz1=7−9 i (−1−8 i) z 1=7−9 i z 1=



7−9 i −1−8 i



7−9 i −1+ 8 i ( −1−8 i )( −1+ 8 i )



z 1=



z 1=



Substitusikan i 2=−1, sehingga:



−7+9 i+56 i−72i 2 1−64 i



2



z 1=



−7+9 i+56 i−72(−1) 1−64(−1)



z 1=



−7+9 i+56 i+72 1+64 z 1=



65+65 i 65



z 1=



65(1+i) 65



z 1=1+i



Substitusikan z 1=1+i ke dalam persamaan (ii), sehingga: iz1 + ( 1+2 i ) z 2=1 i (1+i ) + ( 1+2 i ) z 2=1 2



i+i + ( 1+2 i ) z 2=1



Substitusikan i 2=−1, sehingga: i+(−1)+ ( 1+2i ) z 2=1 i+ (−1 ) + ( 1+2i ) z 2+ (−i ) +1=1+ (−i ) +1



( 1+2 i ) z 2=2−i z 2=



2−i 1+ 2i



2−i 1−2 i ( 1+2 i )( 1−2 i )



z 2=



2−5 i+ 2i z 2= 2 1−4 i



2



Substitusikan i 2=−1, sehingga: z 2=



2−5 i+ 2 (−1 ) 1−4 (−1 )



z 2=



2−5 i−2 1+ 4



z 2=



−5 i 5



z 2=−i



Jadi, z 1=1+i



dan z 2=−i