![1711 Kalkulus-Diferensial PDF [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/1711-kalkulus-diferensial-pdf.jpg)
9 0 21 MB
iTAKAAN JIPAN
ATIMUR
]
KALKULUS DIFERENSIAL
MuHAMMAD Rnznu MnUMUD N, SrnEenB FnnronwAw MnnpAUNG
$u.*[]:,il51^
Kalkulus Diferensial Copl,right@Muhammad PtazaJJ, Mahmud N. Siregar, Faridawaty N{arpaung
Hak Cipta dilindungi oleh Undang-Undang Nomor 19 Tahun2002. Dilarang memperbanyak/menyebarluaskan dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penerbit Ghalia Indonesia.
Penerbit Ghalia Indonesia, Agusrus 2010 Jl. Rancamaya Km. 1 No. 47, Nangka, Ciawi - Bogor 16120
'Warung
Telp.: (0251) 8240628 (runting) Fax.: (0251) 8243617 e-mail: editorialperti@gmail. com
Perpustakaan Nasional Katalog Daiam Terbitan (KDT) Muhammad Raza)s,, Mahmud N. Siregar, Faridawaty Marpaung
I(alkulus Diferensial, Cet. 1 Bogot: Penetbit Ghalia Indonesia, 2010 x + 246 hlm; 175 mm x 250 mm ISBN: 97 B-97 9 -450-581 -6
I
t
Kalkulus merupakan mata kuliah keahlian dasar yang dipelajari oleh mahasiswa jurusan matematika, sains dan teknik. Ia merupakan mata kuliah utama yang mengantarkan mahasiswa untuk dapat memahami cabang-cabang matematika tingkat tinggi, mengingat perannya sebagai fundamen yang menopang keahlian matematika lanjut dan keahlian keteknikan.
Materi kalkulus terdiri atas dua cabang utama, yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Masing-masing cabang dibangun dengan uraian teori dan aplikasi yang cukup banyak dan buku ini membahas khusus tentang kalkulus diferensial. Pemaparan buku ini disusun secara rinci, menyertakan beragam contoh aplikasi kalkulus diferensial pada berbagai bidang, seperti fisika, kimia, bisnis, ekonomi, demografi, sosiologi, dan lain-lain. Buku ini memuat lebih dari 160 contoh soal dan penyelesaiannya. Solusi-solusi soal yang melibatkan angka dan simbol semaksimal mungkin disertai dengan penjelasan yang mudah dipahami. Di samping itu, buku ini mengupayakan agar pembuktian teorema dan rumus-rumus tidak terlalu mendominasi, sehingga buku ini dapat menjadi acuan bagi mahasiswa selain jurusan matematika. Dari sisi struktur sususannya, buku ini disusun dalam lima bab. Bab satu hingga bab tiga merupakan pengantar awal yang sangat diperlukan untuk memasuki bab empat yang membahas tentang turunan, teorema-teorema turunan dan teknik-teknik menentukan turunan beragam fungsi. Bab satu merupakan pengantar yang bersifat membuka wawasan pembaca seputar topik-topik yang dibahas dalam kalkulus. Bab
7 dua dikhususkan pada pembahasan fungsi mengingat mayoritas topik kalkulus terkait dengan fungsi. Bab tiga memberi penjelasan lengkap tentang konsep limit yang merupakan fundamen yang mendasari kalkulus. Bab empat secara khusus membahas tentang turunan, definisinya, teorema-teorema turunan, dan teknikteknik untuk mencari turunan sebarang fungsi. Bab lima membahas penafsiran dan contoh aplikasi kalkulus diferensial.
Kepada mahasiswa, penulis menyampaikan bahwa cara baik belajar kalkulus adalah Anda haruS membacanya sambil menggoreskan pulpen pada kertas dan ikut terlibat mencoba menyelesaikan setiap contoh soal dan latihan yang diberikan. Jika jawaban rinci bagi setiap contoh soal telah tersedia, Anda disarankan untuk tetap mencoba menyelesaikan kembali jawabarurya dengan goresan pulpen Anda sendiri, kemudian bandingkan jawaban Anda dengan jawaban yang tersedia. Gunakan kalkul4tor sebagai alat bantu komputasi dan bahkan jika memungkinkan, jangan ragu-ragu menggunakan perangkat lunak (software) seperti Mathematica, Maple, atau Matlab untuk berkesperimen dengan soal yang diberikan. Latihan soal sebanyak mungkin adalah kunci sukses yang akan mengantarkan Anda pada keberhasilan dalam mempelajari kalkulus. Penulis berhutang budi kepada para pakar matematika di sepanjang abad hingga abad ini, yang pemikiran dan ide-ide brilian mereka telah menjadi dasar pemikiran yang memenuhi buku ini.
Penulis menyadari masih banyak materi yang belum dibahas di sini dan juga pada kekurangan di dalam buku ini, menjadi harapan untuk terus berkarya lebih baik di masa yang akan datang.... Semoga!
Muhammad Razali
Mahmud N. Siregar Faridawaty Marpaung
=
Daftar Isi
V
ix
BAB
1.
A. B.
PENGANTAR MENUJU KALKULUS Apakah Kalkulus
itu..............
Fundamen yang Dibutuhkan Untuk Memulai Pelajaran
C. Himpunan Bilangan... D. Variabel
E. Selang F. Pertaksamaan............ G. Nilai Mutlak ................ H. Rumus Jarak ........ [. Koordinat Titik Tengah Garis Lurus J. Persamaan Lingkaran K. Trigonometri.............. BAB 2 FUNGSI
A. Pendahuluan............... B. Definisi Fungsi.......
1
Kalkulus...........
3
4 6 6 7
'12 16 17 17 18
25 25
27
7 C. Fungsi Sebagai Proses lnput-Output................ D. Penyajian Fungsi E. Jenis-Jenis Fungsi
F.
Linier........ G. Menggambar Grafik Fungsi dengan Mathematica............... Lebih Lanjut dengan Persamaan
BAB 3 LIMIT DAN KONTINUITAS.........
A. Pendahuluan .............. B. Limit Fungsi C. Limit Arah Kiri dan Limit Arah Kanan................. D. Syarat Keberadaan Limit Fungsi....... E. Menentukan Limit Fungsi dengan Grafik
30 30 34 54 60 69 69 69 71.
/J 75
F.
Menentukan Limit Fungsi dengan Substitusi Langsung..
77
G. H.
Menentukan Limit Fungsi dengan Manipulasi Aljabar
79
Sifat dan Aturan Dasar Penghitungan Limit....
84
I. I.
Limit Fungsi Trigonometri
..............
87
Definisi Formal tentang Limit..........
95
K.
Limit yang Melibatkan Bentuk Tak Hingga................. L. Menghitung Limit dengan Mathematica ............... M. Kontinuitas Fungsi ...............
N. Masalah Garis Singgung O. Laju Perubahan..{......
dan Laju Perubahan..{................
BAB 4 TURUNAN
97 101
102 107 111
125
A. Pendahuluan.............. B. Turunan.... C. Langkah-Langkah Menetukan Turunan... D. Beberapa Notasi Turunan E. Eksistensi Turunan...
127
F.
130
Turunan G. Menyatakan Turunan dengan Notasi Leibniz H. Persamaan Implisit dan Turunannya I. Turunan Kedua atau Lebih Tinggi........ I. Turunan Fungsi Trigonometri .............. K. Turunan Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma. Aturan-Aturan dalam Menentukan
125
126
128 129
1,40 1,41,
L46 1,47
152
L.
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
M.
Fungsi Hiperbolik dan
N.
Menentukan Turunan Fungsi yang Dinyatakan Secara
BAB
5
A. B.
C.
................
159
Turunannya
762
Numerik...
TURUNAN Pendahuluan.............. Aplikasi 1 : Penafsiran Turunan Aplikasi 2:Laju Perubahan Terkait Waktu.......
PENAFSIRAN DAN APLIKASI
766 171.
177 1,71,
200
D. Aplikasi 3 : Hampiran Linier dengan Memanfaatkan Caris Singgung..... 204 E.
Aplikasi 4 : Memahami Makna Diferensial
dy...............
207
Aplikasi 5 : Metode Newton untuk Pencarian Akar Persamaan f(x) = 6.. G. Aplikasi 6 : Turunan untuk Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum F.
Fungsi H. Aplikasi 7: Aplikasi Turunan pada Masalah Optimisasi I.
I.
21.0
217
............
224
Aplikasi 8 : Aplikasi Turunan pada Aturan L'Hopital.................. 230 .. 23L Aplikasi 9 : Ekspansi Fungsi ke Deret Maclaurin.
DAFTAR
PUSTAKA
239
GLOSARIUM............... TENTANG
241,
PENULIS
245
Daftar Isi
BAB
PENGANTAR MENUJU KALKULUS
A.
APAKAH KALKULUS ITU?
Para ahli mengatakan, bahwa salah satu sumbangan yang paling besar bagi ilmu matematika, sains, dan rekayasa modern ialah penemuan kalkulus menjelang akhir abadl7. Dikatakan bahwa tanpa cabang utama ilmu matematika ini, banyak prestasi teknologi, seperti pendaratan manusia di bulan, tentunya akan sulit atau tidak mung-
kin dicapai. Sehari-hari kita sering mendengar dan menyebut kata "mengkalkulasi" yung artinya menghitung. Kata "mengkalkulasi" adalah kata yang dekat dengan kata "kalkulus". Kalkulus berasal dari bahasa latin yang berarti "batu ketikil". Nama ini barangkali asalnya ialah karena batu kerikil dipergunakan beribu-ribu tahun yang lalu untuk menghitung dan mengerjakan soal hitungan.
Dua orang yang hidup dalam abad ke-17 berjasa sekali dengan Penemuan kalkulus, yaitu Sir Isaac Newton dari Inggris dan Gottfied Wilhelm von Leibniz dari Jerman. Ide pokok kalkulus dikembangkan secara sendiri-sendiri oleh mereka selama
bertahun-tahun. Newton yang merupakan ahli ilmu alam yang sangat terkenal, menerapkan kalkulus pada teori gerak dan gravitasi. Teori ini yang sering disebut sebaf,ai hukum Newton memungkinkan dia menggambarkan secara matematis semua benda dalam jagadraya, daripelemparan bola sampai kepada perputaran bumi dan planet-planet lain dalam tata surya di sekeliling matahari.
Sebelum era Newton dan Leibniz, ilmu matematika yang dipergunakan untuk memecahkan soal adalah semacam matematikayangdiajarkan di sekolah menengah
modern. Matematika itu meliputi mata pelajaran seperti ilmu hitung, aljabar, geometri, dan trigonometri. Prinsip dasar mata pelajaran ini dikenal paling tidak 1.500 tahun sebelum Newton dan Leibniz. Meskipun prinsip matematika yang dipelajari dalam mata pelajaran ini berguna untuk memecahkan bermacam-macam soal tertentu, namun prisip-prinsip itu tidak semuanya cocok untuk memecahkan soal-soal mengenai jumlah yang berubah-ubah atau bervariasi. Adalah dengan
.i 1';ia:
maksud menghitung kuantitas yang berubah-ubah dan bervariasi dalam kehidupan kita sehari-hari, maka ditemukan kalkulus. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa kalkulus adalah matematika perubahan,l Di mana terdapat gerak dan perubahan, maka kalkulus menjadi alatyangpaling tepat untuk memodelkannya secara matematis.
Tujuan utama kalkulus adalah analisis masalah-masalah perubahan yang dibangun dari penyelidikan garis singgung kurva dan perhitungan luas dan isi bangun geometri. Dua masalah ini sangat mendasar, sebab kita hidup di dunia yang terus berubah, bergerak dan fenomena pasang surut. Demikian juga sangat banyak tema dalam matematika tingkat tinggi yang memanfaatkan ide-ide kalkulus. Oleh sebab itu, dikatakan kalkulus merupakan pintu gerbang menuju hampir semua cabang matematika tingkat tinggi. Hingga saat ini kalkulus tetap menjadi topik hangat, karena teknik penghitungan dalam kalkulus masih tetap berfungsi sebagai bahasa kuantitatif utama dari ilmu pengetahuan dan teknologi. Tak hanya itu, penerapan kalkulus penerapan kalkulus merambah semakin luas hinggapada cabang ilmu sosial seperti bisnis, ekonomi dan psikologi. Kalkulus terbagi dalam dua cabang, yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Kalkulus diferensial berurusan dengan gradien garis singgung kurva yang merupakan bentuk geometri dari turunan yang sering ditafsirkan sebagai laju perubahan, seperti laju perubahan jarak terhadap n aktu, laju perubahan kecepatan terhadap waktu, laju perubahan temperatur, laju perubahan muatan listrik, laju perubahan populasi dan sebagainya. Ia juga berurusan dengan penentuan nilai maksimum atau minimum yang dapat dicapai oleh suatu fungsi kontinu. Adapun kalkulus integral berurusan dengan penentuan sebuah fungsi asal yang fungsi turunannya diketahui. Misalnya, kecepatan dari sebuah benda yang bergerak adalah merupakan fungsi turunan dari fungsi asal, yaknijarak yang ditempuh oleh benda tersebut pada sebarang waktu. Artinya jika sebuah rumus bagi kecepatan sebuah benda diketahui sebagai fungsi dari waktu, maka kita dapat menggunakan integral untuk mendapatkan rumus yang menjelaskan sejauh mana jarak yang ditempuh benda tersebut dari titik berangkatnya pada sebarang waktu. Ia juga berurusan dengan
L
Dari artikel Murray Spiegel
d'
IH
;;,,.,ti,,i:::l'," 2 ttttitttttttttttt,ll,,,,ll',]]',,: .' ::::::::::::::::::::::::::).:):.:1:a:aaaaaa:l:aLaaa:a:aaaa:
IL
l(alkulus Diferens:lal
pada
llmu Pengetahuan Populer Jld. 2, Grolier Intemational, Inc. 1988
penentuan panjang lintasan sebuah kurva,luas area bidang datar tak beraturan yang dibatasi oleh beberapa kurva, volume-volume bangun dimensi tiga yang dibatasi oleh selubung (kurva) permukaan, pusat gravitasi dari sebuah benda, nilai rata-rata suatu fungsi, kerja atau usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya yang beraksi pada sebuah benda, dan sebagainya.
Diferensial dan integral merupakan dua sisi yang saling melekat dalam kalkulus. Satu sisi merupakan proses balikan dari yang lain. Satu dan lainnya tidak bisa dipisahkan dan saling berdiri sendiri. Sains dan rekayasa modern menggunakan diferensial dan integral secara bersamaan untuk menyatakan beragam hukum alam dengan memanfaatkan bahasa matematika dan menjelaskan dampak dari hukumhukum tersebut.
B. FUNDAMEN YANG DIBUTUHKAN UNTUK MEMUTAI PELAJARAN KALKUTUS Secara umum, beberapa cabang matematika seperti aljabar, geometri analitik, fungsi dan trigonometri merupakan fundamen yang dibutuhkan untuk menguasai kalkulus. Selain itu, beberapa istilah berikut ini akan sering kita jumpai pada kalkulus. "rril:
Himpunan bilangan. Perhitungan pada kalkulus didasari oleh sistem bilangan real. Oleh sebab itu, kita akan mengawali fundamen dengan membahas sistem himpunan bilangan.
'i.." Variabel. Kalkulus dan matematika tidak terlepas dari penggunaan simbol-simbol untuk menyatakan sebuah besaran yang nilainya berubah-ubah. Besaran seperti ini dinamakan oariabel. Oleh karena nilai sebuah variabel dapat menjelajahi angka-angka dalam wilayah bilangan real, maka kita perlu memahami tentang selang interval dan pertaksamaan.
.:3
Fungsi dan grafik fungsi. Mayoritas bagian dari kalkulus terkait dengan fungsi dan grafik fungsi. Hal ini karena fungsi atau persamaan merupakan alat yang paling tepat untuk menyatakan hubungan antara dua buah variabel atau lebih. Fungsi atau persamaan merupakan dasar dari setiap pemodelan matematika. Grafik sebuah kurva juga merupakan salah satu alat untuk mengamati perilaku hubungan antara dua variabel atau lebih. Grafik kurva merupakan visualisasi dari fungsi atau persamaan. Pembahasan tentang fungsi akan selalu terkait dengan grafik atau kurva. Hal ini disebabkan karena grafik dapat dipakai untuk mempelajari persamaan dan demikian pula sebaliknya.
d:
Kontinuitas. Fungsi atau persamaan yang dibahas dalam kalkulus biasanya bersifat kontinu. Dalam perhitungannya, kalkulus diferensial dan integral sering mensyaratkan adanya sifat kontinuitas pada fungsi. Oleh sebab itu, konsep
Menuju ffil-.
rry
lGlkulns r
3
-'5-.-r'--*i
kontinuitas merupakan salah satu aspek penting yang harus dipahami dengan baik manakala kita ingin mempelajari kalkulus.
'$ rl .r
ril
Limit. Konsep limit fungsi merupakan tulang punggung yang mendasari kalkulus diferensial dan integral. Definisi-definisi yang dibangun serta pembuktian rumus-rumus dan teorema-teorema dasar dalam diferensial dan integral selalu menggunakan ide limit. Oleh sebab itu, pemahaman yang baik mengenai kalkulus akan sulit dicapai manakala konsep limit tidak dipahami dengan baik.
C. HIMPUNAN BILANGAN Bilangan dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa himpunan:himpunanbilangan bulat, himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan irasional, himpunan bilangan real, himpunan bilangan khayal (bilangan imajiner) dan himpunan bilangan komplek. Perhitungan dalam kalkulus berdasarkan sistem bilangan real.
Bilanganbulat terdiri dari semua bilangan bulat positif dan negatif. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasilbagi dari dua buah bilangan bulat seperti:
1,2=
u, -1.1= -1\' +=!
5102
Himpunan bilangan rasional terdiri dari semua bilangan bulat dan sebagian bilangan pecahan.
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua buah bilangan bulat. Ia merupakan kebalikan dari bilangan rasional dan tak satu pun bilangan bulat yang merupakan bilangan irasional. Berikut ini beberapa contoh bilangan irasional:
Ji
=1.,41.421g562... ;1og 12=1,079181.2...; e=2,778281828...; sin210=0,358368...
Titik'...'bermakna angka dibelakang koma terus dapat ditulis tanpa batas. Bilangan rasional dan irasional memiliki perbedaan yaitu: angka di belakang koma pada bilangan irasional tidak pernah habis dan tidak mempunyai pola berulang. Sedangkan angka di belakang koma pada bilangan rasional selalu mempunyai pola berulang. Misalnya bilangan berikut ini adalah rasional, karena angka dibelakang koma mempunyai pola berulang:
L
0,77777777...
= 911
ar.t
E
= 1,1818181818....
Bilangan real rneliputi semua bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irasional. Jika diilustrasikan secara skematis maka keadaannya seperti berikut:
-l bilangan irasional bilangan real
bilangan bulat
sebagian dari bilangan pecahan
Bilangan khayal atau bilangan imajiner muncul akibat mengambil akar bilangan negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang satuannya i di mana i = J-7 . Misalnya: 2i, -34i,0,6i,dan lain-lain. Himpunan bilangan khayal berdiri sendiri di luar himpunan bilangan real. Perhitungan dalam kalkulus tidak melibatkan himpunan bilangan khayal.
Bilangankomplek dinyatakan dengan simbol zterdiri dari dua komponen,yattu komponen real dan komponen khayal. Bilangan komplek biasa ditulis z = x + yi di mana x merupakan komponen real dari z dan y merupakan komponen lchayal z. Misalnya z=3+2i atauz=-45-l2idanlain-lain.Jikadiilustrasikansecaraskematis, maka keadaannya seperti berikut bilangan khayal
bilangan real
Dari skema ini, tampak bahwa bilangan komplek meliputi semua himpunan bilangan yang ada. Namun, kembali kita ingatkan bahwa bilangan komplek tidak menjadi bilangan dasar perhitungan dalam kalkulus. kalkulus menggunakanbilangan real. Sebelum kita lanjutk ant, ada dua hal penting yang selalu harus diingat dalam kalkulus, yaitu:
pertama, tidak diijinkan membagi dengan nol. Pernyataan-pernyataan seperti:
1,-9 11
2' o'2'2'
x+3
2+7-9
dianggap sebagai t ak-t er ilefinisi (undet'ined). kedua, akar dari bilangan negatif adalah tak-terdefinisi.Misalnya,
fi
adalahtak-teilefinisi
Ini karena perhitungan kalkulus berdasarkan sistem bilangan real.
Sementara
akar dari bilangan negatif terdefinisi hanya pada himpunan bilangan khayal.
:i :l
D. VARIABEL Dalambanyak masalahpemodelanmatematik, seringkali kita harus menggunakan notasi, misalnya a,b, x, untuk menyatakan besaran yang belum diketahui nilainya seperti waktu, volume, kecepatan, percepatan t gaya. Besaran yang belum diketahui nilainya ini disebut oariabel. Dalam memilih notasi sebuah variabel, dapat digunakan huruf-huruf seperti fl, b, c, ffir /t, x, y dan sebagainya. Tetapi dalam beberapa kasus adalah lebih baik menggunakan huruf awal dari besaran yang dimaksud. Misalnya notasi t (time) untuk menyatakan variabel waktu, zt (volume) untuk menyatakan volume, F (force atau gaya) untuk menyatakan variabel gaya dan sebagainya.
Variabel adalah besaran yang nilainya tidak tetap dan dimungkinkan untuk berubah-ubah. Kebalikan dari pengertian ini dinamakan konstanta. Peubah adalah nama lain yang sering digunakan untuk menyatakan variabel. Misalkan x adalah sebuah variabel yang menyatakan umur atau daya tahan bola lampu merk tertentu. Jika dianggap bahwa umur tertingginya adalah 3500 jam, maka selang atau jelajah nilai yang mungkin bagi x adalah setiap bilangan real yang berada pada Dalam contoh ini, r disebut variabel yang menyatakan umur atau daya tahan bola lampu, Akan sebab nilainya dimungkinkan untuk berubah-ubah dalam selang maka di x dinamakan jlkax misalnya3200jam, sini nilainya, ditetapkan telah tetapi, konstanta, bukan variabel. Mengapa disebut konstanta? Karena nilai r telah ditetapkan pada satu harga saja dan tidak berubah-ubah lagi.
E.
SETANG
Selang merupakan himpunan bilangan real yang sering digunakan dalam kalkulus untuk menyatakan garis bilangan. Nama lain bagi selang adalah interval di mana padanya terdapat bilangan tertentu yang menjadrbatasbawah danbatas atas. Secara umum selang terbagidua,yakni selang terbuka dan selang tertutup. Selainnya adalah kombinasi salah satu di antara keduanya. Misalkan a dan b adalah bilangan real di mana a
a0 atausebaliknya:a>0danb 0danb>
0
atausebaliknya: a < 0danb 0 atau sebaliknya:a > 0 danb < 0 iv. Jika a.b > 0, maka a > 0 danb > 0 atau sebaliknya:a < 0 danb < 0 Contoh 3: Selesaikan pertaksamaan-pertaksamaan berikut ini.
(a) **5 ,o 4x-72
(b) ',**! x+2
.,
Penyelesaian:
(a) Menurutaturan(ii),pecahar,
i1l
,g
bernilaipositif (>0) jikapembilangdan
penyebut lebih besar dari nol atau sebaliknya pembilang dan penyebut samasama lebih kecil dari nol. Jadi, terdapat dua kasus bagi pertaksamaan ini:
7' $. kasusl:x+5>0 dan 4x-12>0. $ kasus2:x+5 3. Kedua pertaksamaan ini diwikili oleh x>3 kasus 2 mengakibatkan: x
0 dan kita tidak perlu memikirkan nilai-nilai x < 0. Dalam notasi limit, soal ini ditulis:
.9.fi
-....?
Nilai limit arah kanan bagi fungsi ini dapat diperoleh dengan melihat tabel nilai berikut. Tabel limit arah kanan nol x
2 1 0,1 0,01
f(x)
11111
0,0001
Dari tabel ini tampak bahwa limit fungsi f(x) adalah 1.
x
lxl
..
ketika x-->0 dari arah kanan
Contoh lain misalnya, kita kembali pada contoh 1. Dari tabel nilai tampak bahwa
limit
fung si
f(4=+5:ketika ,r^
x-+2 dari arah kanan adalah 4, yatcni: x2
+_4x-12 _ n
x+2t x" -2x
Inilah yang kita maksud dengan limit arah kanan.
D.
SYARAT KEBERADAAN
LIMIT FUNGSI
Setelah kita membahas tentang pengertian limit arah kiri dan limit arah kanan, kini kita akan membahas syarat keberadaan limit suatu fungsi. Limit suatu fungsi f(x) dikatakan ada dan nilainya adalah L jika nilai limit arah kiri fungsi itu sama dengan
nilai limit arah kanannya. Jadi nilai limit fungsi f(x) ketika x-+a adalah sama dengan L jika dan hanya jika nilai limit arah kiri fungsi tersebut sama dengan nilai limit arah kanannya. Ringkasnya adalah: ,,liiii
lim f(x) x+a
=
l
L iika dan hanya jika lim f(x) = lim f(x) ' *-"x-+a*
't:t..1:
=
I
Contoh 4 : Kita gunakan kembali contoh
li^*'+-4*_12
x+2 X'-2X
1
untuk menunjukkan bahwa:
=4
Dengan mengamati tabel limit arah kanan dan arah kiri:
limit arah kiri
limit arah kanan
Lihat di sini f(x) menuju
4-
2.5
3.4
1.5
5.0
2.1
3.857142857
1.9
4.157894737
2.01
3.985074627
1.99
4.015075377
2.001
3.998500750
1.999
4.001500750
2.0001
3.999850007
1.9999
4.000150008
2.00001
3.999985000
1.99999
4.000015000
Lihat di sini
f(x) menuju 4
Tampak bahwa limit arah kiri = nilai limit arah kanan = 4
.. h
x'
+4x-12 ,. =
l-^
*2
*9. *'- r*
Maka dengan terpenuhinya syarat limit arah katakan bahwa:
..
+4x-12
=
kiri = limit arah kanary maka kita
x'+4x-12
ls *2,. =* Contoh 5: Di sini kita akan melihat contoh di mana limit arah lim x =...? x-+o
+
kiri I limit
arah kanan:
lxl
Penyelesaian:
Kita akan menghitung limit arah kiri dan limit arah kanan fungsi f(x)
=
x
lxl
ketika x-+0. Dari contoh 2,kLta ketahui bahwa limit arah kiri fungsi ini adalah:
,1?; =
',
Sedangkan limit arah kanannya adalah:
.liT ,n
=
,
Dari kedua jawaban di atas tampak bahwa nilai limit arah
kiri # nilai limit
aruh
kanan di mana -1, # 1,. Jadi, karena syarat limit arah kiri = limit arah knnan trdak terpenuhi maka kita katakan bahwa: fir4 *+o
-Ilxl
= tak terdefinisi (tidak ada)
E. MENENTUKAN LIMIT FUNGSI DENGAN GRAFIK Jika diberikan grafik sebuah fungsi, lalu kita harus menentukan limit fungsi itu ketika variabel bebasnya mendekati angka tertentu a. Bagaimanakah cara menentukan iimit grafik fungsi itu? Caranya tidak sulit. Kita masih tetap menggunakan prinsip: limit arah kiri sama dengan limit arah kanan. Telusuri jejak grafii. -,.--gsi itu dari arah kiri a dan dari arah kanan a dan lihat apakah nilai fungsi itu menuju kepada satu angka tertentu L.Jika demikian, maka L adalah limit bagi grafik fungsi itu ketika x mendekati a.Jika tidak demikian, maka fungsi itu tidak mempunyai timit ketika x mendekati a.
Contoh 6: Jika diberikan grafik g(x) yang kontinu seperti gambar 3.1 berikut ini
2.5
Gambar 3.1
maka limit g(x) ketika x + 2 adalah sama dengan 4. Jika x-+2- maka g(x) akan bergerak turun menuju 4 (lihat di sumbu y di mana nilai g(x) 'bergerak turun' dariT menuju 4). Demikian juga jika x-+2* maka nilai g(x) akan 'bergerak naik' dari 1 menuju 4. Jadi tampak bahwa nilai limit arah kiri = nilai limit arah kanan = 4, sehingga kita katakan:
l.g1S(*) = +
Contoh 7: Contoh lain, perhatikan grafik g(x) pada gambar 3.2 berikut ini!
-1
-2
-3 -4 -5
Gambar 3.2
Dari grafik ini tampak bahwa nilai limit arah kiri, yakni
S(*) = 2, sedangkan *1]l_ nilai limit arah kanan.lT. S(*l= 2. Karena limit arah kiri = limit arah kanan = 2, maka limit fungsi g(x) ketikax-+-4 adalah sama dengan2, atau ditulis:
]11s(')
=z
Contoh 8: Perhatikan grafik fungsi f(x) paga gambar 3.3 berikut ini
:
(1,4) 3 2 'l
-1
-2
(1,-2)
-3 -4 -5
Gambar 3.3
tf.l fiilak ada, sebab limit arah kiri tidak sama dengan 1T, nilai limit arah kanan. Lihat grafik pada gambar 3.3, ketika x mendekati 1 dari arah Kita katakan bahwa
kiri, maka nilai f(x) mendekati 4. Sedangkan, ketika x mendekati 1 dari arah kanan, maka nilai f(x) mendekati angka -2.Di sini tampak bahwa nilai limit arah kiri tidak sama dengan nilai limit arah kanan, sehingga:
iT rl*l = tidak ada Contoh 9: Gambar 3.4 merupakan grafik fungsi f(x) = ketika x =3.
GrafiknYa tak terdefinisi
Z
Gambar 3.4
a.
Tentukan nilai lim x-+3
b.
f(x)
Tentukan nilai lim x-+0
f(x)
Penyelesaian:
a.
Dari grafik tampak bahwa nilai limit arah kiri, yakni
nilai limit arah kanan, yakni
l* ;}=+
oo
:+
. Karena
=- co sedangkan
limit- arah kiri tidak
sama
dengan limit arah kanan, maka:
riry
= tak ada (tak terdefinisi)
a-l 2x^ Dari grafiktampakbahwanilailimitarahkiri,yakni lim =0 danlimitarah x-+o- X-3 2X kanan Iim ---:^ =0. Karena limit arah kiri = limit arah kanan = 0, maka: x-+3
b.
ji
x-+o+
x-3
2x Iim =o x-+0 1-l
F. MENENTUKAN LIMIT T'UNGSI DENGAN SUBSTITUSI LANGSUNG Kita telah melihat bagaimana cara menentukan limit fungsi f (x) dengan menyusun tabel nilai x dan f(x). Kita juga telah mengetahui bahwa limit fungsi f(x) dapat juga ditentukan secara grafis, tentunya dengan terlebih dahulu menggambarkan grafik f(x). Sekarang kita akan menentukan limit dari:
1g
rr,.l
dengan cara substitusi langsung, yakni dengan memasukkan nilai x = a ke dalam lungsi f(x). Cara ini persis seperti saat kita menentukan nilai fungsi f(x) ketika x
c. Iim
.te-"' v
x-+4 X-3 Penyelesaian:
a. lim5x-6=5(4)-6=1.4 C.
...8*t' L I1ITI
x-+4 X-3
=
d.
.. 5x2 llm_ -2x3+l x-+10 X - 8
b.
Iim x->5
-5
d. lim
-1-,0)t- = 1- t0
x)5
5x2 -2x3
+l
x-8
x-+10
= -9,4
= -749,5
Demikian jawabannya. Cara ini sangat mudah. Kita dapat memastikan kebenaran jawaban ini dengan cara menggambarkan grafik fungsi masing-masing soal dan mengamati nilai limitnya. Kita akan menuliskan program Mathematica untuk menampilkan grafik fungsi untuk soal a dan soal d. Inilah hasilnya
Grafik soal a di mana f(x) = 51- 6 adalah: Plot[S x-6,1x,0,6]l
Gambar 3.5
Dari grafik ini terlihat bahwa limit f(x) ketika x mendekati 4 adalah 1.4.
Untuk soal d di mana f(x)=
a1:23 +l , dengan mengambil interval x-8
sempit di sekitar x = 10, yakni interval :9,9 1 x
I
70,2.
yang
Ini dilakukan agar pengamatan
kita terhadap kecenderungan nilai f(x) di sekitar x = 10 dapat terlihat jelas. Hasilnya adalah:
Plot[(S x^2 - 2 x^3 +1)i(x-8), {x, 9.9,L0.2}l
Arah kiri 10
-+-745
Gambar
3.6
3
Dari grafik ini tampak jelas bahwa nilai limit f(x) ketika x mendekati L0 adalah -749,5
G. MENENTUKAN LIMIT FUNGSI DENGAN MANIPULASI ALJABAR Kita telah melihat bagaimana mudahnya menentukan limit fungsi dengan cara substitusi langsung. Saat kita masukkan nilai x = a ke dalam fungsi yang bersangkutan dan diperoleh bilangan real tertentu L, maka L adalah jawabannya dan hasil yang diberikan oleh cara substitusi langsung dapat kita benarkan. Namun, terdapat banyak soal di mana hasil yang diberikan oleh cara substitusi langsung justru tidak dapat dibenarkan. Situasi ini muncul manakala kita berusaha menyelesaikan soal limit yang bentuknya:
,S# dan
9 -,.rr,.rl akibat penerapan
substitusi langsung.
9 brkr.,luh sebuah
bilangan tert\ntu, ia 'tak-terdefinisi' dan disebut sebagai bentuk tak-tentu. Untuk menghindari hql ini, kita dapat menempuh cara 'manipulasi aljabar' yakni dengan langkah aLjabar sehingga fungsinya menjadi lebih sederhana. melakukan bebe r dapat dilakukan, misalnya dengan memfaktorkan fungsi Penyederhanaan alj (jika mungkin) kem ian mencoret suku-suku sejenis, atau dengan melakukan rasionalisasi (khusus untuk fungsi yang memiliki bentuk akar) atau menyamakan
,.
]
ril +rS
,:+]!
:'::*
.
ffi
penyebut dari beberapa pecahan atau cara-cara lainnya. Perhatikan beberapa contoh berikut. Contoh 11: Hitunglah 11* "11!119 x-+-2 X+2
PenYelesaian: Fungsi yang akan dihitung limitnya adalah f(x) =
x2
+5x+6
;
_ . Fungsi
ini tidak
terdefinisi di x = -2, sebab substitusi langsung nilai x = -2 ke dalam fungsi itu akan menghasilkrr', ao
9
Kita dapat mencari nilai limit ini dengan membuat tabel nilai limit
arah kiri dan limit arah kanan seperti pada contoh 4. Tetapi bukan ini tujuan kita, sebab kita akan menerapkan manipulasi aljabar. Cara manipulasi aljabar akan jauh lebih baik (dan lebih mudah) daripada membuat tabel nilai. Pada
lim
x
x2 + 5x+ 6
;-2
X+2
,
faktorkan bagian pembilang sehingga menjadi:
(x+3)(x+2) (x+2) hasilnya menjadi:
lim#.Coretsukuyangsamapadapembi1angdanpenyebut x+-2 linq (x + 3)
Akhirnya, gunakan substitusi langsung pada fungsi
lim (x+3) =-2+3=L
x+-2
)--rJ^-ru
v_l\vlA
lim ^ Jadi, ' x+z
X+2
Contoh L2:Cari
m
hm (x+3) =-2+3=L = x>-2'
#
Penyelesaian:
Substitusi langsung x = 4 ke dalam soal akan menghasilkur,
9. 0
Karena soal ini
mengandung tanda akar, coba sederhanakan dengan cara rasionalisasi. Hasilnya:
ri_Ji-2 r14 x-4 =r^(&-zgj2l .-+[ x-4 Jx+2) = lim x->4
(x-4) (x-aXJx+2)
(x-4) x-+ (x _ aXVx + 2)
= lim *-+ --L(.r/x + 2)
=
penyederhanaan selesai, masukkan x I
11
d4+21 4 r- 2 "lx lim Iadi ' x+4 x-4 -1'4 Contoh 13: Hitung lim
./."
-J-
Penyelesaian:
./i+* -./ir--------r-
menghasilkrn 9. Untuk UO itu kita lakukan penyederhanaan aljabar. Karena fungsi ini memiliki tanda akar, kita pilih proses penyederhanaan dengan cara rasionalisasi, yakni mengalikan f(x) dengan Substitusi langsung x = 0 ke fungsi f(x) =
h;- -+ lt pecahan Vl+x Vr-x yang nilainya setara dengan 1. Jadi,
{r+x +{l-x
.,[+"
-Jf
x
_
.f-r' -.[_* J.,l ++-, x .r[.. +1tt-x (1+x)-(1-x)
x(Jt+x+Jt-x1 ,/
,1 lc,, ralx yang ada pada pembilang dan penyebut di luar tanda kurung) *k;*;,ili,
lni adalah hasil penyederhanan lungsi
(J..
+
semula
rtt-"1
Sehingga
ri*6;-fx->0
= lim *-o --2-_-(r/l+x * Jl-il
2-
- .I.0 + vti-o -_-t
]adi 1,*
@-F=,
^
=
(substitusikan nilai x = 0 ke dalam soal)
i_l
x4 Contoh 14: Cari lim x+4
x-4
Penyelesaian: Substitusi langsung x = 4 ke fungsi f(") =
1_r ;:t
menghasilku"
0
;
.Fungsi seperti
ini
disederhanakan dengan menyamakan dahulu suku-suku bagian pembilang, selanjutnya membagi pembilang dan penyebut. Lihat berikut ini!
4-x (4*) x4
1_1 x4
x-4
(a-x) (x-a)
4*
(4-x)
-l-(a-x).
4"
1_1
Jadi ' x-4
=+ (coret faktor yang sama)
1_1
,
=
--l-4x
sehingga
lim *
4
x-->4x-4
lim
^
x-+4 -4x
*4(4)
16
Dari contoh 11 hingga contoh 1.A,klta telah melihat bagaimana proses manipulasi (penyederhanaan) aljabar bekerja dalam menyelesaikan soal limit. Namun di sana terdapat pula fungsi-fungsi yang sulit diselesaikan dengan proses penyederhanaan/ sehingga kita kembali harus menggunakan cara tabel nilai untuk mendapatkan limit fungsinya. Misalnya seperti contoh 15. Contoh L5: Hitung
16 t:.t&I
x-+0 x'
Penyelesaian: Substitusi langsung nilai x = 0 menghasilkan
9. frngri ini sulit disederhanakan. U
Kita coba mencari limitnya dengan membuat tabel nilai limit arah kiri dan arah kanan. Kita akan melihat bagaimana perilaku numerik fungsi axJ f(x)
x = - -tgx ketika
x mendekati 0 dari arah kiri dan arah kanan. Kita akan mencoba menghitungnya dalam dua interval yang berbeda:
Pertama: kita amati nilai f(x) dalam interval nilai x yang memuat angka 0, yakni dalam interval -5 ( x < 5 dengan perubahan x pada kelipatan 1.
Kedua
:
kita amati nilai f(x) dalam interval nilai x yang lebih sempit lagi yang masih memuat angka 0, yakni dalam interval -0,01< x (0,01 dengan perubahan x pada kelipatan 0,001.
Dengan Mathematica hasilnya adalah sebagai berikut.
Interval pertama: -5 S x < 5 dengan kelipatan 1. Hasilnya: TableForm[Table[{x, (x - Tan[ xl)/x^3], {x, -5,5,1}ll//N
-5
0,0670441
-4
o,044409
-3
0,116391
-2
0,52313
-1
-0,557408
0
lndeterminate
1
-0,557408
2
0,52313
J
0,116391
4
0,044409
5
0.0670441
ketika x mendekati 0 dari arah kanan, hasilnya -0,557408
ketika x mendekati 0 dari arah kiri, hasilnya -0,557408
Hasil yang diberikan oleh tabel ini mengesankan bahwa ketika x mendekati nol, jawabannya -0,557408, sebab nilai limit arah kiri = limit arah kanan. Namun hasil ini belum dapat diterima karena di sini nilai x yang terdekat dengan nol adalah x dekat dengan nol. Untuk itu, mari kita lihat perilaku = +1.Nilai+lbelum ika x semakin dekat dengan nol dalam interval kedua yang numerik fungsi lebih sempit yakni -0,01< x 2 x-+3
.. x2 -x s. llm x-+l 0 x-1 -
= -35 (aturan konstanta di mana k = -35)
Iim 3y+ t2 =3y + t2 (aturan konstanta, di sini konstantanya adalah
3yz +
t,sebab
x-+5
yang berperan sebagai variabel adalah x, karena ia yang bergerak menuju 5. y dan t dianggap konstan)
c. d.
lim x2 = (2)' = 4 (limit aturan x, substitusi langsung)
x-->2
lim 10x2 = 10 lim x2 = 10. (3)'z = 90 (aturan perkalian dengan konstanta k)
x-+3
x-+3
e.
lim_ y-+5
3y+t2 =
3(5) + t2 = 15 + t'z (di sini yang menjadi variabel adalah y)
f. lim [3x5 -9x3+4x2-15] = 1im3x5 - 1im9x3 + lim4x2 -lS x-+2 x-+2 x-+2 x-+2 (aturan penjumlahan dan selisih)
=
:[h-r') - ,[,,**' l* +[ri..,*Y - ru Ir-z] l.*-z) t.*-z] (aturan perkalian dengan konstanta) z15z13r'2
l-r[ h...*l*+lt*,. I -r 5 l.*-z] (.^-z) [*-z,l -'-'-/-
=:l h*, (aturan
=
3 (2)5
pangkat)
-9 (2)'
+
....-
4(2)'z-15 =
25
(limit aturan x, substitusi langsung)
r li* *2-* x -:x *ll0 g. lim = o lim x - .I x-+10 x-l
(aturanhasilbagi)
x-+1 0
_ lo2-lo 10-l
2.
=
1o
Limit Fungsi Polinomial
Jika kita lihat kembali limit fungsi pada contoh 1,6.f, sangat mudah bagi kita untuk melihat bahwa fungsi tersebut, yakni f(x) = 3x5 -9x3 +4x2 -15 adalah fungsi polinomial di mana limitnya ketika x-+2 dapal ditentukan langsung dengan mensubstitusikan x = 2 ke dalam f(x) = 3x5-9x3 +4x2_15. Dari sini dapat kita tetapkan suatu aturan khusus dalam menentukan limit fungsi polinomial:
Limit Fungsi Polinomial
. ,
:::.
Jika P(x) adalah fungsi polinomial, maka
Contoh 17: Hitunglah
lim x-->-2
Penyelesaian:
(x2 +
*3
- "5;
Ini adalah fungsi polinomial P(x) = ,2 + *3 -2)2 (-2)2
- =-l= +3(-2)-s 7 -
3?z)
,5
dengan c = -2 sehingga:
+(-8)-(-321=29
t** --**** Limit Fungsi Rasional I I(') : ]ika Ii* P(*) = P(c) ' Q(x) u6u1u1l fungsi rasional di mana Q(x) I o.' maka x-+c Q(x) Q(c) ' dengan syarat nilai limQ(x)*0 :
!
Contoh 18: Hitunglah
lim
-I . t,lx"
-3x-2
x-+-2Fx'+3x-5
Penyelesaian:
Ini adalah fungsi rasional di mana P(x) = nilai c = -2 dan lim Q(x)= -7 +0 .Jadi
dan Q(x)= x2+3x-5 dengan
x->-2
"r-;-
lim llx" -3x-2 x-+-2 x2 +3x-5
I. LIMIT
(-2)2
+3(-z)-s
FUNGSI TRIGONOMETRI -=
Limit fungsi trgon6'metri ditentukan dengan cara yang sama seperti contoh yang telah dibaha>ffielurrrnya. Kita dapat memilih cara substitusi langsung, manipulasi aljabar, tg6l nilai ataupun cara grafik. Teorema berikut ini akan memudahkan kita mern\il'ras limit fungsi trigonometri. Teorema: Limit fungsi trigonometri
]ika a adalah sebaiang bilangan,dalam daerah asal fungsi ya.g diberikan,
maka: I 7. I. [In SlnX=SIna ,
2.
x-+a
4. lim cscx=csca x-+a
5.
lim cosx=cosa x--)a . ,.'
3.
lim secx=seca
6.
x-+a
lim tgx =tg;a
x-+a
lim ctgx=ctga
x-+a
87
Perlu diingat kembali, bahwa dalam kalkulus, semua sudut dinyatakan dalam radian. Tabel berikut ini memberikan hubungan derajat dan radian Deralat
0
30
45
60
90
180
270
360
Radian
0
TEI6
Iv4
?v3
fl2
TI
3TLI2
2It
di mana rE=3,\4L592654 ... Rumus konversi derajat ke radian adalah: x0 -
Contoh: Ubah
200 ke
1n
radian.
180
dalam satuan radian!
I
/
Penyelesaian: x = 200+Jadi 200 =
Lnradian = 1n 9
180
/
radiarr =113,t+; radian = 0.g4906l radian
9'
Contoh 19 : Hitunglah limit berikut ini! 1_b. lim'^ a. lim x3 cosrx
c.
x-+0 CoSx
"++
I
,'u
lim (sin2y+l.gx
x-++
3
cos4x
Penyelesaian:
Ketiga soal ini dapat diselesaikan dengan substitusi langsung.
I rim x3cosnx = flI.orln= .l= a. *-+ \3/ 3 27 2 s4 2-x hm b. x+0 =Z=2 =2-o cos 0 cos x 1
1
c.
lim (sin2x
+
"+t
tgx-
J=l
COS4X
= sin2(t) +t1i
cos(a.f,)
=sin**l-
3
cos
7r
=1+1-3 (- 1) -5 Dua Limit Trigonometri yang Spesial
limit trigonometri yarrgpaparkan di atas, terdapat dua limit trigonometri yang spesial karena keduanya memainkan peran penting dalam kalkulus. Dua limit trigonometri yang spesial itu adalah: Selain
1. li* stt*
=
1
dan
2. li* "ot'-l
=o
x-+0 x x-+0 X Bukti: Sudah tentu nilai limit kedua fungsi ini ketika x-+0 tidak dapat dihitung dengansubstitusilangsungx=0dantidakjugadenganmanipulasialjabar. Olehkarena
itu, kita akan membuktikan limitnya dengan cara grafik, yakni dengan membuat grafik fungsinya dan mengamati perilaku nilai fungsi itu ketika x mendekati nol dari arah kanan dan arah kiri. Perhatikan apa yang ditampilkan oleh Mathematica: a.
.. sinx llm _ x-+0 X Fungsinya adalah f(x) =
$Y . Kita akan menggambar xx
f(x) =
llnl
dalam selang
-2n < x < 2n. Hasilnya: Plot[Sin[x)/ x, lx, -2Pi,2Pi]1
Gambar 3.7
Gambar 3.7
Dari gambag
tampak bahwa f1x;
=
sinx x
bergerak mendekati 1 ketika x
nol dari arah kanan dan dari arah kiri. Jadi, berdasarkan pendekatan grafik, tampak bahwa:
li* sh*
x-+0 cos x.. llffr b. x-+0 x
X
=
1
1
,
Fungsinya adalah f1x; =
S91I1. x
Plot[(Cos [xl-L\ I x, {x, -2 P i, 2 P i}l
Kita gunakan selang -2n
x< 2n. Hasilnya:
Gambar 3.8
Dari grafik gambar 3.8 tampak bahwa f(x)
=
cosx
-I
x
bergerak mendekati nol
ketikaxbergerakmenujunoidariarahkanandandariarahki@-----/ pendekatan grafik,tampak bahwa: li* tot'-1 = o x-+0 x Contoh 20: Buktikan bahwa
1 cosx lim -
x-+0
x
=0
Penyelesaian:
Substitusi langsung x = 0 tidak akan menghasilkan jawaban. Kita akan membuktikan masalah ini secara aliabar. Fungsinya adalah: f1x; =
!-
J91x
x
.
Kita rasionalkan dengan mengalikan pecahan ini dengan konjungsi
bagianpembilang, yakni
"
l-cos2x
I + cosx
.
Hasilnya adalah
l+cosx
'
1
- cosx -
x
1
-
cosx
x
.
1
+ cosx
l+cosx
ubah pembilang dengan identitas trigonometri : 1 - cos2x = sirLrx ='''""', x(1+ cos x) = sinx (sinx) sin2 x x(l+cosx) x(l+cosx)
Jadi, 1
-
cosx
sinx (sinx)
x
x(1+cosx)
Sehingga, 1 cosx sin x (sin x) ,: -- sin x (sin x) ,. llm _ llm = lrm = x-+0 x x-+0 x(l+cosx) x-+0 x (1+cosx)
.---*-.: I
r,*
tt^ *
\x+o x
x )-[,,/(x-+ol+cosxJ
',l
sin
Untuksukurkiri ambil'faita um fll1*,t, Unfuk suku kanan'lakuktn substi*Ut
langsungx=0 .,. r'
',,,,,,,
'
I
,
:
0 (terbukti) Contoh 21: Hitunglah
a.
tgx hm x-+0 x
rD.[mr. stnx x-+0 r/x
Penyelesaian:
.. C. Irm x-+0 -
sin 4x
Semua soal ini akan kita selesaikan dengan memanfaatkan rumus:
7x
lim
sln x
x
a. x-+0 rm tsx = ,,*[&'l = r,r, sinx x x-+01 x I x-+0xcosx \,,
=tsT[s*) =,*=, Kita dapat 9relnUutctitan jawaban ini dengan pendekatan grafik. Kita gunakan Matherya{cauntuk menggambar grafik f(*) = I dalam interval yang memuat x /nnx
=
O.
Pertama,
/'22
kitapilih interv
at:
-L < * < 1 . Perintah
PlotlTan [xl I x, {x,-P il 2,P il
2ll
dan hasilnya adalah:
-1.5 -1
-0.5
0.5
Gambar 3.9
1
1.5
/
Walaupun apayangditampilkan oleh jejak grafik tidak begitu jelas, kita r/enduga bahwa fungsi f(x) = IEx bergerak menuju 1 saat x--+0. Untuk lebih mg(rpe4elas x-l pandangan pada jejak grafik disekitar x = 0, kita perlu menggamb/r grafik ini dalam interval x dan interval y = f(x) yang lebih sempit lagi. Artin/a kita lakukan "zoom" di area yang di lingkari.
Gambar 3.10
Kita pilih interval -0,5 < x ( 0,5 dan 0,8 < y < 1,2 Dengan Mathematica, perintah dan hasilnya adalah: Show[%, PlotRange-+{G0.10.5},10.8,1.211, Frame->True,Gridlines-+Automatic]
1.15 1.1
0.95 0.9
-0.4
-0.2
0.4
0.2
0
Gambar 3.11
Dariarea "zoom" tampaknyatabahwa lim b.
(sinx fi ) sinx= ,. ,. lllTl: lllTll:.-.--:.l x-+o Jx r-+o I Jx J" )
t8x
x-->0
X
=
1
ri* [,F sinx'] = limJi ri* si^* = J0 .1=0 = x-+0\' x ) x-+0 x->0 x C.
fur f(x) = sin4x li- tit4* - ....? = ubah dahulu fungsi i x+0 7x sin4x 4 sin4x 7x74x\i
i
4
menjadi:
sino
II . ,. sin4x704
sinO
taol-=-.-semngsa: lTxTgaa
l
sin0 4 -| 4 sin4x ltm-.4 sin7 4 .. \' .. Itm = - llm= 7 e-+o 0 - -7 = -7 \ x-+o 7x o-+07 e filrit
Fungsi yang Kontinu Sepotong-Sepoto ng{Pieceuise Coutinuous Functionl
Pada bab dua telah dibahas tentang fungsi kontinu sepotong-sepotong di dalam domainnya. Sekarang kita akan membahas bagaimana menentukan limit fungsi yang
kontinu sepotong-sepotong. Perhatikan contoh-contoh berikut!
di mana: Contoh 22:Diberikan fungsi f(x) yang kontinu sepotong-sepotong l,x2 + z f(x) = j ll_4*
a. 15 rt,l
Hitunglah:
b.
lim x-+0-
jikax>0 jikax0 ,
I
llx- +t jika x (jangan menekan keduanya bersamaan). Mari kita perhatikan beberapa contoh berikut. Contoh 3l-: Hitunglah lim 3x5 + 4x3
* 7x
x-+2
Penyelesaian:
Limit[3 x^5 + 4 x^3 - 7 x, x -> 2 ] (tekan tombol "Shift-Enter" untuk menampilkan hasilnya). Hasilnya adalah 114. Tombol ^ menyatakan pangkat. Perkalian dari 7 dan x ditulis dengan memberi spasi antara 7 dan x yang oleh Mathematica dianggap sebagai perkalian.
Contoh3l: Hitunglah lim (l+2x1t/* I \ x--+o Penyelesaian:
Limit[(1 + 2xl^{Llx), x -> 0l "2
Jadi, hasilnya e2
Contoh 33:
.
Hitung lim
2x+3
Penyelesaian:
Di sini x menuju -co yang di dalam Mathematica ditulis Infinity. Hasilnya: LimitlSqrt[xn2 - x-21I (2x+ 3), x -> -Infinityl
_,I Jadi hasilnya adalah
-l.2
lim- f(x), gunakan perintah: - :.:iik menghitung limit arah kiri, x-+a Limit[f(x), x-+a, Direction-+1] -\dapun limit arah kanan,
lim f(x),
Limit[f (x), x-+a, Direction-+-1] Contoh 34: Hitunglah
gunakan perintah:
x-+a
tanx
a. li* el'6
*-1*
tanx
du.t b. lim "16 *-]
Penyelesaian:
a.
timitlExplTanlxl/LoglCoslxll l, x->Pil2,Direction-> -1I @ tanx Jadi, hasil
b.
limit arah kanan
dari lim* el^(tosx) - *-+ I
timitlExPlTanlxl/LoglCoslxll
7,
x->Pil2,Direction->1I
o
tut'*
jadi, hasil limit arah kiri
M.
dari lim- el^(tosx) -
*)t
0
KONTINUITAS FUNGSI Sebuah fungsi dikatakan kontinu dalam selang a < x < b jika grafik fungsi tersebut
tersambung utuh dan tidak terputus dan tidak memiliki titik diskontinu di dalam selang tersebut.
Kontinuitas Iika x = c ad,alah sebuah titik yang berada di dalam selang a < x c
f(c).
f(x) dikatakan Jikalsalah satu dari ketiga syarat ini tak ierpendi, maka fungsi tidak kontinu aititit< c. Iika f(x) tidak kontinu dititik'c,'naka f(x) dikatakan
diskontinu di
102
i\
c
menampilkan tiga keadaan di mana fungsi f (x) tidak (diskontinu) kontinu di titik X = Cr sebagai lawan (kebalikan) dari syarat kontinuitas yang disebutkan di atas. Secara geometri, gambar 3.14
Gambar 3.14
Contoh 35: Tunjukkan bahwa fungsi f(x) =
2x2
+ 5x- 6 kontinu dititik x =
1
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa f(x) = 2x2 + 5x - 6 kontinu di titik x = 1 (di sini kita ambil c = 1) maka kita harus menguji satu persatu ketiga syarat kontinuitas di atas, yakni.
o
Untuk syarat (a) nilai f(c) harus terdefinisi. Maka f(c) = 111; =2(7)' + 5(1) + 6 =13. Jadi syarat pertama, f(c=t; = 13 terpenuhi (ada).
r
Untuk syarat (b): lim f(x) harus ada. Maka lim f(x)= lim 2x2 +5x+6= x-)c x-+c x+l syarat kedua telah terpenuhi karena nilai lim f(x) ada, yakni 13.
o
Untuk syarat t.)'
lr*
13. Jadi
x-)c f(x) = 116;. Disini kita harus melihat apakah jawaban syarat
(a) sama dengan jawaban syarat (b). Kita teiah memperoleh bahwa jawaban syarat (a) sama dengan jawaban syarat (b), yakni: f(c) = 13 dan lim f(x) = 13. 1u4i, otomatis syarat (c) juga telah terpenuhi, yaknr,
1T
f(x) = 116; = 13. Karena ketiga
syarat kontinuitas ini terpenuhi, maka kita katakan bahwa fungsi f(x) = 2x2 + 5x
-6kontinudititikx=1. Begitulah caranya menguji kontinuitas fungsi f(x) di titik Contoh 35: Tunjukkan apakah fungsi X*)' =
4x+2
c.
kontinu dititik x= -2
Penyelesaian:
Di sini nilai c =
1,
mari kita uji satu per satu ketiga syarat kontinuitas ini:
Svarat (a): f(c
-
*-2+2 = 90
Karena satu dari tiga syarat = trk-terdefinisi. u2_L kontinuitas tak terpenuhi, yakni syarat (a), maka fungsi f(x) = tidak kontinu -2)
=
;
dititik x=
-2. Jadi, kita tak perlu lagi menguji syarat kedua dan ketiga.
Dalam soal ini, perlu diingat bahwa fungsi f(x) diskontinuitas di titik x = -2
sa)a.
=#
hanya mengalami
Adapun pada semua nilai x lainnya selain x = -2,
maka fungsi ini senantiasa kontinu .Jadi,f(x) =
Contoh 37: Diberikan grafik f(x)pada gambar
#
a
kontinu dengan syarat
x*
-2.
- d . Tunjukkan apakah f(x) kontinu
dititik x = c.
Gambar 3.15
Penvelesaian:
Hanya grafik f(x) pada gambar 3.15.d yang kontinu mengalami diskontuitas di x = c
di titik x = c. Selainnya
-* - --t Teorema nilai antara (lntermediate aalue
theorem)
:
Iika f(x) adalah fungsi yang kontinu dalam selang tertutup as , . b dan Madalah sebuah bilangan antara (A) dan f(b), maka akan terdapat paling sedikit satu bilansan c aniaia a dan'brsehtrgga berlaku f(c)=
[,4
I
I I
i
Teorema nilai antara secara implisit mengatakan bahwa setiap fungsi f(x) yang kontinu dalam selang tertutup a ( x < b pasti akan meliputi (mengambil) semua bilangan yang berada antara nilai f(a) dan f(b). Gambar 3.16 mengilustrasikan ide mengenai teorema nilai antara.
Gambar 3.16
.---___
Seperti terlihat pada gamb ar 3.1.6, jika kita pilih satu nilai M antara f(a) dan f(b) pada sumbu y, kemudian kita tarik garis lurus yang sejajar sumbu x dan melewati titik M, maka garis lurus itu akan memotong grafik f(x) pada beberapa titik x = C' C", c3 ...yang semuanya berada dalam selang [a, b]. Disini akan tampak nyata bahr,r'a f(c,) = f(cr)= f(cr)=M.
Contoh 38: Gunakan teorema nilai antara untuk menunjukkan bahwa fungsi
f(x)=x3-8x2+x+42 memiliki akar pada
titik c yang berada di dalam selang -3 < x < 8.
Penyelesaian: Yang dimaksud dengan akar fungsi f(x) = 1a - 8x2 + x + 42adalah nilai x = c antara -3 dan 8 y*g menyebabkan f(x) = 0. Jika c merupakan akar f(x), maka haruslah f(c) - 0. Dengan menggunakan teorema nilai antara, kita ambil M = 0. Di sini kita harus menunjukkan bahwa terdapat bilangan f(c) = 1y1 = 0 yang terletak di antara fC3) dan f(8).
Karena f(x) = 1a - 8x2 + x + 42, maka:
f(-3) = -6s f(8) = 59 Jadi, jelasbahwa -60 =
f(-3) < f(c) = M = 0 < f(8) = 50. Karena M = Oberada di
antara f(-3) dan f(8) maka akan terdapat paling sedikit satu bilangan c antara -3 dan sehingga berlaku f(c) = g.
8
Pertanyaan lain, berapakah nilai akar x = c yang menyebabkan f(x) = x3 - Bx2 + x + 42bernllai nol? Jawabannya.akan kita tampilkan dengan perintah Mathematica:
- 8 x^2 + x + 42== 0,x] x==-2f lx== 3llx==7 Hasilnya adalah x= -2 atau x = 3 atau x=7. Jadi, terdapat 3 akar (tiga nilai selang -3 S x < B yang menyebabkan f(x) = x3- 8x2 + x + 42bernllai nol. Roots[x^3
c) dalam
Selain menggunakan perintah Roots, dapat juga digunakan perintah Solve:
Solve[x^3
- 8 x^2 + x + 42== 0,x]
{{x-+-2},{x--+3},{x+7}}
Hasilnya tetap sama. Untuk lebih meyakinkan, kita gambarkan grafik fungsi
f(x) =
x3
-
8x2 +
x + 42 dalamselang -3 < x < 8. Dengan Mathematica, inilah
hasilnya: Plot[ (x+2X
x-31 (*.-71,{x,-3,8}]
Gambar 3.17
N. MASATAH GARIS SINGGUNG DAN LAJU PERUBAHAN Garis singgung kurva adalah garis lurus yang menyinggung kurva pada satu titik. Garis singgung merupakan masalah geometri yang telah dibahas oleh Archimedes, seorang ilmuwan Yunani kuno (abad 2 SM). Pertanyaan kita adalah: "Apa gunanya kita membicarakan tentang garis singgung?" Nanti kita akan melihat bahwa masalah garis singgung, yang merupakanpersoalan geometri, ternyata dapat ditafsirkan dalam bentuk lain sebagai masalah gerak, kecepatan dan laju perubahan yang merupakan masalah mekanik. Masalah garis singgung ini nanti juga akan memainkan peran penting dalam salah satu cabang utama kalkulus, yakni kalkulus diferensial.
Perhatikan gambar 3.18 berikut ini!
Gambar 3.18 a
Gambar 3.18 b
Gambar 3.18 a memperlihatkan garis L yang menyinggung kurva lingkaran di titik P. Garis L disebut garis singgungkurua. Gambar 3.18 b memperlihatkan garis L yang memotong kurva lingkaran di dua titik P dan Q. Di sini, garis L tidak disebut garis singgung, tetapi garis potong. Perhatikan juga gambar 3.19r.
Gambar 3.19
Garis lurus yang melewati titik P1 dan P, disebut garis singgung kutaa, karena kedua garis ini menyinggung kurva masing-masing di titik P1 dan P.. Sedangkan garis yang melewati titik P2 dan P, tidak disebut garis singgung kurva, sebab kedua garis ini memotong kurva. Secara geometri akan tampak jelas mana garis yang menyinggung kurva dan mana garis yang memotong kurva. Setelah kita memahami pengertian garis singgung kurva, sekarang kita akan
berusaha untuk menentukan nilai kemiringan (gradien) garis singgung kurva tersebut. Pada bab dua kita telah membahas bagaimana menentukan gradien sebuah
iaris lurus. Jika diketahui dua titik (x, , 1z,) dan (*, ,yr) yang terletak pada garis :ersebut, maka gradien garis itu adalah m:
,
=9 Ax -y2-yt x2-xt
... (t)
Dari rumus (1), untuk dapat menentukan gradien sebuah garis lurus, kita membutuhkan minimal dua titik yang terletak pada garis lurus itu. Lalu bagaimana cara menentukan gradien garis singgung, karena di sini kita hanya memiliki satu titik saja yang terletak pada garis itu yakni titik singgung. Perhatikan gambar 3.201
S ((x + h), f(x + h))
Gambar 3.20
Titik
koordinat (x, f(x)) terletak pada kurva y = f(x). Garis L adalah garis singggung kurva f(x) di titik R, sedangkan h adalah jarak horisontal dari titik R dan S yang merupakan lebar selang antara x dan (x + h). h disebut juga perubahan dalam x. Untuk menentukan gradien garis L, yakni mL, kita membutuhkan dua titik yang terletak pada L, tetapi kenyataannnya titik R merupakan satu-satunya titik terletak pada garis L. Di sini, rumus (1) tidak dapat dipakai untuk untuk menentukan gradien garis singgung L. Mengapa? Karena rumus (1) menghendaki dua titik. Agar gradien garis L dapat dihitung, kita membutuhkan garis lurus lainnya, yakni garis RS. Garis RS adalah garis yang memotong kurva y = f(x) di dua titik yang terletak pada kurva, yakni titik R dan titik S. Koordinat titik R dan S berturut-turut adalah: R(x, f(x)) dan S((x+h), f(x+h)). Gradien garis RS adalah: R dengan
mRS
=
f(x+h)-f(x)
(x+h)-x
_
f(x+h)-f(x) h
...(2)
Jika kita buat posisi titik R tetap, sementara posisi titik S bergerak di sepanjang kurva f(x) ke arah S, S, S, dan seterusnya semakin mendekati titik R, maka gradien garis RS akan terus mengalami perubahan, sehingga ketika titik S berada pada posisi S" yang sangat dekat dengan titik & maka nilai gradien garis RS akan sama (secara
Iimit) dengan gradien garis L (yakni m.). Ketika titik S bergerak mendekati titik R maka lebar h akan semakin kecil. Jadi ketika S+R maka lebar h--+0. Secara limit, ketika h-+0, garis RS akan semakin mendekati garis L. Pada posisi di mana titik Ssangat dekat dengan titik R maka gradien mo, pada rumus (2) akan menjadi:
m-,(b= lim h-+o
f(x+h)-f(x)
Pada situasi seperti ini, gradien m* akan mendekati gradien m., sehingga nilai gradien garis singgung L yang semula tidak dapat dihitung, pada akhirnya dapat diketahui dengan cara hampiran, menggunakan gradien garis RS ketika h-+0. Jadi :
ffio"
= lim
f(x+h)-f(x)
h-+0
Gradien
=mL
--...----l G
aris Singgung Kuro a
]ika diberikan kunra kontinu y = f(x),'66Lu gradien garis smggung L 'Da81 kurva f{x) di titik P(x , (x)) adalah: .t....
m, = ,. [m
f(x+h)-f(x)... (J/ ,^\
h-+o
'
!
_-
h
dengan syarat lirrrit ter$ebut
ada
,
Contoh 39: Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x2 di titik P(-2,4) Penyelesaian:
Titik singgungnya adalah P(-2,4). Substitusikan nilai x = -2 ke dalam rumus m-
"
lim = h--o
(3):
f(-2+h)-f(-2)
Dengan mengingat kembali persamaan kurvanya adalah f(x) = az, kita selesaikan
limit ini.
m- = lim f(-2+h)-f(-2) h h-o " = lim
h-+0
= lim
h-+0
(-2+h)2 -(-D2 h
4-+h+l'? -4
,. -4h+h' ,. h(-4+h) h-+o h h-+o h = lim(-a+h) - -4 h-+0 Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x2 di titik P(-2,4) adalah -4. Gambar 3.21. menunjukkan situasi geometri garis lurus yang menyinggung kurva f(x) = 1z di titik (-2,4). Gradien garis singgungnya sama dengan- 4. v
\
f(x)=x'
15
titik si ggung
10
(
t,4)
\
-5
-5-4-3-2-101 Gambar 3.21 Kurva f(x) = x2 dan garis singgungnya di (-2,4)
Contoh 40: (Gradien garis singgung kurva f(x) di sebarang titik): tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 1z di sebarang titik P(x, y) Penyelesaian:
Contoh 40 menggunakan kurva yang sama dengan contoh 39. Tetapi tujuan kita di sini lebih umum dari contoh 39, yakni menentukan gradien garis singgung kurva tersebut di sebarang titik P(x, y). Dengan rumus (3) diperoleh:
,. f(x+h)-f(x) mL =iTt h lim = h-+0 lim h-+0
lim
h-+0
(x+h)2 h x2
-
x2
+2xh+h2 h
2xh+h2
h
lim (2x+h) =
h-+0
p,.irr
-
*2
= llm
h-+o
2x
h(2x+h) h
Jadi gradien garis singgung dari kurva f(x) = x2 di sebarang titik p(; 2x. Jawaban contoh 40 memberikan formula yang lebih umum dari jaw; 39. Dengan begitu, kita bisa menentukan gradien garis singgung kurv; titik manapun. Misalnya, jikakita gunakan formula ini untuk menyelesarr"*- __ 39, maka gradien garis singgung di titik P(-2, 4) adalah 2x = 2(-2) = -4 yang haslln-,--ra sama sePerti jawaban contoh 39. Jika diberikan titik lainnya seperti P(10, 100), maka gradien f(x) = 1z di titik ini adalah adalah 2x = 2(10) = 20, demikian seterusnya.
O.
LAJU PERUBAHAN
Satu dari sekian banyak aplikasi penting dari kalkulus adalah menentukan bagaimana satu variabel mengalami perubahan dalamhubungannya denganvariabei lain. Misalnya, seorang ahli marketing ingin mengetahui bagaimana keuntungan (variabel-1: keuntungan) perusahaannya mengalami perubahan (meningkat) dalam hubungannya dengan biay a iklan (vari ab er-2 : biay a iklan) yang dikeluarkan. Pembahasan mengenai laju perubahan berhubungan dengan masalah kecepatan, yakni rasio perubahan dari variabel tak-bebas suatu fungsi terhadap variabel be-
basnya. Di sini kita akan memusatkan perhatian pada dua macam laju perubahan: laiu perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat. Jenis pertama berhubungan dengan perubahan variabel bebas dalam selang yang cukup lebar, sedangkan jenis kedua berhubungan dengan perubahan variabel bebas dalam selang yang sangat sempit.
Definisi laiu perubahan rata-rata Jika y = f(x) maka laju perubahan rata-rata y terhadap x dinyatakan oleh
rasio
3Y,,; Vr -Vr Ax
x2-xl
Perhatikan bahwa: x, dan yr = nilai awal x, dan yz = nilai akhir
Perhatikan gambar 3.22. Jika titik P(x,, y,) bergerak di sepanjang kurva f(x) ke titik Q(xr,yr), maka laju perubahan rata-rata fungsi f(x) dari p ke Q adalah
yz-yt _ f(xz)-f(xr)=
x2-xt
x1-xl
Ay Ax
., :,:
ttr
xr) - f(x,) = Ax
Xr-X,=A1 Gambar 3.22
Dari rumus
di atas, laju perubahan rata-rata dapat diartikan
sebagai rasio lain, variabel bebas. Di sisi pada bab dua bebas terhadap perubahan variabel tak kita telah mempelajari tentang gradien garis lurus. Kita melihat bahwa rumus laju perubahan rata-rata ini adalah sama dengan rumus gradien garis lurus. Jika y adalah variabel "jarak tempuh" dan x adalah variabel "waktu" , maka rumus di atas akan bermakna kecepatan rata-rata, sehingga laju perubahan rata-rata dapat diartikan sebagai kecepatan rata-rata.
Contoh 41: Sebuah tangki air yang berisi 1000 liter air memiliki keran penutup pada bagian dasar lantainya. Pada jam 12.00, keran penutupnya dibuka sehingga air mengalir keluar dari tangki. Tepat pada jam 12.15, keran penutupnya ditutup kembali dan air yang tersisa di dalam tangki 750liter. Hitunglah laju perubahan ratarata volume air dalam tangki tersebut selama keran penutupnya dibuka. Penyelesaian:
Dalam kasus ini ada dua variabel yang berhubungan yakni waktu t (menit) dan volume air V (liter) di mana V merupakan fungsi waktu (Mengapa? Karena perubahan volume air dalam tangki tergantung pada berapa lama keran penutup dibuka). Jadi, V = f(t). V, (volume awal di jam 12.00) = 1000liter V, (volume akhir L5 menit kemudian) = 750liter x, (waktu awal) = 0 (jam 12 dianggap sebagai menit ke-0)
x, (waktu akhir) = 15 (jam 12.15 dianggap sebagai menit ke-15) Maka laju perubahan rata-rata volume air selama 15 menit (dari jam 12 hingga 12.15) adalah
vz-Y x2-xl
=
750liter-l000liter -250liter --::jj:::: = -50liter/menit. l5menit- 0 menit= l5menit
Kesimpulan: dalam selang 15 menit air dalam tangki berkurang dengan laju (kecepatan) rata-rata 50 liter per menit. Kita dapat mengartikan laju perubahan rata-rata sebagai kecepatan rata-rata, Tanda negatif pada hasil perhitungan artinya 'berkurang'.
Contoh 42:Jika diberikan fungsi kontinu y = f(x) = x2, hitunglah besar laju perubahan rata-rata y terhadap x ketika:
a. b.
xberubahdari2ke6 xberubahdaril0keS
Penyelesaian:
a.
Ketika Xr= 2 maka yr= f(2) = 22 = 4 Ketika xr= 6 maka Yr= f(6) = 62 = 36 Jadi laju perubahan rata-ratanya adalah
'
Yz-Yt
4-2 = *2 x2-xr=':-:
=
rc
Kita tidak memberi satuan apapun pada hasil tersebut karena pada soal ini tidak ada pernyataan mengenai satuan y dan x.
b.
Ketika xr = 10 maka y, = f(10) =
1"02
= 100
KetikaXr= 8 makayr=f (8) =82 =64 Jadi,laju perubahan rata-ratanya adalah
' Yz-Yr = ul-]:o = 16 = tg x2-xt 8-10 -2
Laju Perubahan Sesaat Jika diberikan sebuah fungsi kontinu y = f(x), maka yang dinamakan dengan laju perubahan sesaat adalah limit dari rasio perubahan y terhadap perubahan x di mana besarnya perubahan x adalah sangat kecil. Misalnya, nilai awal variabel bebas adalah x dan nilai akhirnya adalah (x + h) dengan h adalah bilangan yang sangat kecil. Jika diberikan nilai awal x = 5 dan ia mendapat tambahan h yang sangat kecil, misalnya h = 0,00001, maka nilai akhir x adalah (x + h), yakni (5 + 0,00001) = 5,00001. Di sini kita katakan x berubah dengan pertambahan yang sangat kecil, sebesar h = 0,00001. Namun, seberapa pun kecilnya perubahan variabel bebas x, maka variabel tak-bebas y iuga akan mengalami perubahan sebagai dampak berubahnya x. Dalam masalah yang berkaitan dengan gerak dan kecepatan, laju perubahan sesaat sering kali ditafsirkan sebagai kecepatan sesaat.
Definisi laju perubahan sesaat ! 1ika y = f(x), maka laju perubahan sesaat dinyatakan oleh:
y
terhadap x pada saat
x = Xo
f(ro +h)-f(xo) ,,_^ A\ ... t(+) IIm -h h-+0 dengan syarat limitrya ada
Definisi laju perubahan sesaat yang dinyatakan oleh rumus (4) adalah sama dengan definisi gradien garis singgung yang dinyatakan oleh rumus (3). Kita telah melihat ternyata masalah garis singgung merupakan masalah yang identik dengan laju perubahan sesaat (kecepatan sesaat). Mari kita perhatikan contoh 43 dan memberi perhatian khusus pada bagian c. Contoh 43: Jarak y (meter) yang ditempuh oleh sebuah benda yang bergerak jatuh bebas dari ketinggian tertentu di atas permukaan tanah x detik setelah dijatuhkan dinyatakan oleh rumus V = 10 m/detik2.
lS*'
di mana g adalah konstanta gravitasi yang besarnya
Tentukanlah:
a. b.
jarak yang ditempuh benda itu 5 detik setelah dijatuhkan;
c.
kecepatan benda itu pada saat x = 7 detik.
kecepatan rata-rata benda tersebut dalam selang waktu x = 3 detik hingga x= 7 detik;
Penyelesaian:
Di sini, jarak tempuh y benda itu merupakan fungsi waktu x yang dinyatakan oleh persamaan gerak V = \Z*t . a. Untuk x = 5 detik, makl jarak yang ditempuh benda itu adalah:
7'tl
t = )2"' = ,tto)s2 = 125 meter
b.
Untuk X, = 3 detik, maka yr= (1/2) (10)
3'z
= 45 meter
Untuk xr=7 detik, maka yr= (1/2) (7q7'z = 245 meter Sehingga, kecepatan rata-rata benda itu dalam selang 3 hingga 7 detik ketika ia dijatuhkan adalah:
Ly _yz-yr
Ax x2-xl
_
245rn-45rn 7 detik-3 detik
2oom - 4detik = 5o m/detik
c.
Soal ini merupakan masalah laju perubahan sesaat. Kita diminta menentukan kecepatan jatuh benda itu pada saat x = 7 detik. Sekilas hal ini tidak mungkin dihitung, karena kita hanya memiliki data satu nilai waktu X, = 7 detik dan sahr posisi benda yr= 245 meter. Artinya, kita membutuhkan data posisi benda lebih dari satu waktu yakni n. Untuk menyelesaikan masalah kecepatan sesaat iru yang perlu dilakukan adalah menghampirinya dengan pendekatan limit, vakni menentukan nilai x2yang dipandang cukup dekat dengan Xr=7 detik. Misalnr-a kita ambil X, = 8 detik, sehingga dalam selang waktu 7 < x < 8 diperoleh kecepatan rata-rata:
Yz-Yt x2-xr
_ 320-245
8-7
=75 m/det
Kecepatan 75 m/ detlk masih merupakan kecepatan rata-rata dalam selang 7 < x < 8 dan belum dapat dikatakan sebagai kecepatan sesaat di x = 7 detik. Mengapa ? Karena selang waktu x yang kita gunakan, yakni 7 < x < 8, masih terlaiu lebar untuk dikatakan cukup dekat ke x = 7 detik. Agar kecepatan rata-rata berubah menjadi kecepatan sesaat, maka kita perlu membuat selang waktu x yang lebih sempit lagi sehingga selang tersebut semakin mendekati x = 7 detik. Berikut ini kita berikan tabel selang x yang terus bergerak menyempit menuju nilai x = 7 bersamaan dengan nilai kecepatan benda pada tiap interval. No 1.
2. 3.
4. 5. 6.
Selang waktu x (detik)
7dan) Range: disebut daerah hasil, yaitu himpunan bilangan real yang memuat output f(x) dari fungsi f Selang: himpunan bilangan x yang dibatasi oleh sebuah atau dua buah bilangan tertentu yang berperan sebagai batas bawah dan atau batas atas himpunan bilanagn tersebut, seperti:x < a ;x> a;xf'a;x3 a; af,xf,b ,dimana a danb adalah bilangan yang berperan sebagai batas bagi himpunan bilangan x Teorema nilai antara (intermediate value theorem): teorema ini secara implisit mengatakan bahwa setiap fungsi f(x) yang kontinu dalam selang tertutup f,xf,b pasti akan meliputi/mengambil bilangan yang berad a antara nilai f(a) dan f(b). Trigonometri: cabang matematik a yarrg membahas hubungan antara sudut dan sisi-sisi pada sebuah segitiga.
Turunan: turunan merupakan substansi utama dalam kalkulus diferensialTurunan fungsi f(x) di definisikan dengan limit sebagrt
r(x+h]-f(x) lrS
. Jitca
limit ini ada,makahasil limit ini dinamakan turunan fungsi f(x). Variabel: sesuatu besaran yang nilainya dapat berubah, ia dapat menerima nilai yang berbeda seperti biaya, umur, suhu udara, konsumsi, investasi dan sebagainya. Variabel biasa dinyatakan dengan sebuah simbol seperti x, Y,P dan sebagainya. Istilah lain untuk variabel adalah perubah. Konstanta adalah kebalikan/lawan dari variabel yaitu sesuatu yang nilainya tetap (tidak berubah dan tidak bisa menerima nilai yang berbeda). Variabel bebas dan variabet tak-bebas: pada fungsi Y = f(x) maka x disebut variabel bebas dari fungsi f karena nilainya dapat ditentukan secara bebas di dalam domainnya untuk kemudia menghasilkan nilai fungsi f yakni y atau f(x). variabel bebas x disebut juga variabel input. Sedangkan y atau f(x) dinamakan variabel tak-bebas dari fungsi f. Dinamakan variabel tak-bebas karena kita tidak dapat menentukan/mengontrol nilainya. Variabel tak-bebas y atau f(x) disebut juga variabel output. Nilai y atau f(x) tidak dapat ditentukan secara bebas, tetapi tergantung kepada nilai input/ variabel bebas x yang diberikan pada fungsi
f
Tentang Penulis
Muhammad Razali, S.Si., M.Si. Lahir di Kutacane, Aceh, pada tahun 1970. Menyelesaikan pendidikan S-1 dari |urusan Matematika, IJniversitas Brawijaya, Maiang pada tahun 1996 dan lulus dari Program Magister Matematika (konsentrasi Optimisasi dan Riset Operasi) Universitas Sumatera Utara, Medan, pada tahun 20L0. Setelah lulus S-1, bekerja di perusahaan riset pemasaran di Jakarta hingga tahun 1998. Memulai karier sebagai staf pengajar Matematika pada Institut Teknologi Medan (ITM) pada tahun 1998. Pada tahun 2005, beliau menjadi dosen Kopertis Wilayah I Sumut-NAD dengan penempatan pada Institut Teknologi Medan. Hingga saat ini, beliau aktif mengajar mata kuliah Knlkulus, Aljabar Linier, Matematika Teknik, Teori Probabilitas dan Statistika,, serta Metode Numerik di Jurusan Teknik Elektro ITM dan pada jurusan lainnya di beberapa kampus. Beliau juga aktif menulis pada jurnal ilmiah berkala. Buku lain yang pernah ditulisnya adalah Cara Mudah Menyelesaiknn Matematikn dengan Mathematica, Penerbit Andi, Yogyakarta.
Drs. Mahmud N. Siregar. Menyelesaikan pendidikan kesarjanaannya dari Jurusan Matematika, Universitas Sumatera Utara, pada tahun 1985. Beliau adalah dosen PNS Kopertis Wilayah I DPK pada Sekolah Tinggi Teknik Harapan (STTH) Medan, mengajar mata kuliah Knlkulus dan Matematika Teknik pada Jurusan Teknik Elektro STTH dan mengajar mata kuliah Matematikn Diskrit pada Jurusan Teknik Informatika STTH.
uqrur L-U. Ivleoan Pada tahun 1971' Lulus s-1 2008,luius dari Program dari ]urusan Matematit a usu pada tahun l996.Padatahun (USU), Medan' Saat ini, beliau Magister Matematika, Universitas Sumatera Utara Negeri Medan (Unimed) adalah staf pengalar pada Jurusan Matematika, Universitas d'anBahasa Pemrograman Pascal' dan mengajar mata kuliah Kalkulus,Teori Bilangan,
Faridawaty
LIK
I,,T I !3i!(!;:t, i '+r1r'it i:rl
