5-7. Variabel Random, Peluang Dan Fungsi Distribusi [PDF]

Citation preview

Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



VARIABEL RANDOM, PELUANG DAN FUNGSI DISTRIBUSI Pertemuan 5-7



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi dalam bab ini, mahasiswa dapat 1. menjelaskan variabel random (diskrit dan kontinu) 2. menjelaskan fungsi peluang, fungsi kepadatan peluang dan fungsi distribusi 3. menjelaskan distribusi bersama dan kebebasan dua variabel random 4. menghitung distribusi marginal 5. menghitung peluang pada variabel random diskrit dan kontinu



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Definisi Variabel Random • Variabel Random (disimbolkan dengan huruf X):



Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel. X(e) = x untuk setiap e  S (Ruang Sampel) dan x  R (bilangan Real). • Variabel Random Diskrit: Bila suatu ruang sampel mengandung jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu bariasan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi banyaknya sama dengan bilangan cacah



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Contoh Menguji calon mahasiswa baru, hasilnya lulus (L) dan tidak lulus (G). Jika terdapat 3 calon maka • Ruang sampel S = {LLL, LLG, LGL, GLL, LGG, GLG, GGL, GGG} • Variabel random X yaitu banyaknya calon yang lulus, maka • X = {0, 1, 2, 3}



X Ruang Sampel



LLL LLG LGL GLL LGG GLG GGL GGG



Bilangan Real



0 1 2 3



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Variabel Random Kontinu • Variabel Random Kontinu: Bila suatu ruang sampel



mengandung jumlah titik sampel yang tak-terhingga yang sama dengan banyaknya titik di garis bilangan (bilangan real). • • Contoh 3.2. • Mengukur berat tinggi badan calon mahasiswa baru,



maka hasil pengukuran untuk seorang calon dapat diidentifikasi sebagai berikut • Ruang sampel : S = {x | x > 0} banyaknya anggota S adalah tak terhingga • Variabel random X adalah tinggi mahasiswa • X = {x | x >0} banyaknya anggota X adalah tak terhingga



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Fungsi Peluang Diskrit dan Fungsi Distribusi • Suatu variabel random X yang diskrit yang mendapat



nilai x1, x2, …,xn . • Selanjutnya didefinisikan fungsi P(x1), P(x2),…, P(xn) dengan P(xi) = P(X=xi) untuk semua i. Fungsi P(x) disebut suatu fungsi peluang (fungsi probabilitas) yang seringkali hanya 



disebut peluang jika dan hanya jika P(x) ≥ 0 untuk semua x dan



 P( x )  1 i 0



• fungsi distribusinya (fungsi distribusi kumulatif)



didefinisikan sebagai F(X=x)=P(X≤x), untuk semua x



i



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



fungsi distribusinya • fungsi distribusinya (disebut juga fungsi distribusi kumulatif)



didefinisikan sebagai F(X=x)=P(X≤x), untuk semua x • F(X=x) cukup ditulis dengan F(x) yang mempunyai sifat • F(X) kontinu dari kanan • F(X=-)=0 dan F(X=)=1 • Jika varibel random X telah diurutkan ( xi > xi-1) maka • P(X=xi) = F(xi) – F(xi-1) Contoh • Bila sepasang dadu dilemparkan, maka • Ruang sampelnya adalah S ={(1;1),(1;2), …..,(6;6)} • Variabel random X adalah jumlah bilangan pada muka yang tampak, X={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} • Menghitung P(X) P(X) = n(X)/n(S)



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Contoh • Menguji calon mahasiswa baru, hasilnya lulus (L) dan



tidak lulus (G). Jika terdapat 3 calon maka Ruang sampelnya adalah S = {LLL, LLG, LGL, GLL, LGG, GLG, GGL, GGG} • Variabel random X yaitu banyaknya calon yang lulus, maka X = {0, 1, 2, 3



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Latihan



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Fungsi Kepadatan/Densitas Peluang



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Contoh



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Mengitung peluang



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Distribusi Bersama dan Kebebasan pada Variabel Random • Bila X =(X1,…,Xn) variabel random berdimensi n, fungsi distribusi



bersama /gabungannya didefinisikan sebagai F (x1,…,xn)= P(X1≤x1,…..,Xn≤xn) • Distribusi gabungan setiap himpunan bagian dari dari variabel random X1,…,Xn disebut fungsi distribusi marginal. F (x1,…,xn-1) adalah distribusi marginal dari F(x1,…,xn)



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Distribusi Campuran



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Fungsi Khusus



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII



Jaka NUgraha,Program Studi Statisktika UII