Nilai Harapan Variabel Random Diskrit [PDF]

Citation preview

PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Variabel acak digunakan untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara sederhana. Dengan kata lain, variabel acak dapat didefinisikan sebagai nilai numerik dari hasil percobaan, biasanya menghubungkan seeiap kemungkinan hasil percobaan dengan nilai-nilai numeriknya karena nilai numerik tersebut bersifat diskrit yaiti hasil perhitungan dan kontinu yaitu hasil pengukuran sehingga variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan kontinu. Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu yang berupa bilangan bulat dan adli, bukan pecahan. Apabila digambarkan pada garis interval, variabel aca diskrit akan berupa sederetan titik yang terpisah. Contoh: 1. Banyaknya pemunculan sisi angka dan ssi muka pada pelemparan sebuah uang logam (koin). 2. Jumlah anak dalam sebuah keluarga. B. RUMUSAN MASALAH Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini, antara lain sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan variable random diskrit secara umum? 2. Apa yang dimaksud dengan variable random diskrit dalam matematika? 3. Apa sajakah sifat-sifat variabel random diskrit? 4. Bagaimanakah penerapannya dalam soal? C. TUJUAN Adapun tujuan dalam pembuatan makalah ini, antara lain sebagai berikut: 1. Dapat memahami apa itu variabel random diskrit.



2. Dapat mengidentifikasikan sifat-sifat variabel random diskrit. 3. Dapat memahami penerapan variabel random diskrit dalam soal maupun kegidupan sehari-hari.



BAB II PEMBAHASAN NILAI HARAPAN VARIABEL RANDOM DISKRIT 1. DEFINISI A. Definisi Secara Umum Variabel acak (random) dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel random biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut bisa bersifat diskrit (hasil hitungan) dan bersifat kontinu (hasil pengukuran), maka variabel acak dikelompokkan menjadi dua yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu. Pada makalah ini akan membahas mengenai salah satu variabel acak tersebut, yaitu variabel acak diskrit atau bisa disebut variabel random diskrit. Variabel acak diskrit merupakan bilangan bulat yang tidak bisa dalam bentuk pecahan. Variabel ini hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah, yang pada umumnya dihasilkan dari perhitungan suatu objek. Contohnya jika ada 100 karyawan, maka orang yang tidak masuk kerja pada hari senin dapat mengambil nilai-nilai 0,1,2,3, ….,100. Nilai harapan merupakan rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil, dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil (outcome). Nilai harapan diperoleh dengan menyatakan setiap kemungkinan hasil x dengan probabilitasnya P ( X ) dan kemudian menjumlahkan hasil perkalian tersebut. B. Definisi dalam Matematika Definisi 1 Misal X merupakan variabel random dengan pdf f (x) sehingga



∑|x| f (x) ada x



untuk X diskrit, maka Nilai Harapan dari X ditulis dengan E( x ) dapat didefinisikan sebagai berikut; E ( x )=∑ xf (x ) x



untuk X diskrit



Contoh: X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama 1 minggu f ( X ) = merupakan probabilitas terjadinya X =x. x f(x)



0 0,125



1 0,375



2 0,375



3 0,125



Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan! Penyelesaian: 3



E ( X ) =∑ xf ( x ) 0



¿ 0. f ( 0 ) +1. f ( 1 ) +2. f ( 2 ) +3. f ( 3 ) ¿ 0 ( 0,125 ) +1 ( 0,375 ) +2 ( 0,375 )+ 3 ( 0,125 ) ¿ 0+0,375+ 0,75+0,375 ¿ 1,5 Jadi, rata-rata dapat diharapkan bahwa pesanan yang masuk selama 1 minggu adalah sebanyak 1,5 satuan. 2. SIFAT-SIFAT Teorema 1 Misal peubah acak X dan misal Y =u (x) adalah sebuah fungsi dari variabel random X , maka; E ( Y )=∑ u ( x ) f (x ) untuk X adalah peubah acak diskrit x



Teorema 2 Misal peubah acak X mempunyai pdf f (x), serta k dan l adalah konstanta, g( x ) dan h( x ) adalah fungsi-fungsi bernilai real yang domainnya berisi nilai-nilai yang mungkin dari X , maka;



E [ k . g ( x ) +l .h ( x ) ]=k . E [ g ( x ) ] +l . E [ h ( x ) ]



Contoh: Jika diketahui f ( x ) merupakan fungsi peluang dari variabel random X yang didefinisikan sebagai berikut: x f(x)



1 1 4



2 1 4



3 1 4



Tentukan: a) E ( X ) b) E ( X +2 ) c) E ( X 2) Penyelesaian: 4



a) E ( X ) =∑ xf ( x) 0



¿ 1. f ( 1 )+ 2. f ( 2 )+ 3. f (3 )+ 4. f (4) ¿1



( 14 )+2( 14 )+3 ( 14 )+ 4.( 14 )



¿



10 4



¿



5 2



b) E( X +2)  cara 1 4



E ( X +2 ) =∑ ( x+ 2 ) f ( x) 1



1 1 1 1 ¿ ( 1+2 ) + ( 2+ 2 ) + (3+ 2 ) + ( 4+2 ) 4 4 4 4 ¿



18 4



4 1 4



¿



9 2



 cara 2 E ( X +2 ) =E ( X ) +2 5 9 ¿ +2= 2 2 4



2 2 c) E ( X ) =∑ x f ( x) 0



¿ 12 ¿



( 14 )+2 ( 14 )+ 3 ( 14 )+4 ( 14 ) 2



2



2



30 4 ¿



15 2



Perluasan teorema 1 Teorema 3 Jika



X =( X 1 , X 2 , … , X k )



merupakan



pdf



bersama



f (x 1 , x 2 , … . , x k )



dan



jika



Y =u ( X 1 , X 2 ,… . , X k ) adalah fungsi dalam X maka E x [u ( X 1 , X 2 , … . , X K ) ] dimana E [ u ( X 1 , X 2 , … ., X k ) ]=∑ …. ∑ u [( x 1 , x 2 , … ., x k ) f ( x 1 , x 2 ,… . , x k ) ] jika X diskrit x1



xk



Teorema 4 Misal X 1 dan X 2 dua peubah acak diskrit dengan pdf bersama f (x 1 , x 2), maka; E ( X 1 + X 2 )=E ( X 1) + E ( X 2 ) Teorema 5 Jika X dan Y adalah peubah acak yang bebas stokastik, serta g ( x ) dan h ( y ) adalah sebuah fungsi, maka E [ g ( X ) h (Y ) ] =E [ g ( X ) ] . E [h ( Y ) ]