Nilai Harapan [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata hitung yang biasa disebut “harapan matematis” (nilai harapan) dan variansi. Harapan matematis ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas. Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal. Misalnya, X dan Y perubah acak, maka nilai harapan dinyatakan , Variansi dari X dan Ydinyatakan , dan kovariansi dari perubah acak X dan Y dinyatakan.



1



BAB II PEMBAHASAN A. Nilai Harapan Dari Peubah Acak Rata-rata (𝜇) dari distribusi probabilitas adalah nilai harapan dari variabel acaknya. Nilai variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil (outcome). Nilai harapan diperoleh dengan menyatakan setiap kemungkinan hasil x dengan probabilitas P(X) dan kemungkinan menjumlahkan hasilperkalian tersebut. Nilai harapan dari variabel acak diskrit X yang dinotasikan dengan E(X) dirumuskan sebagai berikut. E(X) = 𝜇𝑥 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑥1 𝑝(𝑥𝑖 ) = 𝑥1 𝑝(𝑥1 ) + 𝑥2 𝑝(𝑥2 ) + … + 𝑥𝑁 𝑝(𝑥𝑁 ) Dimana : 𝑥𝑖 = Nilai ke-i dari variabel acak X P(𝑥𝑖 ) = Probabilitas terjadinya 𝑥𝑖 1 Aturan-aturan dalam menghitung nilai harapan 1. E(𝑘)= 𝑘, 𝑘 = bilagan konsta 2. Varians (𝑘) = 0 dan varians (𝑘) = 𝜎 2 3. E(𝑘𝑋) = 𝑘 𝐸(𝑋) 4. Varians (𝑘𝑋) = 𝑘 2 𝜎 2 5. 𝐸(𝑋 ± 𝑌) = 𝐸(𝑋) ± 𝐸(𝑌) E(∑ 𝑋𝑖 ) = ∑ 𝐸(𝑋𝑖 ),



𝑖 = 1,2 … , 𝑛



E(∑ 𝑘𝑋𝑖 𝑋𝑖 ) = ∑ 𝑘𝑋𝑖 E(𝑋𝑖 ) 𝑖 = 1,2 … , 𝑛. 6. 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) 𝐸(𝑌), kalau X dan Y merupakan variabel bebas 𝐸(𝑋1 𝑋2 … 𝑋𝑛 ) = 𝐸(𝑋1 ) 𝐸(𝑋2 ) … 𝐸(𝑋𝑛 ), kalau 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋𝑛 merupakan variabel bebas 7. Varian (𝑋 ± 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦2 , kalau X dan Y variabel bebas 2 Varian (∑ 𝑋𝑖 ) = ∑ 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖 ) = ∑ 𝜎𝑥𝑖 , kalau 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋𝑛 merupakan variabel



bebas2 1 2



J.Supranto,Statistik Teori Dan Aplikasi (Jakarta:Erlangga,2009),hal.14-15 J.Supranto,Statistik Teori Dan Aplikasi (Jakarta:Erlangga,1988),hal.64



2



Contoh  X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama satu minggu. P(X) = probabilitas terjadinya X=x X



0



1



2



3



p(x)



0,125



0,375



0,375



0,125



Hitunglah rata-rata banyakya pesanan atau pesanan yang diharapkan. Penyelesaian : E(X) = 𝜇𝑥 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑥1 𝑝(𝑥𝑖 ) = (0) p(0) + (1) p(1) + (2) p(2) + (3) p(3) = 0(0,125) + 1(0,375) + 2(0,375) + 3(0,125) = 1,5 Jadi, secara rata-rata dapat diharapkan bahwa pesanan yang masuk selama satu minggu adalah sebanyak 1,5 satuan. Nilai harapan E(X) mempunyai pengertian teoritis, karena menyangkut nilai probabilitas yang secara teoritis harus dihitung berdasarkan limit frekuensi relatif kalau n menuju tak hingga (𝑛 → ∞). 𝑝(𝑥𝑖 ) merupakan frekuensi relatif yang diharapkan untuk jumlah ulangan eksperimen yang tak hingga banyaknya. Selain rata-rata, ukuran statistik yang lain adalah varian dan standar deviasi. Varian (𝜎 2 ) dari variabel acak diskrit didefinisikan sebagai berikut. Varian (𝜎 2 ) dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisih antara setiap kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangannya adalah probabilitas dari masing-masing hasil tersebut. 𝜎 2 = 𝐸(𝑋 − 𝜇)2 𝑝(𝑥𝑖 ) Dimana: 𝑥𝑖 = nilai ke-i dari variabel acak X 𝑝(𝑥𝑖 ) = probabilitas terjadinya 𝑥𝑖 Standar deviasi 𝜎 diperoleh dengan menarik akar 𝜎 2 . 𝜎 = √𝜎 2



Contoh  Berdasarkan contoh diatas hitunglah varians dan deviasinya. Penyelesaian: Dari contoh diatas diperoleh E(X) = 𝜇 = 1,5



3



𝜎 2 = 𝐸(𝑥 − 𝜇)2 = E(𝑥– 1,5)2 =E(𝑥𝑖− 1,5)2 𝑝(𝑥𝑖 ) = (2,25)(0,125) + (0,25)(0,375) + (0,25)(0,375) + (2,25)(0,125) =0,75 𝜎 = √0,75 =0,866 Karena simpangan baku 𝜎 = 0,865, ini berarti bahwa rata-rata jarak nilai X terhadap 𝜇 = 𝐸(𝑋) adalah sebesar 0, 865. 3



B. VARIAN Kalau kita mempunyai dua variabel yaitu X dan Y, maka:  E(X) = 𝜇𝑥 , 𝐸(𝑦) = 𝜇𝑦  Var (X) = 𝜎𝑦2 = 𝐸 {𝑋 − 𝐸(𝑋)}2 = 𝐸(𝑋 − 𝜇𝑥 )2 = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝜇𝑥 2  Var (𝑌) = 𝜎𝑦2 = 𝐸 {𝑌 − 𝐸(𝑌)}2 = 𝐸(𝑌 − 𝜇𝑥 )2 = 𝐸(𝑌 2 ) − 𝜇𝑦2  Cov (𝑋, 𝑌) = 𝐸 {(𝑋 − 𝐸(𝑋)) (𝑌 − 𝐸(𝑌))} = 𝐸 {(𝑋 − 𝜇𝑥 )(𝑌 − 𝜇𝑦 ) } = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝜇𝑥 𝜇𝑦 Variansi juga dapat dihitung dengan rumus lain yang lebih mudah, yaitu: σ2= E(X2) –μ2



Contoh  Misalkan X menyatakan banyaknya bagian yang cacatdari suatu mesin bila 3 suku cadang diambil secara acak dari prosesproduksi. Distribusi peluang X: X



0



1



2



3



f(x)



0,51



0,38



0,10



0,01



Hitunglah variansi dari X Penyelesaian: μ = E(X) = (0)(0.51) + (1)(0.38) + (2)(0.10) + (3)(0.01) = 0.61 E(X2) = (0)(0.51) + (1)(0.38) + (4)(0.10) + (9)(0.01) = 0.87 Jadi, σ2 = 0.87 – (0.61)2 = 0.4979



3



Op.cit,hal.16



4



Variansi untuk peubah acak lain yang bergantung pada X, yaitu g(X), diberikan dalam teorema di bawah ini. Teorema Misalkan X adalah peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Variansi dari peubah acak g(X) adalah Jika X diskrit 2



2



2 𝜎𝑔(𝑥) = 𝐸 [(𝑔(𝑥) − 𝜇𝑔(𝑥) ) ] = ∑[𝑔(𝑋) − 𝜇𝑔(𝑥) ] 𝑓(𝑥) 𝑥



JikaX kontinu ∞



2



2



2 𝜎𝑔(𝑥) = 𝐸 [(𝑔(𝑥) − 𝜇𝑔(𝑥) ) ] = ∫ [𝑔(𝑋) − 𝜇𝑔(𝑥) ] 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞



Contoh  Hitunglah variansi dari g(X) = 2X+ 3, bila X adalah peubah acak dengan distribusi peluang Penyelesaian: X f(x)



0



1 1 4



2 1 8



3 1 2



1 8



3



𝜇2𝑥+3 = 𝐸(2𝑋 + 3) = ∑(2𝑥 + 3) 𝑓(𝑥) = 6 𝑥=0 2 𝜎2𝑥+3 = 𝐸 {[(2𝑋 + 3) − 𝜇2𝑥+3 ]2 }



= 𝐸 {[(2𝑋 + 3) − 6 ]2 } = 𝐸 (4𝑋 2 − 12𝑋 + 9) 3



∑(4𝑋 2 − 12𝑋 + 9) 𝑓(𝑥) = 4 𝑥=0



C. KOVARIAN Misalkan X dan Y adalah variabel random dengan distribusi peluang gabungan 𝑓(𝑥, 𝑦). Kovarian dari X dan Y adalah



Jika X dan Y diskrit 𝜎𝑥𝑦 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥 )(𝑌 − 𝜇𝑦 )] = ∑ ∑(𝑥 − 𝜇𝑥 )(𝑦 − 𝜇𝑦 ) 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑥



𝑦



5



Jika X dan Y kontinu 𝜎𝑥𝑦 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥 )(𝑌 − 𝜇𝑦 )] ∞



∞



= ∫ ∫ (𝑥 − 𝜇𝑥 ) (𝑦 − 𝜇𝑦 ) 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞ −∞



Kovarian antara dua peubah acak menunjukkan sifat asosiasi (hubungan) antara keduanya; Jika kedua peubah tersebut bergerak kearah yang sama (X membesar dan Y membesar) maka hasil kali (𝑥 − 𝜇𝑥 )( 𝑦 − 𝜇𝑦 ) cendrung bernilai positif Jika bergerak berlawanan arah (X membesar dan Y mengecil), maka hasil kali (𝑥 − 𝜇𝑥 )( 𝑦 − 𝜇𝑦 ) cendrung akan bernilai negatif. Tanda kovarian (+ atau -) menunjukkan apakah hubungan antara kedua acak positif atau negatif. Kovarian juga dapat dihitung dengan menggunakan rumus yang lebih mudah yaitu sebagai berikut:



𝜎𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑋𝑌) − 𝜇𝑥 𝜇𝑦



Contoh  Misalkan X = Jumlah pulpen berwarna biru dan Y = Jumblah pulpen berwarna merah. Bila kedua pulpen tersebut diambil secara acak dari kotak, distribusi peluang gabungannya sudah dihitung pada contoh sebelumnya 𝑓(𝑥, 𝑦) x=0 2 y=0 28 y=1



13 14



y=2



1 28 5 14



𝑔(𝑥)



x=1



ℎ(𝑦) 15 28



x=2



9 28



3 28



3 14



3 7 2 28 3 28



5 18



1



Hitunglah kovarian dari X dan Y Penyelesaian : 2



2



2



𝜎𝑥 = 𝐸(𝑋) = ∑ ∑ 𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑥𝑔(𝑥) 𝑥=0 𝑦=0



𝑥=2



5 15 3 3 = (0) ( ) + (1) ( ) + (2) ( ) = 14 28 28 4



6



2



2



2



𝜎𝑥 = 𝐸(𝑌) = ∑ ∑ 𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑦ℎ(𝑦) 𝑥=0 𝑦=0



𝑥=2



15 3 1 1 = (0) ( ) + (1) ( ) + (2) ( ) = 28 7 28 2 Sehingga diperoleh



𝜎𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑋𝑌) − 𝜇𝑥 𝜇𝑦 =



3 3 1 9 − ( )( ) = 14 4 2 56



 X bagian pelari pria dan Y bagian pelari wanita yang menempuh lomba maraton mempunyai distribusi peluang gabungan



𝑓(𝑥, 𝑦) = 8𝑥𝑦, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, 0 untuk x dan y yang lain. Hitunglah kovarian X dan Y



Penyelesaian : Distribusi peluang gabungan X dan Y adalah 𝑔(𝑥) = 4𝑥 3 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 untuk x yang lain ℎ(𝑦) = 4𝑦(1 − 𝑦 2 ), 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 untuk y yang lain



Dari fungsi peluang diatas diperoleh 1



𝜇𝑥 = 𝐸(𝑋) = ∫ 4𝑥 4 𝑑𝑥 = 0



4 5



1



𝜇𝑦 = 𝐸(𝑌) = ∫ 4𝑦 2 (1 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0



8 15



Sehingga 𝜎𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑋𝑌) − 𝜇𝑥 𝜇𝑦 =



4



4 4 8 4 4 − ( )( ) = 9 5 15 225



Rinaldi Munir, Variansi dan Kovariansi, bahan Kuliah 112092 Probabilitas dan Statistik, ITB



7



SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN 1. Seorang penjual mobil yang menjadi “Agen Tunggal” merek tertentu, berdasarkan pengalamannya dapat menjual mobil sebanyak X dengan probabilitas sebesar 𝑝(𝑥) selama satu minggu. Data yang dia miliki adalah sebagai berikut. X



1



2



3



4



5



6



p(x)



0,08



0,27



0,10



0,10



0,33



0,22



Berapa banyak mobil yang dia harapkan dapat terjual selama satu minggu ? Dan hitunglah simpangan bakunya. Penyelesaian: 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑝(𝑥) = (1)(0,08) + (2)(0,27) + … + (6)(0,22) = 4,29 Apabila penjualan dilakukan berkali-kali dari minggu ke minggu dalam jumlah yang banyak maka secara rata-rata dapat dijual sebanyak 4,29 mobil. Apabila penjualan dilakukan selama 500 minggu (N= 500), maka selama waktu tersebut diharapkan dapat terjual sebanyak N x E(X) = 500 x 4,29 = 2.145 mobil. 2



𝜎 2 = ∑[𝑥 − 𝐸(𝑥)] 𝑝(𝑥) 𝑥



= ∑(𝑥 − 4,29)2 𝑝(𝑥) = (1 − 4,29)2 (0,08) + (2 − 4,29)2 (0,27) + ⋯ + (6 − 4,29)2 (0,22) = 3,27 𝜎 = √3,27 = 1,81 2. Diberikan distribusi peluang sebagai berikut 1 𝑥 𝑓(𝑥) 0,3 Hitunglah varian dari X



2 0,4



3 0,3



Penyelesaian: 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 1(0,3) + 2(0,4) + 3(0,3) = 2.0 3 2



𝜎 = ∑(𝑥 − 2)2 𝑓(𝑥) 𝑥=1



= (1 − 2)2 (0,3) + (2 − 2)2 (0,4) + (3 − 2)2 (0.3) = 0.6



8



3. Misalkan X menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin bila 3 suku cadang diambil secara acak dari proses produksi. Distribusi peluang X 0 1 𝑥 0,38 𝑓(𝑥) 0,51 Hitunglah varian dari X



2 0,10



3 0,01



μ= E(X)=(0)(0.51) + (1)(0.38) + (2)(0.10) + (3)(0.01) = 0.61 E(X2) = (0)(0.51) + (1)(0.38) + (4)(0.10) + (9)(0.01) = 0.87 Jadi, σ2 = 0.87 – (0.61)2 = 0.4979 4. Sebuah panitia beranggotakan 3 orang dipilih secara acak dari 4 orang mahasiswa IAIN dan 3 orang mahasiswa UIN. Hitunglah varian Penyelesaian : μ = E(X) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (2)(18/35) + (3)(4/35) = 12/7 E(X2) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (4)(18/35) + (9)(4/35) = 24/7 Jadi, σ2 = 24/7 – (12/7)2 = 24/29 5. Misalkan X menyatakan permintaan minyak goreng (dalam liter) menjelang lebaran. Fungsi padat dari X sebagai berikut: 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 1), 1 < 𝑥 < 2, 0 untuk x yang lain Carilah rataan dan varian X Penyelesaian : 2



𝜇 = 𝐸(𝑋) = 2 ∫ 𝑥(𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 1



5 3



2



𝐸(𝑋



2)



= 2 ∫ 𝑥 2 (𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 1



17 6



2



𝜎2 =



17 5 1 − ( ) = 6 2 18



9



BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Rata-rata (𝜇) dari distribusi probabilitas adalah nilai harapan dari variabel acaknya. Nilai variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil. Varian  E(X) = 𝜇𝑥 , 𝐸(𝑦) = 𝜇𝑦  Var (X) = 𝜎𝑦2 = 𝐸 {𝑋 − 𝐸(𝑋)}2 = 𝐸(𝑋 − 𝜇𝑥 )2 = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝜇𝑥 2  Var (𝑌) = 𝜎𝑦2 = 𝐸 {𝑌 − 𝐸(𝑌)}2 = 𝐸(𝑌 − 𝜇𝑥 )2 = 𝐸(𝑌 2 ) − 𝜇𝑦2  Cov (𝑋, 𝑌) = 𝐸 {(𝑋 − 𝐸(𝑋)) (𝑌 − 𝐸(𝑌))} = 𝐸 {(𝑋 − 𝜇𝑥 )(𝑌 − 𝜇𝑦 ) } = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝜇𝑥 𝜇𝑦 Variansi juga dapat dihitung dengan rumus lain yang lebih mudah, yaitu: σ2= E(X2) –μ2. Kovarian juga dapat dihitung dengan menggunakan rumus yang lebih mudah yaitu sebagai berikut: 𝜎𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑋𝑌) − 𝜇𝑥 𝜇𝑦



10



DAFTAR PUSTAKA



Rinaldi Munir, Variansi dan Kovariansi, bahan Kuliah 112092 Probabilitas dan Statistik, ITB



J.Supranto. 2009. Statistik Teori Dan Aplikasi . Jakarta:Erlangga J.Supranto. 1988 Statistik Teori Dan Aplikasi. Jakarta:Erlangga Kusnandar, Dadan. 2004. Metode Statistika: Yogyakarta



11