Makalah Nilai Harapan Statistik Matematika 1 BY AHMAD SAHIDIN (KALEDUPA) [PDF]

Citation preview

Makalah Statistik Matematika I



NILAI



HARAPAN



Oleh:



AHMAD SAHIDIN 11 24 269



PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN YPUP



MAKASSAR 2012



KATA PENGANTAR



Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kepada yang Maha pemberi Nikmat kesehatan jasmani dan rohani yakni Allah SWT, karena dengan Nikmat-Nya saya dapat menyelesaikan tugas makalah dengan pokok bahasan “Nilai Harapan”. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistik Matematika I. Tidak lupa penulis ucapkan kepada Ibu Dosen Statistik Matematika I, yang telah mengarahkan dan membimbing mata kuliah Statistik Matematika I. Penulis menyadari bahwa keterbatasan pengetahuan dan pemahaman tentang Konsep Nilai Harapan, menjadikan keterbatasan itu pula untuk memberikan penjabaran yang lebih dalam tentang masalah ini, kiranya mohon dimaklumi apabila banyak terdapat kekurangan dan kesalahan dalam penyusunan makalah ini. Sebagai harapan semoga makalah ini membawa manfaat bagi kita, setidaknya untuk sekedar membuka cakrawala berpikir kita tentang konsep dari Nilai Harapan dalam kehidupan kita.



Makassar, 9 Juli 2012



PENULIS



DAFTAR ISI



KATA PENGATAR……………………………………………………………………



ii



DAFTAR ISI……………………………………………………………………..........



iii



BAB I



PENDAHULUAN…………………………………………………………



1



A. Latar Belakang…………………………………………………………………



1



B. Rumusan Masalah………………………………………………………..........



1



BAB II



PEMBAHASAN…………………………………………………………..



2



A. Nilai Harapan Peubah Acak……………………………………………………



2



B. Variansi dan Kovariansi………………………………………………………..



5



C. Fungsi Pembangkit Momen……………………………………………………



9



D. Teorema Chebyshev……………………………………………………………



10



BAB III



PENUTUP…………………………………………………………………



11



A. Kesimpulan…………………………………………………………………….



11



DAFTAR PUSTAKA



BAB I PENDAHULUAN



A. LATAR BELAKANG Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata hitung yang biasa disebut “harapan matematis” (nilai harapan) dan variansi. Harapan matematis ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas. Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal. Misalnya, X dan Y perubah acak, maka nilai harapan dinyatakan E(X), E(Y), dan E(X,y) , Variansi dari X da Y dinyatakan  x 2 ,  Y 2 , dan kovariansi dari perubah acak X dan Y dinyatakan 



XY



.



B. RUMUSAN MASALAH Adapan pokok permasalahan dalam pembuatan makalah ini adalah 1. Bagaimanakah pengertian dan konsep dari nilai harapan dari peubah acak? 2. Bagaimanakan pengertian dan konsep dari variansi dan kovariansi? 3. Bagaimanakah pengertian dan konsep dari fungsi pembangkit momen? 4. Bagaimanakah pengertian dan konsep dari teorema chebyshev?



BAB II PEMBAHASAN A. Nilai Harapan Dari Peubah Acak Nilai harapan perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis  x atau  . Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik, dinyatakan sebagai E(X). Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas. Contoh: Suatu percobaan dua uang logam yang dilantunkan 16 kali. Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul per lantunan, maka X dapat berharga 0, 1, dan 2 Misalkan percobaan itu masing-masing menghasilkan sebanyak 4, 7, dan 5 kali, maka ratarata banyaknya sisi muka per lantunan [nilai harapan matematik] adalah 0(4)  1(7)  2(5)  1, 06 16 E(X) tersebut adalah rata-rata dan tidak perlu menyatakan hasil yang muncul dalam percobaannya. Rata-rata ini yang disebut rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X, dan juga banyak yang menyebutnya harapan matematik atiasa disebut nilai harapan dari perubah acak X. E(X) 



Definisi Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan (rata-rata) perubah acak X adalah



n  x p(x), jika X peubah acak farik  x μ  ( X )     x f (x)dx , jika X peubah acak malar   Contoh: Jika X merupakan peubah acak malar dengan fungsi kepekatan peluang



 x2  ; 1  x  2 f ( x)   3 0 ; x yang lain  Hitunglah nilai harapan untuk fungsi g(x) = 2x – 1!



Penyelesaian:



E[g(X)]  E[(2x  1)] 



(2x  1)x2 1 3 3 2 1 3 dx  3 1(2x  x )dx  2 2



2



Teorema Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah







; jika X farik







; jika X malar



 g(x) f (x)   x   E[g(X)]    g(X)  g(x) f (x)   



Contoh : 1. Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di bawah ini: Tabel 4.2. Distribusi Probabilitas X x



4



5



6



7



8



9



P(X=x)



1 12



1 12



1 4



1 4



1 6



1 6



Jika diketahui bahwa g(X) = 2X – 1 menyatakan upah para karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan rupiah), maka tentukan pendapatan yang diharapan karyawan perusahaan tersebut. Penyelesaian:



g(x)  E[g(X)]  E(2X 1) 9







 (2x 1) f (x)



x 4



 (7)( 1 )  (9)( 1 )  (11)( 1 )  (13)( 1 )  (15)( 1 )  (17)( 1 ) 12



12



4



4



6



 12, 67



Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67



6



2. Jika X suatu perubah acak dengan fkp:  x2  ; 1  x  2 f(x)   3 0 ; untuk x yanglainya



Maka hitung nilai harapan g(x) = 4X+3 Penyelesaian: Nilai harapan g(x) = 4X + 3 adalah 2



(4x  3)  E(4X  3) 







(4x  3)



1



x2 dx 3



2



 1 3



 (4x



3  3x 2 ) dx  8



1



Teorema Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan f(x,y), maka nilai harapan perubah acak g(X,Y) adalah -



Untuk X dan Y peubah acak farik 



g(X,Y)



 E[g(X, Y)] 



 g(x, y) f (x, y) x



-



y



Untuk X dan Y peubah acak malar  







g(X,Y)



 E[g(X, Y)] 



  g(x, y) f (x, y) dxdy



 



Contoh



Y Hitung nilai harapan E( ) untuk fungsi padat peluang X



 x(13y2 )  ; f(x,y)   4  ; 0 Penyelesaian:



0  x  2;



0  y 1



untuk x yang lainnya



X



E Y



1



2



 







y 0 x 0 1











y 0



y x(1 3y 2 ) ( )[ ]dx dy  x 4



y  3y 2 ) dy 2







1



2



 



y 0 x 0



y(1 3y 2 ) dx dy 4



5 8



Sifat-sifat nilai harapan: -



Jika a dan b konstanta, X dan Y peubah acak, maka E(aX+b) = a E(X) + b.



-



Jika b suatu konstanta maka E(b ) = b



-



Jika peubah acak X dikalikan dengan konstanta c, maka E(cX) = c E(X)



-



Jika X dan Y peubah acak maka E(XY) = E(X)  E(Y)



-



Jika X dan Y peubah acak yang bebas, maka E(X,Y) = E(X) E(Y) B. Variansi dan Kovariansi



1. Variansi Variansi dari perubah acak X diberi notasi Var(X) atau akar positip dari variansi, disebut simpangan baku X. Definisi Jika X suatu peubah acak dengan fungsi massa peluang f(x), dengan rata-rata  , maka variansi X adalah  2







 (x  )2 f (x) ; jika X farik   x 2  E[(X  )2 ]     (x  )2 f (x) dx ; jika X malar  







Teorema Variansi perubah acak X adalah 2  E(X2 ) 2 Contoh : Permintaan mingguan Coca Cola (dalam liter), pada jaringan pemasaran daerah merupakan perubah acak yang dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:



2(x  1) f (x)   0



; 1 x  2 ; x yang lainnya



Carilah rata-rata dan variansinya Penyelesaian: 2



 E(X) 



μ



2



2 3 2  (x) 2(x 1)dx  2 (x  x)dx  2( 1 x  1 x ) 3



1



E(X2 ) 



2



2



1



2



2



 5



1



3



2 2 2 (x ) 2(x  1)dx  2 (x 3  x 2 )dx  2( 1 x 4  1 x 3 )  17 4 3 6 1 1 1











 E(X 2 )  μ 2 = 17  ( 5 )2  6



3



1 18



Teorema Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka variansi perubah acak g(X) adalah -



Peubah acak farik 2 g(X)  E{[g(X)  g(X) ]2} 



[g(X)  g(X) ]2 f (x) x



-



Peubah acak malar  2 g(X)



 E{[g(X)  g(X) ] }  2



 [g(X)  



2 g(X) ] f (x) dx







Contoh: Hitung variansi g(X) = 2X+3 ,jika perubah acak dengan distribusi probabilitas: Y



0



1



2



3



f(y)



1 4



1 8



1 2



1 8



Penyelesaian: Pertama-tama hitung rata-rata perubah acak 2X+3



2X  3  E(2X  3) 



3



 (2x  3)f (x)



x 0



 (3)( 1 )  (5)( 1 )  (7)( 1 )  (9)( 1 )  6 4



8



2



8



Menggunakan teorema di atas pada kasus ini diperoleh



2



2X  3



 E{[(2X  3)  2X 3 ]2 }  E{[2X  3  6]2}  E[4X 2  12X  9] 



3



 (4x 2  12x  9) f (x)



x 0



 (9) f (0)  (1) f (1)  (1) f (2)  (9) f (3)  4



2. Kovariansi Untuk menentukan Var(X + Y) dua variabel acak X dan Y yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama perlu adanya pengertian mengenai apa yang di maksud dengan kovariansi. Definisi Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan f(x,y), maka kovariansi X dan Y adalah -



Untuk X dan Y peubah acak farik 



XY



 E [(X   )(Y   )] X







 (x   X )(y   Y ) f (x, y) x



-



Y



y



Untuk X dan Y peubah acak malar 



XY



 E [(X   )(Y   )] X



Y



 







  (x   X )(y   Y )f (x, y) dx dy



 



Teorema Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata m dan m diberikan oleh rumus X







XY



Y



 E(XY)   x  y



Contoh: Jika perubah acak X dan Y dengan fungsi padat gabungan diberikan sbb:



8xy; 0  x  1, 0  y  x f (x, y)   untuk x, y yang lainya 0; maka carilah kovariansi dari X dan Y! Penyelesaian: Menggunakan definisi distribusi marginal di dapat: 



x







f (x) 



f (x, y)dy 







0







f (y) 







8xy dy  4xy 2



1



 f (x, y)dx  







8xy dx  4x 2 y



y



yx y 0



x 1 xy



 4x 3 , 0  x  1



 4y  4y3  4y(1  y 2 ), 0  y  1



Dan dapat dinyatakan sebagai 4x 3 ;0  x  1  f (x)   ; x yang lain   0



dan



4y(1  y 2 ) ;0  y  1  f (y)   0 ; y yang lain  



Fungsi padat gabungan diperoleh 1



 x  E(X) 







1



4x 4dx  4 5



dan



0



0



11



E(XY) 



 xy (8xy) dxdy 0y 11







 8x y



2 2 dxdy  4 9



0y



Jadi kovariansinya adalah



 XY  E(XY)   x  y  4  ( 4 )( 8 ) 9







4 225







 y  E(Y)  4y 2 (1  y 2 )dy  8



5 15



15



C. Fungsi Pembangkit Momen Definisi tX



Misalkan h suatu bilangan real positif sehingga nilai E{e } ada untuk setiap t di dalam tX



interval (–h,h). Fungsi M(t) = E{e }; –h < t < h dinamakan fungsi pembangkit momen (fpm) dari X. Teorema Turunan pertama fpm untuk t = 0 sama dengan rerata peubah acak yang bersangkutan, yakni M'(0) =  Teorema Variansi peubah acak X dapat dihitung dari turunan fpm M(t) untuk t =0, yaitu



2  M"(0)  M '(0) . 2



Teorema Misalkan M(m) (t) menyatakan turunan ke-m dari M(t). Momen ke-m dari peubah acak X, yakni E(X ) dapat diberikan oleh E(X ) = M (m) (0) m



m



Contoh: Jika fungsi idensitas dari X



 1 ;a x b  f (x)   a  b  0 ; x yang lain Hitunglah Fungsi Pembangkit Momen dari X! Penyelesaian:



M(t)  E(e tx ) =



b







e tx f(x) dx =



a



=



1 ab



b



e



a



a



b



1 dx ab b



b



tx  e dx



tx



=



1 etx (a  b)t a



1 1 = etx = (ebt  eat ) (a  b)t (a  b)t a



D. Teorema Chebyshev Teorema Probabilitas setiap perubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rata1 rata adalah sekurang-kurangnya 1  yaitu k2



P[  k  X    k]  1  1



k2



Contoh: Suatu perubah acak X mempunyai rata-rata   8 dan 2  9 sedangkan distribusi probabilitasnya tidak diketahui. Hitunglah a. P(-4 < X < 20) b. P( X  8  6) penyelesaian: a. P[4  X  20)  P(8  (4)(3)  X  8  (4)(3)]  1



16



b. P( X  8  6)



 1  P( X  8  6)  1  P(6  X  8  6)  1  P[8  (2)(3)  X  8  (2)(3)]  1



4



BAB III PENUTUP



A. KESIMPULAN



-



Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan (ratarata) perubah acak X adalah



n  x p(x), jika X peubah acak farik  x μ  ( X )     x f (x)dx , jika X peubah acak malar   -



Jika X suatu peubah acak dengan fungsi massa peluang f(x), dengan rata-rata  , maka variansi X adalah 2  E(X2 )  μ2



-



Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata m dan m diberikan oleh X



Y



rumus 



-



XY



 E(XY)   x  y



Variansi peubah acak X dapat dihitung dari turunan fpm M(t) untuk t =0, yaitu



2  M"(0)  M '(0)



2



DAFTAR PUSTAKA



Tiro, Arif, Muhammad. 2008. PENGANTAR TEORI PELUANG. Makassar : Andira Publisher. www.google.co.id/search