8 Pengantar Bagan Kendali Multivariat [PDF]

Citation preview

PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA



STATISTIKA PENGENDALIAN MUTU PENGANTAR BAGAN KENDALI MULTIVARIAT Darmanto – Universitas Brawijaya



““Be who you are and say what you feel, because those who mind don't matter, and those who matter don't mind.” .” (Bernard M. Baruch)



PENDAHULUAN • Univariat: diasumsikan bahwa hanya ada satu karakteristik kualitas yang dievaluasi. • Praktek: Proses monitoring dan pengontrolan melibatkan beberapa karakteristik kualitas. • Dapat dievaluasi per karakteristik kualitas menggunakan bagan kendali univariat, tetapi tidak efisien dan memungkinkan untuk terjadi kesalahan dalam pengambilan kesimpulan. Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



2



• BAGAN KENDALI MULTIVARIAT: Mengakomodir secara simultan evaluasi lebih dari satu karakteristik kualitas. • Di antaranya: T2-Hotelling dan Multivariat EWMA. • Keduanya efektif digunakan jika karakteristik kualitas yang dievaluasi 2 ≤ 𝑋 ≤ 10.



• Bagaimana jika lebih dari 10? Kurangi dimensi kualitasnya dengan memanfaatkan metode statistika yang lain, misal: analisa komponen utama. Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



3



• Ada banyak kondisi diperlukan untuk memonitor beberapa karakteristik kualitas secara simultan.



Diameter dalam [𝑋1~𝑁(8,0.052)] Diameter luar [𝑋2~𝑁(10,0.052)]



Gambar 1. Diameter Dalam dan Luar Bearing



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



4



• Misal: masing-masing diambil 20 sampel dan diplotkan pada bagan kendali Univariat: 8.15



UCL=8.15



Diameter Dalam



UCL=10.15



10.10



8.05 _ X=8



8.00



7.95



7.90



Individual Value



8.10



Individual Value



10.15



Diameter Luar



10.05 _ X=10



10.00



9.95



9.90



7.85



LCL=7.85 1



3



5



7



9



11



Observation



13



15



17



19



9.85



LCL=9.85 1



3



5



7



9



11



13



15



17



19



Observation



Gambar 2. Bagan Kendali I untuk Diameter Dalam dan Luar Bearing Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



5



x1



8.15



8.15



8.10



8.10



8.05



8.05



8.00



8.00



7.95



7.95



7.90



7.90



7.85



UCL=8.15



_ X=8



7.85



10.00



10.05



10.10



10.15



10.15



9.95



10.10



9.90



10.05



9.85



x2



LCL=7.85 1



3



5



7



9



11



13



15



17



19



10.00



9.95



9.90



9.85 1 3



Area gabungan X1 dan X2



5



(asumsi keduanya independen)



7 9 11 13 15 17 19 UCL=10.15



_ X=10



LCL=9.85



6



Gambar 3. Area Kendali Gabungan untuk Diameter Dalam dan Luar Bearing



Peluang keluar batas kendali :



1   2  0.0027  1. 2   0.0027   7.29  106. 2



simultan



Peluang tidak keluar batas kendali :



1  1 1   2    0.9973  0.9973. 2



Mengalami Distorsi dibandingkan dengan Evaluasi Univariat



   1  1   



p



Jika independen



...(1)



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



7



• Pdf Normal Multivariat: f x 



1



 2 



p 2



Σ



1



e







1  x-μ  Σ-1  x-μ  2



,



...(2)



2



  x j  , j  1, 2,..., p. x   x1 , x2 ,..., x p  , μ   1 , 2 ,...,  p  ,



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



8



Misal sampel acak berdistribusi normal multivariat: x1 , x 2 , ..., xn , di mana vektor sampel ke-i mengandung observasi untuk tiap-tiap variabel ke-p adalah xi1 , xi 2 ,..., xip , maka vektor rata-rata sampel dinyatakan dengan 1 n x =  xi ...(3) n i=1 dan matriks kovarians sampel 1 n S=  xi - x  xi - x  ...(4)  n -1 i=1 dengan varians sampel sebagai diagonal utama: 2 1 n s  x  x    ij j n  1 i 1 dan kovarians sampel 2 j



1 n s jk    xij  x j   xik  xk  . n  1 i 1 Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



9



BAGAN KENDALI T2-HOTELLING Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



10



10



I. AMATAN SUBGRUP • Anggap ada n observasi yang terdiri atas m sampel. Maka rata-rata dan varians dari masing-masing sampel adl  j  1, 2,..., p ...(5)  k  1, 2,..., m 2  j  1, 2,..., p 1 n 2 s jk  xijk  x jk  ...(6)    n  1 i 1 k  1, 2,..., m xijk  observasi ke-i, variabel ke-j , sampel ke-k . 1 n x jk   xijk n i 1



s jhk



jh  1 n  xijk  x jk   xihk  xhk     n  1 i 1 k  1, 2,..., m



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



...(7)



• Sehingga rata-rata, varians dan kovarians untuk seluruh sampel adl 1 m x j   x jk m k 1



; j  1, 2,..., p



...(8a)



m 1 s j2   s 2jk m k 1



; j  1, 2,..., p



...(8b)



1 m s jk   s jhk ; j  h m k 1



...(8c)



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



• Sehingga untuk matriks kovarians sampel,  s12   S    



s12



s13



s22



s23 2 3



s



s1 p   s2 p     2  sp 



...(9)



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



• Uji statistik T2-Hotelling didefinisikan sebagai, T  n  x - x  S 1  x - x  2



'



...(10)



Fase I: p  m  1 n  1  UCL  Fp ,mn  m  p 1 mn  m  p  1 LCL  0



...(11)



Fase II: p  m  1 n  1  UCL  Fp ,mn  m  p 1 mn  m  p  1 LCL  0



...(12)



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



• Untuk p = 2, statistik uji T2-Hotelling: 2 2   s x  x  s x  x     2 1 1 1 2 2 n T2  2 2   2 s1 s2  s12  2 s12  x1  x1  x2  x2    



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



CONTOH • Kekuatan rentang dan diameter dari tekstil fiber adalah 2 karakteristik kualitas yang penting untuk dikontrol secara simultan. Insinyur kualitas memutuskan untuk menggunakan n = 10 untuk setiap sampel. Dia mengambil m = 20 sampel, dan berdasarkan data diperoleh



x1  115,59 psi; x2  1, 06 102 inch; s12  1, 23; s22  0,83;dan s12  0, 79. Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



• Sehingga didapatkan statistik T2-Hotelling: T2 



10



1, 23 0,83   0, 79 



2



 0,83 x1  115,59   1, 23 x2  1, 06      2  0, 79  x1  115,59  x2  1, 06  



p  m  1 n  1  UCL  Fp ,mn  m  p 1 mn  m  p  1 2(19)(9) 0,001  F2,20(10)  20  2 1 20(10)  20  2  1 342 0,001  F2,179  (1,91)(7,18)  13, 72 179 Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



Tabel 1. Data Kekuatan Regang dan Diameter



18



Gambar 4. Bagan Kendali T2-Hotelling untuk Data Tabel 1 Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



19



II. AMATAN INDIVIDU T   x - x  S 1  x - x  2



'



...(13)



Fase I: m  1   UCL   p /2,( m  p 1)/2 m LCL  0 2



...(14)



Fase II: p  m  1 m  1  UCL  Fp ,m  p 2 m  mp LCL  0



...(15)



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



Tabel 2. Data Komposisi Grit, L = Large, M = Medium, S = Small



21



• Dua pendekatan perhitungan estimasi matriks kovarians untuk amatan individu: 1 m 1. S1 =  xi - x  xi - x   m -1 i=1 1 VV 2. S 2 = ; ...(16) 2  m  1  v1   v  dengan : v i  x i 1 - xi , i  1, 2,..., m  1  V =  2       vm-1  Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



22



Gambar 5. Bagan Kendali T2-Hotelling untuk Data Tabel 2 Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



23



BAGAN KENDALI MULTIVARIAT EWMA Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



24



24



• Definisi: z i   xi  (1   )z i 1



...(17)



di mana 0    1 z0  0



• Dengan titik ploting: Ti 2  Zi ' Σ Z1i Zi



...(18)



dengan



  2i ΣZ  1  1     Σ ...(19)  2  i



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



Tabel 3. Nilai 𝜆 H yang Memberikan Nilai Optimal Pada ARL



26



REFERENSI • Montgomery, D. C. 2013. Introduction to Statistical Quality Control. John Wiley & Sons, New York.



Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat



27