Aljabar Linier Dan Matriks: Pertemuan 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) [PDF]

Citation preview

Aljabar Linier dan Matriks Pertemuan 3 Sistem Persamaan Linier (SPL)



Universitas Pendidikan Indonesia Enjun Junaeti, M.Si.



Semester Genap 2019-2020



UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



1 / 16



Sistem Persamaan Linier (SPL) Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Contoh Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (x) dan 2 PC (y) maka ia harus membayar $ 5000, sedangkan jika membeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar $ 10000. Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL x + 2y



= 5000 3x + y = 10000 dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks



1 2  x    3 1  y UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



  5000   =     10000 



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



2 / 16



Bentuk Umum SPL a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1



 a11   a11  M  a  m1



a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2



M



M



a m1 x1 + a



m2



M



M



x 2 + ... + a mn x n = bm



a11 a11 M a m1



a1n   L a2 n  O M   L a mn  L



 b1   x1       b2   x2  M =  M      b  x   n  m



atau AX = B dimana A dinamakan matriks koe…sien X dinamakan matriks peubah B dinamakan matriks konstanta



UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



3 / 16



Solusi SPL Himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut. Perhatikan SPL : x + 2y



= 5000 3x + y = 10000 Maka



fx = 3000, y = 1000g adalah solusi SPL tersebut fx = 1000, y = 3000g bukan solusi SPL tersebut Suatu SPL, terkait dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan : 1 2 3



SPL mempunyai solusi tunggal SPL mempunyai solusi tak hingga banyak SPL tidak mempunyai solusi



UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



4 / 16



Solusi SPL dengan OBE Langkah: 1 Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar 2 Lakukan OBE sampai menjadi eselon baris tereduksi Contoh: Carilah solusi SPL berikut! a+c = 4 a+c = 4 (1) a b = 1 (2) a b = 1 2b + c = 7 a+b = 1 Jawab: a+c = 4 (1) a b = 1 a+b = 1 a=1 b=2 c=3



0



1 @ 1 0



0 1 1 0 2 2



a+c = 4 (3) a b = 1 a+b = 2 1 4 1 A 2



0



1 0 0 @ 0 1 0 0 0 1



1 1 2 A 3



Jadi SPL memiliki solusi tunggal UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



5 / 16



(2) a+c = 4 a b= 1 a+b = 1



0



1 @ 1 1 0 1 0 @ 0 1 0 0



0 1 1 0 1 0 1 1 0



1 4 5 A 0



1 4 1 A 1



a+c = 4 b+c = 5



1 0 1 0 1 0 1 a 4 t 1 4 misal c = t, maka @ b A = @ 5 t A = @ 1 A t + @ 5 A c t 1 0 t adalah parameter yang bisa diganti oleh suatu bilangan, misal t =1, maka solusi SPL tersebut adalah 0 1 0 1 a 3 @ b A=@ 4 A c 1 0



Jadi SPL tersebut memiliki banyak solusi. UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



6 / 16



(3) a+c = 4 a b= 1 a+b = 2



0



1 @ 1 1 0 1 0 @ 0 1 0 0



0 1 1 0 1 0



x + 2y



3z



1 1 0



1 1 5 A 1



1 4 1 A 2



a+c = 1 b+c = 5 0=1



Dari persamaan ke-3 diperoleh 0 = 1 (tidak mungkin), sehingga SPL tidak memiliki solusi. Contoh 2 Diketahui



= 4 3x y + 5z = 2 4x + y + (a2 14)z = a + 2 Tentukan a, sehingga SPL memiliki solusi tunggal, SPL memiliki banyak solusi, dan SPL tidak memiliki solusi! UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



7 / 16



Contoh (2) x + 2y 3z = 4 3x y + 5z = 2 4x + y + (a2 14)z = a + 2



0



1 @ 3 4 0 1 @ 0 0 0 1 @ 0 0



2 3 1 5 1 (a2 14) 2 3 7 14 7 (a2 2) 2 3 7 14 0 (a2 16)



1 4 2 A a+2 1 4 10 A a 14 1 4 10 A a 4



(1) agar SPL punya solusi tunggal, maka baris ke-3 tidak boleh menjadi baris nol (sebelah kiri), sehingga a2 akibatnya a 6=



4.



UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



16 6= 0 , a 6= 4



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



8 / 16



Lanjutan Contoh (2) (2) agar SPL punya banyak solusi, maka baris ke-3 harus menjadi baris nol, sehingga a2



16 = 0 a 4=0 dan , a= 4 a=4



akibatnya a = 4. (3) agar SPL tidak punya solusi, maka baris ke-3 tidak boleh menjdi baris nol, pada sebelah kanan, tetapi harus nol pada sebelah kiri, sehingga a2 akibatnya a =



16 = 0 a 4 6= 0 dan , a= 4 a 6= 4



4.



UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



9 / 16



Solusi SPL dengan Matriks Invers Misalkan AX = B adalah SPL, solusi SPL tersebut dapat dicari dengan cara mengalikan kedua ruas dengan A 1 , sehingga diperoleh X = A 1 B. Catatan: Mencari solusi SPL dengan matriks invers hanya bisa dilakukan jika det(A) 6= 0 (SPL memiliki solusi tunggal). Contoh: Carilah solusi dari SPL a+c



= 4 a b = 1 2b + c = 7 Jawab: Karena det(A) =



1 1 0



0 1 1 0 2 1



= 1 6= 0



maka solusinya dapat dicari dengan menggunakan matriks invers. UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



10 / 16



Solusi SPL dengan Matriks Invers (Contoh) Perhatikan bahwa 0 1 A=@ 1 0 sehingga



0



1 0 1 1 0 A , maka A 2 1



1 0 a 1 2 @ b A = @ 1 1 c 2 2 0 1 1 @ 2 A. = 3



1



0



1 =@ 1 2



2 1 2



1 1 1 A 1



10 1 1 4 1 A@ 1 A 1 7



Jadi solusi SPL tersebut adalah a = 1, b = 2, dan c = 3 (SPL memiliki solusi tunggal). UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



11 / 16



Solusi SPL dengan Aturan Cramer Misalkan AX = B adalah SPL dengan det(A) 6= 0. Solusi SPL dapat dicari dengan menggunkan aturan Cramer, yaitu: xi =



det(Ai ) det(A)



dimana Ai adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menggnti kolom ke-i dari matriks A oleh B. Contoh: Carilah solusi dari SPL a+c



= 4 a b = 1 2b + c = 7 Jawab:



0



1 @ 1 A= 0



1 0 1 0 1 0 1 a 4 1 0 A , det(A) = 1, X = @ b A , B = @ 1 A 2 1 c 7



UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



12 / 16



Solusi SPL dengan Aturan Cramer (Contoh)



det(A1 ) =



4 1 7



0 1 1 0 2 1



det(A2 ) =



1 1 0



4 1 1 0 7 1



det(A3 ) =



1 1 0



0 1 2



4 1 7



=1



=2



=3



sehingga a=



det (A 1 ) det (A )



UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



=1 b=



det (A 2 ) det (A )



=2 c=



Aljabar Linier dan Matriks



det (A 3 ) det (A )



=3



Semester Genap 2019-2020



13 / 16



Sistem Persamaan Linier Homogen Bentuk umum 0



B B AX = 0 , B @



a11 a21 .. .



a12 a22 .. .



am1 am2



..



.



a1n a2n .. . amn



10 CB CB CB A@



x1 x2 .. . xn



1



0



C B C B C=B A @



0 0 .. . 0



1 C C C A



SPL homogen selalu memiliki solusi (konsisten). Ada 2 jenis solusi, yaitu: 1 2



solusi tunggal (x1 = x2 =



= xn = 0) banyak solusi (dalam bentuk parameter)



Contoh: Tentukan solusi SPL Homogen berikut: 2p + q – 2r – 2s = 0 p – q + 2r – s = 0 –p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0 UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



14 / 16



Solusi SPL Homogen (Contoh) 2p + q 2r 2s = 0 p q + 2r s = 0 p + 2q 4r + s = 0 3p 3s = 0



1 2 1 2 2 0 B 1 1 2 1 0 C C B @ 1 2 0 A 4 1 3 0 0 3 0 1 0 1 0 0 1 0 B 0 1 p 0 C 2 0 C B A @ 0 0 0 q 0 0 0 0 0 0 0 0



s=0 2r = 0



(memiliki banyak solusi) misal r = a dan s = b (a dan 0 p=b B q = 2a ,B @ r =a s=b UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



b adalah parameter), maka 1 0 1 0 1 p 0 1 C B C B C q C B 2 C B 0 Cb = a + @ 0 A r A @ 1 A s 0 1



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



15 / 16



Latihan 3 (1). Tentukan solusi SPL berikut dengan OBE! 2a − 8b = 12 3a − 6b = 9 − a + 2b = −4



(2).Tentukan solusi SPL dengan metode Cramer dan Invers Matriks! 1  x1   1 0 1        A =  1 - 1 0 , X =  x2  dan B =  −1    0 2 1 1  x3     



(3). Tentukan solusi SPL Homogen berikut p − 5q − 4 r − 7 t = 0 2 p + 10q − 7 r + s − 7t = 0 r + s + 7t = 0 − 2 p − 10q + 8r + s + 18t = 0



(4). Carilah k sehingga SPL homogen berikut memiliki solusi tunggal! p + 2q + r = 0 q + 2r = 0 k 2 p + (k + 1) q + r = 0 UPI (Enjun Junaeti, M.Si.)



Aljabar Linier dan Matriks



Semester Genap 2019-2020



16 / 16