Bab 1 Matriks & Determinan [PDF]

Citation preview

Bab 1. Matriks & Determinan



1. 1. Pengertian Dasar Suatu matriks didefinisikan sebagai suatu kumpulan dari entri-entri yang disusun secara persegi panjang (menurut baris dan kolom) yang diletakkan di dalam tanda kurung siku atau kurung biasa. Entri-entri dari suatu matriks dapat berupa bilangan riil atau kompleks, variabel-variabel ataupun operator-operator dan sebagainya. Banyaknya baris dan kolom menyatakan ukuran atau ordo dari matriks yang bersangkutan. Pandang matriks A yang diberikan oleh :  a11 a 21 A=     a m1



a12 a 22  am2



a1n   a 2 n  .     a mn  



Karena matriks A di atas mempunyai m baris dan n kolom, maka matriks A dikatakan berukuran m x n. Untuk menyingkat penulisan matriks A di atas, sering juga dituliskan dengan notasi A = (aij), i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n, dengan aij menyatakan entri dari matriks A pada baris ke–i dan kolom ke–j. Contoh : Pandang matriks, 1  A = 0  −1



2 4 5



3 2 . 0 



Karena matriks A di atas mempunyai 3 buah baris dan 3 buah kolom, maka dikatakan matriks A tersebut berukuran 3 x 3,



sedangkan entri-entrinya :



a 11 = 1, a 12 = 2, a 13 = 3, a 21 = 0, a 22 = 4, a 23 = 2, a 31 = –1, a 32 = 5 dan a 33 = 0.



12



Soal Latihan: Diberikan matriks 1  A = (aij) = −1  3



2 5



3 0



7



−1



4  − 2 . 6  



Tentukanlah : a ) ukuran matriks A b ) baris 1, baris 3, kolom 2, kolom 4 dan kolom 5 c ) a14, a21, a23, a32, dan a34.



1. 2. Beberapa Jenis Matriks Khusus Di dalam membahas matriks ini, sebenarnya banyak sekali jenis matriks yang dapat kita pelajari. Namun pada tulisan ini hanya akan diberikan beberapa jenis saja sesuai dengan kebutuhan pembahasan kita. Jenis-jenis matriks khusus tersebut diantaranya : 1. Matriks bujur sangkar yaitu suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Jika matriks bujur sangkar banyaknya baris (= banyaknya kolom) = n, dikatakan matriks tersebut berukuran n x n (berordo n). Barisan entri a11, a22, …, ann dari matriks A = ( aij ) yang berordo n disebut diagonal utama matriks A tersebut. Contoh : 1



A =  − 2



−1 adalah matriks bujur sangkar berordo 2 dengan entri 0 



pada diagonal utamanya 1 dan 0. −1  B = 2 3 



5 −6 1



0 4  adalah matriks bujur sangkar berordo 3, dimana entri 7



entri pada diagonal utamanya adalah –1, –6 dan 7.



12



2. Matriks Nol adalah matriks dimana semua entrinya nol. Biasanya matriks nol ini dinotasikan dengan 0. Beberapa sifat : a. Jika A, 0 adalah matriks-matriks yang sejenis, maka berlaku A + 0 = 0 + A = A. b. Misalkan A dan 0 adalah matriks-matriks dimana syarat-syarat perkalian matriks terpenuhi, maka A0 = 0 dan 0A = 0. Contoh : Matriks-matriks berikut ini adalah matriks nol : 0



0 0 ,0=   0 0



0=  0 



0 0



0 0 0  . dan 0 = 0 0    0



3. Matriks Diagonal yaitu matriks bujur sangkar dimana setiap entri di luar diagonal utamanya adalah nol. Dengan perkataan lain, matriks bujur sangkar A = (aij) adalah matriks diagonal jika aij = 0, untuk i ≠ j. Contoh : 1



A=  0 



1 0 0   dan B = 0 −2   0



adalah contoh-contoh matriks diagonal.



4. Matriks Skalar



12



0 2 0 0



0 0 3 0



0 0  0  4



adalah matriks diagonal di mana setiap entri pada diagonal utamanya sama dengan suatu skalar (bilangan) tertentu. Contoh : − 2 A=  0



7 0   dan B = 0 − 2   0



0 7 0



0 0  7 



adalah matriks-matriks skalar. 5. Matriks Identitas (Matriks Satuan) adalah matriks diagonal dengan semua entri pada diagonal utamanya adalah 1. Biasanya matriks satuan ini dinotasikan dengan I = ( δij ), dimana 1, untuk i = j 0, untuk i ≠ j



δij = 



notasi δij dinamakan fungsi delta Kronecker. Kadang juga dituliskan I = I n, dengan n menyatakan ukuran dari matriks yang bersangkutan. Dengan perkataan lain, matriks identitas merupakan bentuk khusus dari matriks skalar dengan skalar λ = 1. Contoh : 1



I2 =  0 



1 0 0 dan I4 =  0 1   0



adalah contoh-contoh matriks identitas.



Sifat-sifat :



12



0 1 0 0



0 0 1 0



0 0  0  1



Sifat matriks identitas serupa dengan sifat bilangan 1 dalam operasi perkalian dengan bilangan biasa, yaitu AI = A dan IA = A, dengan catatan syarat-syarat perkalian matriks terpenuhi. 6. Matriks Segitiga Bawah adalah matriks bujur sangkar dimana semua entri di atas diagonal utamanya sama dengan nol. Dengan perkataan lain, matriks bujur sangkar A = ( aij ) disebut matriks segitiga bawah jika aij = 0, untuk i < j. Contoh : 1  Matriks A = −3  1



0 2 0



0  0   adalah matriks segitiga bawah. − 4 



7. Matriks Segitiga Atas yaitu matriks bujur sangkar yang semua entri di bawah diagonal utamanya sama dengan nol. Dengan perkataan lain, matriks bujur sangkar A = (aij) disebut matriks segitiga atas jika aij = 0, untuk i > j. Contoh : 1 0 A=  0  0



2 −1 0 0



3 4 2 0



1 0  merupakan matriks segitiga atas. 4  0



8. Matriks Simetris adalah matriks yang transposnya sama dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain, matriks A = (aij) adalah matriks simetris jika A = AT atau aij = aji untuk setiap i dan j. Tampak bahwa matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar. Contoh :



12



−1  A = 2  0



2 3 1



0 −1  T 1  adalah matriks simetris, karena A =  2   4 0



2 3 1



0 1  = A. 4 



9. Matriks Antisimetris yaitu matriks yang transposnya adalah negatifnya. Dengan perkataan lain, matriks A = (a ij) adalah matriks antisimetris jika A = - A T atau aij = - aji untuk setiap i dan j. Dapat dilihat bahwa semua entri pada diagonal utama matriks antisimetris sama dengan nol. Contoh : −1



0  A = 1  2



0 −3



− 2 3   adalah matriks antisimetris. 0  



Berkaitan dengan matriks simetris dan matriks antisimetris di atas kita mempunyai sifat berikut ini : Sifat 1.1 Setiap matriks bujur sangkar senantiasa dapat dituliskan sebagai jumlahan matriks simetris dan matriks antisimetris. Bukti : Misalkan A sebarang matriks bujur sangkar, maka A dapat dituliskan A=A+



AT AT A + AT A − AT – = + . 2 2 2 2



 A + AT A + AT A − AT Tulis A1 = dan A2 = , maka A1T =  2 2 2 



T



   



=



AT + A = A1 2



dan  A − AT 2 



A2T = 



T



   



=



 A − AT AT − A = –  2 2 



  = –A2. 



Dengan demikian A = A1 + A2, dengan A1 simetris dan A2 antisimetris. 



12



Contoh : Nyatakan matriks 2  A = 3  8



−4 1 6



7 9  9 



Sebagai jumlahan dari matriks simetris dan matriks antisimetris. Penyelesaian : 2  A = 3  8



A=



10.



−4



7 2  T 9  maka A =  − 4  9  7



1 6



A + AT A − AT + 2 2



  2  1 = −  2  15  2



−



8 6  dan 9 



3 1 9



1 2



1 15 2



15    0 2 7 15   +  2 2 1 9   2



−



7 2



0 −



3 2



1 −  2 3  . 2  0  



Matriks Hermit adalah matriks yang transpos hermitnya adalah dirinya sendiri.



Dengan perkataan lain, A = (aij) matriks hermit jika AH = A. Sedangkan jika dipenuhi AH = - A, matriks A dikatakan matriks antihermit. Contoh :  −1



1 − 2i   −1 adalah matriks hermit, karena AH =   2  1 + 2i



A=  1 + 2i dan 0  B=  i  − 4



i



 − 2 + i  adalah matriks antihermit, karena 0   4



0 2 +i



0  B = − i  4 H



−i 0 − 2 −i



−4  0  2 −i = –   i  0   − 4



12



i 0 2 +i



4  − 2 + i  = – B. 0  



1 − 2i  =A 2  



11.



Matriks Invers Misalkan A dan B adalah matriks-matriks bujur sangkar berordo n



dan berlaku AB = BA = I, maka dikatakan B adalah matriks invers dari A dan dituliskan B = A-1. Dalam hal ini dapat juga dikatakan bahwa A adalah matriks invers dari B dan ditulis A = B-1. Contoh : 1



1



2



-1 Matriks A =   mempunyai invers A = −1 1 2 



−1 , karena A A-1 = A1  



A = I2.



1



12.



Matriks Involutory adalah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri, atau dengan



perkataan lain, matriks A dikatakan matriks involutory jika berlaku AA = I. Contoh : 4  Matriks A = −1  − 4



13.



3 0 −4



3  −1  adalah matriks involutory, karena AA = I. − 3 



Matriks Komutatif adalah matriks yang memenuhi sifat komutatif pada operasi



perkalian matriks. Dengan perkataan lain, matriks bujur sangkar sejenis A dan B dikatakan saling komutatif jika AB = BA. Tampak bahwa setiap matriks bujur sangkar senantiasa komutatif dengan matriks satuan I (yang ukurannya sama) dan komutatif dengan inversnya (jika ada). Sedangkan jika berlaku AB =



– BA dikatakan A dan B saling



antikomutatif.



12



Contoh : 1



1



1



2 adalah matriks-matriks yang 1 



1 ) Matriks A =   dan B = 2 1 1  saling komutatif 1



1 1



karena AB =   1 1 2 3 3 



2 3 =   1 3



3 1 dan AB =   3 2



2 1 



1 1 



1 = 1 



3 . 3  0



2 ) Matriks A =  1 



− 2 adalah matriks-matriks yang 0  



1 0 dan B =   0 2



antikomutatif − 2 0  



0



karena AB =  2 



0 2 



− 2 2 =   0  0



0



− 2 0  0   2



BA =  2 



14.



0  sedangkan −2 



− 2 − 2 =   0  0



0 . 2 



Matriks Normal adalah matriks bujur sangkar yang komutatif dengan transpos



hermitnya. Dengan perkataan lain, suatu matriks bujur sangkar A dikatakan matriks normal jika berlaku AAH = AHA. Dengan demikian tampak bahwa matriks hermit adalah matriks normal. 15.



Matriks Idempoten dan Periodik Matriks bujur sangkar A dikatakan idempoten jika berlaku AA = A 2 =



A. Secara umum, jika p adalah bilangan asli terkecil sedemikian hingga A p = A, maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p – 1. Contoh :



12



1 1 ) Matriks A =  0



−1 0  dan B =  1 0   −1



3 −3 3



5  −5  adalah matriks-matriks 5  



idempoten. 0



1



2 ) Matriks A =   adalah matriks periodik dengan periode 4. −1 0 16.



Matriks Nilpoten Suatu matriks bujur sangkar A dikatakan nilpoten, jika terdapat



bilangan asli r sedemikian hingga Ar = 0. Sedangkan bilangan asli terkecil r yang memenuhi hubungan di atas dinamakan indeks nilpoten dari A. Contoh : Matriks A =



1 −1   1



−3 3 −3



− 4 4   − 4 



adalah matriks nilpoten dengan indeks



nilpoten 2, karena A ≠ 0, sedangkan A2 = 0. Soal Latihan: 1 ) Misalkan A suatu matriks bujur sangkar, B = A + AT dan C = A – AT. a ) Perlihatkan bahwa B matriks simetris dan C antisimetris. b ) Perlihatkan bahwa setiap matriks bujur sangkar senantiasa dapat dituliskan sebagai jumlahan matriks simetris dan matriks antisimetris. c ) Tuliskan matriks berikut ke dalam soal b : 2  D = 3  8



−4 1 6



7 9 . 9 



2 ) Berikan contoh matriks-matriks yang bersifat antikomutatif. 3 ) Carilah invers dari matriks :



12



 cosθ



A=  − sin θ



sin θ  . cosθ   0



1



4 ) Perlihatkan bahwa matriks A =   periodik dan tentukanlah −1 0 berapa periodenya ! 5 ) Misalkan matriks A berukuran m x n. a ) Jelaskan mengapa perkalian matriks AAT dan ATA dapat dilakukan. b ) Perlihatkan bahwa matriks AAT dan ATA kedua-duanya simetris. 6 ) Jika A suatu matriks bujur sangkar, perlihatkan bahwa A matriks involutory jika dan hanya jika (I – A)(I + A) = 0, dengan I adalah matriks satuan yang sejenis dengan A.



1. 3. Pengertian Determinan Setiap matriks bujur sangkar senantiasa dikaitkan dengan sebuah nilai numerik atau skalar yang disebut dengan determinan. Untuk mencari atau menentukan determinan suatu matriks bujur sangkar, terdapat beberapa metode baku yang digunakan, diantaranya dengan definisi permutasi, penguraian kofaktor dan sebagainya. Di samping itu, kita dapat juga memanfaatkan sifat-sifat determinan. Sebelum membahas lebih jauh mengenai determinan ini, bagaimana mencarinya dan sifat-sifat apa saja yang berlaku padanya, akan diberikan terlebih dahulu beberapa hal yang menyangkut permutasi. Definisi 1. 1 Diberikan sebarang himpunan bilangan asli {1, 2, …, n}. Suatu permutasi atas n bilangan adalah suatu n-tuple σ = (σ1, σ2, …, σn), dimana σ1, σ2, …, σn adalah bilangan-bilangan asli yang berlainan di antara bilangan-bilangan 1, 2, …, n di atas, tanpa mengulangi bilangan-bilangan tersebut dan tidak harus dalam urutan yang biasa. Notasi σi menyatakan entri ke-i dari permutasi σ.



12



Sedangkan himpunan dari semua permutasi yang mungkin dari n bilangan asli dinotasikan dengan Sn. Contoh : Diberikan himpunan bilangan asli {1, 2, 3}. Dalam hal ini kita mempunyai n = 3 dan S3 = { (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) }, yang terdiri atas 3! = 6 buah permutasi. Untuk permutasi σ = (3, 2, 1) kita mempunyai σ1 = 3, σ2 = 2 dan σ3 = 1.  Catatan : Secara umum, untuk himpunan {1, 2, …, n} kita mempunyai n! buah permutasi yang berlainan. Mulai sekarang dan seterusnya, untuk menyatakan permutasi secara umum dari himpunan bilangan asli {1, 2, …, n}, kita akan menuliskan dengan (i1, i2, …, in). Dimana i1 menyatakan bilangan asli pertama pada permutasi, i2 adalah bilangan asli kedua dan seterusnya. Definisi 1. 2 Pada permutasi σ = (i1, i2, …, in) dikatakan terjadi inversi, jika terdapat bilangan asli yang lebih besar yang mendahului bilangan asli yang lebih kecil. Dengan perkataan lain, terdapat i k yang mendahului ij, padahal ik > ij, dengan 1 ≤ j, k ≤ n. Contoh : Tentukanlah banyaknya inversi yang terjadi pada permutasi-permutasi berikut ini : a. (6, 1, 3, 4, 5, 2)



b. (2, 4, 1, 3)



12



c. (1, 2, 3, 4, 5)



Penyelesaian : a. Banyaknya inversi adalah 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8. b. Banyaknya inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3. c. Tidak ada inversi pada permutasi ini.







Definisi 1. 3 Suatu permutasi dikatakan permutasi genap jika banyaknya inversi merupakan bilangan genap dan dikatakan permutasi ganjil jika banyaknya inversi merupakan bilangan ganjil. Berkaitan dengan permutasi σ = (i1, i2, …, in), didefinisikan pengertian tanda ( sign ) dari σ, yang dinotasikan dengan sg(σ ), yang diberikan oleh : +1, jika banyaknya inversi genap .  - 1, jika banyaknya inversi ganjil



sg(σ ) = 



Sehingga, jika sg(σ ) = +1, maka σ dinamakan permutasi genap dan jika sg(σ ) = –1, maka σ dinamakan permutasi ganjil. Contoh : Pandang permutasi-permutasi pada Contoh 3. 2 di atas, maka permutasi (6, 1, 3, 4, 5, 2) dan (1, 2, 3, 4, 5) keduanya adalah permutasi genap, karena banyaknya inversi pada kedua permutasi di atas genap. Jadi sg( (6, 1, 3, 4, 5, 2) ) = +1 = sg( (1, 2, 3, 4, 5) ). Sedangkan permutasi (2, 4, 1, 3) adalah permutasi ganjil, karena banyaknya inversi adalah ganjil, sehingga sg((2, 4, 1, 3) ) = –1.







1. 4. Sifat-sifat Determinan



12



Misalkan A suatu matriks bujur sangkar berukuran n x n. Berikut ini diberikan beberapa sifat penting dari determinan matriks bujur sangkar A di atas. S1 ) det( A ) = det( At ). S2 ) Nilai determinan berganti tanda jika dua baris (atau kolom) ditukar tempatnya. Akibat 1. 1 Diberikan matriks bujur sangkar A. Jika pada matriks A terdapat dua baris (kolom) sama, maka determinan A sama dengan nol. Bukti : Misalkan kedua baris (kolom) yang sama dari matriks A dipertukarkan, maka matriks A tetap dan berdasarkan sifat S2, det( A ) = –det(A). Dengan demikian 2 det(A) = 0 dan akibatnya det(A) = 0.







S3 ) Nilai determinan menjadi k kali jika suatu baris (kolom) dikalikan dengan suatu skalar tak nol k. Akibat 1. 2 Jika salah satu baris (kolom) dari suatu matriks bujur sangkar merupakan baris (kolom) nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol. S4 ) Nilai determinan tidak berubah jika baris (kolom) ke-i ditambah dengan k kali baris (kolom) ke-j. Akibat 1. 3



12



Jika terdapat baris (kolom) berkelipatan maka nilai determinan sama dengan nol. Soal Latihan: 1. Buktikanlah bahwa



bc ca ab



2. Buktikanlah bahwa



1 1 1



3. Buktikanlah bahwa



bc ca ab



1 1 4. Buktikanlah bahwa 1 1



a b c



a2 b2 c2



=



b +c a +c a +b



a b c 1 1 1



a b c d



a b c



a2 b2 c2 d2



a2 b2 c2



1 1 1



a3 b3 c3



.



= 0.



= a3 b3 c3 d3



1 1 1



a b c



a2 b2 c2



= (c – a)(c – b)(b – a).



= (d – a)(d – b)(d – c)(c – a)(c – b)



(b – a). 5. Buktikanlah bahwa



a +b d +e g +h



b +c e +f h +i



c +a f +d i +g



=2



a d g



b e h



c f i



.



1. 5. Menghitung Determinan Seperti telah diberikan pada Bagian 1. 3., terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari atau menghitung determinan suatu matriks bujur sangkar, di antaranya dengan definisi permutasi, penguraian kofaktor dan lain-lain. Berikut ini akan diberikan metode-metode di atas. a. Definisi Permutasi



12



Misalkan A = (aij) adalah matriks bujur sangkar berukuran n x n. Determinan dari matriks A, dinotasikan dengan det(A) atau A, diberikan oleh det(A) =



∑sg(σ )a σ a 1



σ∈Sn



1



2σ 2



... a nσn .



Contoh : 1. Jika A = [ a ], matriks bujur sangkar berukuran 1 x 1, maka S 1 hanya memuat satu anggota, dengan demikian det(A) = a. a 11 2. Misalkan A =  a 21



a 12  . Karena S2 hanya memuat dua buah unsur a 22 



yaitu (1, 2) dan (2, 1), dimana permutasi yang pertama mempunyai tanda +1 dan permutasi yang kedua mempunyai tanda –1, maka diperoleh det(A) = (+1)a11a12 + (–1)a12a21. a 11 Dengan cara yang lebih umum det(  a 21



a 12  ) = a11a22 –1a12a21. a 22 



3. Misalkan A = (aij) suatu matriks bujur sangkar berukuran 3 x 3. Maka S3 mempunyai 6 buah permutasi, yaitu : (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2) dan (3, 2, 1), dimana tanda dari permutasipermutasi di atas berturut-turut +1, –1, +1, –1, +1 dan –1. Dengan demikian determinan suatu matriks bujur sangkar berukuran 3 x 3 adalah a 11



a 12



a 13



a 21 a 31



a 22 a 32



a 23 = (+1)a11a22a33 + (–1)a11a23a32 + (+1)a12a23a31 + (– a 33



1)a12a21a33 + (+1)a13a21a23 + (–1)a13a22a31. = a11a22a33 – a11a23a32 + a12a23a31 – a12a21a33 + a13a21a23 – a13a22a31. b. Metode Penguraian Kofaktor



12



Pandang matriks bujur sangkar A = (aij) yang berukuran n x n. Sebelum membahas lebih jauh penghitungan determinan matriks A di atas, akan diberikan terlebih dahulu beberapa istilah dasar berkaitan dengan metode penguraian kofaktor ini. Minor dari suatu unsur (entri) aij dari matriks A adalah det(Mij), dengan Mij adalah submatriks dari A yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Sedangkan kofaktor dari aij, dinotasikan dengan Cij adalah (–1)i+jdet(Mij). Selanjutnya determinan dari matriks bujur sama dengan jumlahan hasil kali antara unsur-unsur atau entri-entri dari sebarang baris (kolom) dengan kofaktor-kofaktornya. Dengan demikian, untuk matriks bujur sangkar A di atas, determinan A dapat dicari dengan dua cara, yaitu : 1. Penguraian baris ke-i, dimana n



det(A) =



∑a j =1



ij



C ij = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin.



2. Penguraian kolom ke-j, dimana n



det(A) =



∑a i =1



ij



C ij = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj.



Karena penguraian baris (kolom) dapat dipilih sebarang, maka metode penghitungan determinan akan efisien jika dipilih baris (kolom) dengan unsur nol sebanyak-banyaknya. Contoh : Hitunglah determinan matriks A berikut ini : 1  A = 4  2



−2 −2 5



3 3 . −1 



Penyelesaian : Misalkan akan dicari determinan matriks A di atas dengan penguraian menurut baris ke-2. Maka dari baris ke-2 ini, kita mempunyai a 12 = 4, a22



12



= –2 dan a23 = 3. Dengan demikian kofaktor-kofaktor dari unsur-unsur di atas adalah : C21 = (–1)2+1M21 = –



−2



3



5



−1



= 13, C22 = (–1)2+2M22 = +



C23 = (–1)2+3M23 = –



dan



1



−2



2



5



1



3



3



−1



= –7



= –9,



sehingga diperoleh det(A) = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 4(13) + (–2)(–7) + 3(–9) = 52 + 14 – 27 = 39.







c. Bantuan Sifat-sifat Determinan Metode ini cukup efektif untuk matriks-matriks yang berukuran besar (n ≥ 4). Adapun prosedur pencarian determinan dengan bantuan sifatsifat determinan ini antara lain : 1. Carilah baris (kolom) yang paling banyak unsur nol-nya. Jika baris (kolom) yang seperti ini tidak ada, pilih baris (kolom) yang mengandung angka 1 atau –1, jika baris (kolom) yang demikian juga tidak ada, usahakan dengan sifat S3 ataupun S4 untuk mendapatkan unsur 1 atau –1 ini. 2. Jadikan nol semua unsur yang sebaris (sekolom) dengan unsur 1 atau –1 di atas, kemudian uraikan menurut baris (kolom) ini. Contoh : Hitunglah determinan berikut ini : 3 2



2 4



3 5



3 2



−1



3



2



4



4



2



3



2



.



Penyelesaian : Karena terdapat unsur –1 pada baris ke-3, pilih baris ini untuk diuraikan, namun sebelumnya akan kita nol-kan terlebih dahulu semua unsur yang sebaris dengan unsur –1 di atas,



12



3 2 −1 4



2 4 3 2



3 5 2 3



3 k 2 + 3k1 2 k 3 + 2k1 = k 4 4 + 4k1 2



3



11



9



15



2



10



9



10



−1



0



0



0



4



14



11



18



=



11 –1 10 14



9 9 11



15 10 18



.



Karena tidak ada unsur 1 atau –1 pada determinan terakhir, kita usahakan untuk memperolehnya dengan mengurangkan kolom ke-1 dengan kolom ke-2 sebagai berikut : 11 – 10 14



9 9



15 10



11



18



k1 - k 2



= –



2 1



9 9



15 10



k 2 - 9k1



3



11



18



k 3 - 10k 1



=



−9



−5



−16



−12



= 108 – 80 = 28.



12



–



2 1



−9 0



−5 0



3



−16



−12







= –(–1)