Bab 6 - Respon System Sdof Pada Eksitasi Dinamis [PDF]

Citation preview

Respons Sistem SDOF Pada Eksitasi Dinamis Metode Integral Duhamel Integral duhamel didasarkan pada prinsip superposisi, yang valid hanya untuk system linear. Dibawah menunjukan system SDOF tak teredam yang pada awalnya diam dimana kemudian dikenakan inputan P(t). respon dari system atas impuls dI= P(τ)dτ yang disebut du (t) dan didapatkan atas persamaan :



 dI du(t)    mωn



 sinωn (t  τ) 



Total respon pada waktu t akan menjadi jumlah dari respons yang berasal dari semua impuls mulai dari waktu awal hingga waktu t, sehingga



 1 u ( t )    mn



 t   p() sin n ( t  )d 0



atau



u(t) 







t



0



p( )h ( t  )d



dimana h(t- τ) unit impuls telah didapat dari sistem tak teredam . Persamaan diatas adalah valid untuk system teredam.



Sehingga, untuk system teredam dengan kondisi awal diam,



 1 u ( t )    mn



 t   p()e  n ( t ) sin d ( t  )d 0



u(t) 







t



0



p( )h ( t  )d



Persamaan diatas sseringkali menjelaskan sebagai integral konvulasi, bentuk yang lebih umum adalah : 



x ( t )   f 1 ()f 2 ( t  )d 



Jika sistem memiliki kondisi awal tidak sama dengan nol, maka untuk sistem tak teredam



 1 u ( t )    mn



 t  u  p() sin n ( t  )d  u 0 cosn t   0 0  n



  sin n t 



dan untuk sistem teredam ( under damped)



 1  t   p()e  n ( t  ) sin d ( t  )d  u 0 e  n t cosd t u ( t )    m n  0  1  u 0  n u 0 e  n t sin d t    d  Dan gunakan identitas trigonometri ketika mengevaluasi integrasi Duhamel



sin (t  )  sin t cos  cost sin 



Contoh 6.1 Gunakan integral Duhamel untuk menentukan respons dari system SDOF tak teredam dari sebuah beban “ledakan” yang ditentukan oleh triangular pulse. Tentukan pernyataan yang valid untuk t < td dan untuk t > td. Sistem tersebut dimulai pada waktu awal.



Main Menu



Penyelesaian  t   p( t )  p 0 1    td  p( t )  0



 1 u ( t )    mn



0  t  td td  t



 t   p() sin n ( t  )d 0



a. Untuk 0 ≤ t ≤ td   t    p 0 1   sin  n ( t  )d o  td  t    p0     sin  n t  1   cos  n  d( n ) o  k   td  t   p    0  cos  n t  1   sin  n  d ( n ) o  k   td 



 1 u ( t )    m n



gunakan integral parsial, kita dapatkan



 1     sin  n t d ( n )  cos   d (   )   sin    n n n   n   1   cos  n    sin  n     n  juga,



 1   sin   d (   )    cos    n n n   n



  sin  n  



sehingga,



 p0 u(t)    k



  t  sin  n t sin  n t     td 



  t  cos  n t cos  n t  1    td  Gambar Soal



  1  sin  n t     n t d



  1  cos  n t     n t d



  1  cos  n t     n t d



  



    sin  n t      Main Menu



penyederhanaan



 t R 1 ( t )  1    td



  1   cos  n t     n t d



  sin  n t 



b. Untuk td < t



 1 u(t)    m n 



  t      p 1  sin  n ( t  )d 0  o  td   



p(τ)=0 pada td < t, maka kita dapat menentukan td = t



p u(t)   0  k



dan, sehingga,



  1   sin  n t      n t d 



  1  cos  n t 1     n t d



 1 R 2 ( t )    n t d



  1  cos  n t d     n t d



  



    sin  n t     



 sin  n t (1  cos  n t d )  cos  n t ( n t d  sin  n t d ) 



Contoh 6.3 Sebuah gedung yang ditujukan untuk mendapatkan gaya ledak dibuat model dengan system SDOF. Tentukan gaya ledak maksimum yang dapat ditahan bila perpindahan dibatasi sampai 5 mm dan apabila : (1) td = 0.4 s, (2) td = 0.04 s



k = 9.0 GN/m, m = 10 Mg



Penyelesaian Tentukan frekuensi dasar sistem 1/ 2



k n    m



   



 9 109   10 106 



n fn   4.77 Hz 2



1/ 2



   



 30 rad / s



2



menentukan rasio respons maksimum 1



Untuk kasus 1, f n t d  4.77 0.4  1.91



R(t) 0



t/Tn 0



1



2



Dari reaspons spectrum -1 (R1)max (0td) -2



Untuk kasus 2,



f n t d  4.77 0.04   0.191 Dan dari reaksi spectrum Rmax = 0.58 Menentukan perpindahan statis untuk tiap kasus dan kemudian p0 : umax = 5 mm



p  u max  Rmax  0   k  atau p0 



kum ax Rm ax



Kemudian, untuk kasus 1,



 p 0 1







 



9 10 9 5 10 3  1.75



(p o ) 1  25.7 MN



 p0 2



  



9 10 9 5 10 3  0.58



(p o ) 2  77.6 MN











z(t)



u k c



m



Gambar diatas menunjukkan bentuk dasar gerakan relatif sistem SDOF. Misal, perpindahan relatif



w=u–z



Kemudian persamaan dari gerakan dapat ditulis



  cw   kw  - mz mw Rasio respons pada gerakan relatif difenisikan sebagai



w t   2n w t  R t    zmax mzmax / k



..



..



.



Dengan memasukkan z = zmax fa(t) .Untuk w (0) = w(0) = 0, maka 1



ω2 n  ζω n  t  τ    R(t)  f τ e sin ω d t  τ dτ a  ωd 0



Untuk sistem damped



dan 1



R(t)   n  f a  sin  n t  d 0



Untuk sistem undamped.



perpindahan relatif maksimum,



 1  w m ax   2 R m axz m ax  n  Jumlah kedua yang menjadi perhatian ialah akselarasi maksimum mutlak, ϋmax. Persamaan gerak dapat ditulis



  kw  0 mu  cw Untuk system yang undamped ϋmax dapat ditentukan,



u m ax  2 n w m ax atau,



u m ax  R m ax z m ax (c  0)



Contoh 6.4 Undamped SDOF sistem mengambarkan akselerasi dasar seperti gambar dibawah. Semua kondisi awal nol. Tentukan persamaan untuk wmax dan ϋmax dan plot log – log dari wmax dengan fn.



z  z m axf a (t)



dimana



   f a (t)     



1



0



t td



0  t  2t d 2td  t



Penyelesaian Menentukan reaksi untuk 0 ≤ t ≤ 2td



Untuk 0 ≤ t ≤ 2td memiliki format yang sama pada contoh 6.1, R1(t) akan sama yang diberikan pada persamaan 7 pada contoh 6.1



 t R1 t   1    td



  1   cos  n t      ntd



  sin  n t 



Menentukan reaksi untuk 2td < t



 2 t   R R 2 t   R 1 2 t d  cos n t  2 t d    1 d  sin n t  2 t d   n 



Menentukan waktu reaksi maksimum berdasarkan gaya – getaran, 0 ≤ t ≤ 2td



1  R 1 t    1  n t d sin n t  cos n t  td dimana Ŕ1 = 0



 n t m  2 tan 1  n t d  Pada kasus biasa



 n t m  2 tan 1  n t d 



dengan (ntm/2) berdasarkan pada kuadran pertama



Pada kasus terakhir



 n t m  2tan 1  n t d   p 



dimana p ialah integer terbesar untuk ntm < 2ntd dan tan-1 (ntd) diambil pada kuadran pertama



Kemudian,



 n t m R 1 max  1    n t d



  1   cos  n t m     n t d



  sin  n t m 



Menentukan waktu residual – vibration maksimum yang terjadi, 2td < t: Dari persamaan 2 2 1/ 2    R 1 2 t d      2 R 2 max  R 1 2 t d        n     dimana R1(2td) dan Ŕ1(2td) berdasarkan pada persamaan 1



Menentukan pernyataan untuk wmax dan ϋmax :



w max  1    R zmax t 2 d  2 n t 2 d  max



dan



u max  R max zmax



dimana Rmax adalah reaksi maximax, (R1)max dan (R2)max terbesar



Plot wmax dengan fn menggunakan skala log – log. Ini akan lebih mudah untuk menggambar reaksi nondimensional wmax/(z..maxtd2) dengan frekuensi alami nondimensional fntd