Bab V Penggunaan Turunan [PDF]

Citation preview

BAB V PENGGUNAAN TURUNAN



Setelah pada bab sebelumnya, kita membahas pengertian, sifat-sifat, dan rumus-rumus dasar turunan, pada bab ini kita akan membahas tentang aplikasi turunan, diantaranya untuk menghitung nilai limit bentuk tak tentu, laju sesaat, aproksimasi, dan maksimum minimum.



TIK : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu menerapkan turunan fungsi pada masalah yang diberikan.



5.1.



Limit Bentuk Tak Tentu. Pada bab III kita telah membahas tentang teknik menghitung limit fungsi,



baik untuk fungsi aljabar, fungsi trigonometri, maupun fungsi eksponensial. Teknik yang telah diberikan sebelumnya ternyata tidak cukup untuk menghitung



x + cos x − e x x x →0



limit fungsi yang ada, khususnya limit bentuk tak tentu, seperti lim



. Bentuk tak tentu ini berupa bentuk 0/0, sedangkan bentuk tak tentu lainnya ∞



adalah 0.∞, ∞ - ∞ , 00, 0 , dan ∞ /∞ . Oleh karena itu diperlukan teknik yang lainnya, diantaranya adalah aturan L’Hospital. Aturan L’Hospital adalah sebagai berikut:



75



Jika f (a ) = 0 dan g (a ) = 0 atau f (a ) →±∞ dan g (a) →±∞ , maka f ( x) f ' ( x) lim = lim . x →a g ( x) x →a g ' ( x)



Contoh : Hitunglah: 1.



lim x →0



2.



lim x →1



3.



e x − cos x sin x



x 3 −1 x −1



ln sin x x → 0 + ln x lim



Penyelesaian: 1. Karena



e 0 −cos 0 =1 −1 = 0



dan sin 0 = 0 , maka



lim x →0



e x − cos x sin x



dapat



dihitung dengan menggunakan aturan L’hospital. Oleh karena itu: lim x →0



e x − cos x e x + sin x e 0 + sin 0 1 + 0 = lim = = =1 sin x cos 0 1 x →0 cos x



2. Karena 13 −1 =1 −1 = 0 dan 1 −1 = 0 , maka



lim x →1



x 3 −1 x −1



dapat dihitung



dengan menggunakan aturan L’hospital. Oleh karena itu: x3 − 1 3x 2 = lim =6 x →1 x − 1 x →1 1 2 x lim



3. Karena



ln sin 0 + = − ∞



dan



ln 0 + = − ∞



ln sin x dapat ln x x →0



, maka lim+



dihitung dengan menggunakan aturan L’hospital. Oleh karena itu:



c o sx



lnsinx x lim = lim sin x = lim = 1. + ln x + 1 + ta nx x→ 0 x→ 0 x→ 0 x



76



5.2.



Laju Sesaat Jika posisi benda pada saat t adalah S (t ) , maka posisi benda pada saat t



+ h adalah S (t ) , sehingga laju rata-rata perubahan posisi benda dari t ke t + h adalah S (t + h) − S (t ) . h



Jika saat h → 0, maka



S (t + h) − S (t ) disebut laju sesaat benda pada saat h



t. Oleh karena itu laju sesaat benda pada saat t, dinotasikan dengan v (t ) , adalah S (t + h) − S (t ) dS = = S ' (t ) . h dt h →0



v(t ) = lim



Selanjutnya, turunan pertama dari laju sesaat disebut percepatan dan dinotasikan dengan a (t ) . Contoh: 1. Sebuah benda dijatuhkan dari menara dengan ketinggian 490 m, memenuhi persamaan gerak S (t ) = 4,9t2, dengan S (t ) menyatakan jarak yang ditempuh benda (dalam satuan meter) pada saat t dengan t menyatakan waktu (dalam satuan detik). Tentukan a. Kecepatan benda setelah 5 detik. b. Kecepatan benda ketika menabrak tanah. 2. Sebuah benda dilemparkan ke atas dan mempunyai persamaan gerak S (t ) = 4t – t2, dengan S (t ) menyatakan jarak benda dari tanah (dalam satuan meter) pada saat t dengan t menyatakan waktu (dalam satuan detik). Tentukan a.



Saat benda bergerak semakin cepat



77



b. c.



Saat benda bergerak semakin lambat Ketinggian maksimum benda



Penyelesaian: 1. a. Kecepatan benda setelah t detik adalah v(t ) = S ' (t ) = 9,8t



Jadi kecepatan benda setelah 5 detik adalah v(5) = 9,8 (5) m/det = 49 m/det. b.



Waktu yang diperlukan benda untuk mencapai tanah adalah ketika



jarak yang ditempuh benda mencapai 490 m. S (t ) = 490.



4,9t2 = 490 t2 = 100 t = -10 dan t = 10 Jadi kecepatan benda ketika menabrak tanah adalah v(10) = 9,8 (10) m/det = 980 m/detik. 2.a. Benda bergerak semakin cepat jika v (t ) > 0 dan a(t ) > 0 atau v (t ) < 0 dan a(t ) < 0 . Karena v(t ) = 4 − 2t dan a (t ) = −2 < 0 , maka v (t ) < 0 , sehingga t > 2 . Karena S (t ) = 4t – t2 ≥ 0, maka 0 ≤ t ≤ 4, sehingga benda bergerak semakin cepat pada saat 2 < t ≤ 4 . b. Benda bergerak semakin lambat jika v (t ) > 0 dan a(t ) < 0 atau v (t ) < 0 dan a(t ) > 0 .



Karena a (t ) = −2 < 0 , maka v (t ) > 0 , sehingga t < 2 .



Koleh karena itu benda bergerak semakin lambat pada saat 0 ≤ t < 2 .



78



5.3.



Aproksimasi (Hampiran) Jika y = f(x), maka dy = f’(x) dx. Dari bentuk ini, nilai ∆ y dapat dihampiri



oleh : ∆ y ≈ f’(x) ∆ x. Selanjutnya, Karena ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) , maka nilai f ( x + ∆x ) dapat dihampiri oleh: f ( x + ∆x ) = f ( x ) + ∆y ≈ f ( x ) + f ' ( x ) ∆x .



Bentuk hampiran lainnya diberikan pada contoh 3 di bawah ini. Contoh : 1. Tentukan hampiran dari



4,6



.



Penyelesaian : Misalkan



f ( x) =



x



. Diambil x = 4 dan ∆x = 0,6 . f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x ) ∆x



f ( x + ∆x) ≈



4,6 ≈ 4 +



Jadi



4,6



x+



1 2 4



1 2 x



∆x



.0,6 = 2 + 0,15



≈ 2,15.



2. Tentukan hampiran pertambahan luas gelembung sabun pada saat jari-jarinya bertambah dari 3 cm menjadi 3,025 cm. Penyelesaian : Luas gelembung bola sabun adalah A = 4π r2, sehingga A' = 8πr . Oleh karena itu ∆ A ≈ 8π r ∆ r = 8.π .3. 0,025 = 1,885 cm2



79



Jadi hampiran pertambahan luas gelembung sabun adalah 1,885 cm2. 3. Unit pencahayaan (lampu kilat) sebuah kamera bekerja dengan cara menyimpan muatan pada sebuah kapasitor dan melepaskannya secara mendadak



ketika



menggambarakan



unit



ini



muatan



dilepaskan.



Q



yang



Data



tersisa



pada



dalam



tabel



berikut



kapasitor



(dalam



mikrocoulomb) pada waktu t (dalam detik setelah unit ini dinyalakan).



Tentukan besarnya arus yang mengalir dari kapasitor ke lampu kilat, diukur dalam microampere, pada saat t = 0,04 detik. Petunjuk i(t) = Q’(t).



t Q



0,00 100,00



0,02 81,87



0,04 67,03



0,06 54,88



0,08 44,93



1,00 36,76



Penyelesaian: Q’(0,04) =



Q (0,04 + h) −Q (0,04 ) h h →0 lim



Berdasarkan hal tersebut, diperoleh Q’(0,04) ≈



Q (0,04 + h) − Q (0,04 ) h



Dari data di atas dipilih dapat dipilih h = 0,02 atau h = -0,02. Jika h = 0,02, kita peroleh: Q’(0,04) =



Q (0,06 ) −Q(0,04 ) 54 ,88 −67 ,03 = = −607 ,5 0,02 0,02



80



(Tanda negatif menunjukkan bahwa muatan listrik mengalir meninggalkan kapasitor menuju lampu kilat. Nilai ini menunjukkan besarnya arus rata-rata pada interval waktu antara 0,04 detik dan 0,06 detik). Jika h = -0,02, maka akan kita peroleh Q’(0,04) =



Q(0,02 ) −Q (0,04 ) 81,87 −67 ,03 = = −742 −0,02 −0,02



Nilai ini menunjukkan besarnya arus rata-rata pada interval waktu antara 0,02 detik dan 0,04 detik Hampiran yang lebih akurat didapatkan dengan mengambil rata-rata kedua bilangan tersebut, yaitu: Q’(0,04) ≈



− 742 +( −607 ,5) =−674 ,75 2



Hal ini berarti bahwa besarnya arus listrik yang mengalir dari kapasitor ke lampu kilat mendekati nilai 674,75 mikroampere. 5.4.



Permasalahan Maksimum dan Minimum Salah satu penerapan turunan adalah penentuan nilai optimum suatu



fungsi. Persoalan ini dapat direduksi menjadi pencarian nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Berikut diberikan definisi (pengertian) nilai maksimum dan nilai minimum. a. Fungsi f mempunyai nilai maksimum mutlak (atau nilai maksimum global) di c jika f(c) ≥ f(x) untuk setiap x dalam domain fungsi f. Nilai f(c) disebut nilai maksimum fungsi f. b. Fungsi f mempunyai nilai minimum mutlak (atau nilai minimum global) di c jika f(c) ≤ f(x) untuk setiap x dalam domain fungsi f. Nilai f(c) disebut nilai minimum fungsi f.



81



Selain nilai maksimum global dan nilai minimum global, dikenal juga pengertian nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal. a. Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal di c jika f(c) ≥ f(x) bilamana x terletak dekat c. Hal ini berarti bahwa f(c) ≥ f(x) untuk setiap x di dalam suatu selang terbuka yang memuat c. b. Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal di c jika f(c) ≤ f(x) bilamana x terletak dekat c. Hal ini berarti bahwa f(c) ≤ f(x) untuk setiap x di dalam suatu selang terbuka yang memuat c.



Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini.



(xo+h,f(xo+h)) L1 (xo,f(xo))



L2 Dari penjelasan sebelumnya telah disebutkan bahwa f ( x o + h ) − f ( xo ) = f ' ( xo ) . h h→0



m L1 = lim m L2 = lim h→0



Karena garis singgung kurva L1 condong ke kanan, maka m L1 = f ' ( xo ) > 0, sehingga di x = xo kurva f naik. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa: kurva f naik di x = xo, jika f ' ( xo ) > 0.



82



Dengan argumen yang sama diperoleh: 1. Kurva f turun di x = xo, jika f ' ( xo ) < 0 2. Kurva f tidak naik dan tidak turun di x = xo, jika f ' ( xo ) =0. Titik (xo,f(xo)) dengan f ' ( xo ) = 0 merupakan salah satu titik kritis dan disebut titik stasioner . Jenis titik kritis lainnya adalah titik singular, yaitu f ' ( x o ) tidak ada, dan titik ujung interval.



Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.



Titik kritis



titik singular titik stasioner



a



p



r



q



b



f’(p) = 0 f’(q) tidak ada x = b, a titik ujung interval titik ujung



Dari gambar di atas terlihat bahwa nilai maksimum mutlak terjadi pada x = q (titiknya berupa titik singular), nilai maksimum lokal terjadi pada x = p (titiknya berupa titik stasioner), nilai minimum lokal terjadi pada x = a (titiknya



83



berupa titik ujung interval) dan x = r (titiknya berupa titik stasioner), serta nilai minimum mutlak terjadi pada x = b (titiknya berupa titik ujung interval). Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum baik lokal maupun mutlak terjadi pada titik kritis. Dari gambar di atas, diperoleh juga kriteria khusus untuk titik stasioner, yaitu: i. Titik stasioner disebut titik maksimum, jika f ' ( x ) < 0 untuk x > xo dan f ' ( x ) > 0 untuk x < xo



ii. Titik stasioner disebut titik minimum, jika f ' ( x ) > 0 untuk x > xo dan f ' ( x ) < 0 untuk x < xo



Contoh : 1. Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan titik belok dari kurva y =



–



1 3 x 3



1 5 x . Kemudian sketsa grafiknya. 5



Penyelesaian : y’ = x2 – x4 = x2(1 – x)(1+x). Titik kritis terjadi pada saat y’ = 0, yaitu pada x = 0, -1, dan 1.



y’



x < -1



-1 < x < 0



01



positif



negatif



positif



Maksimum lokal di x = -1, minimum lokal di x = 1 Nilai fungsi untuk x= -1 adalah y = -3 Nilai fungsi untuk x = 1, yaitu y = -7. Nilai fungsi di ujung interval adalah f(2) = -3 dan f(-2) = -7 . Jadi nilai minimum fungsi adalah –7 sedang nilai maksimumnya adalah –3. 3. Tentukan ukuran tabung tegak yang volumenya maksimum yang dapat ditempatkan dalam sebuah kerucut lingkaran tegak dengan jari-jari 10 cm dan tinggi 12 cm. Penyelesaian : Persoalan di atas dapat digambarkan sebagai berikut.



85



Misalkan jari-jari, tinggi, dan volume tabung yang dapat dibuat berturut-turut adalah r, t, dan V. Volume tabung adalah V = π r2 t Dari gambar di atas, dari keserupaan segitiga diperoleh 12 12 − t = 10 r



sehingga t = 12 −



12 r 10



Bila kit substitusikan t ini ke dalam rumus V, diperoleh V = π r2 .( 12 −



12 r) 10



Karena kita akan memaksimumkan V maka dicari turunan V terhadap r, diperoleh V ′ = 24 π r −



18 2 πr 5



Untuk V’=0 diperoleh nilai stasioner r = 0 atau r =



20 . 3



Jadi agar volume tabung maksimum maka jari-jari tabung adalah r =



tinggi tabung adalah t = 12 −



20 cm dan 3



12 r = 4 cm. 10



Latihan 5. 1. a.



Dengan menggunakan dalil L’hospital, hitunglah: lim



x →1



x −1



x +3 −2 2



b.



lim



h →0



x +h − x h



86



c.



lim



d.



lim



3 +h − 3 h



h →0



x →4



x −4 x −3 − 5 − x



1−



e.



lim



x →1



1−



1



1 1 lim ( − ) x →0 x e x − 1



π ) 3 π x− 3



sin( x −



r.



lim π x→ 3



x2 1 x3



f.



lim x →0



ln( x +1) − x sin x



g.



lim x →0



ln( x +1) − x sin x



h.



lim



i.



q.



x2 − 9



x →3 x 2 − 5x + 6



lim x →0



e x cos x −1 sin x



j.



cot x − 1 lim x →0 csc x + 2



k.



cot x − 1 lim csc x+2 x →0



l.



e sin x − cos x lim x →0 ln( x + e x )



m.



lim x →0



n.



ln sin x x → 0 + ln tan x



o.



π lim ( x − ) tan x 2 x→π



x − sin x x3



lim



2



p.



lim x→0



ln cos x x2



87



2.



Tentukan laju perubahan luas lingkaran terhadap jari-jarinya.



3.



Tentukan laju perubahan volume suatu partikel emulsi berbentuk bola



terhadap jari-jarinya. 4.



Banyaknya penduduk P (dalam ribuan) pada sebuah kota dari tahun



1991 sampai tahun 1997 disajikan pada table berikut. Tabel banyaknya penduduk pada suatu kota (dalam ribuan) Tahun (t) P Apakah satuan



1991 793



1993 820



1995 839



1997 874



dP ? dt



Taksirlah laju pertumbuhan sesaat (dP/dt) tahun 1995. 5.



Misalkan persamaan gerak partikel diberikan oleh persamaan s = A cos (ϖt + δ )



Partikel dengan persamaan gerak tersebut dikatakan mengalami gerak harmonik sederhana. a.



Carilah kecepatan partikel pada waktu t.



b.



Kapan kecepatan 0 ?



6.



Bintang berubah ‘Cepheid’ adalah bintang yang kecermelangannya



berganti-ganti, bertambah dan berkurang. Bintang yang paling dapat dilihat dengan mudah adalah Delta Cephei, yang memiliki selang di antara waktu kecermelangan maksimum 5,4 hari. Rata-rata kecemerlangan bintang ini adalah 4,0 dan kecemerlangannya berubah sebesar ± 0,35. Berdasarkan data ini, kecemerlangan Delta Cephei pada saat t, dengan t diukur dalam hari, telah dimodelkan oleh fungsi  2πt  B (t ) =4,0 + 0,35 sin    5,4 



a.



Carilah laju perubahan kecemerlangan setelah t hari.



b.



Carilah laju pertambahan setelah satu hari (ketelitian hingga 2 desimal).



88



7.



Model untuk banyaknya matahari bersinar di kota Philadelphia pada hari



ke-t pada tahun tertentu adalah  2π ( t −80 )  L (t ) =12 +2,8 sin  365 



Gunakan model tersebut untuk membandingkan banyaknya jam matahari bersinar di Philadelphia pada tanggal 21 Maret dan 21 Mei. Keterangan: 1 Januari merupakan hari ke-1, 1 Pebruari merupakan hari ke-32, 1 Maret merupakan hari ke-60, dan seterusnya. 8. Rusuk kubus diukur sebagai 11,4 cm dengan galat yang mungkin ± 0,05 cm. Hitung volume kubus dan berikan taksiran untuk galat dalam nilai ini. 9.



Garis tengah luar sebuah tempurung bola tipis adalah 12 dm. Jika tebal



tempurung 0,3 dm, carilah volume daerah sebelah dalam tempurung



.



Garis tengah sebuah bola diukur sebagai 20 ± 0,1 cm. Hitung



10.



volumenya dengan suatu taksiran untuk galat 11.



Penggiling berbentuk tabung panjangnya tepat 12 cm dan garis



tengahnya diukur sebagai 6 ± 0,005 cm. Hitung volumenya dengan taksiran untuk galat. Posisi sebuah partikel diberikan oleh persamaan s = f(t) = t3 – 6t2 + 9t,



12.



dengan t diukur dalam detik dan s dalam meter. a.



Carilah percepatan pada saat t. Berapa percepatan setelah 4 detik?



b.



Gambarkan fungsi posisi, kecepatan, dan percepatan untuk 0 ≤ t ≤ 5.



c.



Kapan partikel bertambah cepat?



13. Carilah nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak f pada interval yang diberikan. 89



a.



F(x) = 18x + 15x2 – 4x3,



b.



F(x) = 3x5 – 5x3 – 1, [- 2, 2]



c.



F(x) = sin x + cos x,



[- 3, 4]



[0, 2π ]



14. Model untuk indeks harga makanan (harga “sekeranjang” makanan yang mewakili) antara tahun 1984 dan 1994 diberikan oleh fungsi I(t) = 0,00009045 t5 + 0,001438 t4 – 0,06561 t3 + 0,4598 t2 – 0,6270 t + 99,33 dengan t diukur dalam tahun sejak pertengahan 1984, sehingga 0 ≤ t ≤ 10, dan I(t) diukur dalam dolar 1987 dan diskalakan sedemikian sehingga I(3) = 100. Taksirlah waktu ketika makanan paling murah dan paling mahal selama periode 1984 – 1994.



@@@



90