Chasles Theorem [PDF]

Citation preview

Chasles Theorem Theory 1 setiap gerakan dari tubuh yang kaku dapat diwujudkan dengan perputaran dari axis yang digabungkan dengan perpindahan perpindahan yang parallel dengan axis tersebut.



Bukti 1 Bayngkan transformasi matrik homogen 4x4



Untuk melanjutkan kita akan mengganti bases dari matrik untuk mengetahui strukturnya. Ini dapat dilakukan dengan melakukan similarity transform dari matriks A berdasarkan



Mari kita mulai menyelidiki bagian rotasi , contohnya bagian kiri atas 3x3 sub matriks dari matriks A. matrik Q sekarang dapat dipilih berdasarkan



Dimana u adalah eigenvalue dari R berhubungan dengan eigenvalue1 (lebih spesifiknya itu adalah axis dari rotasi). Kedua vector yang lain (v1 dan v2) dipilih sehingga v1 dan v2 bisa bersama membentuk real basis. Ini berarti bahwa bagian 3x3 dikiri atas (QTRQ) dari matriks A dikurangi menjadi rotasi dari z axis berdasarkan pada



Untuk melakukan translasi kita persamaan berikut ini



Dimana:



sehingga persamaannya menjadi



Jika matrik 2x2 atas adalah matriks non singular kita dapat mnyelesaikan 2 persamaan pertama dari



Untuk cx dan cy dan tanpa kehilangan generality , anggap cz=0. Sehingga kita punya A dalam bentuk.



Dimana k didapatka dari komponen ketiga dalam



Sehingga gerakan dari tubuh yang kaku dideskripsikan dengan rotasi dari z axis sampai sudut x diikuti dengan traslasi dari z axis sampai jarak k. jika bagian atas sub matrik 2x2 dari ()adalah singular maka () = I. ini berarti matriks A translasi murni.