Constrained Optimization [PDF]

Citation preview

CONSTRAINED OPTIMIZATION



Constrained optimization atau Pengoptimalan terbatas adalah proses pengoptimalan fungsi objektif sehubungan dengan beberapa variabel dengan adanya batasan pada variabel tersebut. Fungsi objektif dapat berupa fungsi biaya atau fungsi energi yang diminimalkan, fungsi reward atau fungsi utilitas yang dimaksimalkan. Unconstrained optimization menjelaskan cara mencari nilai maksimum atau minimum fungsi dua variabel dimana variabel x dan y bebas untuk mengumpulkan semua nilai. Asumsi ini tidak realistis dalam banyak situasi ekonomi. Individu yang ingin meminimalkan manfaat dibatasi oleh perusahaan yang ingin membatasi pendapatan dan meminimalkan jumlah produksi. Fungsi pengoptimalan secara umum, z = f (x, y) disebut fungsi obyektif yang sesuai dengan batasan φ(x, y) = M Di sini φ adalah fungsi dari dua variabel dan M adalah konstanta. φ(x, y) = M Untuk lebih spesifik, mari kita asumsikan bahwa sebuah perusahaan ingin memaksimalkan pengeluaran dan berbentuk fungsi produksi Q = f(K, L) Masing-masing unit biaya modal dan tenaga kerja dibayar dengan PK dan PL. Biaya yang harus dikeluarkan perusahaan sebagai input K unit dan L tenaga kerja PK K+ PLL jadi jika perusahaan memiliki jumlah tetap, M , untuk dibelanjakan pada input ini, maka P KK + P L L = M



Masalahnya adalah salah satu upaya untuk memaksimalkan fungsi objektif/target Q = f (K,L). Dibatasi pengeluaran PKK+PLL= M Kami sekarang akan menjelaskan pendekatan alternatif yang dikenal sebagai metode substitusi. Untuk mengilustrasikan metode ini, kami akan menunjukkan bagaimana menemukan nilai minimum dari fungsi tujuan. Menunjukkan bagaimana cara menemukan nilai minimum dari fungsi target untuk menjelaskan bagaimana cara melakukannya. z = -2x² + y2 Batasan harus diikuti oleh 2x - 1. Hal yang harus dilakulan, mensubstitusikan persamaan y dengan batasan langsung dalam fungsi yang sedang coba kita optimalkan. z = -2x² + (2x - 1)2 = -2x² + 4x² - 4x + 1 = 2x² - 4x + 1 Sekarang perhatikan efek menakjubkan dari z. Alih-alih fungsi dari dua variabel z adalah x dan y, z sekarang hanya fungsi dari satu variabel x. Jadi nilai minimum z dapat ditemukan dengan menggunakan teori titik stasioner yang dibahas di Bab 4. Di titik stasioner dz = 0 dx



itu adalah, 4x - 4 = 0 Solusi x = 1. Didiferensialkan untuk kedua kalinya akan terlihat bahwa, d²z/dx = 4 > 0



mengkonfirmasikan bahwa titik stasioner adalah minimum. Nilai z dapat ditemukan dengan mensubstitusikan x = 1 z = 2x² - 4x + 1 Menjadi z = 2 (1)²-4 (1) + 1 = −1 Memungkinkan juga untuk menemukan nilai y minimal. Untuk melakukan ini, kita mengganti x = 1 y = 2x - 1 Menjadi Y = 2 (1) - 1 = 1 Oleh karena itu, fungsi yang dibatasi memiliki nilai minimum –1 pada titik (1, 1). Metode substitusi untuk pengoptimalan z = f (x, y) tunduk pada (x, y) = M dapat diringkas sebagai berikut: Langkah 1 Gunakan batasan φ (x, y) = M untuk mengekspresikan y dalam bentuk x. Langkah 2 Gantikan ungkapan ini untuk y ke dalam fungsi objektif z = f (x, y) untuk menuliskan z sebagai fungsi dari x saja. Langkah 3 Gunakan teori titik stasioner dari fungsi satu variabel untuk mengoptimalkan z.



Contoh soal 1. Fungsi produksi perusahaan diberikan oleh Q = 2 K½ L½ Modal unit dan biaya tenaga kerja masing-masing adalah $4 dan $3. Temukan nilai K dan L yang meminimalkan biaya input total jika perusahaan dikontrak untuk menyediakan 160 unit output. Jawaban : Biaya modal dan tenaga kerja adalah $4 dan $3 per unit, total biaya penggunaan unit K modal dan L unit tenaga kerja TC = 4 K + 3 L Kuota produksi perusahaan adalah 160, jadi 2K½ L½ = 160 Langkah 1 Mengatur ulang batasan untuk mengekspresikan L dalam istilah K memberi L½ = 80/K½ L = 6400/K Langkah 2 Menggantinya ke dalam fungsi tujuan TC = 4K + 3L TC = 4K + 19.200/K dan biaya sehingga total sekarang fungsi dari satu variabel, K.



Langkah 3 Di titik stasioner



d(TC)/dK = 0 4 – 19.200/K² = 0 Ini dapat ditulis sebagai 4 =19.200/K² Jadi K² = 19 200/4 = 4800 K  = √4.800 = 69.28 Akhirnya, nilai L dapat ditemukan dengan mensubstitusi K = 69,28 ke dalam batasan L = 6400/ K L = 6400 / 69.28 = 92.38 Jadi K= 69.28 dan L = 92.38