Course 5 - Rancangan Bujur Sangkar Latin PDF [PDF]

Citation preview

Percobaan Satu Faktor: Rancangan Bujur Sangkar Latin (Latin Square Design) Arum H. Primandari, M.Sc.



Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL) • Pada kondisi-kondisi tertentu, keheterogenan unit percobaan tidak bisa dikendalikan hanya dengan satu sisi keragaman unit-unit percobaan. • Salah satu yang mampu mengendalikan keragaman lebih dari satu adalah RBSL. • RAKL hanya mengendalikan keragaman dari satu arah, sementara RBSL mengendalikan keragaman dari dua arah (baris dan kolom)



Kelebihan dan Kekurangan • Kelebihan: – mampu mengendalikan komponen keragaman unit – unit percobaan dari dua arah (arah baris dan arah kolom).



• Kekurangan: – persyaratan RSBL sering dianggap kekurangan, yaitu bahwa jumlah ulangan harus sama dengan jumlah perlakuan. – Untuk jumlah perlakuan yang lebih kecil dari 4 akan mengakibatkan jumlah db galat percobaan menjadi sangat kecil dengan konsekuensi bahwa galat percobaan akan menjadi besar. – Akibat dari dua kekurangan sebelumnya, RBSL hanya digunakan untuk percobaan yang menggunakan 4 – 8 perlakuan.



Syarat RBSL • Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom • Pengacakan, setiap perlakuan harus muncul sekali di setiap baris dan sekali di setiap kolom



Pengacakan dan Denah Rancangan • Kasus: suatu penelitian melibatkan 4 perlakuan (A, B, C, D) dimana penempatan perlakuan diacak berdasar posisi baris dan kolom. • Oleh karena Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom, maka banyak unit percobaan adalah 4 x 4 = 16. • Penempatan perlakuan harus memperhatikan aturan: setiap perlakuan hanya muncul sekali pada arah baris dan sekali pada arah kolom.



• Cara pengacakannya yaitu: 1. Tempatkan perlakuan pada arah diagonal secara acak. 1 2 3 4



A B D C 1



C A B D 2



D C A B 3



B D C A 4



2. Acaklah penempatan baris 3 2 4 1



D B C A 1



B A D C 2



A C B D 3



C D A B 4



3. Acaklah penempatan kolom 3 2 4 1



B A D C 2



C D A B 4



D B C A 1



Bagan percobaan akhir



A C B D 3



Tabulasi Data



Model Linier • Model linier untuk RBSL:



Yijk    i   j  k  ijk



i, j,k  1,2,...,r ij  N 0, 2  iid



dimana: Yijk: nilai pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i dan kolom ke-j μ: rataan umum αi: pengaruh baris ke-i βj: pengaruh kolom ke-j τk: pengaruh perlakuan ke-k εijk: pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke-k pada baris ke-i dan kolom ke-j



Asumsi • Asumsi untuk model tetap t



r



t



i1



j1



i1



2   0,   0,   0 dan   N 0,     i  j k ijk iiid



• Asumsi untuk model acak



i  N 0,   , j  N 0,   , k  N 0,  iid



2 



iid



2 



iid



2 



 dan 



2  N 0,    ijk iiid



Hipotesis Model Tetap • Hipotesis pengaruh perlakuan H0 : 1  2  ...  r  0 Perlakuan tidak berpengaruh terhadap



H1 : k  0,(k  1,2,...,r) • Hipotesis pengaruh baris H0 : 1   2  ...  r  0 H1 : i  0,(i  1,2,...,r)



• Hipotesis pengaruh kolom



H0 : 1  2  ...  r  0 H1 :  j  0,( j  1,2,...,r)



respon yang diamati



Hipotesis Model Acak • Hipotesis pengaruh perlakuan H0 : 2  0 H1 : 2  0 • Hipotesis pengaruh baris H0 : 2  0 H1 : 2  0 • Hipotesis pengaruh kolom H0 : 2  0 H1 : 2  0



Perhitungan 2 Y FK  2 r r



r



r



JKT   Yijk2  FK i1 j1 k 1



Yi2 JKB    FK i1 r r



r



Y2j



j1



r



JKK  



 FK



Y2k JKP    FK k 1 r JKG  JKT  JKB  JKK  JKP r



Tabel Analisis Variansi SV



db



JK



KT



F-hitung



Perlakuan



r–1



JKP



KTP



KTP/KTG



Baris



r–1



JKB



KTB



KTB/KTG



Kolom



r–1



JKK



KTK



KTK/KTG



Galat



(r – 1)(r – 2)



JKG



KTG



Total



r2 – 1



JKT



Uji Hipotesis, maka kriteria keputusan : H0 ditolak jika:



Fhitung  F ,r1,(r1)(r2)



Efisiensi Relatif (ER) dari RBSL • Tingkat efisiensi RBSL terhadap RAK: db  1   dbb  3   ˆ b2  ER   2  db  3  dbb  1 ˆ  dimana dbl: derajat bebas galat dari RBSL, dbb: derajat bebas galat dari RAK, ragam galat dari RBSL dan RAK: ˆ l2  KTG ˆ



2 b



r  1KTK   r  1  r  1r  2  KTG  r r  1



• Misal ER = 5 berarti agar sensifitas RAK sama dengan RBSL maka ulangan dalam RAK sebanyak 5 kali dari banyak kolom yang digunakan RBSL



Efisiensi RBSL terhadap RAK • Efisiensi RBSL terhadap RAK terdapat 2 ukuran: 1. Memperlakukan baris sebagai kelompok • Dugaan KTG (RAK): fcKTK   ft  fe KTG  KTG(RAK)  fc  ft  fe dengan: KTK dan KTG adalah kuadrat tengah kolom dan kuadrat tengah galat dari RBSL; fc, ft, fe berturut-turut adalah derajat bebas untuk kolom, perlakuan, dan galat dari RBSL.



2. Memperlakukan kolom sebagai kelompok • Dugaan KTG (RAK) adalah:



frKTB   ft  fe KTG  KTG(RAK)  fr  ft  fe dengan: KTB dan KTG adalah kuadrat tengah baris dan kuadrat tengah galat dari RBSL; fr, ft, fe berturut-turut adalah derajat bebas untuk baris, perlakuan, dan galat dari RBSL.



• dengan demikian, ER(RBSL terhadap RAK) dihitung berdasarkan formula:  f1  1 f2  3KTG(RAK)  ER(RBSL terhadap RAK)   f2  1 f1  3KTG(RBSL) dengan: f1 dalah db galat untuk RBSL dan f2 adalah db galat untuk RAK.



Data Hilang dalam RBSL • Pendugaan data hilang:



Y



r B  K  P   2G



r  1r  2 



• dengan: r: banyaknya perlakuan. B: total nilai pengamatan dari baris yang mengandung data hilang. K: total nilai pengamatan dari kolom yang mengandung data hilang. P: total nilai pengamatan dari perlakuan yang mengandung data hilang. G: total seluruh pengamatan



• Jumlah kuadrat perlakuan melalui analisis ragam akan berbias ke atas dengan besar bias:



G  B  K  r  1P  Bias 



2



r  1r  2 



2



Latihan



Pengulangan dari RBSL • Salah satu kelemahan RBL berukuran kecil adalah bahwa rancangan itu hanya memiliki derajat bebas yang kecil, konsekuensinya tingkat ketelitian akan rendah. • Misalkan: untuk RBSL 3×3 hanya memiliki db: (3-1)(3-2)=2 • Oleh karena itu, apabila kita menggunakan RBSL dalam ukuran kecil, sering dipertimbangkan untuk mengulang RBSL tersebut sehingga diperoleh db galat yang besar.



• Contoh: Kita melakukan percobaan pemberian makanan jenis A, B, dan C pada sapi. Dalam percobaan, kita menggunakan RBSL ukuran 3×3, dengan menyiapkan 3 ekor sapi untuk dicobakan secara bergantian selama 3 periode waktu.



Periode



Misalkan denah percobaannya adalah: 1



A



B



C



2



B



C



A



3



C



A



B



1



2 Sapi



3



Untuk meningkatkan db galat, maka kita mengulang percobaan dengan RBL 3×3 itu sebanyak n kali, katakanlah sebanyak 3 atau 4 kali.



Periode



Sapi 1



2



3



1



A



B



C



2



B



C



A



3



C



A



B



4



B



C



A



5



A



B



C



6



C



A



B



7



C



A



B



8



A



B



C



9



B



C



A



10



A



B



C



11



B



C



A



12



C



A



B



RBSL ukuran 3×3



RBSL ukuran 3×3



RBSL ukuran 3×3



RBSL ukuran 3×3



• Derajat bebas dari 4 buah RBSL 3×3: SV



db



Baris/ Periode dalam RBSL (Ulangan)



nr – 1 = (4)(3) – 1 = 11



Kolom (sapi)



r–1=3–1=2



Perlakuan (makanan)



r–1=3–1=2



Galat



(r – 1)(nr – 2) = (2)(10) = 20



Total



nr2 – 1 = 35



Perhitungan 2 Y FK  2 nr r



r



r



r



2 JKT   Yijkl  FK i1 j1 k 1 l 1



1 r 2 JK(RBSL)  JK(ulangan)  2  Yl  FK r l1 Yi2l 1 r 2 JKB(RBSL)    2  Y l r l1 i1 l1 r r



r



Y2j



j1



nr



JKK  



r



 FK



Y2k  JKP    FK k 1 nr JKG  JKT  JK(RBSL)  JKB(RBSL)  JKK  JKP r



Tabel Anava SV



db



JK



KT



Baris/ Periode



nr – 1



JK(RBSL) + JKB(RBSL)



KTB



Kolom



r–1



JKK



KTK



Perlakuan



r–1



JKP



KTP



Galat



(r – 1)(nr – 2)



JKG



KTG



Total



nr2 – 1



JKT



F



KTP/KTG



Rancangan Beralih (Cross-Over Design)



Cross-Over Design • Digunakan dalam percobaan yang menggunakan rotasi dengan panjang periode tetap (panjang periode ditentukan oleh peneliti). • Pengaruh bawaan dari perlakuan terdahulu akan mempengaruhi pengukuran dari pengaruh perlakuan sekarang. • Pengaruh bawaan dapat diatasi melalui pemilihan rancangan percobaan yang sesuai atau melalui penyisipan suatu periode istirahat di antara periode-periode perlakuan. • Periode istirahat merupakan suatu periode waktu tanpa pengamatan pada perlakuan sekarang atau suatu periode tanpa perlakuan. • Pada dasarnya rancangan beralih merupakan kombinasi antara RBSL dan RAK



• Contoh: Misalkan kita memiliki 2 perlakuan:



– A: pemberian makanan tambahan – B: tanpa pemberian makanan tambahan



Perlakuan A dan B akan dicobakan pada 8 ekor sapi. Setiap ekor sapi akan menerima 2 perlakuan A dan B dalam periode 1 dan 2. Perlakuan A dan B diberikan secara acak, dengan pembatasan separuh sapi mendapat perlakuan A dan separuhnya lagi mendapat perlakuan B dalam periode 1. Selanjutnya, sapi-sapi yang mendapat perlakuan A pada periode 1 akan beralih mendapat perlakuan B pada periode 2, vise-versa.



Denah Percobaan Sapi atau Ulangan Baris



1



2



3



4



5



6



7



8



Periode 1



B



A



B



A



A



B



B



A



Periode 2



A



B



A



B



B



A



A



B



Jika percobaan yang sama dilakukan dengan menggunakan RBSL, maka kita perlu menggunakan RBSL ukuran 2×2 diulang sebanyak 4 kali. Sapi atau Ulangan 1



2



3



4



5



6



7



8



1



B



A



B



A



A



B



B



A



2



A



B



A



B



B



A



A



B



RBSL 1



RBSL 2



RBSL 3



RBSL 4



Perhitungan 2 Y FK  bk b



k



JKT   Yij2  FK i1 j1



Yi2 JKB    FK i1 b b



k



Y2j



j1



k



JKK  



 FK



Y2k JKP    FK k 1 r JKG  JKT  JKB  JKK  JKP r



• dengan: b: banyak baris k: banyak kolom



Tabel Anava SV



db



JK



KT



Baris/ Periode



b–1



JKB



KTB



Kolom



k–1



JKK



KTK



Perlakuan



t–1



JKP



KTP



Galat



*



JKG



KTG



Total



bk – 1



JKT



* db galat: db total – db baris – db kolom – db perlakuan



F



KTP/KTG



Referensi • Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung. • Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung. • Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.