CUESTIONARIO Grupo 7-8 [PDF]

Citation preview

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI UNIDAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA Y APLICADAS OCTUBRE 2017 – FEBRERO 2018 CUESTIONARIO DE TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Grupo 7: TEMA 4, 5,6 Integrantes:     



Atavallo Echeveria Jonathan Eduardo Escobar Cardenas Andres Sebastian Paredes Calderón Dammon Alexander Chiluisa Oña Nacimba Segundo Leónidas



Grupo 8: TEMAS 1,2,3 Integrantes:     



Atiaja Chicaiza Kevin Rene Andi Aguinda Dennis Cristhian Bonilla Correa Brayan Alexander Mendoza Chilig Francisco Alexander Naranjo Barrera Alexander ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA DE LOS SISTEMAS DE CARGA



1.- Halle el trabajo realizado al mover una carga de +2C desde (2,0,0) m hasta (0,2,0)m a lo largo de la línea recta que une los dos puntos , si el campo eléctrico es : 𝐸 = 2𝑥𝑎 – 4𝑦𝑎 (V/m) 𝑑𝑊 = 𝑄 ∗ 𝐸 ∗ (𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧) 𝑑𝑊 = −2(2𝑥𝑎 − 4𝑦𝑎)(𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧) 𝑑𝑊 = −4𝑥𝑑𝑥 + 8𝑦𝑑𝑦 Ecuación de la trayectoria 𝑥 + 𝑦 = 2𝑦 por lo tanto 𝑑𝑦 = −𝑑𝑥 𝑑𝑊 = −4𝑥𝑑𝑥 + 8(2 − 𝑥)(−𝑑𝑥) 𝑑𝑊 𝑑𝑊 𝑑𝑊 𝑑𝑊



= −4𝑥𝑑𝑥 + (16 − 8𝑥)(−𝑑𝑥) = −4𝑥𝑑𝑥 + 8𝑥𝑑𝑥 − 16𝑑𝑥 = 4𝑥𝑑𝑥 − 16𝑑𝑥 = (4𝑥 − 16)𝑑𝑥 2



𝑊 = ∫ ( 4𝑥 − 16)𝑑𝑥 0 0



𝑊 = ∫ 4𝑥𝑑𝑥 − 16𝑑𝑥 2



0



0



𝑊 = ∫ 4𝑥𝑑𝑥 − ∫ 16𝑑𝑥 2



2



(2)2 (0)2 𝑊=4 −4 − (16(0) + 16(2)) 2 2 𝑊 = −8 + 32 𝑤 = 24𝑱 2.-Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = 5 desde el origen hasta (2m, ℿ/4, ℿ/2) coordenadas esféricas en el campo: 𝑟 10 𝑉 𝐸 = 5𝑒 −4 𝑎𝑟 + 𝑎𝜃 ( ) 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚 En coordenadas cilíndricas 𝑑Ι = 𝑑𝑟𝑎𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝑎𝜃 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜙𝑎𝜙 Escoja la trayectoria que se muestra en la figura a lo largo del segmento 𝑑𝜃 = 𝑑𝜙 = 0, 𝑦 𝑑𝑊 = −𝑄𝐸 ∗ 𝑑𝐼 𝑟



𝑑𝑊 = (−5𝑥10−6 )(5𝑒 −4 𝑑𝑟) A lo largo del segmento II, 𝑑𝑟 = 𝑑𝜃 = 0, 𝑦 𝑑𝑊 = −𝑄𝐸 ∗ 𝑑𝐼 𝑑𝑊 = (−5𝑥10−6 )(10𝑑𝜙) A lo largo del segmento III, 𝑑𝑟 = 𝑑𝜙 = 0, 𝑦 𝑑𝑊 = −𝑄𝐸 ∗ 𝑑𝐼 = 0 Por consiguiente: 2



Π/2



𝑊 = (−25𝑥10−6 ) ∫ 𝑒 −𝑟/4 𝑑𝑟 + (−50𝑥10−6 ) ∫ 0



𝑑𝜙



0



𝑊 = 15.45 𝑢𝐽 3.-Halle el potencial en rA= 5 m respecto de rB = 15 m producido por una carga puntual Q = 500 pC en el origen y referencia cero en el infinito. 𝑄 1 1 𝑉 AB= 4𝜋𝐸𝑜 (𝑟𝑎 − 𝑟𝑏) 𝑉 AB=



500𝑥10−12 1 10−9 ) 4𝜋( 36𝜋



𝑉 AB= 0.60 V



1



(5 − 15)



4.-Halle el trabajo realizado al mover una carga Q= -20µC desde el origen hasta (4,2,0)m 𝐯 ⃗ = 2(x + 4y)𝐚𝐱 ⃗⃗⃗⃗ + 𝟖𝐱 𝐚𝐲 ⃗⃗⃗⃗ ( ) en el campo 𝐄 𝐦 A lo largo de la trayectoria X2 = 8y ⃗ . dl dw = -𝑄E X X2 = 8y → y = ; dy = 4 dx ; dx = √2 y1/2 dy , dl = dx. ax⃗ 



dw = (20x10-6) ( 2(x + 4y) ax ⃗⃗⃗⃗ + 8x ay ⃗⃗⃗⃗ ).(dx ax⃗ + dy ay ⃗ + dz az )



dw = (20x10-6) (2(x + 4y) dx + 8dy) dw = 40x10-6 (x + 4y) dx + 160x10-6 x dy X2



X



dw = 40x10-6 (x + 4( 8 )) dx + 160x10-6 x( 4 ) dw = 40x10-6 (x + 



X2 2



) dx + 40x10-6 x2 dx 4



w = 40x10-6 ∫0 (x + 4



w = 40x10-6 ∫0 x dx + 𝑋2



4



X2



40𝑥10−6 2



2



4



) dx + 40x10-6∫0 (X 2 ) dx 4



4



∫0 𝑋 2 dx + 40x10-6 ∫0 𝑥 2 dx 𝑋3



4



𝑋3



w = 40x10-6 │ 2 │0 + 20x10-6 │ 3 │0 + 40x10-6 │ 3 │0 20𝑥10−6



40𝑥10−6



w = 20x10-6 (4)2 + (4)3 + 3 3 w = 3.2x10-4 + 4.26x10-4 + 8.53x10-4 w = 1.559x10-3 J w = 1.6 mJ



4



(4)3



 dw = (20x10-6) ( 2(x + 4y) ax ⃗⃗⃗⃗ + 8x ay ⃗⃗⃗⃗ ).(dx ax⃗ + dy ay ⃗ + dz az ) dw = (20x10-6) (2(x + 4y) dx + 8dy) dw = 40x10-6 (x + 4y) dx + 160x10-6 x dy dw = 40x10-6 (√8𝑦 + 4y ) ( √2 y1/2 ) dy + 160x10-6 √8𝑦 dy dw = 40x10-6 ( 4 + 4√2 y1/2 ) dy + 160x10-6 2√2 y1/2 dy 2 2 2  w = 160x10-6 ∫0 𝑑𝑦 + 160x10-6 √2 ∫0 𝑦1/2 dy + 320x10-6 (√2) ∫0 𝑦1/2 dy 2



2



2



2



w = 160x10-6 │y │0 + 160x10-6 (√2) │3 y3/2 │0 + 320x10-6 (√2)(3)(2)3/2 w = 7.4666x10-4 + 8.5333x10-4 w = 1.6 mJ



5.-Dos cargas, q1 = 2 μC y q2 = - 2μC se encuentran a una distancia de 10 cm. Calcular: a) ¿Cuánto vale el potencial en el punto A y en el punto B? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos A y B? c) ¿Cuál es el valor del trabajo que debe realizar el Campo Eléctrico para mover una carga de – 3 μC del punto A al punto B? q1 = 2 μC = 2x10-6 C q2 = - 2 μC = - 2x10-6 C R1 = 3 cm = 0,03 m R2 = 7 cm = 0,07 m a) VA = Vq1 + Vq2 Vq1 = Vq2 =



𝐾 . 𝑞1 𝑅1 𝐾 . 𝑞2 𝑅2



= =



9𝑥109 . 2𝑥10−6 0.03



= 600x103 J/C (V)



9𝑥109 .(− 2𝑥10−6 ) 0.07



= - 257.14x103 J/C (V)



VA = 600x103V + (- 257.14x103) V VA = - 342.86 x 103 V VB = Vq1 + Vq2 Vq1 = Vq2 =



𝐾 . 𝑞1 𝑅1 𝐾 . 𝑞2 𝑅2



= =



9𝑥109 . 2𝑥10−6 0.12𝑚 9𝑥109 .(− 2𝑥10−6 ) 0.02



= 150x103 V = -900x103 V



VB = 150x103 V + ( -900x103 V) = -750x103 V b) ∆ V = (VA – VB) ∆ V = 342,86x103 V - ( - 750x103 V ) = = (342,86x103 V + 750x103 V) = 1092.86 x103 V c) W = q (VA – VB) W = ( -3 x10-6 C) (1092.86 x103) (103) J/Q w = -337,69 x10-3 J



6.-Sea la función potencial V= 2x + 4y (v) en el espacio libre. Halle la energía almacenada en un volumen de 1m3 centrado en el origen. Examine otros volúmenes de 1m3. 𝛿𝑉



𝛿𝑉



𝛿𝑉



𝑎 + 𝛿𝑍 𝑎𝑧 ) = -2 ax – 4ay (V/m) 𝛿𝑦 𝑦



E = ∇V = ( 𝛿𝑥 𝑎𝑥 +



Este campo es constante en magnitud ( E = √20 V/m ) y dirección sobre todo el espacio, de esta manera la energía total almacenada es infinita. 1 WE = 2 ∫ 𝜀𝐸 2 𝑑𝑣 1



W = 2 𝜀𝐸 2



10−8



1



W = 2 𝜀0 (20) = 36𝜋 J/m3 Cada volumen de 1 m3 contiene 10-8/36𝜋 J/m3 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTEY CONDUCTORES 1.-Un conductor tiene una longitud de 4 metros y una sección de 2 mm2 . Calcular su resistencia, si su coeficiente de resistividad es de 0,017 Ω . mm2 / m L = 4 metros S = 2 𝑚𝑚2 ρ = 0,017 Ω . 𝑚𝑚2 / m R = ? 𝐿



R = p*𝑆 =0.017 R = 0,034 Ω



Ω∗𝑚𝑚2 𝑚



4𝑚



∗ 2𝑚𝑚2



2.- Un conductor de 600 metros de longitud tiene una resistencia de 20 ohmios y una resistividad de 0,02 Ω . mm2 / m. Calcular el diámetro del conductor? L = 600 metros 𝑃∗𝐿



R = 20 Ohmios



ρ = 0,02 Ω . 𝑚𝑚2 / m.



Ω𝑚𝑚2 0,02 ∗600𝑚 𝑚



S= 𝑅 = = 0,6 𝑚𝑚2 20 Ω S = 0,6 𝑚𝑚2 (área del conductor) S=



ᴫ𝑑2



𝑑2=



4 4∗0,6𝑚𝑚2



d= √



ᴫ



4∗𝑆 ᴫ



= √0,764 = 0,874mm



d = 0,874 mm (diámetro del conductor) DENSIDAD DE CORRIENTE 3.-Un conductor de 100 ohmios desarrolla una energía eléctrica de 500 joules en 5 seg. ¿Calcular la intensidad de la corriente que lo atraviesa? R = 100 ohmios W = 500 joules. W = ( 𝑖2 * R ) * t



t = 5 seg.



𝑊



𝑖 2 = 𝑅∗𝑡 →



𝑊



500 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠



i= √𝑅∗𝑡= √100Ω ∗ 5seg = 1 ampere



CONDUCTORES 4.-Para transportar una carga de 2 coulombios de un extremo a otro de un alambre se efectúa un trabajo de 20 joules en 4 seg. Si el diámetro del conductor es de 2 mm y la resistividad de 17 * 10 – 3 Ω . mm2 / m., calcular la longitud del conductor? ρ = 17 * 10−3 Ω . 𝑚𝑚2 / m.



L =?



t = 20 seg



Q = 2 coulombios W = 20 joules.



d = 2 mm



W = (V * i ) * t Pero W = V * ( i * t )



y



Q = i * t reemplazando



W =V * Q 𝑤



20 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠



V= 𝑄 = 2 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑜𝑠 = 10 v Q =i * t



→ i=



𝑄 𝑡



= 2coul / 4 seg = 0,5 amp



V=i * R R = v/i = 10v/0,5 amp= 20 ohmios S=



ᴫ𝑑2



=



4



3.14∗(2𝑚𝑚)2 4



𝐿



→



R = p*𝑆



= 3.14 𝑚𝑚2 (Sección del conductor) L=



𝑅∗𝑆 𝑃



=



20 Ω∗3.14𝑚𝑚2 17∗ 10−3



= 3.694* 103 m



Ω𝑚𝑚2 ,𝑚



L = 3694 Km (longitud del conductor) 5.- Un alambre tiene una longitud de 25 metros, 2 mm2 de sección y una resistencia de 0,5 ohmios. Calcular la resistencia de otro alambre del mismo material de 40 metros de longitud y 1,6 mm2 de sección? L1 = 25 metros S1 = 2 mm2 R 1 = 2 ohmios. ρ = ? 𝐿



R = p*𝑆 →



p=



𝑅∗𝑆 𝐿



=



2Ω∗2𝑚𝑚2 25𝑚



= 0,04



Ω𝑚𝑚2 𝑚



p = 0,04Ω𝑚𝑚2 /𝑚 𝑅2 = ? 𝐿2 = 40 metros 𝑆2 = 1,6 𝑚𝑚2 𝐿



R = p*𝑆



𝐿



→ R = p*𝑆 = 0,04



R = 1 ohmio



Ω𝑚𝑚2 𝑚



40𝑚



* 1,6 𝑚𝑚2 = 1Ω



CAPACITANCIA Y MATERIALES DIELÉCTRICOS 𝑪



1.-Halle la polarización P en un material dieléctrico con ∈𝒑 = 𝟐. 𝟖 si 𝑫 = 𝟑. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝒂 𝒎𝟐 Datos ∈𝑝 = 2.8 𝐷 = 3.0 ∗ 10−7 𝑎



𝐶 𝑚2



∈𝑝 − 1 2.8 − 1 𝐶 𝑃=( )𝐷 = ( ) 3.0 ∗ 10−7 𝑎 2 = ∈𝑝 2.8 𝑚 𝐶 𝑃 = 1.92 ∗ 10−7 𝑎 2 𝑚 2.-Halle la capacitancia de un condensador de placas paralelas que contienen dos dieléctricos: ∈𝒑𝟏 = 𝟏. 𝟓 y ∈𝒑𝟐 = 𝟑. 𝟓 cada uno de los cuales abarca la mitad del volumen, tal como se muestra en la figura. 𝐴 = 2𝑚2 y 𝑑 = 10−3 𝑚. ∈𝑜 ∈𝑝1 𝐴1 (8.854 ∗ 10−12 )(1.5)(1) = 𝑑 10−3 −8 𝐶1 = 1.328 ∗ 10 = 13.2𝑛𝐹 𝐶1 =



∈𝑜 ∈𝑝2 𝐴2 (8.854 ∗ 10−12 )(3.5)(1) 𝐶2 = = 𝑑 10−3 −8 𝐶2 = 3.0989 ∗ 10 = 30𝑛𝐹 𝐶𝑇 = 𝑐1 + 𝑐2 = 13.2 + 30 = 43.2𝑛𝐹



3.-Halle las magnitudes de D, P y ∈𝒑 , para un material dieléctrico en el cual 𝑬 = 𝟎. 𝟏𝟓 y 𝑿𝒆 = 𝟒. 𝟐𝟓 𝑃⃗ = 𝑋𝑒 ∈0 𝐸⃗ 𝑃⃗ = (4.25)(8.854 ∗ 10−12 )(0.15 ∗ 106 𝑚) 𝑃⃗ = 5.64 ∗ 10−6 = 5.64𝜇𝐶



𝑴𝑽 𝒎



⃗ =∈0 𝐸⃗ + 𝑃⃗ 𝐷 ⃗ = (8.854 ∗ 10−12 )(0.15 ∗ 106 𝑚) + 5.64 ∗ 10−6 𝐷 ⃗ = 6.96 ∗ 10−6 = 6.96 𝜇𝐶 𝐷 ∈𝑝 = (1 + 𝑋𝑒 ) ∈𝑝 = (1 + 4,25) = 5.25 4.-Halle las magnitudes de D en un material dieléctrico en el cual 𝑿𝒆 = 𝟏. 𝟔 y 𝑷 = 𝑪



𝟑. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝒎𝟐 𝑋𝑒 = 1.6 𝑃 = 3.05 ∗ 10−7 ⃗ =? ? 𝐷



𝐶 𝑚2



𝐶 3.05 ∗ 10−7 2 𝑃⃗ 𝑚 𝐸⃗ = = = 21.52 ∗ 103 𝑁/𝐶 𝑋𝑒 ∈𝑂 (1.6)(8.854 ∗ 10−12 ) ⃗ =∈0 𝐸⃗ + 𝑃⃗ 𝐷 ⃗ = (8.854 ∗ 10−12 ) (21.52 ∗ 103 )+ 3.05 ∗ 10−7 𝐶2 𝐷 𝑚 𝐶 ⃗ = 4.95 ∗ 10−7 𝐷 𝑚2 5.-Las placas de cierto capacito de placas paralelas en un vacio están separadas 5.00mm y tienen 2.00𝒎𝟐 de área. Se aplica una diferencia de potencial de 10,000V (10.0KV) entre los bornes del capacitor. Calcule la capacitancia, la carga de cada placa, la magnitud del campo eléctrico. 𝐶=



∈𝑜 𝐴 (8.854 ∗ 10−12 )(2.00𝑚2 ) = = 3.54 ∗ 10−9 𝐹 = 0.00354𝜇𝐹 𝑑 5 ∗ 10−3 𝑚



𝑄 = 𝐶𝑉𝑎𝑏 = (3.54 ∗ 10−9 𝐶/𝑉)(1.00 ∗ 104 𝑉) 𝑄 = 3.54 ∗ 105 𝐶 = 35.4𝜇𝐶 𝑄1 = +35.4𝜇𝐶 𝑄2 = −35.4𝜇𝐶 𝜎 𝑄 3.54 ∗ 105 𝐶 𝐸= = = = 2.00 ∗ 106 𝑁/𝐶 ∈𝑂 ∈𝑂 𝐴 (8.854 ∗ 10−12 )(2.00𝑚2 )



LEY DE AMPERE Y EL CAMPO MAGNÉTICO







LEY DE AMPARE



1) Si sabemos que por un solenoide vacío de 5 cm circula una corriente eléctrica de 12



A y el campo magnético creado en su interior es 0.1 T. ¿De cuántas espiras está compuesto el solenoide? µ0. 𝐼. 𝑁 𝐵= L 𝐵. 𝐿 µ0. I 0.1 . 0.05 N= 4 . π . 10−7 . 12 𝑁 = 332 𝐸𝑆𝑃𝐼𝑅𝐴𝑆 N=



2) Una intensidad de 4 A circula por un solenoide de 25 cm de longitud conformado



por 3200 espiras de 5 cm de radio. Determinar: a) El campo magnético en el interior del solenoide si este está completamente vacío. b) El campo magnético en el interior del solenoide si en el interior de este hay un material con permeabilidad magnética relativa μr = 1150 c) La longitud del alambre que se ha utilizado para fabricarlo. µ0. 𝐼. 𝑁 L 4 . π . 10−7 . 4 . 3200 B= 0.25 B = 0.064 T 𝐵=



µ𝑇. µ0. 𝐼. 𝑁 L 1150 . 4 . π . 10−7 . 4 . 3200 B= 0.25 B = 73.6 T 𝐵=



𝐿 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 = 2 . π . 0.05 = 0.31 m 𝐿 3200 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 = 3200 . 0.31 = 992 m



3) Una bobina formada por 30 espiras circulares está situada en una zona del espacio



donde existe un campo magnético



B= 2l (T), de modo que el vector S que



representa la superficie de las espiras forma un ángulo= 30 con el vector B. El radio de la bobina es r= 10 cm y por ella circula una corriente I=0.05 A.



µ = 𝑁. 𝐼. 𝑆 µ = 𝑁. 𝐼. π. 𝑟 2 (𝑐𝑜𝑠30𝑖 + 𝑠𝑒𝑛30𝑗 µ = 0.041𝑖 + 0.023𝑗 (𝐴𝑚2



4) Calcule el campo magnético en los puntos A y B debido a los dos alambres



paralelos que transporta corrientes eléctricas de igual magnitud y en las mismas direcciones. A= L/4 𝜇 𝐼



0 𝐵 = 2𝜋𝐿



𝐵=



𝜇0 𝐼 1 4



+



𝜇0 𝐼 3 4



2𝜋 𝐿 2𝜋 𝐿 𝜇 𝐼



𝐵=



𝜇0 𝐼 2𝜋



4



(−4𝑗 + 3 𝑗) 𝐵 =



−4𝜇0 𝐼 3𝜋



𝑗



𝜇 𝐼



0 0 𝐵𝑝 = 2𝜋𝐿 (cos 30i-sen 30j)+ 2𝜋𝐿 (cos 30i+sen 30j) 𝜇0 𝐼 𝐵= 𝑖 cos 30 𝑖 𝜋𝐿 √3𝜇0 𝐼 𝐵= 𝑖 cos 30 𝑖 2𝜋𝐿



5) Se encuentra 3 alambres con una corriente de 15 A, encuentre el campo magnético



en el punto P, y encuentre la fuerza ejercida en el alambre 3, recuerde que R= 0.05m 𝐵1 =



𝑀0 𝐼 2𝜋𝑅



𝐵3 =



𝑀0 𝐼 2𝜋𝑅



𝑀 𝐼



0 𝐵1 = 2𝜋3𝑅 J



𝑀 𝐼



0 𝐵2 = 2𝜋(2𝑅) −J



𝐵𝑃 =



𝑀0 𝐼 1 1 ( − + 1) 𝐽 2𝜋𝑅 3 2



𝐵1 =



5.4𝜋 10−7 (15𝐴) 2𝜋(0.05𝑚)



𝑀0 𝐼 𝐵13 = 2𝜋2𝑅 𝑀0 𝐼 𝐵23 = −𝑗 2𝜋𝑅 𝑀0 𝐼 1 𝐵3 = ( − 1) 2𝜋𝑅 2 𝑀0 𝐼 𝐵3 = −𝑗 4𝜋𝑅 𝑀0 𝐼 𝐹3 = 𝐼𝐿 ∗ − 𝐽 (𝐾)(−𝐽) 4𝜋𝑅 𝐼 2 𝐿𝑀0 𝐹3 = − 𝐽 (𝐾)(−𝐽) 4𝜋𝑅 



CAMPO MAGNÉTICO



1) Se muestran dos conductores infinitos que llevan corrientes de intensidad I Y 5I. ¿A qué distancia del conductor de la izquierda (P). EL campo magnético es nulo. 𝜇0 𝐼1 𝜇0 𝐼2 = 2𝜋𝑑1 2𝜋𝑑2 𝐼 5𝐼 = 𝑋 12 − 𝑋 12 − 𝑋 = 5𝑋 𝑋 =2𝐶 2) Se muestra el segmento conductor “M N” por donde fluye corriente eléctrica de intensidad I=6ª. Si, PN= 20 cm – PM=15 cm y PH=12 cm. Determinar la inducción magnética en el punto “P” 𝜇0 𝐼 (𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑐𝑜𝑠𝛽) 4𝜋𝑑 4𝜋. 10−7 . 6 (−𝑐𝑜𝑠 53 + 𝑐𝑜𝑠37) 𝐵𝑝 = 4𝜋. 12. 10−2 102 . 10−7 . 6 3 4 𝐵𝑝 = (− + ) 2 5 5 1 −7 𝐵𝑝 = 50. 10 ( ) 5 𝐵𝑝 = 10 − 6 𝐵𝑝 = 1 𝑢𝑡 𝐵𝑝 =



3) El alambre mostrado lleva corriente de 20A. Calcular la inducción magnética en el centro. r=5cm= 5. 10−2 𝜋 ɸ=90= 2 𝜇0 𝐼 4𝜋𝑟 𝜋 −7 4𝜋. 10 . 20 ( 2) 𝐵= 4𝜋. 5. 10−2 100. 10−6 𝐵= 5 𝐵 = 20𝜋 𝑢𝑇 𝐵=



4) Se construye un solenoide con espiras muy juntas (r=2cm) con una longitud de alambre de L= 60 π m y sección Ø=1mm de radio. Si la corriente en el alambré es de 2A. Calcule el campo magnético en el centro del solenoide. L= 60 π m R= 2. 10−2 𝑚 1 2𝜋. 𝑟 60𝜋 𝑁= 2𝜋. 2. 10−2 𝑁 = 15. 102 = 1500 𝐿 = 1500. (2. 10−3 ) 𝐿 = 30. 10−1 𝐿 = 3𝑀 𝜇0 𝐼𝑛 𝐵= 𝐿 4𝜋. 10−7 . 2.1500 𝐵= 3 𝐵 = 4𝜋. 100. 10−6 𝐵 = 400𝜋 𝑢𝑇 𝑁=



FUERZA Y TORQUE EN LOS CAMPOS MAGNÉTICOS



1.-Un electr´on se acelera por la acci´on de una diferencia de potencial de 100 V y, poste- riormente, penetra en una regi´on en la que existe un campo magn´etico uniforme de 2 T, perpendicular a la trayectoria del electr´on. Calcula la velocidad del electr´on a la entrada del campo magn´etico. Halla el radio de la trayectoria que recorre el electr´on en el interior del campo magn´etico y el periodo del movimiento. Soluci´ on 1. Aplicando la ley de la conservaci´on de la energ´ıa mec´anica al movimiento del electr´on dentro del campo el´ectrico, y suponiendo que el electr´on est´a inicialmente en reposo, se tiene: 1 ∆E + = 0; 2 m v2 = −q ∆V c ∆Ep Despejando: .



v=



−1 . −2 q ∆V −2 · (−1,6 · 109 ) · 100 m/s = 6 · 106 m = 9,1 · 10−31



2. Al penetrar el electr´on perpendicularmente al campo magn´etico, actu ´ a una fuerza sobre ´el perpendicular a la velocidad y por ello describe una ´orbita circular.



Aplicando la segunda ley de Newton: v2 ◦ Σ F˙ = m ˙aN ; |q| v B sin 90 = m R Despejando: mv −31 · 6 · = 1,8 · 10−5 R= = 9,1 · 10 |q| B 106 1,6 · 10−19 · 2 3. El periodo del movimiento es: T v =



2πR



2 π 1,7 · 10−5 = 1,8 ·−11 s = 6 10 6 · 10



lanza 2.-En una regi´on del espacio donde existe un campo magn´etico se una ˙ uniforme B part´ıcula cargada con velocidad ˙v = v˙ı, observ´andose que no se desv´ıa de su trayectoria. ¿Cu´al ser´a la trayectoria al lanzar la part´ıcula con una velocidad ˙v′ = v ˙? Representa dicha trayectoria en los casos de que la carga sea positiva y negativa. Soluci´ on Si la part´ıcula no se desv´ıa de su trayectoria significa que se lanza en la direcci´on del campo magn´etico. Por tanto, este tiene la direcci´on del eje X en cualquiera de sus dos sentidos. ˙ Asignando al campo magn´etico la expresi´on B = B˙ı y eligiendo el sistema de referencia



Y v



F q(+)



Z



B



X



de la figura adjunta, se tiene que las expresiones de la fuerza magn´etica en los dos casos son:



3.-Dos is´otopos de un elemento qu´ımico, cargados con una sola carga positiva y con masas de 19,91 · 10−27 kg y 21,59·−27 kg, respectivamente, se aceleran hasta una velocidad de 6,7 · 105 m/s. Seguidamente, entran en una regi´on en la que existe un campo magn´etico uniforme de 0,85 T y perpendicular a la velocidad de los iones. Determina la relaci´on entre los radios de las trayectorias que describen las part´ıculas y la separaci´on de los puntos de incidencia de los is´otopos cuando han recorrido una semicircunferencia. Soluci´on Entrar las part´ıculas perpendicularmente al campo magn´etico, actu ´ a sobre ellas la fuerza de Lorentz que les obliga a describir una trayectoria circular. Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene: v2 mv Σ F˙ = m ˙aN ; |q| v B sin ϕ = m ⇒ R = R |q| B Denominando R1 al radio de la trayectoria del is´otopo de menor masa y R2 al radio de la trayectoria del otro is´otopo, resulta que: m1 v m2 v R1 = ; R2 = |q| B |q| B R1 = R2



m1



=



m2



19,91 · 10−27 = 0,922 21,59 · 10−27



Despu´es de recorrer una semicircunferencia, los iones inciden en puntos situados a una distancia d = 2 R del punto de entrada en el campo magn´etico y su separaci´on es: 2 R2 − 2 R1 = 2 (R2 − 0,922 R2) = 0,156 R2 Sustituyendo R2 por su valor, se tiene que la separaci´on es: m2 v 0,156 = 0,156 |q| B



21,59 · 10−27 · 6,7 · 105 = 0,0166 m 1,6 · 10−19 · 0,85



4.-Un chorro de iones es acelerado por una diferencia de potencial de 10000 V, antes de penetrar en un campo magn´etico de 1 T. Si los iones describen una trayectoria circular de 5 cm de radio, determina su relaci´on carga-masa. Soluci´on La variaci´on de la energ´ıa cin´etica que experimentan los iones es: 1 m v2 = |q| ∆V 2 Aplicando la segunda ley de Newton a la zona donde actu ´ a el campo magn´etico, resulta que: v Σ 2 F˙ = m ˙aN ; |q| v B sin ϕ = m R Despejando la velocidad en las ecuaciones anteriores e igualando, se tiene: 2 |q| ∆V |q|2 R2 B2 = m2 m La relaci´on carga-masa es: |q| 2 ∆V 2 · 10000 = 8 · 106 C/kg = =



5.-Un dispositivo para comprobar la acci´on de un campo magn´etico sobre un conductor por el que pasa una corriente el´ectrica es la balanza denominada Cotton y que responde al esquema de la figura adjunta. Inicialmente la balanza se equilibra con el circuito abierto. Al cerrar el circuito se observa que hay que an ˜ adir una masa de 12 g en el platillo de las pesas para equilibrar la balanza cuando la varilla, que tiene una longitud de 10 cm, es recorrida por una intensidad de la corriente el´ectrica de 2 A. Calcula el m´odulo del campo magn´etico.



Soluci´on 5 La I L B = m g ⇒ B =m g 12 · 10−3 · 9,8 = = 0,59 T I L 2 · 10 · 10−2 balanza se desequilibra porque sobre la varilla actu ´ a una fuerza vertical y de sentido hacia abajo y cuyo m´odulo es igual al m´odulo del peso de las pesa.



INDUCTANCIA Y CIRCUITOS MAGNÉTICOS



1.- ¿Cuál es la inductancia de una bobina de sintonía que tiene 300 vueltas enrolladas en un tubo de cartón de 4cm de diámetro y 40 cm de largo? Nota: Como el cartón no es magnético, µ = 1



Datos: N



=



300



vueltas



µ



Se



Solución:



=



1



d



=



4



cm



l



=



40



cm



pide:



A =



π d2 /



4



=



L = 1.26 N2 µ A / 108



L



(3,14 x 4 x 4) / 4



=



12.56 cm2



l = 1.26 x 300 x 300 x 1 x 12.56 / 108 x 4 =



0.000356



henrios



=



36 µh



2.- ¿Cuál sería la inductancia de la bobina del ejemplo 1 si estuviera arrollada en un núcleo de hierro cuya permeabilidad fuera 4,000?



Datos: N



=



900 vueltas



µ = 4,000



Se



A



=



12,56 cm2



l



=



pide



Solución



40cm



L



:



L = 1,26 N2 µ A / 108 l = 1,26 x 300 x 300 x 4000 x 12.56 / 108 x 40 = 1,424 henrios



3.- ¿Qué inductancia temdría la bobina del ejemplo 2 si fuera de 900 vueltas? Datos: N = 900 vueltas µ = 4,000 A = 12,56 cm2 l = 40cm



Se



pide:



L



Solución: L = 1,26 N2µA / 108 l = 1,26 x 900 x 900 x 4,000 x 12.56 / 108 x 40 = 12,81 henrios



4.- La bobina de inducción de un circuito filtro tiene una inductancia de 30 henrios a)¿Cúal es su reactancia inductiva si la frecuencia es de 60 ciclos. b) ¿Cúal será la intensidad cuando el voltaje aplicado a la bobina sea de 250V?



Datos:



Se



L



=



30



pide:



henrios



f



a)



=



60



cps



XL



E



b)



=



10V



IL



Solución : a) XL= b)



IL =



2π EL



f



L



= /



2 XL =



x



3,14 250



x



60 /



x



30



11,304



=



11,304 =



22.1



ohmios. mA



5.- El primario de un transformador de r-f tiene una inductancia de 350 µh. a) ¿Cúal es su reactancia inductiva a 1,200kc? b) ¿Cúal será la intensidad cuando el voltaje aplicado al primario sea 10V?



Datos: L = 350 x 10-6 henrios f = 1,200 x 103 cps E = 10V Se pide: a) XL b) IL Solución: a) XL = 2 π f L = 2 x 3.14 x 1,200 x 103 x 350 x 10-6 = 2,637.6 ohmios b) IL = EL / XL = 10 / 2,637.6 = 3..79m