Darwita Hendriyani Teori Hamilton-Jacobi [PDF]

Citation preview

TUGAS RESUME MEKANIKA ANALITIK TEORI HAMILTON-JACOBI



Dibuat untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Mekanika Analitik yang Diampu Oleh



Dr. Endi Suhendi, M.Si & Dr. Lilik Hasanah, M.Si



Oleh : Darwita Hendriyani Nim 1906574



PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2020



I.



Persamaan Hamilton-Jacobi untuk Fungsi Utama Hamilton Variabel-variabel baru konstan dalam waktu dengan mensyaratkan bahwa Hamiltonian



yang ditransformasikan K, harus sama dengan nol, karena persamaan geraknya adalah:



K = Q1 = 0, P1 K − = P1 = 0 Q1



…(1)



Seperti yang telah dilihat, K harus terkait dengan Hamiltonian lama dan fungsi pembangkit dengan persamaan K=H+



F t



Dan karenanya akan menjadi nol jika F memenuhi persamaan sebagai berikut: H ( q , p ,t ) +



F =0 t



…(2)



Akan lebih mudah untuk menganggap F sebagai fungsi dari koordinat lama qi, momentum konstan baru Pi, dan waktu. Pada notasi bab sebelumnya, kita akan memetakan fungsi yang menghasilkan sebagai F2(q,P,t). untuk menulis Hamiltonian di persamaan berikutnya sebagai fungsi variabel yang sama, penggunaan dapat dibuat dari persamaan transformasi.



pi =



F2 , qi



Sehingga persamaannya akan menjadi sebagai berikut:  F F  F H  q1 ,..., qn ; 2 ,... 2  + 2 = 0 q1 qn  t 



…(3)



Persamaan 3, dikenal sebagai persamaan Hamilton-Jacobi, persamaan ini merupakan persamaan diferensial parsial dalam variabel (n+1), q1,..,qn; t, untuk fungsi generate yang diinginkan.



Untuk menunjukkan solusi F2 dari persamaan selanjutnya oleh S dan menyebutkan fungsi utama Hamilton. Integrasi persamaan berikutnya hanya memberikan ketergantungan pada koordinat dan waktu dan tidak memberi tahu bagaimana momentum baru dalam S. Momentum baru memang belum ditentukan kecuali bahwa kita tahu mereka pasti konstan. Namun, sifat dari solusi menunjukkan bagaimana P baru, harus dipilih.



Persamaan matematis selanjutnya memiliki bentuk persamaan diferensial parsial orde pertama dalam variabel n+1. Misalkan ada solusi untuk persamaan selanjutnya dari bentuk



F2 = S = S (q1,..., qn ,..., an +1; t )



…(4)



Jumlah a1,…,an+1 konstanta independen dari integrasi. Solusi seperti ini dikenal sebagai solusi lengkap dari persamaan diferensial parsial orde pertama. Namun salah satu konstanta integrasi sebenarnya tidak relevan dengan solusi, karena akan dicatat bahwa S itu sendiri tidak muncul dari persamaan selanjutnya, hanya sebagian turunannya yang sehubungan dengan q atau t yang terlibat. Sehingga, jika S adalah beberapa solusi dari persamaan diferensial, maka S+a, dimana a adalah konstanta, bila harus menjadi solusi. Salah satu dari konstanta integrasi n+1 saat dalam persamaan (4), karena itu hanya muncul sebagai konstanta aditif ditempelkan ke S. Konstatan aditif tidak memiliki kepentingan dalam fungsi pembangkit, karena hanya tururnan parsial dari pembangkit terjadi dalam persamaan transformasi. Oleh karena itu, untuk tujuan solusi lengkap persamaan selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk berikut:



S = S (q1,...,qn ,...,an ; t )



…(5)



Dimana tidak ada konstanta independen yang samata-mata aditif. Pada matematika, S menghitung persis dengan bentuk yang diinginkan untuk tipe F 2 yang menghasilkan fungsi pembangkit, untuk persamaan selanjutnya menyajikan S sebagai koordinat N, waktu t, dan n jumlah independen αi. karena itu bebas untuk mengambil n konstanta integrasi menjadi momen (konstan) baru:



Pi =  i



…(6)



Pilihan ini tidak bertentangan dengan pernyataan asli bahwa momentum baru dihubungkan dengan nilai awal q dan p pada waktu t0. Persamaan transformasi n, pi =



F 2 sekarang dapat q1



ditulis sebagai:



Pi =



S (q, , t ) qi



…(7)



Dimana q, berarti set jumlah yang lengkap. Pada saat itu, ini merupakan n persamaan yang berkaitan dengan a dengan nilai q dan p awal, sehingga memungkinkan kita untuk mengevaluasi konstanta integrasi dalam hal kondisi awal spesifik masalah. Bagian lain dari persamaan transformasi menyediakan koordinat konstan baru, muncul sebagai :



Qi = i =



S (q, , t )  i



…(8)



Konstanta β`s dapat juga diperoleh dari kondisi awal, hanya dengan menghitung nilai sisi kanan persamaan 8 pada t=t0 dengan nilai awal qi yang diketahui, persamaan 8 kemudian dapat dibaikkan untuk memberikan q j dalam hal α β dan t:



q j = q j ( ,  , t )



…(9)



Memecahkan masalah memberikan koordinat sebagai fungsi waktu dan kondisi awal. Setelah diferensiasi dalam persamaan (7) telah dilakukan, persamaan (9) dapat digantikan dengan q`s, sehingga memberikan momenta p; sebagai fungsi dari α β dan t



pi = pi ( ,  , t )



Persamaan (9) dan (10)



…(10)



dengan demikian merupakan solusi lengkap yang diinginkan dari



persamaan gerak Hamilton.



Fungsi utama Hamilton merupakan generator transformasi kanonik menjadi koordinat dan momen konstan; ketika memecahkan persamaan Hamilton-Jacobi, saat yang sama kita mendapatkan solusi untuk masalah mekanis. Secara sistematis, menetapkan kesetaraaan antara 2n persamaan gerak kanonik, merupakan persamaan diferensial orde pertama ke persamaan



Hamilton Jacobi diferensial orde satu parsial. Korespondensi ini tidak terbatas pada persamaan diatur oleh Hamilton. Teori umum persamaan diferensial parsial orde pertama sebagian besar memiliki kaitan dengan sifat-sifat dari persamaan diferensial biasa orde pertama. Persamaan diferensial parsial dan persamaan kanoniknya berasal dari prinsip variasional yang umum yang mana hal ini merupakan prinsip modifikasi Hamilton.



Sampai batas tertentu, pilihan a. seperti momentum baru yang berubah-ubah. Kita bisa saja memilih sembarang jumlah n, γ1 yang merupakan fungsi independen dari α1, konstanta integrasi ;



 i =  i ( ,..., n )



…(11)



Fungsi utama Hamilton dapat ditulis sebagai fungsi qi, γ i, dan t, dan sisa derivasi selanjutnya tidak berubah. Sering terbukti bahwa, untuk mengambil beberapa set `n` s sebagai momentum baru, daripada konstanta integrasi yang muncul secara alami dalam mengintegrasikan persamaan Hamilton Jacobi. Fungsi Hamilton S dilengkapi dengan pemeriksaan total waktu turunanya yang dapat diambil dari formula



dS S S = qi + dt qi t



P ini konstan dalam waktu. Dengan persamaan (7) dan (3), hubungan ini juga dapat ditulis sebgai berikut: dS = pi qi − H = L dt



…(12)



Sehingga fungsi utama Hamilton paling berbeda dari integral waktu lagrangian yang tidak terbatas hanya oleh konstanta S =  Ldt + Kons tan



…(13)



Prinsip Hamilton menyatakan integral pasti dari I, dan dari sana diperoleh solusi masalah melalui Lagrange. Disini tindakan yang sama terpisahkan dalam bentuk yang tidak terbatas yang melengkapi cara lain untuk menyelesaikan masalah. Dalam perhitungan aktual, hasilnya



dinyatakan oleh persamaan (13). Karena persamaan ini tidak membantu maka kita tidak dapat mengintegrasikan Lagrang terhadap waktu sampai qi dan Pi yang dikenal sebagai fungsi waktu. Karena Hamilton tidak bergantung secara eksplisit pada waktu dan fungsi Hamilton dapat ditulis dalam bentuk S (q,  , t ) = W (q,  ) − t )



…(14)



Dimana W(q,a) disebut fungsi karakteristik Hamilton. Signifikansi fisik dari W dapat dipahami dengan menulis total watu turunanya



dW W = qi dt qi Kemudian subtitusikan persamaan (14) ke dalam persamaan (7), maka akan menjadi sebagai berikut:



pi =



W qi



…(15)



Karena dW = pi qi dt



…(16)



Dapat diintegrasikan sebagai berikut W =  pi q dt =  pi dq i



i



…(17)



II.



Osilator Harmonik Sebagai Contoh Dari Metode Hamilton-Jacobi



Untuk mengilustrasikan teknik Hamilton-Jacobi dalam menyelesaikan sistem mekanik, kita akan membahas secara terperinci masalah sederhana osilator harmonic satu dimensi. Hamilton Adalah H=



(



)



1 p 2 = m 2 2 q 2 = E 2m



…(18)



Dimana



=



k m



…(19)



K menjadi konstanta gaya. Kita memperoleh persamaan Hamilton Jacobi untuk S dengan menetapkan p sama dengan



S dan mengganti dalam Hamiltonian; dengan persyaratan q



Hamiltonian yang baru akan menjadi sebagai berikut: 2  S 1  S  =0   + m2 2q 2  + 2m  q  t   



…(20)



Karena ketergantungan eksplisit S pada t hanya ada dalam istilah terakhir, Persamaan (14) dapat digunakan untuk mengilangkan waktu dari persamaan Hamilton Jacobi (20), sehingga dapat dituliskan sebagai berikut: 2  1  W   + m2 2q 2  =   2m  q   



…(21)



Konstanta integrasi a dengan demikian harus diidentifikasi dengan energi total E. ini juga dikenali langsung dari persamaan (14) dan hubungannya dapat dilihat pada persamaan 3. S +H =0 t



Yang kemudian berkurang menjadi H=α



Persamaan (21) dapat diintegrasikan ke persamaan berikut ini. W = 2ma  dq 1 −



m 2 q 2 2



…(22)



m 2 q 2 − t 2



…(23)



Selanjutnya, S = 2ma  dq 1 −



Sementara integrasi terlibat dalam persamaan (23) ini tidak terlalu sulit. Karena yang diinginkan bukanlah S tetapi tutunan parsialnya. Solusi untuk q muncul dari persamaan transformasi persamaan (8)



 `=



S 



m 2a 



dq m 2 q 2 1− 2



−t



…(24)



Dan kemudian dapat diintegrasikan m 2 t +  `= arcsin q  2 1



…(25)



Persamaan (24) dapat diputarbalikkan untuk melengkapi q sebagai fungsi t dan dua konstanta integrasi a dan  =  ` q=



m 2 sin(t +  ) 2



Ini merupakan solusi untuk osilator harmonik. Secara formal, solusi untuk momentum berasal dari persamaan transformasi (7), dengan menggunakan persamaan (22), serta dapat ditulis dalam hubungannya dengan solusi q. Sehingga persamaan (25) akan menjadi sebagai berikut:



p=



S W = = 2ma − m 2 2 q 2 q q



(



)



p = 2ma 1 − sin (t +  ) 2



…(26)



Atau



p = 2ma cos(t +  )



…(27)



Dengan hasil yang demikian dapat diindetifikasi secara sederhana bahwa p sebagai mq. Untuk menyelesaikan, konstanta a dan  harus dihubungkan dengan kondisi awal 𝑞0 dan 𝑝0 pada waktu t=0. Ketika mengkuadratkan persamaan (25) dan (27), terlihat jelas bahwa a diberikan dalam hal 𝑞0 dan 𝑝0 berdasarkan persamaan



2ma = P0 − + 2  2q0 2



2



…(28)



Hasil yang sama akan mengikuti dari indentifikasi sebelumnya sebagai energy total yang dijabarkan E. dan akhirnya, fase konstanta  yang terkait dengan 𝑞0 dan 𝑝0 sebagai berikut:



tan  = m



q0 p0



…(29)



Pilihan 𝑞0 = 0 dan karenanya  =0. Berhubung dengan memulai gerakan dengan osilator pada posisi setimbangnya q=0



Dengan demikian, fungsi prinsip Hamilton adalah generator transformasi kanonik menjadi koordinat baru yang mengukur sudut fase osilasi dan momentum kanonik baru yang diidentidikasi sebagai energy total. Jika solusi untuk q diganti menjadi persamaan (23), fungsi utama Hamilton dapat ditulis sebagai berikut:



1  S = 2  cos2 (t +  )dt − t = 2   cos2 (t +  ) − dt 2 



…(30)



Selanjutnya Lagrangian adalah



L=



(



1 p 2 − m 2 2 q 2 2m



(



)



)



L =  cos (t +  ) − sin 2 (t +  ) 2



2 1  L = 2  cos (t +  ) −  2 



Sehingga S adalah integral waktu dari Lagrangian, sesuai dengan hubungan umum persamaan (13). Dan identitas tidak dapat dibuktikan sampai setelah solusi untuk masalah tersebut diperoleh. Sebagai ilustrasi lain untuk metose Hamilton Jacobi, penting untuk mempertimbangkan osilator harmonic anisotropic dua dimensi. Jika kita membiarkan m menjadi massa tubuh berosilasi dan kx dan ky menjadi konstanta pegas dalam arah x dan y, masing-masing maka Hamiltonian adalah E=



(



1 2 2 2 2 P x + P y + m 2 x x 2 + m 2 y y 2 2m



)



Dimana



 x=



kx dan  y = m



ky m



Karena koordinat dan momen terpisah menjadi dua set yang berbeda, fungsi utama dapat ditulis sebagai jumlah fungsi karakteristik untuk setiap pasangan. Sebagi kesimpulan bahwa kita menyelesaikan ketergantungan fungssional mereka terleih dahulu, maka



S ( x, y,  ,  y , t ) = Fx ( x,  ) + Fy ( y,  y ) − t



…(31)



Dan persamaan Hamilton Jacobi diasumsikan dengan bentuk persamaan sebgai berikut: 2 2   W  1  W  2 2 2  + m2 y 2 y 2  =    + m  x x +  2m  x    y  



…(32)



Berdasarkan persamaan 18 dengan variabel yang dipisahkan, maka bagian dari persamaan (32) harus sama dengan konstanta, yang disebut  y , sehingga akna menjadi sebagai berikut:



1  W  2m  y



2



  + m 2 y 2 y 2 =  y 



…(33)



Dan menggantikan symbol 𝛼𝑦 dalam persamaan (33), menjadi persamaan sebagai berikut



1  W  2 2 2   + m x x =  x 2m  x  2



…(34)



dengan menuliskan  −  y =  x yang menunjukkan simetri peramaan (33) dan persamaan (34). Setiap persamaan memiliki solusi yang analog dengan persamaan (25) dan persamaan (27), maka x=



2 x m x



2



( x t +  x )



Px = 2m x cos( x t +  x ) y=



2 y m y



2



(



y



t + y )



…(35)



Py = 2m y cos( y t +  y )



Dimana i adalah konstanta fasa dan energi total diberikan oleh



E =x +y =



Sebagai contoh ketiga dari teori Hamilton-Jacobi. Kita dapat mempertimbangakn kembali osilator harmonik dua dimensi, namun hanya saja kita akan menganggap osilator istropik, jadi sebagai berikut:



k x = k y = k dan  x =  y = 



Dan menggunakan koordinat kutub seperti dibawah ini:



x = r cos



r = x2 +y2



y = r sin 



 = tan −1



p x = mx



y x



…(36)



p r = mr



p y = my



p = mr 2



Hamiltonian ditulis sebagai berikut:



E=



2  1  2 p p r + 2 m 2 2 r 2   2m  r 



…(37)



Adalah siklik dalam koordinat sudut. Fungsi prinsip dapat ditulis sebagai S (s,  ,  ,   ) = Wr (r ,  ) + W ( ,   ) − t S (s,  ,  ,   ) = Wr (r ,  ) +   ) − t



…(38)



Seperti yang telah ditunjukkan, koordinat siklik q selalu memiliki komponen fungsi karakteristik



Wqt = qii , momentum kanonik p yang terikat dengan koordinat siklik,  , dihitung dari fungsi pembangkit berikut ini : p =



F  



Serta memiliki nilai konstan yang diharapkan. Saat ini p diganti menjadi persamaan (37) dan persamaan (38) Wr (r , )



1  Wr r 2m  r



2



2   +   + 1 m w r 2 =   2mr 2 2 



…(39)



Dari pada menyelesaikan persamaan langsung dari Wr, maka akan ditulis solusi koordinar kartesian untuk kondisi sebagai berikut: x=



2 sin (t +  ) m 2



p x = 2m cos(t +  )



y=



2 sin t m 2



p y = 2m cost



…(35)



Kemudian gunakan persaman diatas untuk mendapatkan rekan kutub, 2 sin t + sin 2 (t +  ) 2 m



r=



p r = mr



…(40)



Dan sin t    sin (t +  )







 = tan −1 



p = mr 2



Dari penjabaran ini terdapat dua kasus pembatas yakni antara lain: Kasus linier adalah ketika β=0, yang mana 4 sin t m 2



r=



p r = 2m cost



…(41)



Dan



=



 4



p = 0



Gerakan dalam plot x-y akan mnejadi osilasi semanjang garis diagonal seperti yang ditunjukkan oleh gambar 1a.



Kasus pembatas lainnya adalah ketika  = r = r 00 =



2 , m 2



pr = 0



 2



, untuk itu …(42)



Dan



 = t



p = mr02



Gerakan dalam proksi x-y untuk kasus pembatas ini adalah lingkaran dengan jari-jari seperti yang ditunjukkan pada gambar 1b.



  Untuk nilai dari   0     , orbit dalam koordinat adalah elips. 2  Kasus untuk  =



 4



ditunjukkan pada gambar 1c.



Plot yang ditunjukkan pada gambar 1 adalah contoh lebih lanjut dari angka Lissajous.



Gambar 1. Dua kasing pembatas (a) dan (b) untuk osilator harminik dan contoh antara (c)



III.



Fungsi Karakteristik Hamilton-Jacobian untuk Hamilton Integrasi persamaan Hamilton-Jacobi dapat digunakan untuk osilasi harmoni sederhana. Hal



ini dikarena S bisa dibagi menjadi dua bagian, bagian satu hanya melibatkan q dan yang lainnya melibatkan waktu. Pemisahan variabel seperti itu menggunakan fungsi karakteristik Hamilton, W (q, a) Persamaan (14) selalu memungkinkan kapan pun Hamiltonian yang lama tidak melibatkan waktu secara eksplisit. Ini memberi kita persamaan Hamilton Jacobi terbatas, seperti pada persamaan berikut ini:  W   =  1 H  q i  q i 



…(43)



Persamaan tersebut tidak lagi melibatkan waktu. Salah satu konstanta integrasi, yaitu a1, dengan demikian sama dengan nilai konstan H. Fungsi independen waktu, fungsi karakteristik Hamilton W, muncul disini hanya sebagai bagian dari fungsi pembangkit S ketika H adalah konstan. Itu juga dapat ditunjukkan bahwa W secara terpisah menghasilkan transformasi kontaknya sendiri dengan sifat-sifat yang sangat berbeda dari yang dihasilkan oleh S. Perhatikan suatu transformasi kanonik yang mana momentum baru adalah semua konstanta gerak, dan di mana a1 khususnya adalah konstanta gerak H. Jika fungsi pembangkit untuk transformasi ini dilambangkan dengan W (q, P), maka persamaan transformasi adalah sebagai berikut:



pi =



W q i



Qi =



W W = p i  i



…(44)



Dengan kondisi seperti itu dapat menentukan W bahwa momentum kanonik bar α1:



H (qi , Pi ) =  1



Sehingga dengan menggunakan persamaan 44 akan menjadi persamaan diferensial parsial:  W H  q i  q i



  =  1 



Karena W tidak melibatkan waktu, maka orang Hamilton yang baru dan lama adalah sama, dan berarti 𝐾=𝛼1. Fungsi karakteristik Hamilton W dengan demikian menghasilkan transformasi kanonik di mana semua koordinat baru adalah siklik. Telah dicatat dalam pengantar bab ini



bahwa ketika H adalah suatu konstanta dari gerak, suatu transformasi dari sifat ini pada hakekatnya memecahkan masalah mekanis yang terlibat, untuk integrasi dari persamaan gerak yang baru kemudian sepele. Persamaan kanonik untuk ,𝑖 pada kenyataannya, hanya mengulangi pernyataan bahwa konjugasi momentum ke koordinat siklik semuanya konstan:



K Pi = − =0 Qi



pi =  i



…(45)



Karena Hamiltonian yang baru hanya bergantung pada satu dari momentum 𝛼𝑖, persamaan gerak untuk 𝑄𝑖̇ adalah:



K Q 1 = − =1  i



Q 1 = 0



i =1 i 1



Dengan mendapatkan solusi langsung yakni,



Q1 = t +  i =



W  1



i 1



…(46)



Satu-satunya koordinat yang bukan sekadar konstanta gerakan adalah Q1, yang sama dengan waktu plus konstanta. Contoh lain dari hubungan konjugat antara waktu sebagai koordinat dan Hamiltonian sebagai momentum konjugatnya dapat dilihat sebgai berikut:



K Q i = − = vi  i



dimana 𝑣𝑖 adalah fungsi 𝛾𝑖. Dalam hal ini, semua koordinat baru adalah fungsi waktu linear:



Qi = vii t +  i



…(47)



Sehingga persamaan gerak baru akan menjadi sebgai berikut:



K Q i = =0 p i



K Q i = = vi p i



K Pi = − =0 Qi



K Pi = − =0 Qi



Kemudian mendapatkan solusi langsung Qi =  i P =  i



i



Qi = v i t +  i P =  i



i



Ketika Hamiltonian tidak melibatkan waktu secara eksplisit, kedua metode cocok, dan fungsifungsi pembangkit kemudian dihubungkan satu sama lain sesuai dengan rumus: S(q,P,y)=W(q,Q)-α1t



IV.



Fungsi Karakteristik Hamilton-Jacobian untuk Hamilton Koordinat qj dikatakan dapat dipisahkan dalam persamaan Hamilton-Jobi ketika fungsi



utama Hamilton dapat dibagi menjadi dua bagian tambahan, yang salah satunya hanya bergantung pada koordinat qj dan yang lainnya sepenuhnya independen dari qj. Jadi, jika q1 diambil sebagai koordinat yang dapat dipisahkan, maka Hamiltonian harus sedemikian rupa sehingga orang bisa menulis:



S (q1 ,..., q n ;  1 ,..., n ; t ) = S1 (q1 ;  1 ,..., n ; t ) + (q 2 ,..., q n ;  1 ,..., n ; t ) =



…(48)



dan persamaan Hamilton-Jacobi dapat dibagi menjadi dua persamaan secara terpisah untuk S1 dan yang lainnya untuk S’. Persamaan Hamilton-Jacobi juga dideskripsikan sebagai benar-benar dapat dipisahkan (atau hanya, dapat dipisahkan) jika semua koordinat dalam masalah dapat dipisahkan. Solusi untuk fungsi utama Hamilton pada formula dapat ditulis sebagai berikut: S =  S i (q1 ;  1 ,..., n ; t ) i



…(49)



kemudian membagi persamaan Hamilton Jacobi menjadi n persamaan tipe



 S j  S j H i  qj; ;  1 ,..., n ; t  + =0  q  t j  



…(50)



yang menyediakan n dan membatasi persamaan Hamilton Jacobi  Wi  H i  q i ; ;  1 ,..., n  =  i q i  



…(51)