Deret Ukur, Deret Hitung, Dan Fungsi [PDF]

Citation preview

DERET UKUR Pengertian Deret Ukur Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya. Contoh 1 1. 5, 10 ,20, 40, 80, 160 (pembeda = 2) 2. 512, 256, 128, 64, 32, 16 ( pembeda = 0,5) Suku ke-n dari deret ukur Untuk membentuk sebuah rumus penghtungan suku tertentu dari sebuah deret ukur, maka (lihat contoh di atas) dapat disajikan dalam bentuk lain di bawah ini S1 = 5 = a S2 = 10 = ap = ap2-1 S3 = 20 = app = ap3-1 S4 = 40 = appp = ap4-1 S5 = 80 = apppp = = ap5-1 S6 = 160 = appppp = ap6-1 n-1



Sn = ap



a = suku pertama p = pengganda n = indeks suku



Jumlah n suku Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan. Jn = n ∑ S1 = S1 + S2 + S3 + S4 + ….. + Sn i=1 Berdasarkan Sn = apn-1 maka masing-masing Si dapat dijabarkan sehingga menjadi: Jn = a + ap + ap2 + ap3 + ….apn-2 + apn-1



(1)



Jika persamaan (1) kita kalikan dengan bilangan penganda p, maka, pJn = ap + ap2 + ap3 + ap4 + … +apn-1 + apn (2) Dengan mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1), diperoleh selisih antara kedua persamaan ini yakni: Jn – pJn = a – apn



Jn (1 – p ) = a(1 – pn) Dari sini kita dapat mebentuk rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: Jn 𝑎(1 −𝑝2) 𝑎(𝑝𝑛−1) = 1 −𝑝 atau Jn = 𝑝 −1 Untuk kasus deret ukur dalam contoh 1 di atas, di mana a = 5 dan p = 2, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah: 𝐽10 =



5(210 − 1) 2 −1



=



5(1023) 1



= 5115



Sedangkan untuk kasus contoh 2 di atas dimana a = 512 dan p = 0,5 jumlah dari suku petamanya adalah: 𝐽10 =



512(1−0,510) 1 −0,5



=



512(1023/1024) 0,5



= 1023



Prinsip-prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik secara langsung maupun secara tidak langsung. Sedangkan prinsip deret ukur bersama-sama dengan konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbuhan. Selain deret hitung, konsep deret ukur juga sering diterapkan dalam ekonomi dan bisnis seperti dalam kasus pinjam meminjam uang yakni dalam menghitung besarnya kredit yang harus dilunasi berdasarkan tingkat bunga yang ada, atau Menghitung tingkat bunga majemuk dari suatu pinjaman berjangka waktu tertentu. Disamping kita kenal sistem pembayaran bunga seperti dicontohkan pada penerapan deret hitung di muka, dikenal pula istilah bunga majemuk. Dengan bunga majemuk ini, tingkat bunga yang harus dibayar selain dikenakan pada pokok peinjaman juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan pada periode yang bersangkutan. Menghitung tingkat bunga manjemuk dari suatu pinjaman berjangka waktu tertentu. Dengan bunga majemuk ini, tingkat bunga yang harus dibayar selain dikenakan pada pokok pinjaman juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan pada periode yang bersangkutan. Demikian pula berlaku apabila kita menabung di bank. Bunga diperhitungkan pada pokok tabungan dan terhadap bunga atas tabungan tersebut. Jadi apabila seseorang memiliki modal atau tabungan di bank sebesar Rp.P, dibungakan sebesar I % pertahun maka, setelah 1 tahun ia akan mendapatkan bunga sebesar =         



P X I = Rp.Pi. Sedangkan modal atau tabungannya menjadi P1=P+Pi=P(1+i) Setelah 2 tahun, besarnya bunga sebesar = P(1+i) (i). Sedangkan modalnya menjadi: P2= P(1+i) + P(1+i) (i) P2= P(1+i) (1+i) P2= P(1+i)2 Setelah tahun ke 3, besarnya bunga sebesar = P(1+i)2 (i). Sedangkan modalnya menjadi:



     



P3= P(1+i)2 + P(1+i)2 (i) P3= P(1+i)2 (1+i) P3= P(1+i)3 Dengan cara yang sama maka pada tahun ke 4 modalnya menjadi: P4 = P(1+i)4 dan dalam n tahun maka modalnya menjadi : Pn = P(1+i)n,



     



dimana: P Pn i n (1+i)



= nilai uang saat ini (sekarang) = Nilai uang dimasa yang akan = tingkat bunga per tahun = jumlah tahun yang diperhitungkan = faktor bunga majemuk



datang pada tahun ke n



Apabila bunga dibayarkan lebih dari 1 kali dalam setahun (misalnya sebanyak m kali), maka tingkat bunga stiap periode adalah sebessar 1/m. Seandainya bunga yang diperoleh dibungakan lagi selama n tahun (disebut bunga majemuk), maka selurh uang tersebut di atas selama n tahun tersebut menjadi:  Pn = P(1+i/m)m.n,  dimana:  m = frekuensi pembayaran bunga dalam dan  (1+ i/m) = faktor bunga majemuk



setahun



Contoh 2 Apabila anda memiliki uang sebesar Rp.1000.000,- dibungakan di bank selama 5 tahun dengan tingkat bunga sebesar 10% per tahun. Jika anda tidak menambah dan mengurangi uang tersebut selama 5 tahun ke depan, berapa uang anda setelah 5 tahun apabila bunga dibayarkan setahun sekali dan berapa uang anda setelah 5 tahun apabila bunga dibayarkan setiap semester (6 bulan)?



Jawab Apabila bunga dibayarkan sekali setahun (m = 1) P = Rp.1.000.000,-



I = 10 % n = 5 tahun m = 1 kali Pn= P(1+i)n P5 = 1.000.000 (1+0,1)5 P5 = 1.000.000 (1,61051) P5 = 1.610.510 Jadi setelah 5 tahun uang anda menjadi Rp.1.610.510,Apabila bunga dibayarkan 2 kali setahun (m = 2 kali) Pn = P(1+i/m)m.n P5 = 1.000.000(1+0,1/2)5.2 P5 = 1.000.000(1,05)10 P5 = 1.000.000 (1,628895) P5 = Rp.1.628.895., Jadi setelah 5 tahun dengan pembayaran bunga 2 kli setahun, maka uang saudara menjadi Rp.1.628.895,.



Contoh 3 Tuan Junior membeli sebuah televisi berwarna merek national seccara kredit selama 36 bulan seharga Rp.800.000., Bunga yang harus dibayarkan sebesar 12% per tahun. Apabila ada 2 alternatif pembayaran bunga yaitu dilakukan 4 bulan sekali atau 6 bulan sekali? Mana yang lebih menguntungkan bagi tuan Junior antara pembayaran bunga setiap 4 bulan sekali atau 6 bulan sekali Jawab: Apabila bunga dibayarkan 4 bulan sekali: P = Rp.800.000; n = 3 tahun (36 bulan);



i = 12 % m = 3 kali (12 bulan : 4) Pn = P (1 + i/m)m.n P3 = 800.000 (1 + 0,12/3)3.3 P3 = 800.000 (1,04)9 P3 = 800.000 (1,423312) P3 = Rp. 1.138.650.,



Apabila bunga dibayar 6 bulan sekali: P = Rp.800.000., n = 3 tahun (36 bulan) i = 12 % m = 2 kali (12:6) P3 = 800.000 (1+0,12/2)3.2 P3 = 800.000 (1,06)6 P3 = 800.000 (1,418519) P3 = Rp.1.134.815 Dari perhitungan tersebut di atas, maka lebih baik bagi Tuan Junior adalah pembayaran bunga setiap 6 bulan sekali karena besarnya pembayaran secara total (pokok pinjaman dan bunga) lebih kecil Rp.4.835,- dibanding apabila bunga dibayar setiap 6 bulan sekali, yaitu Rp.1.134.815