Diferensial Dan Hampiran [PDF]

Citation preview

DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN I.



DIFERENSIAL Kita mengenal notasi



dy dx



sebagai notasi turunan yang setara dengan



f (x) , merupakan suatu lambang yang tunggal, dalam arti bukan hasil bagi dari dy



dengan dx . Namun



arti terpisah. Misalkan



dy



dengan dx



belum diberi



P( x 0 , y 0 ) adalah suatu titik tetap pada kurva



y=f ( x ) . dengan P sebagai titik asal, buat sumbu koordinat baru dy dan dx



yang sejajar sumbu x dan sumbu y.



Dalam sistem koordinat baru ini, persamaan garis singgung pada kurva f



di titik P adalah dy=mdx , dengan gradien m sama dengan '



f (x 0 ) . Akibatnya, persamaan garis singgung pada kurva f di titik P ' dapat ditampilkan dalam bentuk dy=f ( x 0 ) dx .



Definisi Differensial, Andaikan y = f(x) adalah fungsi yang terdiferensiasi dari peubah bebas x.



Δx adalah kenaikan sebarang dalam peubah x dx disebut diferensial peubah bebas x, sama dengan Δx. Δy adalah perubahan aktual dalam peubah y sewaktu x berubah dari x ke x + Δx; yaitu Δy = f(x + Δx) – f(x) dy disebut diferensial peubah tak bebas y, yang didefinisikan oleh dy = f'(x)dx M isalkan fungsi y = f (x) terdiferensialkan di x ϵ Df, dengan Df suatu selang terbuka. Diferensial dari peubah bebas x, ditulis dx, didefinisikan sebagai suatu pertambahan sebarang dari x, yaitu dx = Δx diferensial peubah tak bebas y, ditulis dy, didefinisikan sebagai berikut dy = f’(x) dx dy ' dy =f ( x) dari bentuk diferensial dy diperoleh dx , ini berarti bahwa dx mempunyai dua makna, pertama sebagai hasil turunan fungsi dari y terhadap x, dan kedua sebagai hasil bagi dari dy terhadap dx. Aturan untuk menentukan turunan dapat ditampilkan dalam bentuk aturan untuk menentukan diferensial dengan cara mengkalikan setiap ruanya dengan dx. Berikut ini adalah beberapa aturan untuk menentukan diferensial suatu fungsi, yang dibandingkan dengan aturan yang sama untuk turunan.



Contoh 1 : Diberikan fungsi



y=x 2 +3 x+ 4 . Tentukan ∆ y



dan dy, untuk x=2 dan



∆ x=0,2



Penyelesaian ∆ y=f ( x+ ∆ x )−f ( x ) 2



2



¿( x +∆ x ) +3 ( x +∆ x ) +4−(x +3 x +4 ) ¿ x 2+2 x ∆ x+ ∆ x2 +3 x +3 x ∆ x +4−x 2−3 x−4 ¿ 2 x ∆ x +∆ x 2+ 3 ∆ x ¿ ( 2 x +3 ) ∆ x +∆ x 2 dy=f ' ( x ) dx=(2 x +3) ∆ x Sehingga untuk x =2 dan ∆ x=0,2 ∆ y= ( 2.2 )( 0,2 ) +(0,2)2=1,404 dan dy=( 2.2+3 ) ( 0,2 )=1,4



II.



HAMPIRAN



Diferensial akan memainkan beberapa peranan penting, tetapi untuk sekarang penggunaan utamanya adalah dalam memberikan hampiranhampiran. f(x + Δx) ≈ f(x) + dy misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat xo . jika x 0+ ∆ x ∈ I



maka nilai hampiran



f ( x 0 +∆ x )



dengan konsep



diferensial adalah f ( x 0 +∆ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ' ( x0 ) ∆ x Atau f ( x 0 +∆ x ) ≈ f ( x 0 ) +dy ; dy=f ' ( x0 ) dx , dx=∆ x



Perhatikan bahwa disekitar titik P (x 0 , y 0 ) garis singgungnya sangat dekat dengan kurva



y=f ( x) . Jadi jika pada x diberikan pertambahan sebesar ,



maka pertambahan y pada kurva f adalah sebesar ∆ x=dx maka pertambahan y pada kurva f adalah sebesar



∆ y=f ( x 0 +∆ x )−f ( x 0 )



' singgungnya sebesar dy=f ( x 0 ) dx



hampiran yang baik untuk ∆ y



sedangkan pada garis



ternyata bahwa dy merupakan suatu



dan bentuknya merupakan kelipatan dari ∆ x



, yang terlihat jelas berdasarkan definisi turunan fungsi f di



x0



.



Perhatikan kembali definisi turunan fungsi f di '



f ( x 0 )= lim



∆ x →0



x0



, yaitu



f ( x 0 + ∆ x ) −f (x0 ) ∆x



Bentuk ini dapat dituliskan sebagai lim



∆ x→ 0



(



f ( x0 + ∆ x ) −f (x 0) ' −f ( x0 ) =0, ∆x



)



Atau '



f ( x 0 +∆ x )−f ( x 0 )−f (x0 )∆ x lim =0 ∆x ∆ x→ 0



Sekarang misalkan '



f ( x 0 + ∆ x ) −f ( x 0 ) −f ( x 0 )∆ x E= ∆x



Maka '



f ( x 0 +∆ x ) =f ( x 0 ) + f ( x 0 ) ∆ x+ E ∆ x , dengan lim E=0 ∆ x →0



Atau '



∆ y=f ( x 0 +∆ x )−f ( x 0 )=f ( x 0 ) ∆ x + E ∆ x ,dengan lim E=0 ∆ x →0



' Ini berarti bahwa f ( x 0 ) ∆ x



merupakan suatu hampiran yang cukup baik untuk



∆y . Contoh Soal, Gunakan diferensial untuk membuat hampiran pertambahan luas sebuah gelembung sabun pada saat jari-jarinya bertambah dari 3 cm menjadi 3,025 cm Penyelesaian, Luas gelembung bola sabun diberikan oleh A = 4πr2. Kita boleh membuat hampiran nilai sebenarnya, ΔA, dengan diferensial dA, dengan dA = 8πr dr



pada r = 3 dan dr = Δr = 0,025, dA = 8π(3)(0,025) ≈ 1,885 cm persegi Hampiran linier , L(x) = f(a) + f’(a) (x-a) Disebut hampiran linier terhadap fungsi f di a, dan kadang – kadang merupakan hampirn untuk f ketika x dekat ke a.