Distribusi Binomial+aproksimasi Binomial Ke Poisson [PDF]

Citation preview

A. DISTRIBUSI BINOMIAL Jika diperhatikan hanya total jumlah kesuksesan saja dalam deret dari n percobaan Bernouli. Jumlah dari kesuksesan dapat 0,1,2,3,4 , … … … , n . Kita ingin menentukan peluang dari 0,1 , … … … , n . Sukses. Peluang dari beberapa kejadian sederhana dengan x sukses dan n−x gagal di antara n percobaan adalah p x . qn− x dengan x bernilai 0,1,2,3,4 , … … , n . Dari x sukses dapat dipilih dari n percobaan dalam



( nx) cara, dan bahwa penyesuaian kejadian sederhana semuanya memiliki



peluang yang sama, yaitu p x . qn− x. X menunjukkan jumlah keberhasilan dari n percobaan, maka: P ( X=x )= n p x . q n−x , x=0,1 , … … , n x



()



Sehingga dapat dibuktikan bahwa: Sebuah eksperimen yang terdiri dari n percobaan Bernouli dengan peluang p untuk keberhasilan dalam masing-masing percobaan adalah variabel acak yang nilainya untuk setiap hasil dari percobaan adalah jumlah total dari keberhasilan yang diperoleh, maka fungsi peluang dari X dapat dinyatakan sebagai pdf diskret yang nilainya dapat dituliskan sebagai berikut:



( nx) p . q x



b ( x ; n , p) =



n−x



, x=0,1, … … , n



Untuk memberi nilai-nilai dari n dan p, fungsi peluang yang didefinisikan oleh rumus di atas disebut fungsi binomial peluang atau distribusi Binomial. Dengan Notasi b (x; n, p), yang digunakan sebagai pengganti f (x), mencerminkan ketergantungan pada parameter n dan p. Dalam hal ini dapat diperoleh rumus nilai harapan dan ragam/varians: μ x =E ( X )=n . p σ 2x =n . p .q Lebih lanjut bentuk umumnya: n



n



x=0



x=0



∑ b ( x ; n , p )=∑ ( nx ) p x . q n−x =( p+q )n=1n=1 Sehingga b ( x ; n , p ) adalah fungsi peluang yang paling tidak mempunyai satu keberhasilan Bentuk CDF dari distribusi Binomial ini dapat dituliskan sebagai berikut:



x



B ( x ; n , p )=∑ b ( k ; n , p ) x=0,1,2 , … … , n k=0



CONTOH SOAL: Karena hujan yang terus menerus, di sebuah desa di Jakarta Selatan timbul wabah penyakit demam berdarah yang disebabkan oleh banyaknya nyamuk yang menginfeksi masyarakat. Hal ini mengakibatkan warga sekitar memiliki peluang 20 % untuk terkena penyakit demam berdarah tersebut. Berapakah peluang dari 6 warga, ada 4 orang atau lebih akan terkena penyakit tersebut? JAWABAN:



P ( X ≥ 4 ) =P ( X=4 ) + P ( X=5 )+ P(X =6) ¿ 6 0,24 . 0,86−4 + 6 0,25 . 0,86 −5 + 6 0,26 . 0,86 −6 4 5 6



() () () 16 64 32 8 64 ¿ ( 15× × +( 6× × ) +( 1× ) 10000 100 100000 10 1000000 ) ¿



15360 1536 64 16960 + + = =0,01696 1000000 1000000 1000000 1000000



B. APROKSIMASI BINOMIAL KE POISSON Kasus Binomial pada nilai n yang sangat besar dan nilai p yang sangat kecil, maka perhitungannya dapat didekati dengan poisson namun tidak berlaku hal sebaliknya. Dalam hal ini, yang diartikan kecil adalah: 1. Jika n → ∞=secaramatematik ( kecil sekali ) Jika dalam partikel = n ≥ 30 sudah tergolong besar 2. p tergolong kecil jika nilainya ≤ 3 %atau beberapa ahli ada yang menyebutkan bahwa p ≤2 % yang tergolong kecil. Peubah acak diskret mempunyai bentuk distribusi poisson dengan parameter μ>0 dengan rumus pdf yang dapat dituliskan sebagai berikut: f ( x ; μ )=



e−μ . μ x x=0,1,2, … x!



Dengan: np=μ CONTOH SOAL:



Terdapat sebuah industri garmen dengan peluang produk gagal sebesar 2 %. Jika X menyatakan jumlah produk gagal, berapakah peluang dari 100 produksi mengahsilkan 20 produk gagal? JAWABAN: μ=n . p=100× 0,02=2 Sehingga jika dihitung dengan distribusi poisson: f (20 ; 2)=



e−μ . μ x x!



e−2 . 220 ¿ 20 ! ¿ 5,833 ×10−14 Hasil tersebut akan sama dengan perhitungan jika menggunakan rumus pada distribusi binomial.