e-UKBM - PAKAI 2018 [PDF]

Citation preview

Unit Kegiatan Belajar Mandiri



Identitas e-UKBM Nama Mata Pelajaran Semester Judul UKBM Alokasi Waktu



: Matematika Peminatan :1 : Limit Fungsi Trigonometri : 2 X 2 JP ( 4 JP )



Kompetensi Dasar 3. 1 4. 1



Menjelaskan dan menentukan  limit fungsi trigonometri Menyelesaikan masalah berkaitan dengan limit fungsi trigonometri



Tujuan Pembelajaran Melalui kegiatan pembelajaran Discovery Learning (pengamatan / observasi )dan cooperative learning ( diskusi dan penugasan ) peserta didik dapat :  Memahami Pengertian limit fungsi trigonometri  Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri. sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli dan bertanggung jawab



Proses Belajar  Ayo membaca



: Membaca BTP untuk pemahaman lebih lanjut



 Cek pemahaman



: Mengecek pemahaman materi lebih lanjut mengenai materi Terkait kehidupan sehari-hari melalui literasi dari berbagai sumber dan media



 Evalusai



: Cek pemahaman materi melalui soal UN dan SBMPTN



 Refleksi diri



: Merefleksi diri paham atau tidak tentang materi yang telah dipelajari



2. Peta Konsep



Gambar 1 : Limit Fungsi Trigonometri



2. Kegiatan Pembelajaran Pendahuluan Sebelum belajar pada materi Limit Fungsi Trigonometri ini, silahkan kalian membaca dan memahami Pengertian Limit Fungsi Trigonometri. Limit Fungsi Trigonometri sebenarnya sama dengan pembahasan materi limit lainnya, seperti pada limit fungsi aljabar. ... Bedannya, pada nilai limit



trigonometri melibatkan



fungsi



trigonometri seperti fungsi sin,



cos,



tan,



dan



fungsi turunan lainnya.



Dalam menyelesaikan limit fungsi trigonometri tentunya kita harus tahu tentang fungsi trigonometri baik dari rumus, sifat, identitas dan lain sebagainya yang dapat membantu dalam menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri. Karena dalam menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri tidak jauh berbeda dengan penyelesaian soal trigonometri lainnya. Substitusi dahulu nilai yang didekati x ke f(x).Jika langsung didapat hasinya, maka itulah 0 jawabannya tetapi jika menjadi bentukharus misal diselesaikan dengan cara tertentu dan 0 kitapun harus mencari penyebabnya. Cara memfaktorkan dan mengalikan dengan sekawan masih dapat digunakan untuk menyelesaikan limit trigonometri jika didapat bentuk tak tentu. Khusus untuk limit trigonometri ada teorema untuk menyelesaikan limit dengan bentuk nol per nol. Berikut ini adalah teorema limit fungsi trigonometri.



Teorema ini tidak selalu digunakan dalam menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri, adakalanya kita mengubah bentuk trigonometri dengan menggunakan identitas trigonometri.



Pertanyaan : 1. Tentukan hasil dari soal limit berikut



3/4



2. Tentukan hasil dari soal limit berikut



5/2



3. Tentukan hasil dari soal limit berikut



1/4



C. Kegiatan Inti Kegiatan Belajar 1



Sudah siapkah anda untuk pembelajaran selanjutnya ? Yukkk ……. Kita mulai kegiatan belajar ke 1 ! Pada kegiatan ini kalian perlu mengetahui terlebih dahulu tentang Limit Fungsi Trigonometri dan cara penyelesaiannya. Naahhhh ……. Oleh karena itu lakukan kegiatan ini ! Sudahkah Anda paham dengan alur proses belajar kita kali ini? Jika Sudah, Ayo kita mulai 2 berlatih! 2 sin x 2sin x sin x 2 1 = = = 2 x sin 2 x 2 x sin 2 x 4 2 4/9 1. Tentukan nilai dari 2. Tentukan hasil dari soal limit berikut 3. Tentukan hasil dari soal limit berikut 4. Tentukan hasil dari soal limit berikut 5. Tentukan hasil dari soal limit berikut 1 A. 2 1 B. 3 1 C. 6 1 D. 12 1 E. 18 6. Tentukan hasil dari soal limit berikut A. 4 B. 2 C. – 1 D. – 2 E. – 4



3 x tan 2 x 3 x tan 2 x 3 = = 2 2 sin 2 x 2 sin 2 x sin 2 x 4 6 x tan2 x 6 x tan 2 x 2 = = 2 2 sin 3 x sin 3 x 3 2 sin 3 x x tan 3 x 1 = sin 6 x sin 6 x 12



−2 sin 2 2 x −2 sin 2 x sin 2 x = =−4 x tan 2 x x tan 2 x



Kalau begitu yuuukkk …… lanjut



Setelah kalian belajar tentang Limit Fungsi Trigonometri Sekarang kita lanjut ada kegiatan Belajar , yang membahas tentang arti limit fungsi di suatu titik. Pengertian Limit. ... Dalam matematika, limit dapat dikatakan sebagai prediksi nilai ordinat yang didapat pada suatu titik. Nilai limit diperoleh dengan pendekatan dari sisi kanan dan sisi kiri. Jika nilai limit dari kiri sama dengan nilai limit dari kanan maka fungsi f(x) mempunyai nilai limit.



Tidak semua limit trigonometri bentuk 0/0 dapat diselesaikan hanya dengan manipulasi aljabar ataupun dengan menggunakan identitas trigonometri seperti kasus diatas. Limit bentuk tak tentu 0/0 dimana fungsinya merupakan gabungan dari fungsi trigonometri dan fungsi aljabar dapat



diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat berikut.  Sifat A  Sifat istimewa limit fungsi trigonometri



tan x =1 … … … … … … … ..( A .2) x x →0 Bukti : Intuitif sin x =1  artinya ketika x mendekati 0 namun tidak sama dengan nol, Secara intuitif, lim x x →0 maka (sin x) / (x) mendekati 1.



lim



Misalkan titik A dan B terletak pada lingkaran yang berjari-jari 1 satuan dan titik P terletak ditengah ruas garis AB, seperti yang terlihat pada gambar (a). Dari segitiga OAP diperoleh AP = sin x, akibatnya panjang ruas garis AB = 2sin x. 2x Panjang busur AB =  .2(π (1 )=2 r 2π Perbandingan ruas garis AB dan busur AB : ruas garis AB 2sin x sin x = = Busur AB 2x x



Jika sudut x kita perkecil, maka selisih dari panjang ruas garis AB dan panjang busur AB akan semakin kecil, dapat dilihat ilustrasinya dari gambar (a) dan (b). Jika sudut x kita perkecil sampai mendekati nol namun tidak sama dengan nol, maka selisihnya akan mendekati nol. Akibatnya, perbandingan antara keduanya akan mendekati 1. Secara intuitif, dapat kita simpulkan bahwa ketika x mendekati 0 namun tidak sama dengan nol, maka (sin x) / x akan mendekati 1. Dalam notasi limit, pernyataan tersebut



 Sifat B  Untuk a dan b konstan berlaku lim



x →0



sin ax a = bx b



lim



x →0



ax a = sin bx b



lim



tan ax a = bx b



lim



ax a = tan bx b



lim



sin ax a = tan bx b



lim



tan ax a = sin bx b



x →0



x →0



x →0



x →0



Sifat B diatas merupakan pengembangan dari sifat A. Dengan menggunakan sifat ini, contoh 4 dan 5 dapat diselesaikan secara instan hanya dengan memperhatikan koefisien variabelnya. Cek Pemahaman : Setelah kalian melakukan kegiatan diatas jawablah pertanyaan berikut ! 1. Berdasarkan sifat A, tunjukkan bahwa x =1 A. lim sin x x →0 x =1 B. lim 3/5 tan x x →0 sin 3 x 5x x →0 x 3. Hitunglah lim x →0 tan 4 x 2. Hitunglah lim



1/4



sin ax a = 4. Untuk a dan b konstan, tunjukkan lim bx b x →0 sin( x−2) 1 sin( x−2) = 5. Hitunglah lim (x−2)(3) 3 x →2 (3 x−6) 6. Hitunglah lim



x →2



(x + π ) tan (2 x+2 π)



(x+ p) 1 = tan(x + p)(2) 2



Soal Tantangan Sifat-sifat atau rumus-rumus trigonometri akan sangat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Dan tidak lupa juga teorema-teorema limit, khususnya teorema dasar limit. Berikut beberapa soal latihan limit fungsi trigonometri! tan 4 x tan 4 x =0 tan ²4 x 3x 1. Hitung lim 3x x →0 2. Hitung



lim



x →0



3. Hitung lim1 x→



sin 3 x−sin x π x tan( x + ) 4



( 3−2 x ) sin(2 x−1) 4 x ²−1



2



x−1 4. Hitung lim 2 x →1 x tan( x −1) 5. Hitung lim



x →0



2 x+ sin 4 x 4 x−tan2 x



2cos 2 x sin x =2 π tan x + x 4



( 3−2 x ) sin 2 x−1 2 = =1 (2 x +1)(2 x −1) 2



( x −1 ) ax 1 = x tan ( x +1 ) ( x −1 ) ax 2



π sin ( −x ) 4 6. Hitung lim π 1 x→ cos ( + x) 2 4



2 x +4 cos 4 x 2+4.1 6 = = =3 1 1 2 4−2 4−2. 1 cos2 x



π π 1 1 cos x −cos sin x √2 cos x− √2 sin x 4 4 2 2 = =1 π π 1 1 cos cos x−sin sin x √2 cos x− √2 sin x 4 4 2 2 sin



Penutup



Evaluasi Soal Essay : 1. Hitunglah x tan x



x tan x 1 2 = = = 3x 3x 3x 3 3 9 1−(1−2 sin2 ) 2 sin sin 2. . 2 2 2 2 2



2. Tentukan nilai



3. Tentukan nilai



4.



5.



lim



5x (sin x +sin ) 6x



= ….



lim



( cos 4 x5 sinx 3 x )



=…



Hitunglah nilai dari



Hitunglah nilai dari



x →0



x →0



Latihan ( Pilihan Ganda ) 2 x sin3 x lim 1−cos6 x



1. Nilai



x→0



A. –1 B. – C. 0



D. 1 3



E. 1



=… 1 3



1



lim x →0



2x ( 1−cos 2 x sin 2 x )



=…



x−2 ) lim sin( x −3 x +2 2



2. Nilai



x →2



A. – B. – C. 0 D. E. 1



1 2



lim



π



cos x−sin 6 π x − 6 2



π x→ 3



3. Nilai



B.



1 – 2 1 – 3



C.



√3



A.



=…



1 2 1 3



=…



√3



D. –2



√3



√3



E. –3



√3



lim sin2 x 12( x x+2 x−3) 2



4. Nilai A. –4 B. –3 C. –2 D. 2 E. 6



=…



x →0



cos2 x π cos x−sin x



lim x→



5. Nilai dari A. –



√2



B. –



1 2



C. D. E.



1 2



4



=…



√2 √2



√2 2 √2



6. Nilai dari



5x lim cosxx−cos tan2 x x →0



=…



A. B. C. D. E.



–4 –2 4 6 8



lim sin2 x 12( x x+2 x−3) 2



7. Nilai A. –4 B. –3 C. –2 D. 2 E. 6



x →0



=…



Refleksi Diri Bagaimanakah kalian sekarang ? Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut malalui kegiatan belajar 1 dan 2 berikut diberikan tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari, jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi yang tercantum pada UKBM ini di tabel berikut No



Pertanyaan



1)



Apakah kalian telah memahami tentang Limit Fungsi Trigonometri ?



2)



Dapatkah kalian menjawab soal-soal yang berkaitan dengan Limit Fungsi Trigonometri ?



3)



Apakah kalian bisa menjelaskan tentang sifat istimewa Limit Fungsi Trigonometri ?



4)



Apakah kalian bisa menentukan rumus Limit Fungsi Trigonometri ?



5)



Apakah kalian bisa menyelesaikan soal – soal yang berkaitan dengan Limit Fungsi Trigonometri ?



6)



Apakah kalian mengerti secara intuitif tentang arti limit fungsi di suatu



Ya



Tidak



titik ?



Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1 dan 2 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan



putus asa untuk mengulang lagi! Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.



Checklis keterlaksanaan UKBM No Pertanyaan 1. Membaca uraian singkat materi pada Buku teks pelajaran yang 2.



3.



Ya



Tidak



relevan Melakukan presentasi penyelesaian masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri dan Manganalisis secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik



Berdiskusi kelompok untuk menyelesaikan latihan soal – soal tentang arti limit fungsi di suatu titik, dan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri



Daftar Pustaka 1.



Buku teks pelajaran yang relevan



2.



Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2016. Buku Guru Mata Pelajaran Matematika (peminatan) kelas XII Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.



3.



Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2016. Buku siswa Mata Pelajaran Matematika (peminatan) kelas XII Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan



Sukses untuk kalian!!!