Fisika Kuantum [PDF]

Citation preview

MAKALAH FISIKA MODERN “FISIKA KUANTUM”



OLEH : SITHI AISYAH AT. THAHIRAH A 241 17 066



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS TADULAKO 2019



MAKALAH FISIKA MODERN “FISIKA KUANTUM”



OLEH : LATIFA A 241 17 081



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS TADULAKO 2019



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Fisika kuantum merupakan salah satu bagian dari ilmu Fisika yang mempelajari perilaku materi dan energi pada skala atomik dan partikel-partikel subatomik atau gelombang. Pada prinsipnya sama seperti dalam fisika klasik, namun materi yang dibahas dalam fisika kuantum adalah skala atomik atau subatomik dan partikel bergerak dalam kecepatan tinggi. Untuk partikel yang bergerak dengan kecepatan mendekati atau sama dengan kecepatan cahaya, perilakunya dibahas secara terpisah dalam teori relativitas khusus. Ilmu Fisika kuantum dikembangkan pada awal abad 20, dimana perumusan-perumusan dalam Fisika Klasik tidak lagi mampu menjelaskan fenomena-fenomena yang terjadi pada materi yang sangat kecil. Fisika kuantum diawali oleh hipotesa Planck yang menyatakan bahwa besaran energi suatu benda yang beosilasi (osilator) tidak lagi bersifat kontinu, namun bersifat diskrit (kuanta), sehingga muncullah istilah Fisika Kuantum dan ditemukannya konsep dualisme partikel-gelombang. Konsep dualisme dan besaran kuanta ini merupakan dasar dari Fisika Modern. Konsep, hipotesa dan eksperimen menjadikan landasan pengembangan fisika modern serta penerapan fisika modern, dalam berbagai bidang seperti kedokteran, telekomunikasi, dan industri.



B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana bentuk persamaan Gelombang ? 2. Bagaimana Persamaan Schrodinger bergantung waktu ? 3. Bagaimana Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu ? 4. Bagaimana Harga Ekpektasi ?



C. Tujuan Adapun tujuan dari makalah ini adalah 1. Untuk mengetahui bentuk persamaan Gelombang ? 2. Untuk mengetahui Persamaan Schrodinger bergantung waktu ? 3. Untuk mengetahui Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu ? 4. Untuk mengetahui Harga Ekpektasi ?



BAB II PEMBAHASAN 2.1 Persamaan Gelombang Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang  dari benda itu. Walaupun  sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besar mutlak 2 ( atau sama dengan * jika  kompleks ) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu. Momentum, momentum sudut, dan energi dari benda dapat diperoleh dari . Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan  untuk benda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal. Biasanya untuk memudahkan kita ambil 2 sama dengan peluang P untuk mendapatkan partikel yang diberikan oleh , hanya berbadinng lurus dengan P. Jika 2 sama dengan P, maka betul bahwa : 𝑥



∫−𝑥 ⎸Ѱ ⎸²𝑑𝑉 = 1



normalisasi



𝑥



∫−𝑥 𝑃 𝑑𝑉 = 1



Karena



ialah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat, jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Selain bisa dinormalisasi ,  harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu , dan kontinu. Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum serupa dengan hukum gerak kedua merupakan persamaan pokok dalam mekanika newton, adalah persamaan gelombang dalam variabel . 𝜕²𝑌 1 𝜕²𝑌 = 𝜕²𝑋 𝑉² 𝜕𝑡² (Persamaan gelombang) Persamaan gelombang yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah x dengan kelajuan v. Untuk gelombang monokromatik 𝑥



𝑥



𝑥



𝑌 = 𝐴𝑒 −𝑖⍵(𝑡−𝑣) = 𝐴 cos ⍵ (𝑡 − 𝑣) − 𝑖𝐴 sin ⍵(𝑡 − 𝑣) Y merupakan kuantitas kompleks.



2.2 Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang  bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun,  bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itu, kita akan menganggap  dalam arah x dinyatakan oleh : Ѱ = 𝐴𝑒 −2𝜋𝐼(𝑉𝑡−𝑥/𝜆) Ѱ = 𝐴𝑒 −(𝑖/ℎ)(𝐸𝑡−𝑝𝑥)



Sehingga :



Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x. Namun, pernyataan fungsi gelombang Ѱ hanya benar untuk partikel yang bergerak bebas. Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan untuk memecahkan Ѱ dalam situasi yang khusus, kita memerlukan persamaan Schrodinger. Pendekatan Schrodinger disebut sebagai mekanika gelombang. Persamaan Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu yang baru dan dianggap sebagai satu postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang diturunkan darinya. Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus partikel bebas (potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara pun yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijajaki. 𝜕Ѱ



ħ2 𝜕2 Ѱ



𝑖ħ 𝜕𝑡 = − 2𝑚 𝜕𝑥 2 + 𝑉Ѱ



𝜕Ѱ ħ2 𝜕 2 Ѱ 𝜕 2 Ѱ 𝜕 2 Ѱ 𝑖ħ =− ( + + ) + 𝑉Ѱ 𝜕𝑡 2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2



dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.



Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir diatas hanya bisa dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih rumit jika kelajuan partikel yang mendekati cahaya terkait.



Karena persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.



Betapapun sukses yang diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap merupakan postulat yang tidak dapat diturunkan dari beberapa prinsip lain, dan masing – masing merupakan rampatan pokok, tidak lebih atau kurang sah daripada data empiris yang merupakan landasan akhir dari postulat itu. Penjabaran Persamaan Schrodinger bergantung waktu



Ѱ ~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum Ѱ : menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur 𝑥



Ѱ = 𝐴𝑒 −𝑖⍵(𝑡−𝑣) , ⍵ = 2𝜋𝑓, 𝑉 = 𝜆𝑓 𝑥



Ѱ = 𝐴𝑒 −2𝜋𝑖(𝑓𝑡−𝜆) Energi totalnya 𝐸 = ℎ𝑣



ℎ𝑐



ℎ



, dengan 𝜆 = 𝑝 = 𝜆



𝐸



2𝜋ħ 𝑝



,𝑝 =



2𝜋ħ 𝜆



𝐸



𝐹 = ℎ = 2𝜋ħ Persamaan gelombangnya menjadi 𝑖



Ѱ = 𝐴𝑒 −(ħℎ)(𝐸𝑡−𝑝𝑥) 𝜕²Ѱ 𝜕𝑥²



𝜕2



= 𝜕𝑥 2 (𝐴𝑒 𝜕²Ѱ



Jadi 𝜕𝑥² =



𝑝² ħ²



−(ħ𝑖 )(𝐸𝑡−𝑝𝑥)



𝑝²



Ѱ 𝜕Ѱ 𝜕𝑡



𝑖



= − ħ² [𝐴𝑒 −(ħ)(𝐸𝑡−𝑝𝑥) ]



𝑖ħ



=−ħѰ



Kita tahu bahwa energi total E = Ek+Ep (non relativistik) 𝑝²



= 2𝑚 + 𝑉; 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 Ѱ 𝐸Ѱ = 𝐸Ѱ = 𝜕²Ѱ 𝜕𝑥²



𝑝²Ѱ 2𝑚



+ 𝑉Ѱ, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎



𝜕Ѱ



=−



𝜕𝑡



𝑖𝐸 ħ



Ѱ, 𝑚𝑎𝑘𝑎



ħ 𝜕Ѱ 𝑖 𝜕𝑡



=−



𝑝²Ѱ ħ² 𝜕²Ѱ



𝑝²Ѱ = −ħ² 𝜕𝑥² ħ 𝜕Ѱ



−𝑖



𝜕𝑡



ħ2 𝜕2 Ѱ



= − 2𝑚 𝜕𝑥 2 + 𝑉Ѱ 𝑖



𝑖



Sehingga menjadi : 𝑖² = −1𝛷𝛷 ⟶ −(1)2 = 1 𝑖ħ



𝜕Ѱ 𝜕𝑡



=−



ħ2 𝜕2 Ѱ 2𝑚 𝜕𝑥



+ 𝑉Ѱ



(persamaan schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)



2.3 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung Waktu Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu secara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V, hanya berubah terhadap kedudukan partikel. Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger dapat disederhanakan dengan meniadakan ketergantungan terhadap waktu t. Fungsi gelombang partikel bebas dapat ditulis Ѱ = 𝐴𝑒 −(𝑖/ℎ)(𝐸𝑡−𝑝𝑥) = 𝐴𝑒 −(𝑖𝐸/ħ)𝑡 𝑒 +(𝑖𝑝/ħ)𝑥 = Ѱ𝑒 −(𝑖𝐸/ħ)𝑡 ini berarti,  merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e-(iE/h)t dan fungsi yang bergantung kedudukan  . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk yang sama seperti pada partikel bebas. Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi 𝜕²Ѱ 2𝑚 + 2 (𝐸 − 𝑉)Ѱ = 0 ħ 𝜕𝑥²



Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi 𝜕²Ѱ 𝜕²Ѱ 𝜕²Ѱ 2𝑚 + + + 2 (𝐸 − 𝑉)Ѱ = 0 ħ 𝜕𝑥² 𝜕𝑦² 𝜕𝑧² Pada umumnya kita dapat memperoleh suatu fungsi gelombang  yang tidak saja memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh, berhingga dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jika tidak, sistem itu tidak mungkin berada dalam keadaan jenuh. Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori dan kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai jejak universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap. Harga En supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian Ѱ𝑛 disebut fungsi eigen. Tingkat energi diskrit atom hidrogen : 𝑚𝑒⁴



1



𝐸𝑛 = − 32𝜋²ɛ2 ħ² (𝑛²) 0



n = 1,2,3........



Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga kita bisa memikirkan elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu 2 per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik. Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom hidrogen selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak. Persamaan gelombang partikel bebas 𝑖



Ѱ = 𝐴𝑒 −(ħ)(𝐸𝑡−𝑝𝑥)



𝑖



𝑖𝑝



= 𝐴𝑒 −(ħ)𝑡 + 𝑒 ( ħ )𝑥 𝑖𝐸



= Ѱ𝑒 −( ħ )𝑡 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 Ѱ = 𝐴𝑒



Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu, 𝑖ħ 𝑖𝐸



ħ2



𝜕Ѱ ħ2 𝜕 2 Ѱ =− + 𝑉Ѱ 𝜕𝑡 2𝑚 𝜕𝑥 2



𝑖𝐸



ħ2



𝑖𝐸



𝜕2 Ѱ



−𝑖𝐸 )𝑡 ħ



𝐸Ѱ𝑒 −( ħ )𝑡 = − 2𝑚 𝑒 −( ħ ) = − 2𝑚 𝑒 −( ħ ) 2𝑥 2 + 𝑉Ѱ𝑒 −( ħ2 𝜕2 Ѱ



𝐸Ѱ = − 2𝑚 𝜕𝑥 2 + 𝑉Ѱ ⟶ 𝑋 𝜕²Ѱ 𝜕𝑋²



+



2𝑀 ħ2



2𝑀 ħ²



(𝐸 − 𝑉)Ѱ = 0



Tidak bergantung waktu



Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yang panjangnya L yang keduanya terikat. 𝜕²Ѱ 1 𝜕²Ѱ = , 𝜕𝑥² 𝑉 𝜕𝑡²



Ѱ=𝑌



2𝐿



𝜆𝑛 = 𝑛+1 , 𝑛 = 0,1,2,3 …



Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen 𝐸𝑛 = −



𝑚𝑒 4 1 ( 2 ) , 𝑛 = 1,2,3 … 2 2 32𝜋 𝑡𝑜 ħ 𝑛



Momentum sudut ditentukan



𝐿𝑖 = (𝑙 (𝑙 + 1))1/2 ħ , 1 = 0,1,2, …



Dengan harga ekspetasi



~



< 𝐺 > ∫ 𝐺𝐼Ѱ𝐼 2 𝑑𝑥, Ѱ −~



2.4. harga ekspetasi



(x,y,z,t): Mengandung semua informasi tentang partikel itu yang diizinkan oleh prinsip ketidaktentuan.Informasi ini dinyatakan dalam satu peluang dan bukan merupakan kuantitas yang sudah pasti.



Misal, mencari kedudukan rata-rata x dari sejuml;ah partikel identik yang terdistribusi sehingga terdapat N1 partikel X1 dan seterusnya. ∑ 𝑁𝑖𝑋𝑖 𝑁1𝑋1+𝑁2𝑋2+⋯ 𝑋̅ 𝑁1+𝑁2+⋯ = ∑ 𝑁𝑖



Ganti bil;angan Ni dari partikel Xi dengan pelung Pi yang bisa diperoleh dalam selang dx di Xi .



𝑃𝑖 = ⎸Ѱ ⎸²𝑑𝑥, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐼Ѱ(𝑥) 𝐼²𝑑𝑥 Probabilitas untuyk menemukan partikel antara X1 dengan X2 𝑥2



𝑥2



∫𝑥1 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑥1 𝐼Ѱ(𝑥)𝐼²𝑑𝑥1



Jika suatu partikel dapat tentukan 100% maka; 𝑥2



∫𝑥1 𝐼Ѱ(𝑥)𝐼²𝑑𝑥 = 1



Harga ekspestasi kedudukan partikel tunggal ~



< 𝑥 >=



∫−~ 𝑥 ⎸Ѱ ⎸²𝑑𝑥 ~



∫−~ ⎸Ѱ ⎸²



Harga ekspensi dari suatu kuatitas seperti energi potensial ~



=∫−~ 𝐺(𝑥)⎸Ѱ⎸²𝑑𝑥 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan



Adapun Kesimpulan dari makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Bentuk persamaan gelombang : 𝜕²𝑌 1𝜕²𝑌 = 𝜕𝑋² 𝑉²𝜕𝚝² Persamaan gelombang yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah x dengan kelajuan v.



2. Tiga bilangan kuantum. Ketiga bilangan kuantum ini adalah bilangan kuantum utama, orbital, dan Peranan bilangan kuantum dalam Persamaan Schrodinger untuk elektron di dalam atom dapat memberikan solusi yang dapat diterima apabila ditetapkan bilangan bulat untuk tiga parameter yang berbeda yang menghasilkan magnetik. B. Saran Adapun saran yang dapat kami berikan dalam makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Dalam mempelajari teori kuantum atom hidrogen dituntut untuk menguasai persoalan



matematika yang rumit, karena teori ini sangat rumit



diselesaikan dengan konsep matematika dasar. 2. Kami sadar bahwa dalam pembuatan makalah ini masih banyak kekurangan-kekurangan baik dari segi penulisan maupun dari segi pemilihan kata. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan saran dan kritik dari pembaca agar kiranya makalah ini dapat dijadikan sebagai bahan refrensi yang relevan. DAFTAR PUSTAKA Dr.Muslimin, M.Si,.2011.FISIKA MODERN, Palu: Universitas Tadulako