Hal 277 [PDF]

Citation preview

(Genap)



Nama : Eunike Angeline Burdam NIM : 20144202022 Kelas : A Semester: 5



Matematika Diskrit Soal !!! 1. Perusahaan pakaian membuat satu set pakaian yang dapat dikombinasikan, yang terdiri dari dua blus, dua pasang celana panjang, satu kemeja, dan satu blazer. Berapa kombinasi pakaian yang dapat dibuat dari set pakaian tersebut? Jika pada set pakaian ditambahkan sebuah sweater, berapakah kombinasinya sekarang? (Catatan: Blazer harus dipakai diatas blus atau kemeja, atau tidak dipakai sama sekali. Tetapi sweater bisa langsung dipakai tanpa blus atau kemeja.) Jawaban: Diketahui:  Terdapat 2 blus  Terdapat 2 pasang celana = 4 potong celana  Terdapat 1 kemeja  Terdapat 1 blazer  Blazer harus dipakai diatas blus atau kemeja, atau tidak dipakai sama sekali. Tetapi sweater bisa langsung dipakai tanpa blus atau kemeja. Ditanya: 1) Berapa kombinasi pakaian yang dapat dibuat dari set pakaian tersebut? 2) Jika pada set pakaian ditambahkan sebuah sweater, berapakah kombinasinya sekarang? Penyelesaian: Misalkan: B1 = blus 1, B2 = blus 2, K = kemeja, B = blazer 



X X



Kombinasi pakaian yang dapat dibuat dari blus, blazer, celana panjang, dan kemeja B1 + B B2 + B 2 pasang =12 kombinas i K+B celana panjang



(



)



Kombinasi pakaian yang dapat dibuat blus, blazer, celana panjang, kemeja, dan sweater B1 + B B2 + B 2 pasang =16 kombinas i K+B celana panjang SWEATER 2. Enam orang melamar pekerjaan untuk 3 pekerjaan yang sama, yang masing – masing akan ditempatkan di Jakarta, Bogor, dan Bandung. Berapakah kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi tersebut? 



(



)



Jawaban: Diketahui : n = 6 ( jumlah pelamar ) 6! =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 P ( 6; 1, 1, 1, ) = 1 ! 1 ! 1! Jadi, kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi 720 cara. 3. Dalam berapa banyak cara huruf – huruf a, b, c, d, e, f dapat disusun jika huruf b harus di sebelah kiri dan bersebelahan dengan huruf e? Jawaban: Terdapat n = 6 huruf, namun huruf b dan e harus bersebelahan sehingga b dan e dihitung 1. Maka n menjadi 5   



Banyak cara 5 huruf akan disusun P(5,5) = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120 Banyak cara menyusun huruf b 1! = 1 Banyak cara menyusun huruf e 1! = 1 Maka, banyak cara untuk menyusun adalah 120 x 1 x 1 =120 cara



4. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya laki – laki. a) Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10-orang? b) Ulangi pertanyaan a) jika banyaknya laki – laki harus sama dengan banyaknya perempuan. c) Ulangi pertanyaan a) jika panitia itu harus terdiri dari enam laki – laki dan empat perempuan atau empat laki – laki dan enam perempuan? 5. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, ….., 10} yang mempunyai anggota paling sedikit enam? 6. Berapa banyak permutasi bilangan yang dibentuk dari {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}? Jawaban : Diketahui : n = 8 Maka; P (8,8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 Jadi, ada 40.320 cara 7. Berapa banyak bilangan bulat positif empat-angka antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999) yang habis dibagi 5 dan 7? Jawaban: Diketahui: misalkan; A = menyatakan kejadian bilangan bulat yang habis dibagi 5 B = menyatakan kejadian bilangan bulat yang habis dibagi 7 A ∩ B = menyatakan KPK dari pembagi 5 dan 7 yaitu: 35 Bilangan positif antara 1000 dan 9999 adalah 9000



Sedangkan A



∪



B menyatakan kejadian bilangan bulat yang dipilih habis dibagi 5



dan 7. Maka:  |A| =



⌊



900 0 ⌋ 5



= 1800



 |B| =



⌊



90 00 ⌋ 7



= 1285



 | A∩ B | =



⌊



90 00 ⌋ 35



= 257



Sehingga, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)



=



1800 1285 257 + − =0,2+0,143−0,028=0,315 9000 9000 9000



Jadi, peluang bilangan yang dipilih habis dibagi 5 dan 7 adalah 0,315



8. Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang wanita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4-orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya? 9. Sebuah klub mobil antik beranggota 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri atas lima orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit satu pria dan satu wanita. Jawaban: Akan dibentuk panitia yang terdiri dari 5 orang yang terdiri dari paling sedikit satu pria dan satu wanita.  Panitia terdiri dari 4 wanita dan 1 pria , dapat dibentuk dengan; 5! 6! 5x 4! 6 x5! x = x =5 x 6=30 C (5,4) x C (6,1) = ( 5−4 ) ! 4 ! ( 6−1 ) ! 1 ! 1 ! 4 ! 5 ! 1! 



Panitia terdiri dari 4 pria dan 1 wanita, dapat dibentuk dengan; 6! 5! 6 x5 x 4! 5 x 4! x = x =15 x 5=75 C (6,4) x C (5,1) = ( 6−4 ) ! 4 ! ( 5−1 ) ! 1 ! 2! 4 ! 4 ! 1!



10. Berapa banyak solusi bilangan tak-negatif dari ketidaksamaan x1 + x2 + x3 ≤10? Jawaban: Diketahui: n = 3 , dan r = 10 Maka, C(n + r – 1, r) = C (3 + 10 – 1, 10) = C ( 12,10 )=



12! 12! 12 x 11 x 10 ! = = =6 x 11=66 2 x 1 x 10 ! ( 12−10 ) ! 10! 2 ! 10 !



11. Dari sejumlah besar koin 25-an, 50-an, 100-an, dalam berapa banyak cara lima koin diambil? Jawaban: Diketahui: n = 4 dan r= 5, sehingga; C(n + r – 1, r)



= C (4 + 5 – 1, 5) = C (8,5) =



8! 8! 8x 7 x6 x5! = = =56 ( 8−5 ) ! 5 ! 3 ! 5! 3 x 2 x 1 x 5 !



12. Palindrom adalah barisan karakter ( huruf atau angka) yang bila dibaca dari depan atau dari belakang adalah sama. Contoh KATAK, MALAM, 21477412, 36963. Untuk soal ini kita hanya meninjau palindrom yang dibentuk dari barisan angka. Berapa banyak bilangan palindrom 9-angka yang dapat dibentuk dari angka 0,1, ….,9 dengan ketentuan tidak boleh ada pengulangan angka pada setengah bagaian (misalnya, 366191663 tidak dibenarkan karena 6 dipakai 2 kali)? 13. Dari sejumlah besar CD (compact disc) di dalam kotak yang berisi program – program aplikasi A, B, C, D. dan E, berapa banyak cara 10 CD dapat diambil? 14. Sebuah pesan kawat dibentuk dari rangkaian lima garis putus-putus (dash) dan tiga buah titik (dot). Berapa banyak pesan yang dapat dibentuk? 15. Sebuah kardus berisi banyak bola berwarna merah, biru, dan ungu. Akan diambil 10 buah bola saja. a) Berapa banyak cara mengambil bola jika bola merah paling sedikit 5. b) Berapa banyak cara mengambil bola jika bola merah paling banyak 5 16. Jabarkan bentuk perpangkatan (3x – 2y)4. Jawaban: Misalkan; a = 3x, dan b = -2y Maka: (a + b)4 = C(4,0) a4 + C(4,1) a3 b + C(4,2) a2 b2+ C(4,3) a b3 + C(4,4) b4 = a4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 a b3 + 1 b4 = (3x)4 + 4(3x)3(-2y) + 6(3x)2 (-2y)2 + 4(3x)(-2y)3 + (-2y)4 = 81x4 – 216x3y – 108x2y2 + 24xy3 + 16y4 n



∑ (−1 )k C ( n , k )=0



17. Buktikan bahwa



k=0



Jawaban: Misalkan; ambil x = 1 dan y = -1 sehingga; n



(x + y)



n



=



∑ C ( n , k ) x n−k y k k=0



n



(1 + (-1))n



=



∑ C ( n , k ) 1n−k (−1)k k=0 n



0



=



∑ (−1)k C ( n , k ) k=0



Terbukti



18. Tunjukkan bahwa sembarang 6 kelas kuliah pasti terdapat dua kelas yang dijadwalkan pada hari yang sama, dengan asumsi tidak ada kuliah pada Hari Sabtu (akhir pekan). Jawaban: Diketahui: terdapat 6 kelas, dimana 2 kelas dijadwalkan pada hari yang sama , n = 3 Hari sabtu libur maka hanya 5 hari, n = 5 5! 5! 5 x 4 x 3 x 2! = = =60 Jadi, P(5, 3) = ( 5−3 ) ! 2! 2! 19. Sebuah kotak bola bowling berisi 10 bola berwarna merah dan 10 buah bola berwarna biru. Seorang pemain pemilih memilih bola secara acak tanpa melihat ke dalam kotak. a) Berapa banyak bola yang harus diambil untuk memastikan paling sedikit tiga bola berwarna sama? b) Berapa banyak bola yang harus diambil untuk memastikan paling sedikit tiga bola berwarna biru? 20. Berapa peluang dari 5 buah kartu remi yang dibagi tidak mengandung ratu satu buah pun? Jawaban: Diketahui: kartu remi poker terdiri dari 52 buah kartu, dengan kartu sebanyak 4.  Mengambil 5 kartu dari 52 buah kartu 52 ! 52! 52 x 51 x 50 x 49 x 48 x 47 ! = = =311.875 .200 C(52, 5) = ( 52−5 ) ! 47 ! 47 ! 



Mengambil 5 kartu yang tidak mengandung ratu 52 – 4 = 48 buah kartu 48! 48! 48 x 47 x 46 x 45 x 44 x 43! = = =205.476 .480 C(48,5) = ( 48−5 ) ! 43! 43! Sehingga, peluang dari 5 kartu tersebut tidak mengandung 1 kartu ratu pun C ( 48, 5 ) 205.476 .480 = =0,658 = C ( 52,5 ) 311.875 .200



21. Sebuah dadu dan sebuah koin uang logam dilempar bersamaan. Berapa peluang angka yang angka yang muncul adalah 3 dan muka koin yang muncul adalah gambar? 22. Ada sepuluh pasang sepatu di dalam lemari. Jika depalan sepatu diambil secara acak, berapa peluang tidak ada sepasang sepatu yang terambil? Jawaban:



Diketahui:  



Ada 10 pasang sepatu n(s) = 10 Diambil 8 pasang sepatu



Ditanya: peluang tidak ada sepasang sepatu yang diambil? Penyelesaian: