![Handout Rancangan Percobaan PDF [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/handout-rancangan-percobaan-pdf.jpg)
15 0 15 MB
HANDOUT
RANCANGAN PERCOBAAN
Kismiantini
NIP. 19790816 200112 2 001 JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2011
Materi Perkuliahan Rancangan Percobaan ) Dosen D Ki i ti i, M.Si M Si. (MAT 322); pengampu : Kismiantini, Kismiantini M.Si. Percobaan Tiga Faktor Rancangan Faktorial, Diagram Faktorial, Diagram Blok Blok
Percobaan Dua Faktor Rancangan Faktorial, Faktorial, Rancangan Rancangan Petak Terbagi (Split Plot Design), Design ), Rancangan Rancangan Petak Teralur (Strip Plot Design Strip Plot Design))
Dosen Pengampu Kismiantini M Kismiantini, M.Si. Si
Percobaan Satu Faktor RAL, RAKL, RBSL
Pendahuluan Prinsip, istilah Prinsip, istilah dan klasifikasi Rancangan Percobaan 1
2
Pendahuluan
Referensi Wajib : Mattjik, A.A. & Sumertajaya, I.M. 2006. Perancangan j j y g Percobaan. Bogor: IPB Press.
y Ilmu tentang statistik Anjuran A j : Kirk, R.E. 1995. Experimental Design: Procedures for the Behavioral Sciences California: Brooks/Cole Publishing Behavioral Sciences. California: Brooks/Cole Publishing Company.
y Ilmu yang mempelajari cara‐cara: 1. mengumpulkan data 2. menyajikan data
STATISTIKA DESKRIPTIF
3. mengolah l h data d
Montgomery, D.C. 2001. Design and Analysis of Experiments. New York: John Wiley & Sons.
4. menganalisis data 5. menarik kesimpulan
Suryanto. 2000. Diagram Blok. Yogyakarta: UNY
STATISTIKA INFERENSIAL
3
4
Metode Pengumpulan Data POPULASI : keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian SAMPEL/CONTOH : himpunan bagian dari populasi PARAMETER : ukuran ukuran yang diperoleh dari data populasi PARAMETER : ukuran‐ukuran yang diperoleh dari data populasi STATISTIK : ukuran‐ukuran yang diperoleh dari data sampel
y Percobaan Peneliti memiliki keleluasaan untuk melakukan pengawasan terhadap sumber keragaman data, dapat menciptakan jenis perlakuan yang dii i k diinginkan d mengamatii perubahan dan b h yang terjadi j di pada d responsnya. Data diciptakan.
y Observasi Ob i
GALAT JENIS I. α = P(salah jenis I) = P(menolak H0; H0 benar)
Peneliti tidak memiliki kendali dalam pengumpulan data kecuali dalam menentukan faktor yang diamati dan memeriksa ketelitian data, sulit dalam melihat perubahan yang terjadi pada respons karena mungkin disebabkan oleh faktor yang tidak diamati atau bahkan belum diketahui oleh peneliti.
GALAT JENIS II β = P(salah jenis II) GALAT JENIS II. β P( l h j i II) = P(menerima H0; H0 salah)
y Survei Peneliti mengambil sampel data dengan teknik penarikan sampel tertentu dari suatu populasi yang telah didefinisikan. didefinisikan Jumlah data besar. Data sudah ada di lapangan tinggal dikumpulkan. 5
6
Prinsip Dasar Percobaan
Pengertian rancangan percobaan
y Ulangan : pengalokasian suatu perlakuan tertentu terhadap Ul
Rancangan percobaan adalah tata cara penerapan tindakan‐ tindakan dalam suatu percobaan pada kondisi atau lingkungan tertentu yang kemudian menjadi dasar penataan dan metode analisis statistik terhadap data hasilnya.
beberapa unit percobaan pada kondisi yang seragam. Tujuan : 1. menduga ragam galat 2. memperkecil galat 3. meningkatkan ketelitian
Mengapa perlu rancangan percobaan percobaan??
y Pengacakan : dimaksudkan agar setiap unit percobaan memiliki peluang yang sama untuk diberi suatu perlakuan. Secara statistik untuk validitas/keabsahan dalam menarik kesimpulan agar kesimpulan yang diambil obyektif. obyektif
1. Memperbaiki proses hasil 2. Mengurangi keragaman
y Pengendalian lingkungan (kontrol lokal) : usaha untuk mengendalikan keragaman yang muncul akibat keheterogenan kondisi lingkungan.
3. Mengurangi waktu penelitian 4. Mengurangi biaya 7
Beberapa Istilah dalam Rancangan g Percobaan
8
Ilustrasi
y Perlakuan : suatu prosedur atau metode yang diterapkan pada unit
Penelitian tentang pemberian jenis pupuk (N0, N1, N2, N3) pada tanaman padi dengan luas lahan 1 ha.
percobaan. Setara dengan taraf dari faktor.
y Unit Percobaan : unit terkecil dalam suatu percobaan yang diberi suatu perlakuan. Unit dimana perlakuan diberikan secara acak.
Faktor : jenis pupuk Perlakuan : pemberian jenis pupuk N0, N1, N2, N3 Unit percobaan : 1 petak sawah Satuan pengamatan : tanaman padi
y Satuan Pengamatan : anak gugus dari unit percobaan, tempat anak gugus dari unit percobaan tempat dimana respon perlakuan diukur.
y Faktor : peubah bebas yang dicobakan dalam percobaan sebagai penyusun struktur perlakuan.
y Taraf : jenis‐jenis suatu faktor yang dicobakan dalam percobaan jenis jenis suatu faktor yang dicobakan dalam percobaan
9
Kl ifik i Rancangan R P b Klasifikasi Percobaan
10
Rancangan Perlakuan Satu Faktor S F k 2. Dua Faktor y Faktorial (bersilangan, tersarang) y Split Plot y Split blok/Strip Plot 3. Tiga Faktor atau lebih y Faktorial (bersilangan, tersarang, campuran) y Split‐split Plot y Split‐split Blok S li li Bl k 1.
y Rancangan Perlakuan
b k i berkaitan d dengan b i bagaimana perlakuan‐perlakuan l k l k tersebut dibentuk y Rancangan Lingkungan berkaitan dengan bagaimana perlakuan perlakuan‐perlakuan perlakuan ditempatkan pada unit‐unit percobaan y Rancangan R P Pengukuran k berkaitan dengan bagaimana respons percobaan diambil dari unit‐unit percobaan yang diteliti
11
12
Rancangan Lingkungan y Rancangan Acak Lengkap (RAL) g g p( ) y Rancangan Acak Kelompok Lengkap (RAKL) y Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL) R B j S k L ti (RBSL) y Rancangan Lattice
13
Beberapa keuntungan dari penggunaan RAL
Rancangan Acak Lengkap (RAL) Complete Randomized Design
y Bagan rancangan percobaan lebih mudah y Analisis l statistika k terhadap h d subyek b k percobaan b sederhana d h y Fleksibel dalam penggunaan gg jumlah perlakuan dan jumlah
ulangan
Latar Belakang : Biasanya digunakan d k jika k kondisi k d unit percobaan b relatif l f homogen h Umumnya y percobaan dilakukan di laboratorium Unit percobaan tidak cukup besar dan jumlah perlakuan terbatas Sederhana 1
y Kehilangan informasi relatif sedikit dalam hal data hilang
dibandingkan rancangan lain
2
Pengacakan g dan Bagan g Percobaan
Perhatikan kasus berikut
3
y Ingin melihat pemberian jenis ransum terhadap pertambahan
y Misalkan ada 3 perlakuan (A, B, C)
bberat badan b d sapi Perlu dilihat sapi p sama atau tidak dari segi g umur, jenis → sapi p harus homogen y Ingin melihat pemberian dosis pupuk terhadap peningkatan hasil padi P l dilih Perlu dilihatt llokasi k i sawahh → petak t k sawahh hharus hhomogen y Ingin membandingkan pengaruh jenis media pembelajaran yang digunakan guru terhadap hasil belajar siswa kelas I SMP khusus untuk pokok bahasan Geometri Perlu dilihat kelas → kelas yang relatif homogen (artinya dengan g rata-rata kemampuan p awal siswa dalam Geometri yang relatif sama)
2 ulangan l y Maka diperlukan p 3 × 2 = 6 unit ppercobaan y Bagan percobaan Salah satu hasil pengacakan adalah 1
2
3
4
5
6
1
C
2
3
A
4
B
5
C
6
B
y Tabulasi data Ulangan
4
Model linier aditif dalam RAL
Perlakuan A
B
C
1
Y11
Y21
Y31
2
Y12
Y22
Y32
Total Perlakuan (Yi.)
Y1.1
Y2.2
Y3.3
Total Keseluruhan
Y..
Model linier aditif dari RAL
y Model Tetap
i = 1, 2,K , a
Yijj = μ + τ i + ε ijj
merupakan model dimana perlakuan-perlakuan yang g dalam ppercobaan berasal dari ppopulasi p yyangg digunakan terbatas dan pemilihan perlakuan ditentukan langsung oleh peneliti dan kesimpulan yang diperoleh terbatas hanya pada perlakuan-perlakuan yang dicobakan saja tidak bisa digeneralisasikan. digeneralisasikan y Model Acak merupakan model dimana perlakuan-perlakuan yang dicobakan merupakan sampel acak dari populasi perlakuan dan kesimpulan yang diperoleh berlaku secara umum untuk seluruh populasi perlakuan. 5
A
dengan g
j = 1, 2, K , r
ε ij ~ N (0, σ 2 ) iid
Yij : pengamatan t pada d perlakuan l k kke-ii dan d ulangan l kke-jj μ : rataan umum τi : pengaruhh perlakuan l k kke-ii εij : pengaruh acak pada perlakuan ke-i ulangan ke-j a
Asumsi untuk model tetap ialah
∑τ
Asumsi untuk model acak ialah
τ i ~ N (0, σ τ2 )
i =1
i
iid
6
=0
Analisis Model Tetap p
Analisis Model Acak
y Ingin menguji persamaan dari rata-rata a perlakuan, diketahui E (Yij ) = μ + τ i = μ i , i = 1, 2, K , a
Sehingga bentuk hipotesis H0 : μ1 = μ 2 = K = μ a (Semua perlakuan memberikan respons yang sama) H1 : ∃μ i ≠ μ i ' , i ≠ i ′, i = 1, 2,K, a y Diketahui μ + τ i = μ i a
a
∑ (μ + τ ) = ∑ μ i
i =1
i =1
Sehingga bentuk hipotesis diatas ekuivalen i
a
i =1
i =1
⇒ aμ + ∑τ i = ∑ μ i
,μ =
sehingga berakibat a
∑τ
7
i =1
i
Var (Yij ) = Var (μ + τ i + ε ij )
= Var (τ i + ε ij ), μ konstanta
= Var (τ i ) + Var (ε ij ) , τ i dan ε ij saling bebas = σ τ2 + σ 2
y Sehingga bentuk hipotesisnya adalah
H0 : σ τ2 = 0 (Keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) 2 H1 : σ τ > 0 (Keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respons yang
dengan hipotesis berikut a
a
y Diketahui
∑μ i =1
i
H0 : τ 1 = τ 2 = K = τ a = 0
diamati)
(perlakuan tidak berpengaruh terhadap
a
respons yang diamati) H1 : ∃τ i ≠ 0, i = 1, 2, K , a
=0 8
Dekomposisi p Jumlah Kuadrat Total
Perhitungan Analisis Variansi (Anava Anava)) Ulangan sama Y2 FK = •• ar
y Keragaman total dapat diuraikan sbb: Yij − Y•• = Yij − Yi• + Yi• − Y••
(Y
ijj
− Y•• ) = (Yi• − Y•• ) + (Yijj − Yi• )
y Jika kedua ruas dikuadratkan maka akan diperoleh
(Y
ij
a
− Y•• ) = (Yi• − Y•• ) + (Yij − Yi• ) + 2(Yi• − Y•• )(Yij − Yi• ) 2
2
2
y Kemudian jika dijumlahkan untuk semua pengamatan
∑∑ (Y a
r
i =1 j =1
ij
a
r
2
i =1 j =1
∑∑ (Y a
karena
JKP =
− Y•• ) = ∑∑ (Yi• − Y•• ) + ∑∑ (Yij − Yi• ) 2
r
i =1 j =1
i•
a
r
2
i =1 j =1
− FK
r
i =1 j =1
JKT = JKP + JKG
JKG = JKT − JKP 10
Perhitungan Analisis Variansi (Anava Anava)) Ulangan tidak sama FK =
Tabel Analisis Variansi y Ulangan sama
SV Perlakuan Galat Total
Y•2• a
∑r i =1
i
Yi•2 − FK i =1 ri a
a
db a-1 a(r-1) ar 1 ar-1
JK JKP JKG JKT
KT KTP KTG
Fhitung KTP/KTG
Kriteria Keputusan : Ho ditolak jika Fhit > Fα(a-1, ( a(r-1)) ( ))
JKP = ∑
y Ulangan tidak sama
SV Perlakuan Galat Total
r
JKT = ∑∑ Yij2 − FK i =1 j =1
JKG = JKT − JKP 11
r
JKT = ∑∑ Yij2 − FK
JJumlah Kuadrat Total = JJumlah Kuadrat Perlakuan + JJumlah Kuadrat Galat
Penyebab ulangan tidak sama : 1. Menurut rancangan sejak awal ulangan tidak sama (mungkin faktor biaya) 2. Menurut rancangan ulangan sama pada saat percobaan ada yang mati
2 i•
i =1
a
− Y•• )(Yij − Yi• ) = 0
y Sehingga 9
∑Y
12
db a-1 ∑(ri -1) ∑ri -1
JK JKP JKG JKT
KT KTP KTG
Fhitung KTP/KTG
Kriteria Keputusan : Ho ditolak jika Fhit > Fα (a −1,∑ (r −1)) i
Soal 1 Soal 2
Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk menurunkan k panas dari d i 39° menjadi j di 37°. 37° Untuk U t k keperluan k l i i telah ini t l h dipilih di ilih secara acakk 25 penderita sakit panas dengan suhu 39° dari usia yang hampir sama dan tanpa keluhan sakit yyangg lain. Keduapuluh p lima ppasien tersebut dibagi g secara acak menjadi j 5 kelompok dan masing-masing kelompok yang terdiri dari 5 orang tersebut diberi obat penurun panas dengan persentase kandungan paracetamol tertentu. Berikut data t t tentang waktu kt (dalam (d l jam) j ) yang diperlukan di l k oleh l h para pasien i tersebut t b t sampaii dengan d panas badan mereka turun menjadi 37 °. Apakah ada pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam obat penurun p p panas terhadap p waktu yang diperlukan untuk menurunkan panas dari 39° menjadi 37 37°?? Gunakan taraf nyata 0,05.
KADAR PARACETAMOL 40%
50%
60%
75%
90%
7
9
5
3
2
6
7
4
5
3
9
8
8
2
4
4
6
6
3
1
7
9
3
7
4 Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi.
Anggap asumsi-asumsi dalam anava terpenuhi.
13
Tiga kelas kuliah matematika dasar diberikan oleh tiga dosen (A, B, C). Usia dan prestasi mahasiswa dari ketiga kelas tersebut relatif homogen. Materi kuliah, ujian, metode g dan media yyangg digunakan g sama. Karakteristik dosen mengajar, juga relatif sama. Nilai akhirnya tercatat sebagai berikut. A
73 89, 73, 89 82, 82 43, 43 80, 80 73, 73 66, 66 60, 60 45, 45 93, 93 36, 36 77
B
88, 78, 48, 91, 51, 85, 74, 77, 31, 78, 62, 76, 96, 80, 56
C
68 79, 68, 79 56, 56 91, 91 71, 71 71, 71 87, 87 41, 41 59, 59 68, 68 53, 53 79, 79 15
Apakah p ada pperbedaan yyangg nyata y antara nilai rata-rata yyangg diberikan oleh ketiga dosen tersebut? Gunakan taraf nyata 0,05. 14
Anggap asumsi-asumsi dalam anava terpenuhi.
Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi.
Soal 3 SSuatu percobaan b telah l h dilakukan dil k k untukk menyelidiki lidiki pengaruhh pelumas motor terhadap tingkat kemampuan kinerja mesin motor. D i berbagai Dari b b i merkk pelumas l motor t yang ada, d telah t l h dipilih di ilih secara acakk diantaranya merk A, C dan T. Mengingat terbatasnya biaya dalam melakukan percobaan, percobaan ulangan hanya dilakukan sebanyak 5 kali. kali Percobaan tersebut dilakukan terhadap jenis motor yang mempunyai mesin yang sama (mesin 4 tak). tak) Berikut data tingkat kinerja kemampuan mesin yang diukur dari kecepatan (km/jam) : Merk M k Pelumas
a) b)) c) d) 15
32 52 58
55 67 42
28 55 76
24 52 46
y Sebuah lembaga penelitian di suatu perguruan tinggi ingin mengetahui pengaruh
metode mengajar yang digunakan dosen terhadap hasil belajar mahasiswa khusus untuk mata kuliah Statistika Elementer. Elementer Ada berbagai macam metode mengajar dalam pembelajaran, pada penelitian ini telah dipilih secara acak empat metode yang dianggap sesuai dengan karakteristik mata kuliah tersebut yaitu metode ceramah, tanya jawab, problem solving dan diskusi. Untuk keperluan itu telah dipilih secara acak 20 kelas yang relatif seragam, dengan rata-rata kemampuan awal mahasiswa dalam Statistika Elementer yang relatif sama. sama Secara acak 20 kelas tersebut dibagi menjadi 4 kelompok, masing-masing kelompok mendapatkan pembelajaran dengan salah satu metode tersebut. Dosen yang mengajar di kelas-kelas tersebut telah dipilih sedemikian hingga dapat dianggap mempunyai karakteristik yang hampir sama. Setelah pembelajaran selesai, semua kelas mendapat tes dengan soal dan waktu yang sama. sama Berikut ini adalah data tentang rata-rata nilai tes mahasiswa dari ke-20 kelas yang digunakan dalam penelitian.
30 53 25
Tentukan rancangan apa yang sesuai dengan penelitian yang dimaksud! Tentukan model linear dan maknanya! y Model tetap atau model acak? Sebutkan alasannya! Lakukan analisis sesuai yyangg dimaksud. Gunakan taraf nyata y 0,05. Anggap asumsi-asumsi dalam anava terpenuhi.
Kelas l 1 2 3 4 5 Jumlah Ju a
Ceramah 8, 8,2 9,2 9,4 7,5 6,2 40,5
Metode Mengajar P bl Problem Solving 7,0 ,0 8,7 8, 6,8 7,5 5,8 9,3 5,3 8,9 8,0 7,6 332,9 ,9 442
Tanya Jawab
16
Diskusi 6, 6,2 6,8 7,5 5,5 5,7 331,7 ,7
Jumlah lh 30, 30,1 30,3 32,0 27,2 27,5 147,1 47,
Tentukan rancangan apa yang sesuai dengan penelitian yang dimaksud. b)) Tentukan model linear dan maknanya y c) Model tetap atau model acak? Sebutkan alasannya. d Anggap d) A asumsi-asumsi i i dalam dl A Anava terpenuhi, hi lakukan lk k pengujian hipotesis sesuai dengan penelitian yang d k d Gunakan dimaksud. k taraff nyata 0,05. a)
17
A C T
Soal 4
Anggap asumsi-asumsi dalam anava terpenuhi.
Soal 5 Suatu penelitian akan dilakukan untuk mengetahui pengaruh metode mengajar yang digunakan guru terhadap hasil belajar siswa untuk mata pelajaran matematika SMA kelas I. Pada penelitian ini telah dipilih secara acak empat metode yang dianggap g karakteristik mata ppelajaran j tersebut yyaitu metode contextual teachingg sesuai dengan learning, cooperative learning, tutor sebaya dan local material learning. Untuk keperluan itu telah dipilih secara acak 16 kelas (16 kelas I SMA) yang relatif seragam dan guru yang mengajar j di kelas-kelas k l k l tersebut b telah l h dipilih di ilih sedemikian d iki hingga hi d dapat di dianggap mempunyai karakteristik yang hampir sama. Setiap metode mengajar diterapkan pada empat kelas. kelas Data yang diperoleh berupa data tentang rata rata-rata rata nilai tes matematika siswa untuk masing-masing metode mengajar. Tentukan rancangan g apa p yyangg sesuai dengan g ppenelitian yyangg dimaksud. a) Sebutkan apa yang menjadi pengamatan dan jumlah ulangannya. b) Tentukan model linear dan maknanya c) Model tetap atau model acak? Sebutkan alasannya. 18
P h tik kasus Perhatikan k berikut b ik t Ingin mengetahui pengaruh jenis obat terhadap kecepatan penyembuhan Faktor : jenis obat
Rancangan g Acak Kelompok p Lengkap (RAKL)
Apakah ada faktor lain yang mempengaruhi kecepatan penyembuhan b h selain l i jenis j i obat? b t? Mungkin M ki saja, j misalkan i lk umur pasien, jenis kelamin
Randomized Complete Block Design
Bila umur pasien sama atau jenis kelamin sama maka gunakan saja g j RAL. Bila faktor-faktor lain yang dapat mempengaruhi keragaman respon (selain faktor yang diteliti) tidak dapat diseragamkan (dikendalikan) oleh peneliti, maka RAL tidak dapat diterapkan.
Dosen Pengampu g p : Kismiantini Kismiantini,, M.Si M.Si..
2
Mengapa RAKL?
Pengacakan dan Bagan Percobaan
Keheterogenan unit percobaan berasal dari satu sumber keragaman
• Misalkan ada 6 perlakuan (P1, P2, P3, P4, P5, P6) 3 kelompok • Ada 6 unit percobaan pada setiap kelompok • Total T l unit i percobaan b ada d 3×6 3 6 = 18 unit i percobaan b • Pengacakan dilakukan pada masing-masing kelompok • Salah satu bagan percobaan
Mengatasi kesulitan dalam percobaan dalam jumlah besar
mempersiapkan
unit
Kelompok yang dibentuk harus merupakan kumpulan dari unit-unit p percobaan yyang g relatif homogen g sedangkan keragaman antar kelompok diharapkan cukup tinggi
P1
P3
P2
P4
P6
P5
Kelompok 1
P3
P5
P6
P4
P1
P2
Kelompok 2
P1
P5
P3
P4
P2
P6
Kelompok 3
3
Model linier aditif dari RAKL
Tabulasi T b l i data d t Kelompok
Perlakuan P2
P3
P4
P5
P6
1
Y11
Y21
Y31
Y41
Y51
Y61
Y•1
2
Y12
Y22
Y32
Y42
Y52
Y62
Y•2
3
Y13
Y23
Y33
Y43
Y53
Y63
Y1•
Y2•
Y3•
Y4•
Y5•
Y6•
Yijj = μ + τ i + β j + ε ijj
Total kelompok (Y•j)
P1
Total Perlakuan ((Yii•)
4
Y•3 Total keseluruhan ((Y••)
dengan
j = 1, 2, K , b
ε ij ~ N (0, σ 2 ) iid
Yij : pengamatan t pada d perlakuan l k k i dan ke-i d kelompok k l k ke-j k j μ : rataan umum τi : pengaruhh perlakuan l k k i ke-i βj : pengaruh kelompok ke-j εij : pengaruh acak pada perlakuan ke-i ke i kelompok ke-j ke j a
5
i = 1, 2,K , a
Asumsi untuk model tetap ialah
∑τ
Asumsi untuk model acak ialah
τ i ~ N (0, σ τ2 )
i =1
i
iid
= 0 dan
b
∑β j =1
dan
j
=0
β j ~ N (0, σ β2 ) iid
6
Hipotesis Model Tetap
Hipotesis Model Acak
• Hipotesis pengaruh perlakuan
• Hipotesis pengaruh perlakuan H 0 : σ τ2 = 0 (keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 0 :τ1 = τ 2 = K = τ a = 0 H 1 : ∃τ i ≠ 0 , i = 1, 2, K , a
(perlakuan tidak berpengaruh terhadap
H 1 : σ τ2 > 0
respons yang diamati)
• Hipotesis pengaruh kelompok H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K , b
(keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
• Hipotesis pengaruh kelompok H 0 : σ β2 = 0 (keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
(kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ β2 > 0
(keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
7
Tabel Analisis Variansi SV Perlakuan e a ua Kelompok Galat Total
db a a-1 b-1 (a 1)(b 1) (a-1)(b-1) ab-1
JK J JKP JKK JKG JKT
8
P hit Perhitungan A li i Variansi Analisis V i i KT KTP KTK KTG
Fhitung KTP/KTG / G KTK/KTG
FK =
Y•2• ab
b
JKK =
a
JKP =
∑Y i =1
b
2 i•
− FK
∑Y
2 •j
j =1
a a
− FK
b
JKT = ∑∑ Yij2 − FK i =1 j =1
Kriteria Keputusan : 1. Ho ditolak jika Fhit > Fα(a-1, (a-1)(b-1)) 2. Ho ditolak jika Fhit > Fα(b-1, (a-1)(b-1))
JKG = JKT − JKP − JKK
9
Soal 1
Efisiensi Relatif (ER) dari RAK terhadap RAL
•
Ukuran kebaikan RAK dengan RAL ER =
(dbb + 1)(dbr + 3) σˆ r2 × (dbb + 3)(dbr + 1) σˆ b2
σˆ r2 =
dbb = derajat d j t bebas b b galat l t dari d i RAK dbr = derajat bebas galat dari RAL σˆ b2 = ragam galat dari RAK (KTG dari RAK) σˆ r2 = ragam galat dari RAL
σˆ b2 = KTG
(r − 1)KTK + r (t − 1)KTG tr − 1
10
Suatu percobaan di bidang peternakan telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh berbagai campuran ransum makanan terhadap pertambahan berat badan domba jantan selama percobaan (diukur dalam kg). Hewan (domba) percobaan yang tersedia berbeda umur, umur karenanya dilakukan pengelompokan menjadi 4 kelompok umur. Data pertambahan bobot badan dari 16 ekor domba jantan yang digunakan dalam percobaan adalah sbb. Apa yang dapat anda simpulkan? Gunakan taraf nyata α = 0,05.
r = banyaknya b k k l kelompok k a = banyaknya perlakuan
Nilai ER = 2, maka untuk memperoleh sensitifitas RAL sama dengan RAK maka ulangan yang digunakan dengan RAL harus 2 kali dari ulangan (kelompok) RAK. 11
Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi.
12
Soal 2 Suatu S t percobaan b yang telah t l h dilakukan dil k k untuk t k mengetahui t h i pengaruh h berbagai suplemen makanan terhadap perkembangan kecerdasan anak (diukur dengan pertambahan skor IQ). IQ) Unit percobaan dalam hal ini anak yang tersedia berbeda umur, karenanya dilakukan pengelompokkan menjadi 4 kelompok umur. Berikut rata-rata pertambahan kecerdasan anak untuk keempat suplemen adalah Jenis Suplemen A B C D Rata-rata pertambahan skor IQ Q 7,5 1,5 5,75 7 Diasumsikan asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi. Kerjakanlah A Anava b ik t dengan berikut d cara melengkapi l k i Tabel T b l Anava A b ik t berikut: Sumber Variasi db JK KT F hitung F tabel Perlakuan 89,1875 Kelompok 4,7292 Galat Total 111,9375
Soal 3 Suatu penelitian akan dilakukan untuk membandingkan pengaruh jenis media pembelajaran yang digunakan guru terhadap hasil belajar siswa kelas 2 SMA khusus untuk pokok bahasan peluang. Jenis media yang dimaksudkan adalah cetak, cetak audio, audio visual dan berbasis komputer. Untuk keperluan tersebut telah dipilih secara p awal acak 12 kelas, namun setelah dilakukan tes kemampuan ternyata kelas-kelas tersebut dapat digolongkan menjadi 3 kelompok (kategori kemampuan awal rendah, kategori kemampuan awall sedang, d k t kategori i kemampuan k awall tinggi). ti i) Masing-masing M i i kelompok mendapatkan perlakuan 4 jenis media tersebut. Setelah pembelajaran selesai, selesai semua kelas mendapat tes dengan soal dan waktu yang sama. Berikut adalah data tentang rata-rata nilai tes siswa dari keduabelas kelas yang digunakan dalam penelitian.
Lakukan pengujian hipotesis sesuai dengan yang dimaksud gunakan Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi. α = 0,05 dalam menyimpulkannya.
Tests of Between-Subjects Effects
Kategori kelas kemampuan awal Rendah Sedang g Tinggi Jumlah
Jenis Media Cetak 8,1 8,9 , 7,7 24,7
Audio 6,5 6,8 , 5,9 19,2
Visual 7,4 6 5,9 19,3
Dependent Variable: bobot_badan bobot badan
Berbasis Komputer 8,4 7,4 , 9,4 25,2
Apa p saja j yyang g dapat p Anda simpulkan p dari data di atas? Gunakan α = 0,05.
Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi.
Source C Corrected t dM Model d l Intercept kelompok perlakuan Error Total Corrected Total
Type III Sum of Squares 103 375a 103.375 473.063 14.188 89.187 8.563 585 000 585.000 111.937
df 6 1 3 3 9 16 15
Mean Square 17 229 17.229 473.063 4.729 29.729 .951
a. R Squared = .924 (Adjusted R Squared = .873)
F 18.109 18 109 497.234 4.971 31.248
Sig. .000 000 .000 .026 .000
Latar Belakang Keheterogenan unit percobaan tidak bisa dikendalikan hanya dengan pengelompokkan satu sisi keragaman. keragaman
Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL) Latin Square Design
Kelebihan Mampu mengendalikan komponen keragaman unit-unit p percobaan dari dua arah ((arah baris dan arah kolom))
Kekurangan RBSL tidak efektif bila percobaan melibatkan perlakuan dalam jjumlah besar
Syarat RBSL y Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom y Pengacakan, g , setiap pp perlakuan harus muncul sekali di setiap p
baris dan sekali di setiap kolom
Pengacakan g dan Bagan g Percobaan
• Penempatan P t
perlakuan (searah diagonal) 1 A D C B
Tabulasi Data
y Pengacakan P k
y Pengacakan P k
penempatan kolom
penempatan baris
3 B D C A
3 C B A D
2 B A D C
2 B A D C
2 A C B D
3 C B A D
4 D C B A
4 C A D B
4 D C B A
1 A D C B
1 D B A C
1 2 3 4
2 4 1 3 Hasil Akhir Pengacakan (Bagan Percobaan Percobaan))
Model Linier Aditif dari RBSL
Yijk = μ + α i + β j + τ k + ε ijk
i = 1, 2, K , r j = 1, 2, K , r
dengan
k = 1, 2, K , r
ε ijk ~ N (0, σ 2 ) iid
Yijk : pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i kolom ke-j μ : rataan umum αi : pengaruh baris ke-i βj : pengaruh kolom ke-j τk : pengaruh perlakuan ke-k εijk : pengaruh acak pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i dan kolom ke-j r
Asumsi untuk model tetap ialah
∑α i =1
iid
i
=0
r
∑β j =1
(
2 Asumsi untuk model acak ialah α i ~ N 0, σ α
)
j
=0
r
∑τ k =1
β j ~ N (0, σ β2 ) iid
k
=0
Baris
Kolom
B1
K1
B
B2
A
B3
C
B4
D
Jumlah
K2
Y112 Y211 Y313 Y414
D
K3
Y124
C
Y223
A
Y321
B
Y422
Y•1•
Y•2•
C B D A
K4
Y133 Y232 Y334 Y431 Y•3•
A D B C
Jumlah
Y141
Y1••
Y244
Y2••
Y342
Y3••
Y443
Y4••
Y•4•
Y•••
Hipotesis Model Tetap Hipotesis pengaruh perlakuan
H 0 :τ1 = τ 2 = K = τ r = 0
H 1 : ∃τ k ≠ 0 , k = 1, 2, K , r
((perlakuan l k tidak id k b berpengaruh h terhadap h d respons yang diamati)
Hipotesis pengaruh baris
H 0 : α1 = α 2 = K = α r = 0 H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2, K , r
(baris tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Hipotesis pengaruh kolom
H 0 : β1 = β 2 = K = β r = 0 H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K , r
(kolom tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
τ k ~ N (0, σ τ2 ) iid
6
Hipotesis po es s Model ode Acak ca
Tabel Analisis Variansi
Hipotesis pengaruh perlakuan
H 0 : σ τ2 = 0
(keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ τ2 > 0
(keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
SV Perlakuan Baris Kolom Galat Total
Hi t i pengaruh Hipotesis h baris b i
H 0 : σ α2 = 0
(k (keragaman b baris i tid tidakk berpengaruh b h tterhadap h d respons yang di diamati) ti)
H 1 : σ α2 > 0
(keragaman baris berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
Hipotesis pengaruh kelompok
H0 :σ β = 0 H1 : σ β > 0
JK JKP JKB JKK JKG JKT
KT KTP KTB KTK KTG
Fhitung KTP/KTG KTB/KTG KTK/KTG
Kriteria Keputusan : 1, 2, 3. Ho ditolak jika Fhit > Fα(r α(r-1, 1, (r (r-1)(r-2)) 1)(r 2))
2
2
db r1 r-1 r-1 r1 r-1 (r-1)(r-2) r2-1
(keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) (keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
7
Soal 1
Perhitungan Analisis Variansi FK =
JKK =
r
JKP =
∑Y
2 •• k
k =1
r
− FK
∑ Yi•2• i =1
r
∑Y
2 • j•
j =1
− FK
r r
r
r
JKT = ∑∑∑ Yijk2 − FK i =1 j =1 k =1
r
JKB =
Jurusan Pendidikan Matematika di sebuah universitas besar bermaksud mengevaluasi kemampuan mengajar 4 profesornya. Untuk menghilangkan pengaruh yang diakibatkan oleh mata kuliah yang berlainan dan waktu mengajar yang tidak sama maka dilakukan kl ifik i keragaman klasifikasi k d i dua dari d arah. h Setiap S ti profesor f mengajar j 4 kelas: k l Aljabar, Geometri, Statistika dan Kalkulus, masing-masing pada 4 waktu berbeda. Data berikut adalah nilai yang diberikan oleh keempat profesor A, B, C, dan D pada 16 mahasiswa yang mempunyai kemampuan kira-kira sama.
r
Y r
2 ••• 2
8
− FK
Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi A p
JKG = JKT − JKP − JKB − JKK
Analisislah data diatas sesuai maksud penelitiannya! Gunakan taraf nyata α = 0,05. 9
Soal 3
Soal 2 Sebuah penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh posisi tempat duduk siswa terhadap nilai hasil ujian pada sebuah kelas. Keragaman nilai hasil ujian siswa dapat disebabkan diantaranya oleh tingkat kemampuan intelegensi siswa dan waktu ujian yang berbeda sehingga dilakukan klasifikasi keragaman dari dua arah. Tingkat kemampuan intelegensi siswa diukur dengan skor IQ yang selanjutnya dapat digolongkan menjadi tingkatan kemampuan rendah, rendah sedang dan tinggi. Waktu ujian yang dipilih adalah pagi (jam 7.00-9.00), siang (11.00-13.00) dan sore (15.00-17.00). Posisi tempat duduk yang dicobakan adalah depan, tengah, belakang. Untuk keperluan penelitian tersebut dipilih 9 siswa yang mewakili tiga golongan tingkat kemampuan intelegensi dan tiga kelompok waktu ujian. j Berikut rata-rata nilai hasil ujian j untuk ketiga g p posisi tempat p duduk.
Sumber Derajat Jumlah Kuadrat V i i Variasi b b bebas Kuadrat K d t Tengah T h Perlakuan 4,634 Kemampuan p 1,642 , Waktu 0,188 Galat T t l Total 11 722 11,722
Analisislah data diatas sesuai maksud penelitiannya! Gunakan taraf nyata α = 0,05. Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi A p
Suatu S t percobaan b t l h dilakukan telah dil k k untuk t k membandingkan b di k kualitas k lit empatt jenis pemutih wajah keluaran terbaru yaitu A, B, C dan D. Pemutih wajah j diujicobakan j pada wanita dengan p g tipe p kulit wajah j berbeda (normal, kering, berminyak dan sensitif) dan waktu penggunaan yang berbeda (pagi, siang, sore, dan malam). Data yang diperoleh berupa d t tingkat data ti k t keberhasilan k b h il obat b t pemutih tih dengan d skala k l 1-50. 1 50 Perlakuan
Y..k
Tipe Kulit Wajah
Yi..
A B C D
140 142 160 113
Normal Kering Berminyak Sensitif
105 169 143 138
Waktu Penggunaan P Pagi Siang Sore Malam
Y.j. 135 147 149 124
Diketahui : 122 + 342 + … + 452 + 122 = 21143 a) Tentukan rancangan apa yang sesuai dengan penelitian yang dimaksud. b) Lakukan pengujian hipotesis yang dimaksud dengan taraf nyata 0,05(Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi).
Beda d Nyata Terkecil k il (BNT) ( ) Least Significant g f Difference ff (LSD)
Uji j Lanjut j Setelah Anava (Perbandingan Rata Rata--rata Perlakuan) Perlakuan)
Uji lanjut ini hanya berlaku untuk pengujian model tetap bila hipotesis nol pengaruh perlakuan ditolak Dosen Pengampu : Kismiantini Kismiantini,, M.Si M.Si..
i • −Yi ' •
⎛1 1⎞ sYi • −Yi '• = KTG ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ ri ri ' ⎠
2
• Kriteria Keputusan :Yi• − Yi '• > BNT maka H1 diterima (kedua perlakuan b b d ) berbeda)
Beda d Nyata Jujur j ((BNJ)) Honest Significant g f Difference ff (Tukeyy test)
Uji ji Perbandingan b di Berganda d Duncan Duncan Multiple p Range g Test (DMRT)
• Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi ≠ μi’ • Taraf nyata y :α • Statistik Uji : BNJ = qα (a ,db ( g ) ) sY sY = KTG r ulangan l sama
• Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi ≠ μi’ • Taraf nyata y :α • Statistik Uji : R p = rα ( p ,db ( g ) ) sY sY = KTG r ulangan l sama
rh =
a a
∑1 r
i
i =1
ulangan tidak sama sama, ganti r dengan rh a menyatakan banyaknya perlakuan
• K Kriteria i i Keputusan K : Yi• − Yi '• > BNJ maka H1 diterima (kedua perlakuan berbeda)
Perhatikan Kasus RAL berikut! Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk menurunkan panas dari 39° menjadi 37°. Untuk keperluan ini telah dipilih secara acak 25 penderita sakit panas dengan suhu 39° dari usia yang hampir sama dan tanpa keluhan sakit yang lain. lain Keduapuluh lima pasien tersebut dibagi secara acak menjadi 5 kelompok dan masing-masing kelompok yang terdiri dari 5 orang tersebut diberi obat penurun panas dengan persentase kandungan paracetamol tertentu. Berikut data tentang waktu (dalam jam) yang diperlukan oleh para pasien tersebut sampai dengan panas badan mereka turun menjadi 37 °. KADAR PARACETAMOL
5
• Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi ≠ μi’ • Taraf nyata : α • Statistik Uji : BNT = t α (db (G ) ) sY
40%
50%
60%
75%
90%
7
9
5
3
2
6
7
4
5
3
9
8
8
2
4
4
6
6
3
1
7
9
3
7
4
Lakukan uji lanjut setelah Anava bila hipotesis nol pengaruh perlakuan ditolak? Gunakan taraf nyata 0,05.
rh =
a a
∑1 r i =1
i
rp
p = 2, 3, K , a
ulangan tidak sama sama, ganti r dengan rh a menyatakan banyaknya perlakuan
• K Kriteria i i Keputusan K : Yi• − Yi '• > Rp maka k H1 diterima (kedua perlakuan berbeda)
Uji lanjut dengan BNT • Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi ≠ μi’, i’ i ≠ i’, i’ i = 1, 1 2, 2 3, 3 4, 4 5 • Taraf nyata : α =0,05 • Statistik Uji : BNT = t α 2
( db ( G ) )
⎛1 1⎞ KTG ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ ri ri ' ⎠
• Kriteria Keputusan : t0,025(20) = 2,086 ⎛1 1⎞ BNT = 2,086 2,880⎜ + ⎟ = 2,2389 ⎝5 5⎠
H0 ditolak jika Yi• − Yi '• > 2,2389
• Hitungan: Y1• − Y2• = 1,2
Y2• − Y4• = 3,8∗
Y1• − Y3• = 1,4
Y2• − Y5• = 5∗
Y1• − Y4• = 2,6 ∗ Y1• − Y5• = 3,8
Uji lanjut dengan BNJ Tanda * menunjukkan hasil nyata/signifikan
• Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi ≠ μi’, i ≠ i’, i = 1, 2, 3, 4, 5 • Taraf nyata : α =0,05 • Statistik Uji :
Y3• − Y4• = 1,2
∗
Y3• − Y5• = 2,4 ∗
Y2• − Y3• = 2,6 ∗
Y4• − Y5• = 1,2
BNJ = qα (a ,db ( g ) )
• Kesimpulan μ1=μ2, μ1=μ3, μ3=μ4, μ4=μ5 μ1≠μ4, μ1≠μ5, μ2≠μ5, μ2≠μ3, μ2≠μ4, μ3≠μ5 Y5•
Y4•
2,8
4
Y3•
Y1•
Y2•
• Kriteria Keputusan : q0,05(5,20) = 4,24 2,880 = 3,2179 5
BNJ = 4,24
H0 ditolak jika Yi• − Yi '• > 3,2179
Garis tersebut melambangkan memiliki rata rata--rata sama (tidak b b d secara nyata berbeda nyata) t )
5,2 6,6 7,8
KTG r
• Hitungan: Y1• − Y2• = 1,2
Y2• − Y4• = 3,8∗
Y1• − Y3• = 1,4
Y2• − Y5• = 5∗
Y1• − Y4• = 2,6
Y3• − Y4• = 1,2
Y1• − Y5• = 3,8∗
Y3• − Y5• = 2,4
Y2• − Y3• = 2,6
Y4• − Y5• = 1,2
Tanda * menunjukkan hasil nyata/signifikan
Y4•
2,8
4
Y3•
Y1•
Y2•
Y5• Y4• 2,8 4
Y2• − Y5• = 5 > 2,47 (R5 )
∗
Y2• − Y4• = 3,8 > 2,41 (R4 )
∗
Y1• − Y5• = 3,8 > 2,41 (R4 )
Y3• Y1• Y2• 5,2 6,6 7,8
p
2
3
4
5
rp
2,95
3,10
3,18
3,25
Rp
2,24
2,35
2,41
2,47
Lihat di tabel DMRT
• Kesimpulan μ1=μ2, μ1=μ3, μ3=μ4, μ4=μ5 μ1≠μ4, μ1≠μ5, μ2≠μ5, μ2≠μ3, μ2≠μ4, μ3≠μ5
∗
Y5•
Y4•
Y2• − Y3• = 2,6 > 2,35 (R3 )
2,8
4
∗
r
• Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Yi• − Yi '• > Rp
5,2 6,6 7,8
• Hitungan g :
• Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi ≠ μi’, i ≠ i’, i = 1, 2, 3, 4, 5 • Taraf nyata : α = 0,05 0 05 • Statistik Uji : KTG R p = rp
• Kesimpulan μ1=μ2=μ3, μ3=μ4=μ5, μ1=μ3=μ4 μ1≠μ5, μ2≠μ5, μ2≠μ4 Y5•
Uji Lanjut L j t dengan d DMRT
Y3•
Y1•
Y2•
5,2 6,6 7,8
Y1• − Y4• = 2,6 > 2,35 (R3 )
∗
Y3• − Y5• = 2,4 > 2,35 (R3 )
∗
Y2• − Y1• = 1,2 < 2,24 (R2 ) Y1• − Y3• = 1,4 < 2,24 (R2 )
Y3• − Y4• = 1,2 < 2,24 (R2 )
Y4• − Y5• = 1,2 < 2,24 (R2 )
Untuk kasus ini ini,, uji DMRT dan uji BNT memberikan k i kesimpulan l yang sama
Asumsi--asumsi dalam Anava Asumsi
AsumsiA Asumsi i-asumsii dalam d l Analisis Variansi
• Galat percobaan memiliki ragam yang homogen • Galat percobaan saling bebas • Galat percobaan menyebar normal
Dosen Pengampu Pengampu:: Kismiantini, Kismiantini, M.Si. M.Si.
2
1. Pengujian Kehomogenan Ragam Uji Bartlett (1937)
2. Melihat kebebasan galat satu dengan yang lainnya
• Hipotesis: p H0: σ12= σ22= … = σa2
• Untuk melihat keacakan galat percobaan dibuat plot antara nilai dugaan galat (eij) dengan nilai dugaan respons (Yˆ ) ij
(Ragam semua perlakuan sama)
H1: ∃ σi2≠ σi’2, i ≠ i’, i=1,2,…,a • Taraf nyata: α
• Apabila plot yang dibuat diperoleh bahwa titik-titik titik titik amatan (sisaan) berfluktuasi secara acak di sekitar nol maka dapat dikatakan bahwa galat percobaan saling bebas.
(Minimal ada satu perlakuan yang ragamnya tidak sama dengan yang lain)
• Statistik Uji: χ2 = (ln 10){[Σ(ri‐1)]log(s2) ‐ Σ(ri‐1)log(si2)} s2 = [Σ(ri‐1) si2]/[Σ(ri‐1)]
⎤ s2 = ⎡ 1 ⎤⎡ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎟⎟ − FK = 1 + ⎢ ⎥ i ⎥ ⎢∑ ⎜⎜ ⎣ 3(a − 1) ⎦ ⎢⎣ ⎝ ri − 1 ⎠ ∑ (ri − 1) ⎦⎥
∑ (Y
ij
− Yi• )
2
j
ri − 1
ri ∑ Yij2 − (∑ Yi• )
2
=
ri (ri − 1)
• Kriteria Keputusan:
H0 ditolak jika χ2terkoreksi =(1/FK)χ2hit > χ2α(a‐1) Plot nilai dugaan galat dengan nilai dugaan respons juga dapat untuk melihat h kehomogenan h ragam galat (titik-titik amatan (sisaan) tidak membentuk suatu pola tertentu )
3
4
Model RAL iid
(
Yij = μ + τ i + ε ij , ε ij ~ N 0, σ 2 E (Yij ) = μ + τ i akan diduga oleh
Model RAKL
)
iid
E (Yij ) = μ + τ i + β j
)
akan diduga oleh
Yˆij = μˆ + τˆi
Yˆij = μˆ + τˆi + βˆ j
Sehingga galat (εij) akan diduga oleh sisaan (eij)
Sehingga galat (εij) akan diduga oleh sisaan (eij)
= Y•• + (Yi• − Y•• ) + (Y• j − Y•• ) = Yi• + Y• j − Y••
= Y•• + (Yi• − Y•• ) = Yi•
eij = Yij − Yˆij = Yij − Yi• − Y• j + Y••
eij = Yij − Yˆij = Yij − Yi•
5
(
Yij = μ + τ i + β j + ε ij , ε ij ~ N 0, σ 2
6
Model RBSL iid
3. 3 Melihat kenormalan galat
(
Yijk = μ + α i + β j + τ k + ε ijk , ε ijk ~ N 0, σ 2
E (Yijk ) = μ + α i + β j + τ k
)
• Secara visual kenormalan g galat dapat p dilihat dari plot peluang normal (plot kuantil-kuantil atau plot Q-Q). Bila titik-titik amatan mengikuti arah garis di diagonal l maka k galat l t menyebar b normal. l
akan diduga oleh
Yˆijk = μˆ + αˆ i + βˆ j + τˆk
= Y••• + (Yi•• − Y••• ) + (Y• j • − Y••• ) + (Y•• k − Y••• ) = Yi•• + Y• j • + Y•• k − 2Y••
Sehingga galat (εijk) akan diduga oleh sisaan (eijk)
eijk = Yijk − Yˆijk = Yijk − Yi•• − Y• j • − Y•• k + 2Y••• • Uji formal untuk menguji apakah suatu data menyebar normal adalah uji Lilliefors 7
8
Plot p peluang g normal
Uji Lilliefors
• Plot peluang normal bagi sisaan yaitu ei versus hi KTG = JKG / db(G ) ⎡ ⎛ i − 0,375 ⎞⎤ hi = KTG ⎢ z ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ n + 0,25 ⎠⎦ hi adalah nilai harapan di bawah asumsi kenormalan • Sisaan S diurutkan dari kecil ke besar ei
z=
Gambar disamping menunjukkan bahwa galat menyebar normal karena titik-titik amatan (sisaan) mengikuti arah garis diagonal.
Yi − Y sY
S ( zi ) =
banyaknya z1 , z 2 ,..., z n yang ≤ zi n
hi 9
10
Ilustrasi:: Misalkan diketahui data sampel sbb 23, 27, Ilustrasi 33, 33 40, 40 48, 48 48,57,59,62, 48 57 59 62 68,69,70. 68 69 70 Ujilah Ujil h apakah k h data d t sampel ini berasal dari populasi berdistribusi normal.
y Hipotesis: H0: Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal
Y = 50,3; sY = 16,55; n = 12
11
H1: Sampel berasal dari populasi tidak berdistribusi normal
Yi
zi
F(zi)
S(zi)
|F(zi)- S(zi)|
23 27 33 40 48 48 57 59 62 68 69 70
-1,65 -1,41 1,41 -1,05 -0,62 -0,14 0 14 -0,14 0,40 0,53 0,71 1 07 1,07 1,13 1,19
0,0495 0,0793 0,1469 0,2676 0 4443 0,4443 0,4443 0,6554 0,7019 0,7611 0 8577 0,8577 0,8708 0,8830
0,0833 0,1667 0,2500 0,3333 0 5000 0,5000 0,5000 0,5833 0,6667 0,7500 0 8333 0,8333 0,9167 1
0,0338 0,0874 0,1031 0,0657 0 0557 0,0557 0,0557 0,0721 0,0352 0,0111 0 0244 0,0244 0,0459 0,1170
y Taraf nyata: α = 0,05 y Statistik Uji: L0 Kriteria Keputusan: L0,05(12) = 0,242 L0 = 0,1170 , 7
H0 ditolak jika L0 > 0,242 y Hitungan : L0 = 0,1170 y Kesimpulan: Karena L0 = 0,1170 0 1170 < 0 0,242 242 maka H0 diterima. diterima Jadi dengan taraf nyata 0,05 dapat disimpulkan bahwa sampel berasal dari populasi berdistribusi normal. 12
Soal 1 (RAL) Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk menurunkan panas dari 39° menjadi 37°. Untuk keperluan ini telah dipilih secara acak 25 penderita sakit panas dengan suhu 39° dari usia yang hampir sama dan tanpa keluhan sakit yang lain. Keduapuluh lima pasien tersebut dibagi secara acak menjadi 5 kelompok dan masing-masing kelompok yang terdiri dari 5 orang tersebut diberi obat penurun panas dengan d persentase t k d kandungan paracetamol t l tertentu. t t t Berikut B ik t data d t tentang waktu (dalam jam) yang diperlukan oleh para pasien tersebut sampai dengan panas badan mereka turun menjadi 37 °. KADAR PARACETAMOL
13
40%
50%
60%
75%
90%
7
9
5
3
2
6
7
4
5
3
9
8
8
2
4
4
6
6
3
1
7
9
3
7
4
Periksalah apakah asumsiasumsi dalam Anava terpenuhi? Gunakan taraf nyata 0,05 bila diperlukan.
14
Soal 2 (RAL)
Soal 3 (RAKL)
Tiga kelas kuliah matematika dasar diberikan oleh tiga dosen (A, B, C). Usia dan prestasi mahasiswa dari g kelas tersebut relatif homogen. g Materi kuliah,, ketiga ujian, metode mengajar, dan media yang digunakan sama. Karakteristik dosen juga relatif sama. Nilai akhirnya khi t tercatat t t sebagai b i berikut. b ik t A
73 89, 73, 89 82, 82 43, 43 80, 80 73, 73 66, 66 60, 60 45, 45 93, 93 36, 36 77
B
88, 78, 48, 91, 51, 85, 74, 77, 31, 78, 62, 76, 96, 80, 56
C
68 79, 68, 79 56, 56 91, 91 71, 71 71, 71 87, 87 41, 41 59, 59 68, 68 53, 53 79, 79 15
• Suatu percobaan di bidang peternakan telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh berbagai campuran ransum makanan terhadap pertambahan berat badan domba jantan selama percobaan (di k dalam (diukur d l k ) Hewan kg). H (d b ) percobaan (domba) b yang tersedia t di berbeda b b d umur, karenanya dilakukan pengelompokan menjadi 4 kelompok umur. Data p pertambahan bobot badan dari 16 ekor domba jjantan yang digunakan dalam percobaan adalah sbb. Periksalah apakah asumsiasumsiasumsi terpenuhi terpenuhi? ? Gunakan taraf nyata 0 0,05 05 bila diperlukan.. diperlukan
Periksalah apakah p asumsi-asumsi terpenuhi? p Gunakan taraf nyata 0,05 bila diperlukan.
15
16
Soal 4 (RBSL)
Jawab Soal 1
Jurusan Pendidikan Matematika di sebuah universitas besar bermaksud mengevaluasi kemampuan mengajar 4 profesornya. Untuk menghilangkan pengaruh yang diakibatkan oleh mata kuliah yang berlainan dan waktu mengajar yang tidak sama maka dilakukan klasifikasi keragaman dari dua arah. Setiap profesor mengajar 4 kelas: Aljabar, Geometri, Statistika dan Kalkulus, masing-masing pada 4 waktu berbeda. berbeda Data berikut adalah nilai yang diberikan oleh keempat profesor A, B, C, dan D pada 16 mahasiswa yang mempunyai kemampuan kira-kira sama. Source perlakuan p Error Total
Periksalah apakah asumsiasumsi terpenuhi? Gunakan taraf nyata 0,05 bila diperlukan.
S = 1.697
17
18
DF 4 20 24
SS 79.44 57.60 137.04
MS 19.86 2.88
R-Sq = 57.97%
F 6.90
P 0.001
R-Sq(adj) = 49.56%
Jawab Soal 2
Source perlakuan Error Total S = 18.99
DF 2 37 39
SS 335 13350 13685
MS 168 361
R-Sq = 2.45%
F 0 0.46 46
Jawab Soal 3
P 0 0.632 632
Analysis of Variance for bobot badan, using Adjusted SS for Tests Source kelompok jenis ransum Error Total
R-Sq(adj) = 0.00%
19
20
Jawab Soal 4
Analysis of Variance for nilai, using Adjusted SS for Tests Source waktu mata kuliah profesor Error Total 21
DF 3 3 3 6 15
Seq SS 474.50 252.50 723 723.50 50 287.50 1738.00
Adj SS 474.50 252.50 723 50 723.50 287.50
Adj MS 158.17 84.17 241 17 241.17 47.92
F 3.30 1.76 5 5.03 03
P 0.099 0.255 0 0.045 045
DF 3 3 9 15
Seq SS 14.188 89.187 8.562 111.937
Adj SS 14.187 89.187 8.562
Adj MS 4.729 29.729 0.951
F 4.97 31.25
P 0.026 0.000
Percobaan Faktorial PERCOBAAN DUA FAKTOR
• Ci Cirii : perlakuan l k merupakan k kombinasi k bi i dari d i semua kemungkinan kombinasi dari taraf-taraf dua faktor atau l bih lebih.
• Percobaan Faktorial
• Keuntungan adalah mampu mendeteksi respons dari 1.Taraf masing-masing g g faktor (p (pengaruh g utama)) 2.Interaksi antara dua faktor (pengaruh interaksi) • Bila sudah ada dugaan kuat (ada literatur) bahwa faktor A dan faktor B tidak ada interaksi maka tidak perlu menggunakan rancangan faktorial. 2
1
Plot interaksi antara faktor A dengan g faktor B
Pengar h Interaksi Pengaruh Interaksi nyata/signifikan maka a.uji pada pengaruh utama tidak bermakna b pengaruh faktor A dan B tidak saling b.pengaruh bebas
3
4
P Percobaan b D Faktor Dua F kt dalam d l RAL • Latar Belakang : unit percobaan yang digunakan relatif homogen
Faktorial RAL
• Misal ada dua faktor (A dan B) Faktor A mempunyai 3 taraf (A1, A2, A3) Faktor B mempunyai 2 taraf (B1, B2) Maka kombinasi perlakuan ada 3 × 2 = 6 (A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2) Ulangan ada sebanyak 3 Maka unit percobaan yang diperlukan 3 × 2 × 3 = 18. 6
Tab lasi Data Tabulasi
B Bagan Percobaan P b d dan C Cara P Pengacakan k 1
2
3
4
5
Ulangan
6 A1B1
7
8
9
10
A1
A2
A3
1
Y111
Y211
Y311
2
Y112
Y212 Y312
3
Y113
Y213 Y313
Total
Y11•
Y21•
B1
11
12
A1B1 13
14
15
16
17
18 A1B1 B2
Cara mengacak, misalkan A1B1 akan diletakkan pada 3 nomor kocokan pertama yaitu pada tempat 5, 9 dan 18, dan seterusnya.
Total
Y31•
Y•1•
1
Y121 Y221 Y321
2
Y122 Y222 Y322
3 Total Total
Y123 Y223 Y323 Y12•
Y22•
Y32•
Y•2•
Y1••
Y2••
Y3••
Y•••
7
Model Linier Aditif dari Faktorial RAL
M d lT Model Tetap t (F (Faktor kt A dan d B tetap) t t )
i = 1, 2, K , a
Yijk = μ + α i + β j + (αβ )ij + ε ijk
dengan
j = 1, 2, K , b k = 1, 2, K , r
ε ijk ~ N (0, σ 2 ) Yijk : pengamatan pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k μ : rataan t umum αi : pengaruh utama faktor A taraf ke-i βj : pengaruh utama faktor B taraf ke ke-jj (αβ)ij : pengaruh interaksi dari faktor A taraf ke-i dan faktor B taraf ke-j εijk : pengaruh acak pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k
∑α i =1
i
b
a
b
j =1
i =1
j =1
2 ) α i ~ N (0, σ α2 ), β j ~ N (0, σ β2 ), (αβ )ij ~ N (0, σ αβ iid
iid
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT)
A
a-1
JKA
σ2 +r
B AB
= 0, ∑ β j = 0, ∑ (αβ )ij = ∑ (αβ )ij = 0
Asumsi untuk model acak ialah
Sumber Keragaman
iid
Asumsi untuk model tetap ialah a
8
b-1 (a-1)(b-1)
JKB JKAB
G l t Galat
ab(r-1) b( 1)
JKG
Total
abr-1 abr 1
JKT
KTA KTB KTAB KTG
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT)
Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
A
a-1
JKA
KTA
2 σ 2 + rσ αβ + brσ α2
A
a-1
JKA
KTA
B
b-1
JKB
KTB
2 σ 2 + rσ αβ + arσ β2
B
b-1
JKB
KTB
2 σ 2 + rσ αβ
AB
(a-1)(b-1)
JKAB
KTAB
G l t Galat
ab(r-1) b( 1)
JKG
KTG
Total
abr-1 abr 1
JKT
G l t Galat
ab(r-1) b( 1)
JKG
KTG
Total
abr-1 abr 1
JKT
∑∑ αβ
+ ar
2 i
∑β
2 j
(b − 1)
2 ij
(a − 1)(b − 1)
σ2
M d lC Model Campuran (F (Faktor kt A acak kd dan B ttetap) t )
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
KTAB
2 ij
∑α
(a − 1)
10
Derajat Bebas (db)
JKAB
∑∑ αβ
(a − 1)(b − 1)
+ br
9
Sumber Keragaman
(a-1)(b-1)
σ2 +r
2 ij
iid
M d lA Model Acak k (F (Faktor kt A d dan B acak) k)
AB
σ2 +r
∑∑ αβ
(a − 1)(b − 1)
σ2
11
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT) 2 σ 2 + rσ αβ + brσ α2
2 + ar σ 2 + rσ αβ
∑β
2 j
(b − 1)
2 σ 2 + rσ αβ
σ2
12
M d lC Model Campuran (F (Faktor kt A ttetap t dan d B acak) k) Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT)
A
a-1
JKA
KTA
2 σ 2 + rσ αβ + br
B
b-1
JKB
KTB
2 σ 2 + rσ αβ + arσ β2
AB
(a-1)(b-1)
JKAB
KTAB
2 σ 2 + rσ αβ
G l t Galat
ab(r-1) b( 1)
JKG
KTG
Total
abr-1 abr 1
JKT
∑α
Hi t i M Hipotesis Model d lT Tetap t (F (Faktor kt A d dan B ttetap) t ) • Hipotesis pengaruh utama faktor A
H 0 : α 1 = α 2 = K = α a = 0 (faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2, K , a
2 i
(a − 1)
(faktor A berpengaruh terhadap respons yang diamati)
• Hipotesis pengaruh utama faktor B H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 (faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K , b
(faktor B berpengaruh terhadap respons yang diamati)
• Hipotesis pengaruh interaksi H 0 : (αβ )11 = (αβ )12 = K = (αβ )abb = 0 H 1 : ∃(αβ )ij ≠ 0 , i = 1, 2, K , a, j = 1, 2, K , b
σ2
(Interaksi faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) (Interaksi faktor A dengan faktor B berpengaruh terhadap respons yang diamati) 14
13
Hi t i M Hipotesis Model d lA Acak k (F (Faktor kt A d dan B acak) k) • Hipotesis pengaruh utama faktor A H0 :σα = 0 2
• Hipotesis pengaruh utama faktor A
(Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ α > 0 (Keragaman faktor A berpengaruh positif 2
terhadap respons yang diamati)
• Hipotesis pengaruh utama faktor B H0 :σ β = 2
Hi t i Model Hipotesis M d l Campuran C (Faktor (F kt A acak k d dan B ttetap) t )
H 0 : σ α2 = 0
(Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H1 : σ α > 0
(Keragaman faktor A berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
2
• Hipotesis pengaruh utama faktor B
0 (Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ β2 > 0 (Keragaman faktor B berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
• Hipotesis pengaruh interaksi
H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 (faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K , b (faktor B berpengaruh terhadap respons yang diamati)
• Hipotesis pengaruh interaksi
2 g faktor A dengan g faktor B tidak berpengaruh p g terhadap p H 0 : σ αβ = 0 ((Keragaman
2 faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh terhadap respons H 0 : σ αβ = 0 (Keragaman yang diamati)
2 H 1 : σ αβ > 0 (Keragaman faktor A dengan faktor B berpengaruh positif terhadap
2 H 1 : σ αβ >0
respons yang diamati)
respons yang diamati)
(Keragaman faktor A dengan faktor B berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
15
Hi t i Model Hipotesis M d l Campuran C (Faktor (F kt A ttetap t d dan B acak) k)
• Hipotesis pengaruh utama faktor A
H 0 : α 1 = α 2 = K = α a = 0 (faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2, K, a
(faktor A berpengaruh terhadap respons yang diamati)
16
Perhitungan Analisis Variansi FK =
Y•2•• abr a
• Hipotesis pengaruh utama faktor B H 0 : σ β2 = 0 (Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
JKP =
H 1 : σ β2 > 0 (Keragaman faktor B berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
JKA =
respons yang diamati)
2 H 1 : σ αβ > 0 (Keragaman faktor A dengan faktor B berpengaruh positif terhadap
JKB =
b
∑∑ Y i =1 j =1
r
2 ij •
− FK
∑ Yi•2• i =1
br
j =1
2 • j•
ar a
b
− FK r
JKT = ∑∑∑ Yijk2 − FK i =1 j =1 k =1
a
• Hipotesis pengaruh interaksi 2 g faktor A dengan g faktor B tidak berpengaruh p g terhadap p H 0 : σ αβ = 0 ((Keragaman
b
∑Y
− FK
JKAB = JKP − JKA − JKB JKG = JKT − JKP
respons yang diamati)
17
18
Soal 1
Berikut ini adalah data hasil produksi padi untuk setiap petak percobaan, yang dicatat dalam kuintal
• Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh jenis pupuk dan varietas padi terhadap hasil produksi padi. Jenis pupuk yang diteliti adalah P1, P2, P3 dan P4. Dari berbagai g varietas p padi yyang g ada,, telah dipilih secara acak 3 diantaranya yaitu V1, V2 dan V3. Mengingat g g terbatasnya y lahan,, ulangan g hanya y dilakukan sebanyak 3 kali untuk setiap kombinasi perlakuannya. Percobaan dilakukan di sawah percobaan, dengan kondisi tanah, pengairan dan penyinaran dapat dianggap relatif homogen, sehingga pengacakan secara lengkap dapat diterapkan pada petak-petak percobaan.
Jenis Pupuk
Varietas Padi V1
P1
V2
Total V3
64
72
66
81
74 51
70
64
65
65
57
47
63
43
58
58
52
67
59
66
58
68
71
39
65
59
42
Jumlah P2
Analisislah data tersebut sesuai maksud penelitiannya.. Gunakan taraf penelitiannya nyata 0,05. 0 05 Anggap asumsi asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi
Jumlah P3 Jumlah P4
58
57
53
41
61
59
46
53
38
Jumlah
19
Derajat Bebas (db)
A
a-1 = ((a)) – ((1))
A : jenis pupuk B : varietas padi a = 4, 4 b=3 3, r = 3
B
b-1 = (b) – (1)
AB
(a-1)(b-1) = (ab) – (a) – (b) +(1)
Galat
ab(r-1) = (abr) – (ab)
Total
abr-1 = (abr) – (1)
(abr ) → ∑∑∑
+ a + a32 + a 42 br b12 + b22 + b32 (b ) → ar 2 1
2 2
(a ) → a
Yijk2
2
(1) → Y•••
1
abr
(ab ) → ab11 + ab12 + ab13 + ab21 + ab22 + ab23 + ab31 + ab32 + ab33 + ab41 + ab42 + ab43 2
2
2
2
2
20
Soal 2
P h tik b Perhatikan berikut ik t ! Sumber Keragaman
Total
2
2
2
2
2
2
2
r
21
Suatu penelitian akan dilakukan untuk mengetahui pengaruh metode belajar dan waktu kegiatan belajar mengajar terhadap hasil belajar mata k li h rancangan percobaan kuliah b ( t (rata-rata t hasil h il nilai il i akhir). khi ) Metode M t d yang dicobakan adalah ceramah, tanya jawab dan diskusi. Sedangkan waktu kegiatan belajar mengajar yang dipilih adalah pada jam pertama (7.00 (7.008.40), jam ketiga (11.00-12.40) dan jam kelima (15.00-16.40). Pengamatan dilakukan pada mahasiswa yang mengambil mata kuliah t tersebut b t dengan d k kemampuan awall dalam d l mempelajari l j i rancangan percobaan relatif sama (syarat mata kuliah Statistika Elementer telah diambil dengan nilai minimal C). Mahasiswa tersebut dikelompokkan berdasarkan program studinya yaitu Prodi Pendidikan Matematika Subsidi, Pendidikan Matematika Swadana C dan Pendidikan Matematika S d Swadana D D. a) Apa unit percobaannya? Apa pengamatannya? b) Sebutkan faktor-faktor faktor faktor yang diteliti beserta taraf dan sifatnya? c) Tentukan semua kombinasi perlakuan yang mungkin. d) Seperti apa bagan diagram bloknya? e) Bagaimana bagan pengacakannya?
Percobaan 2 Faktor dalam RAKL • •
FAKTORIAL RAKL
• •
Latar belakang: unit percobaan tidak seragam. Pengacakan P k secara acakk dalam d l masing-masing i i kelompok k l k untuk t k semua kombinasi perlakuan. Pengaruh g kelompok p diasumsikan tidak berinteraksi dengan g kedua faktor. Misal ada dua faktor (A dan B) F kt A mempunyaii 3 taraf Faktor t f (A1, (A1 A2, A2 A3) Faktor B mempunyai 2 taraf (B1, B2) Maka kombinasi perlakuan ada 3 × 2 = 6 (A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2) Kelompok ada sebanyak 3 Sehingga unit percobaan yang diperlukan 3 × 2 × 3 = 18,
Dosen D Pengampu P : Kismiantini, K Kismiantini t , M,Si, M S, M,Si 1 2
Bagan Percobaan dan Cara Pengacakan
Tabulasi Data
Kelompok 1 1
2
3
4
5
6
K l Kelompok k
A1
A2
A3
1
Y111
Y211
Y311
2
Y112
Y212 Y312
3
Y113
Y213 Y313
Total
Y11•
Y21•
B1
A1B1
Kelompok 2 1
2
3
4
5
6
A1B1
B2
Kelompok 3 1
3
4
5
A1B1
Y•1•
Y121 Y221 Y321
2
Y122 Y222 Y322
Total
6
Y31•
1 3
2
T t l Total
Total
Y123 Y223 Y323 Y12•
Y22•
Y32•
Y•2•
Y1•• 1
Y2•• 2
Y3•• 3
Y•••
Cara mengacak, semua kombinasi perlakuan diacak di masingmasing i kelompok, k l k 3
4
Model Linier Aditif dari Faktorial RAKL Yijk = μ + α i + β j + (αβ )ij + ρ k + ε ijk
dengan
Model Tetap (Faktor A dan B tetap) jika kelompok acak
i = 1, 2, K , a j = 1, 2, K , b k = 1, 2, K , r
ε ijk ~ N (0, σ 2 ) Yijk : ppengamatan g ppada faktor A taraf ke-i,, faktor B taraf ke-jj dan kelompok p ke-k μ : rataan umum αi : pengaruh utama faktor A taraf ke-i βj : pengaruh utama faktor B taraf ke ke-jj (αβ)ij : pengaruh interaksi dari faktor A taraf ke-i dan faktor B taraf ke-j ρk : pengaruh kelompok ke-k εijk : pengaruh acak pada faktor A taraf ke-i, ke i faktor B taraf ke-j ke j dan kelompok ke-k ke k
S b Sumber Keragaman
Derajat D j t Bebas (db)
Jumlah J l h Kuadrat K d t Kuadrat Tengah (JK) (KT)
Nilaii Harapan Nil H K d t Tengah Kuadrat T h E(KT)
A
a-1
JKA
σ2 +r
Asumsi untuk model tetap ialah
Kelompok
r-1
JKK
KTK
σ 2 + abσ ρ2
Galat
(ab-1)(r-1) JKG
KTG
σ2
Total
abr-1
iid
a
∑α i =1
i
b
a
b
r
j =1
i =1
j =1
k =1
B AB
= 0, ∑ β j = 0, ∑ (αβ )ij = ∑ (αβ )ij = 0, ∑ ρ k = 0
Asumsi untuk model acak ialah
2 ), ρ k ~ N (0,σ ρ2 ) α i ~ N (0, σ α2 ), β j ~ N (0, σ β2 ), (αβ )ij ~ N (0, σ αβ iid
iid
iid
iid
5
b-1 (a-1)(b-1)
JKB JKAB
KTA KTB KTAB
σ2 +r σ2 +r
∑∑ αβ
2 ij
(a − 1)(b − 1)
∑∑ αββ
2 ij
(a − 1)(b − 1)
∑∑ αβ
+ br
+ ar
∑α
2 i
∑β
2 j
(a − 1)
(b − 1)
2 ij
(a − 1)(b − 1)
JKT
6
Model Acak (Faktor A dan B acak) jika k kelompok k k acakk
Model Campuran (Faktor A acak dan B tetap) jika kelompok acak
S b Sumber Keragaman
Derajat D j t Bebas (db)
Jumlah J l h Kuadrat K d t Kuadrat Tengah (JK) (KT)
Nilaii Harapan Nil H K d t Tengah Kuadrat T h E(KT)
S b Sumber Keragaman
Derajat D j t Bebas (db)
Jumlah J l h Kuadrat K d t Kuadrat Tengah (JK) (KT)
A
a-1
JKA
KTA
2 σ 2 + rσ αβ + brσ α2
A
a-1
JKA
KTA
B
b-1
JKB
KTB
2 σ 2 + rσ αβ + arσ β2
B
b-1
JKB
KTB
Nilaii Harapan Nil H K d t Tengah Kuadrat T h E(KT) 2 σ 2 + rσ αβ + brσ α2
2 + ar σ 2 + rσ αβ
AB
(a-1)(b-1)
JKAB
KTAB
2 σ 2 + rσ αβ
AB
(a-1)(b-1)
JKAB
KTAB
2 σ 2 + rσ αβ
Kelompok
r-1
JKK
KTK
σ 2 + abσ ρ2
Kelompok
r-1
JKK
KTK
σ 2 + abσ ρ2
Galat
(ab-1)(r-1) JKG
KTG
σ2
Galat
(ab-1)(r-1) JKG
KTG
σ2
Total
abr-1
Total
abr-1
JKT
∑β
2 j
(b − 1)
7
Model Campuran (Faktor A tetap dan B acak) jika kelompok acak
8
Hipotesis Model Tetap (Faktor A dan B tetap) jika kelompok acak Hipotesis pengaruh utama faktor A
Sumber S b Keragaman
Derajat D j t Bebas (db)
Jumlah J l h Kuadrat K d t Kuadrat Tengah (JK) (KT)
A
a-1
JKA
KTA
2 + br σ 2 + rσ αβ
B
b-1
JKB
KTB
σ + rσ αβ + arσ β2
AB
(a-1)(b-1)
JKAB
KTAB
σ + rσ αβ
Kelompok
r-1
JKK
KTK
σ + abσ ρ
Galat
(ab-1)(r-1) JKG
KTG
σ2
Total
abr-1
H 0 : α 1 = α 2 = K = α a = 0 (faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Nilaii Harapan Nil H K d t Tengah Kuadrat T h E(KT)
2
2
2
∑α
H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2, K , a
2 i
(faktor A berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Hipotesis pengaruh utama faktor B H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 (faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
(a − 1)
2
H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K, b
2
(faktor B berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Hipotesis p pengaruh p g interaksi H 0 : (αβ )11 = (αβ )12 = K = (αβ )ab = 0
2
(Interaksi (I t k i faktor f kt A dengan d faktor f kt B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : ∃(αβ )ijj ≠ 0 , i = 1, 2, K , a, j = 1, 2, K, b (Interaksi faktor A dengan faktor B berpengaruh terhadap respons
yang diamati) Hipotesis pengaruh kelompok H 0 : σ ρ2 = 0 (Keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ ρ2 > 0 (Keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respons yang diamati) 9
Hipotesis Model Acak (Faktor A dan B acak) jika kelompok acak
10
Hipotesis Model Campuran (Faktor A acak dan B tetap)
jika kelompok acak
Hipotesis pengaruh utama faktor A g faktor A tidak berpengaruh p g terhadap p respons p yang y g diamati)) H 0 : σ α2 = 0 ((Keragaman
Hipotesis pengaruh utama faktor A H 0 : σ α2 = 0 (Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ α2 > 0 (Keragaman faktor A berpengaruh positif terhadap respons yang diamati) Hi t i pengaruh Hipotesis h utama t faktor f kt B H 0 : σ β2 = 0 (Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ α2 > 0 (Keragaman faktor A berpengaruh postif terhadap respons yang diamati) Hipotesis pengaruh utama faktor B H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 (faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K, b
H 1 : σ β2 > 0 (Keragaman faktor B berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
2 H 1 : σ αβ β > 0
(f kt B b (faktor berpengaruh h tterhadap h d respons yang di diamati) ti)
Hipotesis pengaruh interaksi 2 (K iinteraksi t k i faktor f kt A dengan d faktor f kt B tidak tid k berpengaruh b h = 0 (Keragaman H 0 : σ αβ
Hipotesis pengaruh interaksi 2 interaksi faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh = 0 (Keragaman H 0 : σ αβ terhadap respons yang diamati)
terhadap respons yang diamati)
2 H 1 : σ αβ > 0 (Keragaman interaksi faktor A dengan faktor B berpengaruh positif
(Keragaman interaksi faktor A dengan faktor B berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
terhadap respons yang diamati)
Hipotesis pengaruh kelompok
Hipotesis pengaruh kelompok
H 0 : σ ρ2 = 0 (Keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 0 : σ ρ2 = 0 (Keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ ρ2 > 0 (Keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ ρ2 > 0 (Keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respons yang diamati) 11
12
Perhitungan Analisis Variansi
Hipotesis Model Campuran (Faktor A tetap dan B acak) jika kelompok acak Hipotesis pengaruh utama faktor A H 0 : α 1 = α 2 = K = α a = 0 (faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2,K , a
FK =
a
(faktor A berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Hipotesis pengaruh utama faktor B H 0 : σ β2 = 0 (Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ β2 > 0
r
Y•2•• abr
JKP =
(K (Keragaman faktor f kt B berpengaruh b h positif itif terhadap t h d respons yang diamati) di ti)
JKK =
b
∑∑ Y i =1 j =1
2 ij •
JKA =
2 = 0 (Keragaman interaksi faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh H 0 : σ αβ
terhadap respons yang diamati)
2 interaksi faktor A dengan faktor B berpengaruh positif H 1 : σ αβ > 0 (Keragaman t h d respons yang diamati) terhadap di ti) Hipotesis pengaruh kelompok H 0 : σ ρ2 = 0 (Keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
− FK
ab b
r
i =1 j =1 k =1
∑Y i =11
k =1
a
a
Hipotesis pengaruh interaksi
2 •• k
JKT = ∑∑∑ Yijk2 − FK
− FK
r
∑Y
2 i ••
br
JKAB = JKP − JKA − JKB JKG = JKT − JKP − JKK
− FK
b
JKB =
H 1 : σ ρ2 > 0 (Keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
∑Y j =1
2 • j•
− FK
ar
13
Seorang peneliti mengkombinasikan penambahan seng dengan minyak ikan ke dalam pakan sapi untuk mempengaruhi pertambahan berat badan sapi (kg per ekor per hari). hari) Kombinasi perlakuan yang dicobakan sebanyak 12 (suplementasi seng=0; 25; 50;75 dan suplementasi minyak ikan=0,0; 1,5; 3,0) dengan setiap kombinasi perlakuan diulang sebanyak 3 kali. Pengulangan perlakuan dilakukan dalam bentuk kelompok karena pengulangan dilakukan dalam waktu berbeda. Datanya sbb:
Jika Kelompok Tetap Sumber Keragaman Kelompok Galat
Derajat Bebas (db) r-1
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT) JKK
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT)
KTK
(ab-1)(r-1) JKG
σ 2 + ab
KTG
14
Waktu
Mi = 0,0
Mi = 1,5
1
0,550
0,750
0,800
2 k
2
0,491
0,790
0,772
r −1
3
0,436
0,718
0,667
1
0,768
0,804
0,643
2
0,772
0,737
0,624
3
0 667 0,667
0 744 0,744
0 692 0,692
1
0,732
0,786
0,893
2
0,772
0,702
0,737
3
0,718
0,795
0,744
1
0
0,982
0
2
0,807
1,018
0,965
3
0,769
1,205
0,795
∑ρ
Zn = 0
Zn = 25
σ2
Hipotesis pengaruh kelompok H 0 : ρ1 = ρ 2 = K = ρ r = 0 (kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Zn = 50
H 1 : ∃ρ k ≠ 0 , k = 1, 2, K, r
Zn = 75
Mi = 3,0
Analisislah data tersebut sesuai maksud k d penelitiannya penelitiannya. liti . Gunakan α=0,05
Anggap asumsi-asumsi dalam analisis variansi terpenuhi.
15
Soal
Perhatikan berikut ! Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
A
a-1 1 = ((a)) – (1)
B
b-1 = (b) – (1) (a-1)(b-1) (a 1)(b 1) = (ab) – (a) – (b) + (1)
Kelompok
r-1 = (r) – (1)
Galat
(ab-1)(r-1) = (abr) – (ab) – (r) + (1)
Total
Suatu p penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh metode mengajar dan intensitas mengerjakan latihan soal terhadap hasil belajar matematika siswa kelas VI Sekolah Dasar. Metode mengajar yang digunakan adalah ceramah (M1), (M1) alat peraga (M2) dan permainan (M3). Sedangkan intensitas soal yang diberikan adalah jarang (I1), sedang d (I2) dan d sering i (I3). (I3) Kelas K l yang tersedia untuk penelitian ada sebanyak 3 kelas dengan kemampuan awal siswa masing-masing kelas berbeda (kelas A, kelas B dan kelas C). Tabel berikut p tabel tentang g data rata-rata merupakan nilai ujian akhir matematika semester I kelas VI Sekolah Dasar.
A : suplementasi seng p minyak y ikan B : suplementasi a = 4, b = 3, r = 3
AB
abr-1 = (abr) – (1)
∑∑∑ (abr b )→
+ a 22 + a32 + a 42 br b12 + b22 + b32 (b ) → ar
(a ) → a
2 1
Yijk2
(1) → Y••• 2
abr
1 r12 + r22 + r32 (r ) → ab
(ab ) → ab11 + ab12 + ab13 + ab21 + ab22 + ab23 + ab31 + ab32 + ab33 + ab41 + ab42 + ab43 2
2
2
2
2
2
2
2
16
2
2
2
2
r
Anggap asumsi-asumsi dalam analisis variansi terpenuhi. 17
Kombinasi Kelompok Total Perlakuan A B C M1I1 60 66 77 203 M2I1 62 76 62 200 M3I1 68 90 83 241 M1I2 73 80 82 235 M2I2 78 85 91 254 M3I2 79 82 87 248 M1I3 77 88 86 251 M2I3 79 85 88 252 M3I3 80 83 89 252 Total 656 735 745 2136 a. Tentukan rancangan yang sesuai dengan penelitian tersebut. Jelaskan. b. Tuliskan model linear dan maknanya. c. Lakukan pengujian hipotesis sesuai dengan g yang y g dimaksud. Gunakan α = 0,05.
S Seorang g insinyur y menyatakan y bahwa tegangan ouput maksimum dari baterai mobil (aki) dipengaruhi oleh jenis material dan temperatur lokasi dimana baterai tsb dirakit Berikut data tentang daya tegangan dirakit. output maksimum (voltage).
1
2
Temperatur °F (T)
Jenis Material M t i l (M)
Total
50
65
80
1
130 155 74 180
34 40 80 75
20 70 82 58
SubTotal
539
229
230
2
150 188 159 126
136 122 106 115
25 70 58 45
SubTotal
623
479
198
3
138 110 168 160
174 120 150 139
96 104 82 60
998
1300
SubTotal
576
583
342
1501
Total
1738
1291
770
3799
db
Sumber Keragaman
Perlakuan Material ((M)) Temperatur (T) Interaksi (MT)
8 2 2 4
JK
KT
Fhit
59146,22 10683,72 , 39118,72 9613,78
5341,86 , 19559,36 2403,44
7,91 , 28,97 3,56
G l t Galat
27
18230 75 18230,75
675 21 675,21
Total
35
77646,97
-
Ftabel 5% 3,35 , 3,35 2,73
Kesimpulan
H0 ditolak H0 ditolak H0 ditolak
Terlihat bahwa pengaruh interaksi material dan temperatur (MT) nyata, sedangkan pengaruh utama M maupun T tidak perlu diperhatikan lagi dalam kasus percobaan baterai ini.
3
4
M2T1 – M3T1 = 155,75 – 144.00 = 11,75 < R2 M2T1 – M1T1 = 155,75 – 134,75 = 21,00 < R3 M3T1 – M1T1 = 144,00 – 134,75 = 9,25 < R2
sY =
KTG 675,21 = = 12,99 r 4
M1T1 134,75 134 75
H0 : M1T1 = M2T1 = M3T1 H1 : minimal ada salah satu yang berbeda dengan lainnya
Perlakuan
M1T1
M3T1
M2T1
Rata-rata
134,75
144,00
155,75
p
2
3
rp
2,908
3,058
37,77 ,
39,72 ,
R p = rp sY
M3T1 144 144,00 00
M2T1 155 155,75 75
Dapat disimpulkan bahwa pada temperatur 50 50°F F (T1), ) ketiga jenis material yang dicobakan (M1, M2 dan M3) memberikan pengaruh yang sama (tidak berbeda nyata) terhadap daya tegangan output maksimum baterai. Dapat diambil keputusan bahwa pada temperatur 50°F dapat menggunakan salah satu jenis material (M1, M2 atau t M3) dalam d l membuat b t baterai b t i mobil, bil karena k memberikan respons output yang sama. 5
6
H0
: M1T2 = M2T2 = M3T2 H0 : M1T3 = M2T3 = M3T3 H0 : M1T1 = M1T2 = M1T3 H0 : M2T1 = M2T2 = M2T3 H0 : M3T1 = M3T2 = M3T3 8
7
Suatu percobaan pot dilakukan untuk mengetahui pengaruh pemberian kapur (CaCO3) dan pupuk phospat (P) terhadap hasil tanaman kacang tanah. Rancangan yang digunakan adalah faktorial RAKL dengan sebagai kelompok adalah kelompok umur tanaman kacang tanah. p ada 2 taraf yyaitu Pemberian kapur C0 = 0 gr/pot C1 = 4 gr/pot Pupuk phospat ada 3 taraf yaitu P0 = 0,00 gr/pot P1 = 1,75 gr/pot P2 = 3,50 gr/pot Kelompok umur tanaman kacang tanah : K1 = umur 1 bulan K2 = umur 2 bulan K3 = umur 3 bulan K4 = umur 4 bulan b l
Kombinasi P l k Perlakuan
1
2
Kelompok 3
4
Total
C0P0
22,32
28,32
27,37
28,47
C0P1
19,10
23,46
27,35
19,37
89,28
C0P2
26,92
29,50
28,09
32,52
117,03
C1P0
27,32
21,89
24,89
21,72
95,82
C1P1
38,77
25,64
29,82
37,32
131,55
C1P2
40,32
34,13
27,12
22,59
124,16
106,48
y 0,10. Gunakan taraf nyata 9
Sumber Variasi
Derajat Jumlah bebas Kuadrat
Kapur
1
62 5328167 62,5328167
Phospat
2
94,5967750
Kapur*Phospat Kapur Phospat
2
181 3703583 181,3703583
Kelompok
3
17,3050333
Galat
15
391,3400167
Total
23
747,1450000
Kuadrat Tengah
10
Fhit
BNT = t α 2
BNT = t0, 05(15 )
11
2 KTG r 2× 2 × 26,0893344 = 1,753 × 3,61174019 = 6,331 4
12
Hipotesis : H0 : C0P0 = C1P0 H1 : C0P0 ≠ C1P0 Perlakuan
C0P0
C1P0
Rata-rata t t
26 62 26,62
22 32 22,32
H0
|C0P0 - C1P0|=|26,62-23,32|= 4,3 < BNT pemberian kapur p tidak berpengaruh p g Ho diterima. Ini berarti p terhadap hasil biji kering tanaman kacang tanah pada taraf pemberian p p pupuk p p phospat p 0,00 g gr/pot. p
13
: C0P1 = C1P1 H0 : C0P2 = C1P2 H0 : C0P0 = C0P1 = C0P2 H0 : C1P0 = C1P1 = C1P2
14
Rancangan g Petak Terpisah p • Bentuk khusus dari rancangan faktorial • Latar belakang : kombinasi perlakuan tidak diacak secara sempurna terhadap unit-unit unit unit percobaan • Alasan : 1 Adanya 1. Ad tingkatan i k k kepentingan i d i faktor dari ffaktork -faktor f k yang dilibatkan dalam percobaan 2. Pengembangan dari percobaan yang telah berjalan 3. Kendala pengacakan g di lapangan g
Rancangan Petak Terpisah (Split p Plot Design) Design g ) wxÇztÇ eT_
• Rancangan petak terpisah dapat diterapkan pada berbagai rancangan lingkungan (RAL, (RAL RAK, RAK RBSL) • Kata kunci : petak utama, anak petak
Dosen Pengampu : Kismiantini Kismiantini,, M,Si M,Si,, 1
Perhatikan kasus berikut (Rancangan Petak Terpisah RAL)
•
Misalkan : A : penyemprotan t (P) dan d tanpa t penyemprotan t obat b t (T) → petak t k utama t B : varietas padi (V1, V2, V3) → anak petak pengamatan t : hasil h il produksi d k i padi, di ulangan l :1 Interaksi AB : PV1, PV2, PV3, TV1, TV2, TV3
•
Misal dengan Faktorial RAL biasa maka salah satu hasil pengacakannya
PV1 TV1 TV2 PV3 TV3 PV2
2
• Akibatnya y : ada kemungkinan g dampak p p penyemprotan, y p yaitu suatu petak yang lain yang seharusnya tidak disemprot akan terkena semprot, • Untuk menghindari dari hal tersebut, maka pengacakannya menjadi j V1 V2 V3 V1 V2 V3 T P Artinya proses pengacakan ada 2 tahap, yaitu : 1 Tahap 1. T h 1 : pengacakan k terhadap t h d taraf t f faktor f kt A 2. Tahap 2 : pengacakan taraf faktor B di setiap taraf faktor A
Anak ppetak mempunyai p y ketelitian uji j yang y g lebih tinggi gg (faktor f ppenting penting) g) 3
Model Linier Aditif dari Rancangan Petak Terpisah RAL
Yijk = μ + α i + δ ik + β j + (αβ β )ij + ε ijk
i = 1, 2, K , a
dengan
Faktor A → petak utama utama,, Faktor B → anak petak
j = 1, 2, K , b
k = 1, 2, K , r
ε ijk ~ N (0, σ 2 ) Yijk : pengamatan pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k iid μ : rataan umum δ ik ~ N (0, σ δ2 ) αi : pengaruhh utama t ffaktor kt A ttaraff kke-ii βj : pengaruh utama faktor B taraf ke-j (αβ)ij : pengaruh interaksi dari faktor A taraf ke ke-ii dan faktor B taraf ke ke-jj δik : pengaruh acak dari faktor A taraf ke-i dan ulangan ke-k εijk : pengaruh acak pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k iid
Asumsi untuk model tetap ialah a
∑α i =1
i
b
a
b
j =1
i =1
j =1
2 ) α i ~ N (0, σ α2 ), β j ~ N (0, σ β2 ), (αβ )ij ~ N (0, σ αβ iid
iid
Hipotesis Model Tetap (Faktor A dan B tetap tetap)) • Hipotesis pengaruh utama faktor A → petak utama H 0 : α 1 = α 2 = K = α a = 0 (faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2, K , a
• Hipotesis pengaruh utama faktor B → anak petak H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 (faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K , b
• Hipotesis pengaruh interaksi H 0 : (αβ )11 = (αβ )12 = K = (αβ )ab = 0
H 1 : ∃(αβ )ij ≠ 0 , i = 1, 2, K, a, j = 1, 2, K , b
= 0, ∑ β j = 0, ∑ (αβ )ij = ∑ (αβ )ij = 0
Asumsi untuk model acak ialah
4
(Interaksi faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
iid
5
6
Hipotesis Model Campuran (Faktor A acak dan B tetap) tetap)
Hipotesis Model Acak (Faktor A dan B acak acak)) • Hipotesis pengaruh utama faktor A → petak utama H 0 : σ α2 = 0
• Hipotesis pengaruh utama faktor A → petak utama
(Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H1 : σ α > 0
H 0 : σ α2 = 0
(Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H1 : σ α > 0
2
2
• Hipotesis pengaruh utama faktor B → anak petak H 0 : σ β2 = 0 (Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
• Hipotesis pengaruh utama faktor B → anak petak H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 (faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K , b
H 1 : σ β2 > 0
• Hipotesis pengaruh interaksi 2 g interaksi faktor A dengan g faktor B tidak berpengaruh p g H 0 : σ αβ = 0 ((Keragaman
• Hipotesis pengaruh interaksi 2 g interaksi faktor A dengan g faktor B tidak berpengaruh p g H 0 : σ αβ = 0 ((Keragaman
terhadap respons yang diamati)
terhadap respons yang diamati)
2 H 1 : σ αβ >0
2 H 1 : σ αβ >0 7
8
Hipotesis po es s Model ode Ca Campuran pu a (Faktor a o A tetap e ap da dan B aca acak)) acak
Model Tetap (Faktor A dan B tetap) • Hipotesis pengaruh utama faktor A → petak utama H 0 : α 1 = α 2 = K = α a = 0 (faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2, K, a
• Hipotesis pengaruh utama faktor B → anak petak H 0 : σ β2 = 0 (Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H1 : σ β > 0
Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT)
A
a-1
JKA
σ 2 + bσ δ2 + r
KTA
Galat (a)
a(r-1)
JKGa
KTGa
σ 2 + bσ δ2
B
b-1 1
JKB
KTB
σ2 +r
2
AB
• Hipotesis pengaruh interaksi 2 g interaksi faktor A dengan g faktor B tidak berpengaruh p g H 0 : σ αβ = 0 ((Keragaman
(a-1)(b-1) (a 1)(b 1)
JKAB
Galat(b)
a(b-1)(r-1) JKGb
Total
abr-1
KTAB KTGb
terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ αβ > 0 2
σ2 +r
∑∑ αβ
2 ij
(a − 1)(b − 1)
∑∑ αβ
2 ij
∑∑ αβ
2 ij
(a − 1)(b − 1)
+ ar
+ br
∑β
∑α
2 i
(a − 1)
2 j
(b − 1)
(a − 1)(b − 1)
σ2
JKT
9
10
M d lC Model Campuran (F (Faktor kt A acak kd dan B ttetap) t )
Model Acak (Faktor A dan B acak) Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT)
Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
A
a-1
JKA
KTA
2 σ 2 + bσ δ2 + rσ αβ + brσ α2
A
a-1
JKA
KTA
Galat (a)
a(r-1)
JKGa
KTGa
σ 2 + bσ δ2
Galat (a)
a(r-1)
JKGa
KTGa
B
b-1
JKB
KTB
2 σ 2 + rσ αβ + arσ β2
B
b-1
JKB
KTB
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT) 2 σ 2 + bσ δ2 + rσ αβ + brσ α2
σ 2 + bσ δ2 2 + ar σ 2 + rσ αβ
AB
( 1)(b 1) (a-1)(b-1)
JKAB
KTAB
2 σ 2 + rσ αβ
AB
( 1)(b 1) (a-1)(b-1)
JKAB
KTAB
2 σ 2 + rσ αβ
Galat(b)
a(b-1)(r-1) a(b 1)(r 1) JKGb
KTGb
σ2
Galat(b)
a(b-1)(r-1) a(b 1)(r 1) JKGb
KTGb
σ2
Total
abr-1
Total
abr-1
JKT 11
∑β
2 j
(b − 1)
JKT 12
Model Campuran (Faktor A tetap dan B acak)
Perhitungan Analisis Variansi FK =
Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
A
a-1
JKA
KTA
Galat (a)
a(r-1)
JKGa
KTGa
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT) 2 σ 2 + bσ δ2 + rσ αβ + br
∑α
2 i
a
b-1
JKB
KTB
2 σ 2 + rσ αβ + arσ β2
AB
( 1)(b 1) (a-1)(b-1)
JKAB
KTAB
σ + rσ αβ
Galat(b)
a(b-1)(r-1) a(b 1)(r 1) JKGb
KTGb
σ
Total
abr-1
2
a
JKST =
JKA =
2
13
Perhitungan dengan menggunakan bantuan derajat bebas Derajat Bebas (db)
A
a-1
(a) – (1)
Galat (a)
a(r 1) a(r-1)
(ar) – (a)
B
b-1
((b)) – ((1))
AB
(a-1)(b-1)
(ab) – (a) – (b) + (1)
( ) Galat(b)
a(b-1)(r-1) ( )( ) ((abr)) – ((ar)) – ((ab)) + (a) ( )
Total
abr-1
i =1 k =1
b
2 i•k
− FK
∑Y
2 i ••
− FK br JKGa = JKST − JKA
∑Y j =1
JKP =
2 • j•
− FK
ar a
r
∑∑ Y
i =11
JKB =
2 ijk
a
2
JKT
Sumber Keragaman
r
i =1 j =1 k =1
(a − 1)
2
B
b
JKT = ∑∑∑ Y − FK
σ + bσ δ 2
b
Y•2•• abr b
b
∑∑ Y i =1 j =1
2 ij •
− FK r JKAB = JKP − JKA − JKB JKGb = JKT − JKP − JKGa
14
Soal 1 • Penelitian berikut tentang kajian jarak antarbaris tebu d dan j i jenis t tanaman palawija l ij d l dalam pertanaman t tumpangsari yang bertujuan untuk menentukan jarak antarbaris tebu yang tepat untuk tiap jenis tanaman palawija. Dalam percobaan ini diuji 3 jenis tanaman palawija dan 4 aras jarak antarbaris tebu. tebu Berikut data berat batang tebu (ton/ha) dengan berbagai jarak antarbaris dan jenis tanaman sela untuk 3 ulangan. ulangan
(abr) – (1)
• Bila dianggap asumsi-asumsi dalam analisis variansi terpenuhi, lakukan analisis sesuai yang dimaksud. Gunakan taraf nyata 0,01. 15
Jarak antarbaris tebu (cm) 90
100
110
160
Tanaman Sela
Jagung Kacang tanah Kedelai Total Jagung Kacang tanah Kedelai Total Jagung Kacang tanah Kedelai Total Jagung Kacang tanah Kedelai Total Total
1
Ulangan 2 3
16
Soal 2 Penelitian di bidang pendidikan akan dilakukan tentang kajian jenis permainan dan jenis karakteristik anak dalam membantu perkembangan kecerdasan anak usia dini. Tujuan utama dari penelitian ini adalah untuk mengetahui jenis permainan yang sesuai dalam meningkatkan tingkat kecerdasan anak. Dalam percobaan ini diuji 3 jenis permainan yang dipilih secara acak yaitu puzzle, origami dan menara balok, balok sedangkan jenis karakteristik anak yang dipilih untuk diamati adalah anak yang cenderung aktif dan cenderung pasif. Subyek penelitian yeng tersedia ada sebanyak 30 anak usia dini. Data yang akan diperoleh berupa skor tes kecerdasan untuk anak usia dini setelah diberi perlakuan. a) Rancangan apa yang sesuai dengan permasalahan tersebut? Berikan alasannya. b) Sebutkan faktor faktor-faktor faktor yang diteliti beserta taraf dan sifatnya? c) Tuliskan model linear dan maknanya. d) Apa unit percobaannya? Apa pengamatannya?
75,55 60,21 71,46 91 79 88,92 91,79 88 92 90 90,53 53 89,37 87,88 70,43 82,41 81,89 84,65 84,24 81,34 85,22 80 49 79,45 80,49 79 45 81,11 81 11 74,65 73,52 75,13 81,22 80,98 79,44 80,77 81,38 82,10 79,81 78,12 76,34 82,88 83,84 82,37 84,60 83,27 90,25
17
18
The GLM Procedure Dependent Variable: respons
•
Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
Model
17
1044.849764
61.461751
3.28
0.0082
Error
18
337.500933
18.750052
Corrected Total
35
1382 1382.350697 350697
Rancangan Petak Terpisah dalam RAL karena ada tingkatan kepentingan faktor faktor, faktor yang penting adalah jarak antarbaris tebu (anak petak), faktor lainnya adalah jenis tanaman palawija (petak utama). Faktor : jenis tanaman palawija (A) → petak utama (TETAP) A1 = Jagung, A2 = Kacang tanah, A3 = kedelai Faktor : jarak antarbaris tebu (B) → anak petak (TETAP) B1 = 90 cm, B2 = 100 cm, B3 = 110 cm, B4 = 160 cm Unit percobaan : tebu, satuan pengamatan : batang tebu Pengamatan : berat batang tebu (ton/ha)
• •
R-Square
Coeff Var
Root MSE
respons Mean
0.755850
5.342893
4.330133
81.04472
Source tanaman r(tanaman) jarak j tanaman*jarak
DF
Type III SS
Mean Square
F Value
Pr > F
2 6 3 6
451.6972056 67.2314667 77.2175639 448.7035278
225.8486028 11.2052444 25.7391880 74.7839213
12.05 0.60 1.37 3.99
0.0005 0.7285 0.2830 0.0103
• •
Tests of Hypotheses Using the Type III MS for r(tanaman) as an Error Term Source tanaman
DF
Type III SS
2
451.6972056
Mean Square 225.8486028
F Value
Pr > F
20.16
0.0022
19
20
c) Model linear dan maknanya a) Rancangan yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah Rancangan petak terpisah dengan RAL, karena ada tingkatan kepentingan faktor, faktor yang lebih penting adalah jenis permainan anak (anak petak), faktor lainnya adalah jenis karakteristik anak (petak utama). utama) b) Faktor : jenis permainan anak → anak petak (ACAK) B1 = puzzle, puzzle B2 = origami, origami B3 = menara balok Faktor : jenis karakteristik anak → petak utama (TETAP) A1 = anak yang cenderung aktif, A2 = anak yang cenderung pasif d) Unit percobaan adalah anak usia dini g adalah skor tes kecerdasan untuk anak usia dini Pengamatan
Yijk = μ + α i + δ ik + β j + (αβ β )ij + ε ijk
i = 1, 2
dengan
Faktor A ((jenis jenis karakteristik anak anak)) → petak utama utama,, Faktor B (jenis (jenis permainan permainan)) → anak petak
j = 1, 2,3 k = 1, 2,3,4,5
ε ijk ~ N (0, σ 2 ) iid
δ ik ~ N (0, σ δ2 ) Yijk : skor tes kecerdasan untuk anak usia dini yang diperoleh dari jenis karakteristik anak ke-i, jenis permainan ke-j dan ulangan ke-k μ : rataan umum αi : pengaruh utama jenis karakteristik anak ke-i βj : pengaruh utama jenis permainan ke-j (αβ)ij : pengaruh interaksi dari jenis karakteristik anak ke-i dan jenis permainan ke-j δik : pengaruh acak dari jenis karakteristik anak ke-i dan ulangan ke-k εijk : pengaruh acak pada jenis karakteristik anak ke-i, ke-i jenis permainan ke-j dan ulangan ke-k iid
21
22
Soal (hal 150) Berikut datanya : •
Dalam D l usaha h menjaga j k kesehatan h t li k lingkungan dil k k dilakukan percobaan b dengan menggunakan berbagai jenis tanaman untuk menyerap debu di udara. Jenis tanaman yyang g digunakan g antara lain tanaman berdaun licin (J1 dan J2), berdaun kecil kasar (J3 dan J4), berdaun lebar licin (J5 dan J6), berdaun lebar kasar (J7 dan J8) dan berdaun j jarum (J9 dan d J10) Percobaan J10). P b i i dicobakan ini di b k pada d dua d l k i lokasi (Cipedak dan Gatot Subroto). Setiap perlakuan diulang 3 kali dan unit-unit p percobaan yyang g digunakan g diasumsikan homogen. g Percobaan ini bertujuan untuk mengetahui jenis tanaman yang mampu menyerap debu paling efektif dan di lokasi mana. Peubah respons yang dicatat di t t dari d i percobaan b i i adalah ini d l h konsentrasi k t i debu d b (ppm) yang melekat pada daun tanaman.
Lok asi
Ulan gan J1
Cipe dak
1
Gatot Subro to
Jenis tanaman J2
J3
J4
J5
J6
J7
J8
J9
J10
0,0312
0,0270
0,0666
0,0983
0,0348
0,0549
0,1078
0,1003
0,1086
0,1116
2
0,0317
0,0272
0,0671
0,0988
0,0353
0,0554
0,1085
0,1009
0,1092
0,1124
3
0,0321
0,0277
0,0672
0,0993
0,0355
0,0568
0,1089
0,1011
0,1096
0,1129
1
0,0670
0,0589
0,1441
0,2114
0,0726
0,1186
0,2326
0,2170
0,2168
0,2408
2
0,0676
0,0595
0,1446
0,2116
0,0731
0,1188
0,2331
0,2172
0,2176
0,2416
3
0,0681
0,0597
0,1450
0,2120
0,0732
0,1191
0,2336
0,2174
0,2183
0,2426
Lakukan analisis sesuai dengan g yyangg dimaksud! Gunakan taraf nyata y 0,05. , •
Jenis tanaman → anak petak petak,, lokasi → petak utama 23
24
Rancangan Blok Terpisah • Kedua faktor merupakan petak utama • Pengaruh yang ditekankan adalah pengaruh interaksi • Penempatan taraf kedua faktor dilakukan saling bersilangan • Rancangan R iinii merupakan k perkembangan k b d darii rancangan faktorial dalam RAK • Rancangan ini dapat diaplikasikan dalam RAK dan RBSL tetapi tidak dapat diaplikasikan dalam RAL
RANCANGAN BLOK TERPISAH atau R Rancangan g Petakk Teralur Split p Block Design g or Strip p Plot Design g
Dosen Pengampu : Kismiantini Kismiantini,, M,Si, M Si, M,Si
Model Linier Aditif dari Rancangan Blok Terpisah RAK
Pengacakan (untuk suatu kelompok) Yijk = μ + K k + α i + δ ik + β j + γ jk + (αβ )ij + ε ijk dengan
Misalkan dua faktor A (A1, A2, A3) dan faktor B (B1, B2, B3)
• Pilihlah kelompok unit percobaan secara acak misalkan kelompok 1, lalu tempatkan taraf-taraf faktor A secara acak pada kelompok tersebut • Kelompok tsb selanjutnya dibagi ke dalam 3 kolom, lalu tempatkan taraf-taraf taraf taraf faktor B secara acak pada setiap kolom mengikuti alur baris • Masing-masing perlakuan akan as g as g kombinasi o b as pe a ua a a menempati e e pa alur silang B2
B1
Asumsi untuk model tetap ialah a
A1
A1B2 A1B1 A1B3
A3
A3B2 A3B1 A3B3
A2
A2B2 A2B1 A2B3
∑α i =1
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
Kelompok
r-1
JKK
A
a1 a-1
JKA
KTK KTA
σ 2 + bσ δ2 + r
Galat (a)
(a-1)(r-1)
JKGa
KTGa
σ 2 + bσ δ2
B
b-1
JKB
KTB
σ 2 + aσ γ2 + r
Galat (b)
(b-1)(r-1)
JKGb
KTGb
∑∑ αβ
(a − 1)(b − 1)
∑∑ αβ
2 ij
(a − 1)(b − 1)
+ br
+ ar
∑α
2 i
(a − 1)
((a-1)(b-1) )( )
JKAB
KTAB
σ2 +r
Galat(c)
(a-1)(b-1)(r-1)
JKGc
KTGc
σ2
Total
abr-1
JKT
∑∑ αβ
a
b
i =1
j =1
2 ) α i ~ N (0, σ α2 ), β j ~ N (0, σ β2 ), (αβ )ij ~ N (0, σ αβ iid
iid
iid
∑β
2 j
Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
Kelompok
r-1
JKK
KTK
A
a-1
JKA
KTA
Galat (a)
(a-1)(r-1)
JKGa
KTGa
σ 2 + bσ δ2
B
b-1
JKB
KTB
2 σ 2 + aσ γ2 + rσ αβ + arσ β2
G l t (b) Galat
(b 1)( 1) (b-1)(r-1)
JKGb
KTGb
σ 2 + aσ γ2
AB
(a-1)(b-1)
JKAB
KTAB
2 σ 2 + rσ αβ
Galat(c)
(a-1)(b-1)(r-1)
JKGc
KTGc
σ2
Total
abr-1
JKT
(b − 1)
σ 2 + aσ γ2
AB
b
j =1
= 0, ∑ β j = 0, ∑ (αβ )ij = ∑ (αβ )ij = 0
4
Model Acak ((Faktor A dan B acak))
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT) 2 ij
i
Asumsi untuk model acak ialah
Model Tetap (Faktor A dan B tetap) Derajat Bebas (db)
k = 1, 2, K , r
Yijk : pengamatan pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan kelompok ke-k iid ε ijk ~ N (0, σ 2 ) μ : rataan umum iid Ki : pengaruh kelompok ke ke-kk δ ik ~ N (0, σ δ2 ) αi : pengaruh utama faktor A taraf ke-i iid βj : pengaruh utama faktor B taraf ke-j γ jk ~ N (0, σ γ2 ) (αβ)ij : pengaruh interaksi dari faktor A taraf ke-i ke i dan faktor B taraf ke-j ke j δik : pengaruh acak dari faktor A taraf ke-i dan kelompok ke-k γjk : pengaruh acak pada faktor B taraf ke-j dan kelompok ke-k εijk : pengaruhh acakk pada d faktor f kt A taraf t f kke-i,i ffaktor kt B ttaraff kke-jj ddan kelompok k l k kke-kk
B3
Sumber Keragaman
i = 1, 2, K , a j = 1, 2, K , b
2 ij
(a − 1)(b − 1)
5
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT) 2 2 σ 2 + bσ δ2 + rσ αβ β + brσ α
6
Model Campuran (Faktor A acak dan B tetap) Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
Kelompok
r-1
JKK
KTK
A
a-1
JKA
KTA
Galat (a)
(a-1)(r-1)
JKGa
KTGa
B
b-1
JKB
KTB
Model Campuran (Faktor A tetap dan B acak)
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT)
Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah (JK) (KT)
Nilai Harapan Kuadrat Tengah E(KT)
Kelompok
r-1
JKK
KTK
2 σ 2 + bσ δ2 + rσ αβ + brσ α2
A
a-1
JKA
KTA
σ 2 + bσ δ2
Galat (a)
a(r-1)
JKGa
KTGa
σ 2 + bσ δ2
B
b-1
JKB
KTB
2 σ 2 + aσ γ2 + rσ αβ + arσ β2
2 + ar σ 2 + aσ γ2 + rσ αβ
∑β
2 j
(b − 1)
2 + br σ 2 + bσ δ2 + rσ αβ
Galat (b)
(b-1)(r-1)
JKGb
KTGb
σ 2 + aσ γ2
Galat (b)
(b-1)(r-1)
JKGb
KTGb
σ 2 + aσ γ2
AB
((a-1)(b-1) )( )
JKAB
KTAB
2 σ 2 + rσ αβ
AB
((a-1)(b-1) )( )
JKAB
KTAB
2 σ 2 + rσ αβ
Galat(c)
(a-1)(b-1)(r-1)
JKGc
KTGc
σ2
Galat(c)
(a-1)(b-1)(r-1)
JKGc
KTGc
σ2
Total
abr-1
JKT
Total
abr-1
JKT
7
Hipotesis Model Tetap (Faktor A dan B tetap tetap)) • Hipotesis p pengaruh p g utama faktor A H 0 : α 1 = α 2 = K = α a = 0 (faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2,K , a
H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K, b
H 1 : ∃(αβ β )ij ≠ 0 , i = 1, 2,K , a, j = 1, 2, K, b
2 i
8
Hipotesis p Model Acak (Faktor A dan B acak acak)) • Hipotesis pengaruh utama faktor A
H 0 : σ α2 = 0
(Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H1 : σ α > 0 2
• Hipotesis pengaruh utama faktor B p g terhadap p respons p y yang g diamati)) H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 ((faktor B tidak berpengaruh • Hipotesis pengaruh pengar h interaksi H 0 : (αβ )11 = (αβ )12 = K = (αβ )ab = 0
∑α
(a − 1)
• Hipotesis pengaruh utama faktor B H 0 : σ β2 = 0 (Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ β2 > 0 (Interaksi faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
• Hipotesis pengaruh interaksi 2 = 0 (Keragaman interaksi faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh H 0 : σ αβ terhadap respons yang diamati)
2 H 1 : σ αβ β > 0 9
Hipotesis Model Campuran (Faktor A acak dan B tetap tetap)) • Hipotesis pengaruh utama faktor A
H0 :σα = 0 2
10
Hipotesis Model Campuran (Faktor A tetap dan B acak) acak) • Hipotesis pengaruh utama faktor A
(Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 0 : α 1 = α 2 = K = α a = 0 (faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2,K , a
H1 : σ α > 0 2
• Hipotesis pengaruh utama faktor B H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 (faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K, b
• Hipotesis pengaruh utama faktor B H 0 : σ β2 = 0 (Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : σ β2 > 0
• Hipotesis pengaruh interaksi 2 = 0 (Keragaman interaksi faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh H 0 : σ αβ
• Hipotesis pengaruh interaksi 2 = 0 (Keragaman interaksi faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh H 0 : σ αβ
terhadap respons yang diamati)
terhadap respons yang diamati)
2 H 1 : σ αβ β > 0
2 H 1 : σ αβ β > 0 11
12
Perhitungan Analisis Variansi FK =
a
b
JKB =
r
JKT = ∑∑∑ Yijk2 − FK
∑Y b
ab b
j =1 k =1
a
JKA =
2 i ••
br a
JKGa =
b
2 i•k
i =1 k =1
b
2 ij •
i =1 j =1
− FK − JKA − JKB
r
r
∑∑ Y
− FK − JKK − JKB
∑∑ Y
JKAB =
− FK
2 • jk
a
a
∑Y i =1
r
∑∑ Y
JKGb =
− FK
k =1
− FK
ar
r
∑ Y•2•k
2 • j•
j =1
i =1 j =1 k =1
JKK =
Soal 1
b
Y•2•• abr
− FK − JKK − JKA
JKGc = JKT − JKK − JKA − JKGa − JKB − JKGb − JKAB
Dosis Pupuk Nirogen
Kelompok
Varietas Kedelai
60 kg/ha
1
Hc 48
Total
2
2,05
3
2,25
2,45
Hc G 4
2,50
2,60
2,45
Hc 33
2,15
2,50
2,35
Hc G 45
2,60
2,50
2,25
Hc 48
3,30
3,50
3,45
Hc G 4
3,25
2,95
3,00
Hc 33
3,25
3,45
3,50
Hc G 45
2,95
3,05
3,15
Total 60 kg/ha
Hc 48
2,95
2,90
2,95
Hc G 4
2 85 2,85
3 00 3,00
3 15 3,15
Hc 33
2,75
3,00
3,00
Hc G 45
3,00 ,
2,85 ,
2,95 ,
13
Perhatikan berikut! A : dosis pupuk nitrogen, nitrogen B : varietas kedelai a = 3, b = 4, r = 3
Total 120 kg/ha
Suatu percobaan dengan 4 macam varietas kedelai yang diambil secara acak yaitu Hc 48, Hc G 4, Hc 33, Hc G 45 yang mempunyai respons yang berbeda terhadap pemupukan nitrogen. Dosis pupuk nitrogen yang diperlukan untuk varietas k d l i juga kedelai j di bil secara acakk yaitu diambil it 60 kg/ha, k /h 90 kg/ha k /h dan d 120 kg/ha. Dalam percobaan yang ingin dilihat lebih cermat adalah interaksi antara varietas kedelai dengan g p pupuk p nitrogen, g , oleh karena itu percobaan dilakukan dengan rancangan blok terpisah dengan 3 kelompok. A Anggap asumsi-asumsi i i dalam d l A Anava terpenuhi. hi Lakukan L k k pengujian hipotesis sesuai dengan yang dimaksud, gunakan taraf nyata 0,05. Berikut data produktifitas kedelai (ton/ha) :
Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Kelompok
r-1 = (r) – (1)
A
a-1 = (a) – (1)
Galat (a)
(a 1)(r 1) = (ar) – (a) – (r) +(1) (a-1)(r-1)
B
b-1 = (b) – (1)
Galat ((b))
((b-1)(r-1) )( ) = (br) ( ) – ((b)) – ((r)) + (1) ( )
AB
(a-1)(b-1) = (ab) – (a) – (b) + (1)
Galat(c)
(a-1)(b-1)(r-1) = (abr) – (ar) – (br)+(r) – (ab) + (a) + (b) – (1)
Total
abr-1
Total Total
Soal 2 +a +a br b12 + b22 + b32 + b42 (b ) → ar
(a ) → a
2 1
2 2
2 3
(abr ) →
∑∑∑ Yijk2
Bagan percobaan berikut dirancang untuk mengetahui pengaruh interaksi dosis pupuk nitrogen (N0, N80, N160, N320) dan waktu panen (W1, W2, W3, W4, W5) pada tanaman gula, dengan 2 kelompok Berikut kelompok. Berik t data tentang hasil panen dalam ton per hektar. hektar
(1) → Y
2 •• •
abr
1 r12 + r22 + r32 (r ) → ab
Kelompok 1
(ab ) → abb11 + abb12 + abb13 + abb14 + abb21 + abb22 + abb23 + abb24 + abb31 + abb32 + abb33 + abb34 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r
(ar ) → ar11 + ar12 + ar13 + ar21 + ar22 + ar23 + ar31 + ar32 + ar33 2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
(br ) → br11 + br12 + br13 + br21 + br22 + br23 + br31 + br32 + br33 + br41 + br42 + br43 2
2
2
2
2
2
2
a
2
2
2
2
2
Kelompok 2
W4
W5
W1
W3
W2
W4
W2
W3
W5
W1
N80 26,4
N80 29,3
N80 10,1
N80 23,1
N80 18,2
N160 34,2
N160 18,5
N160 22,4
N160 30,3
N160 10,8
N320 31,2
N320 34,2
N320 10,3
N320 25,9
N320 19,2
N0 21,3
N0 12,5
N0 16,7
N0 19,1
N0 5,2
N160 28,0
N160 31,2
N160 10,2
N160 22,3
N160 16,9
N80 29,5
N80 16,9
N80 20,4
N80 26,6
N80 9,5
N0 10,1 10 1
N0 11,4 11 4
N0 2,3 2 3
N0 9,8 9 8
N0 8,8 8 8
N320 31 9 31,9
N320 17 8 17,8
N320 22 8 22,8
N320 29 2 29,2
N320 74 7,4
Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi. Lakukan pengujian hipotesis sesuai dengan yang dimaksud, gunakan taraf nyata 0,05.
Soal 3 Suatu penelitian di bidang Pendidikan akan dilakukan untuk menyelidiki pengaruh interaksi metode mengajar dan jenis kelamin guru terhadap h il belajar hasil b l j matematika t tik anak k kelas k l I Sekolah S k l h Dasar. D K l Kelas yang tersedia untuk penelitian tersebut tidak relatif homogen. Selanjutnya, kelas yang tersedia tersebut dapat dikelompokkan menjadi tiga kategori yaitu kategori kemampuan awal rendah, kemampuan awal sedang dan kemampuan awal tinggi. Metode mengajar yang diujikan y jjawab,, dan ((3)) p permainan. adalah : ((1)) ceramah,, ((2)) tanya a) Rancangan penelitian seperti apa yang dapat anda sarankan? b) Berapa jumlah minimal unit percobaannya? c) Tentukan semua kombinasi perlakuan yang mungkin? d) Bagaimana proses pengacakan unit percobaannya? Berikan hasil bagan pengacakannya. pengacakannya e) Tuliskan model linear dan maknanya?
Tabel 1. Galat Perbedaan Rata-rata untuk Masing-masing Pasangan d i 4 Jenis dari J i Perbandingan P b di Berpasangan B dalam d l Split S lit Plot Pl t Design D i Jenis Perbandingan No.
Uji j Lanjut j BNT
1
2
Split Plot Design dalam RAL
3
~ ttabel
Galat baku
sd
Antara
2 KTG (a ) rb
Langsung dari tabel
2 nilai rata-rata perlakuan taraf f k B → b1 – b2 faktor
2 KTG (b ) ra
Langsung dari tabel
2 nilai rata-rata faktor B pada taraf A yang sama → a1b1 – a1b2
2 KTG (b ) r
Langsung dari tabel
2 nilai rata-rata perlakuan taraf faktor A → a1 – a2
t a = t α ( dbGa ) 2
tb = t α ( dbGb ) 2
tb = t α ( dbGb ) 2
4
1
2 nilai rata-rata faktor A p pada taraf B yang sama → a1b1 – a2b1
2((b −1 1)KTG (b ) + KTG (a )) rb
t
∗
(b − 1)KTG (b )tb + KTG (a )ta = (b − 1)KTG (b ) + KTG (a )
Faktor A → petak utama, Faktor B → anak petak
Jarak antarbaris tebu (cm)
Perhatikan kasus Split Plot dalam RAL berikut
90
• Penelitian berikut tentang g kajian j jjarak antarbaris tebu dan jenis tanaman palawija dalam pertanaman tumpangsari p p g yang y g bertujuan j untuk menentukan jarak antarbaris tebu yang tepat untuk tiapp jjenis tanaman p palawija. j Dalam p percobaan ini diuji 3 jenis tanaman palawija dan 4 aras jarak antarbaris tebu. Berikut data berat batang g tebu (ton/ha) dengan berbagai jarak antarbaris dan jenis tanaman sela untuk 3 ulangan. g
100
110
160
Jarak antarbaris tebu (B) → anak petak J i tanaman sela Jenis l (A) → petak k utama
Tanaman Sela
Jagung Kacang tanah Kedelai d l Total Jagung Kacang tanah Kedelai ota Total Jagung Kacang tanah Kedelai Total Jagung Kacang tanah Kedelai Total T t l Total
2
Ulangan 2 3
1
75,55 60,21 71,46 91,79 88,92 90,53 89,37 87,88 70,43 82,41 81,89 84,65 84,24 81,34 85,22 80,49 79,45 81,11 74,65 73,52 75,13 81,22 80,98 79,44 80 77 81,38 80,77 81 38 82,10 82 10 79,81 78,12 76,34 82,88 82 88 83,84 83 84 82 82,37 37 84,60 83,27 90,25
3
4
Faktor-faktor
Tabel Anava
• A : jenis tanaman sela A1 : jagung; A2 : kacang tanah; A3: kedelai • B : jarak antarbaris tebu B1 : 90 cm; B2: 100 cm; B3: 110 cm; B4: 160 cm
Sumber Variasi Tanaman
db
JK
KT
2
451 6972056 451,6972056
225 8486028 225,8486028
Fhit 20 16 20,16
Galat (a)
6
67,2314667
11,2052444
0,60
Jarak
3
77,2175639
25,7391880
1,37
Tanaman×Jarak
6
448,7035278
74,7839213
3,99
Galat (b)
18
337,500933
18,750052
Total
35
Ftabel
Lakukan uji lanjut bila H0 pengaruh interaksi ditolak. ditolak. Gunakan taraf nyata 0,05. 5
6
Pengujian pengaruh faktor jarak antarbaris (B) tebu pada taraf jenis tanaman sela (A) yang sama
Pengujian ji pengaruhh faktor f k jenis j i tanaman sela l (A) pada taraf jarak antarbaris tebu (B) yang sama
2 KTG (b ) 2 ×18,750052 • t0,025(18) =…… = = = 3,535 r 3 • BNT = …..×3,535 = …. • Hipotesis : H0 : B1A1=B B2A1=B B3A1=B B4A1 H1 : minimal ada satu perlakuan yang memberikan respons yang berbeda
t∗ =
=
(4 − 1)18,750052(t0, 025(18) ) + 11,2052444(t0, 025( 6 ) )
(4 − 1)18,750052 + 11,2052444 3(18,750052)(...) + 11,2052444(...) = 3(18,750052) + 11,2052444 = ...
dengan lainnya
Hipotesis p lainnya, y
H0 : B1A2=B2A2=B3A2=B4A2 H0 : B1A3=B B2A3=B B3A3=B B4A3
(b − 1)KTG (b )tb + KTG (a )ta (b − 1)KTG (b ) + KTG (a )
7
8
2((b − 1)KTG (b ) + KTG (a )) 2((4 − 1)18,750052 + 11,2052444) = = 3,353 rb 3(4)
Perhatikan hasil berikut Perlakuan : V1N2 Rata-rata : 50,6 Hasil :
• BNT = …×3,353=… ×3 353= • Hipotesis : H0 : A1B1=A2B1=A3B1 H1 : minimal i i l ada d satu perlakuan l k yang memberikan b ik respons yang berbeda b b d
V3N2 51,4
V2N2 55,4
V4N2 63,4
H il pengujian Hasil ji menunjukkan j kk bahwa b h pada d taraf t f pemupukan k N2, antara varietas V1, V3, dan V2 memberikan hasil yang sama demikian pula antara varietas V2 dan V4 memberikan sama, hasil yang sama, selain itu berbeda nyata. Berdasarkan data yang dihasilkan maka sebaiknya pada taraf pemupukan N2 ditanam varietas V4, jadi terlihat bahwa varietas V4 sangat responsif terhadap pemupukan nitrogen.
dengan lainnya
Hipotesis lainnya, lainnya
H0 : A1B2=A2B2=A3B2 H0 : A1B3=A2B3=A3B3 H0 : A1B4=A2B4=A3B4 9
Perhatikan Kasus Split Plot dalam RAL berikut • Suatu percobaan ingin mempelajari pengaruh faktor varietas tanaman padi dan pemupukan nitrogen terhadap hasil produksi padi. Faktor varietas (V) terdiri dari empat yangg dialokasikan secara acak taraf ((V1,, V2,, V3,, dan V4)) y ke petak utama, sedangkan faktor pemupukan nitrogen (N) terdiri dari empat taraf (N1, N2, N3, dan N4) yang dialokasikan secara acak ke dalam anak petak. Percobaan ini dilakukan pada petak-petak sawah yang relatif homogen Berikut hasil produksi diukur dalam kg/petak. homogen. kg/petak
10
Faktor Varietas (V)
Ulangan
V1
Faktor Nitrogen (N)
Total
N1
N2
N3
N4
1 2 3 4
42,9 42 9 41,6 28,9 30 8 30,8
53,8 53 8 58,5 43,9 46 3 46,3
49,55 49 53,8 40,7 39 4 39,4
44,4 44 4 41,8 28,3 34 7 34,7
1 2 3 4
53,3 69,6 45,4 35,1
57,6 69,6 42,4 51,9
59,8 65,8 41,4 45,4
64,1 57,4 44,1 51,6
1 2 3 4
62,3 58 5 58,5 44,6 50,3
63,4 50 4 50,4 45,0 46,7
64,5 46 1 46,1 62,6 50,3
63,6 56 1 56,1 52,7 51,8
Sub Total V2
Sub Total V3
S b Total Sub 11
12
Faktor Varietas (V)
Ulangan
V4
1 2 3 4
Faktor Nitrogen (N)
Total
N1
N2
N3
N4
75,4 75 4 65,6 54,0 52 7 52,7
70,33 70 67,3 57,6 58 5 58,5
68,8 68 8 65,3 45,6 51 0 51,0
71,6 71 6 69,4 56,6 47 4 47,4
Sub Total Total
Lakukan uji lanjut bila H0 pengaruh interaksi ditolak. Gunakan taraf nyata 0,05.
13
Tabel 1. Galat Perbedaan Rata-rata untuk Masing-masing Pasangan dari 4 Jenis Perbandingan Berpasangan dalam Strip Plot Design
sd
~ ttabel
2 KTG (a ) rb
Langsung dari tabel
2 KTG (b ) ra
Langsung dari tabel
J i Perbandingan Jenis P b di No.
UJI LANJUT BNT
1
2
Strip Plot Design dalam RAK Petak Horizontal : A Petak Vertikal : B
3
4
1
Antara 2 rata rata-rata rata perlakuan petak horisontal (2 nilai rata-rata taraf faktor A) → a1 – a2 2 rata-rata perlakuan petak vertikal (2 nilai rata-rata taraf faktor B) → b1 – b2 2 rata-rata perlakuan petak horizontal pada petak vertikal yang sama (2 nilai rata-rata faktor A pada taraf B yang sama) → a1b1 – a2b1 2 rata-rata perlakuan petak vertikal pada petak horizontal yang sama (2 nilai il i rata-rata t t faktor f kt B pada d taraf t fA yang sama) → a1b1 – a1b2
Langkah--langkah perhitungan uji BNT Langkah
t a = t α ( dbGa ) 2
tb = t α ( dbGb ) 2
2[(b −1)KTG (c ) + KTG (a )] rb
t1∗ =
(b − 1)KTG (c )tc + KTG (a )ta (b −1)KTG (c ) + KTG (a )
2[(a −1)KTG (c ) + KTG (b )] ra
t 2* =
(a − 1)KTG (c )tc + KTG (b )tb (a − 1)KTG (c ) + KTG (b ) 2
Perhatikan kasus berikut
• Dihitung galat dari perbedaan rata-rata mengikuti rumus pada Tabel 1 • Digunakan Tabel t dengan derajat bebas dari galat yang berkaitan pada taraf nyata α • Hitung nilai BNT = ~ttabel × sd • Bandingkan g selisih dua rata-rata dengan g nilai BNT yang bersesuaian
Pada suatu percobaan ingin diketahui pengaruh interaksi faktor varietas padi dan pemupukan nitrogen it t h d hasil terhadap h il produksi d k i padi. di Faktor F kt varietas i t padi ada 6 taraf yaitu V1, V2, V3, V4, V5, dan V6. Faktor pemupukan nitrogen terdiri 3 taraf yaitu N1, gg 3 N2, dan N3. Percobaan ini menggunakan kelompok petak percobaan (petak percobaan relatif tidak homogen).
3
4
Data hasil produksi padi (kg/ha) Varietas Padi
Kelompok p
V1
Pemupukan p Nitrogen g
Total
Varietas Padi
Kelompok p
7254 6808 8582
V4
5630 7334 7177
7053 8284 6297
V5
4676 6672 7019
7666 7328 8611
V6
N1
N2
N3
1 2 3
2373 3958 4384
4076 6431 4889
1 2 3
4007 5795 5001
1 2 3
2620 4508 5621
Subtotal V2
Total
N2
N3
1 2 3
2726 5630 3821
4838 7007 4816
6881 7735 6667
1 2 3
4447 3276 4582
5549 5340 6011
6880 5080 6076
1 2 3
2572 3724 3326
3896 2822 4425
1556 2706 3214
Subtotal
Subtotal V3
Pemupukan p Nitrogen g N1
Subtotal
Subtotal
Subtotal Total 5
6
Tabel Anava Sumber Keragaman Kelompok
db 2
JK 9220962,50
KT
Uji BNT dengan taraf nyata 5% Fhit
Ftabel (5%)
7 65 7,65
3 33 3,33
34 07 34,07
6 94 6,94
5 80 5,80
2 35 2,35
4610481,25
Varietas (A)
5
57100201 40 11420040,28 57100201,40 11420040 28
Galat (a)
10
14922619,50
Nit Nitrogen (B)
2
50676061 60 25338030,80 50676061,60 25338030 80
• Dua rata-rata rata rata perlakuan petak horisontal (Varietas Padi)
1492261,95
Galat (b)
4
2974907,70
743726,93
AB
10
23877979 30 23877979,30
2387797 93 2387797,93
Galat (c)
20
8232917,00
411645,85
sd =
2 KTG (a ) 2 × 1492261,95 = = 575,86 3× 3 rb
t 0 , 05 (10 ) = ......... 2
BNT1 = 575,86 × 2,228 = 1283,02
Lakukan uji lanjut bila H0 pengaruh interaksi ditolak. 7
• Dua rata-rata perlakuan petak horisontal (varietas padi) pada petak vertikal (pemupukan nitrogen) yang sama 2[(b − 1)KTG (c) + KTG (a )] s =
• Dua rata-rata perlakuan petak tegak (Pemupukan Nitrogen) sd =
8
2 KTG (b) 2 × 743726,93 = = 287,47 ra 3× 6 3×
d
rb
2[(3 − 1)411645,85 + 1492261,95] 3× 3 = 717,33 tc = t0, 025( 20 ) = 2,086
=
t 0 , 05 (4 ) = 2,776 2
t a = t0, 025(10 ) = 2,228
BNT2 = 287,47 × 2,776 = 798,02
t1∗ =
(a − 1)KTG (c )tc + KTG (a )ta (a − 1)KTG (c ) + KTG (a ) (6 − 1)(411645,85)(2,086) + (1492261,95)(2,228) = 2,15 = 5(411645,85) + (1492261,95)
9
• Dua rata-rata perlakuan petak vertikal (pemupukan nitrogen) pada petak horisontal (varietas padi) pada yang sama 2[(a − 1)KTG (c) + KTG (b )] s = d
ra
2[(6 − 1)411645,85 411645 85 + 743726,93 743726 93] 3× 6 = 557,97 tc = t0, 025( 20 ) = 2,086
=
t 2∗ =
tb = t0, 025( 4 ) = 2,776 (a − 1)KTG (c )tc + KTG (b )tb (a − 1)KTG (c ) + KTG (b ) (6 − 1)(411645,85)(2,086) + (743726,93)(2,776) = 2,27 = 5(411645,85) + (743726,93)
BNT4 = 557,97 × 2,27 = 1266,59
11
BNT3 = 717,33 × 2,15 = 1542,26
10
Dua rata rata--rata perlakuan petak horisontal (varietas padi padi)) pada petak vertikal (pemupukan nitrogen) yang sama
• Hipotesis: H0: V1N1=V2N1=V3N1=V4N1=V5N1=V6N1 H1 : minimal ada salah satu yang berbeda dengan lainnya |V1N1 – V2N1|=|3571,67-4934,33|= 1362,66 < BNT3 |V1N1 – V3N1|=|3571,67-4249,67|= 678 < BNT3 |V1N1 – V4N1||=|3571 |3571,67 67-4059 4059,00| 00|= 487,33 487 33 < BNT3 |V1N1 – V5N1|=|3571,67-4101,67|= 530 < BNT3 |V1N1 – V6N1|=|3571,67-3207,33|= | |3571 67 3207 33| 364 364,34 34 < BNT3
12
|V2N1 – V3N1|=|4934,33-4249,67|= 684,66 < BNT3 |V2N1 – V4N1|=|4934,33-4059,00|= 875,33 < BNT3 |V2N1 – V5N1|=|4934,33-4101,67|= 832,66 < BNT3 |V2N1 – V6N1|=|4934,33-3207,33|= 1727 > BNT3 |V3N1 – V4N1||=|4249 |4249,67 67-4059 4059,00| 00|= 190,67 190 67 < BNT3 |V3N1 – V5N1|=|4249,67-4101,67|= 148 < BNT3 |V3N1 – V6N1|=|4249,67-3207,33|= | |4249 67 3207 33| 1042 1042,34< 34< BNT3 |V4N1 – V5N1|=|4059,00-4101,67|= 42,67 < BNT3 |V4N1 – V6N1|=|4059,00-3207,33|= 851,67 < BNT3 ||V5N1 – V6N1||=|4101,67-3207,33|= | | 894,34 < BNT3 V6N1 V1N1 3207,33 3571,67
V4N1 4059,00
V5N1 4101,67
• Hasil pengujian menunjukkan bahwa pada taraf pemupukan N1, ………………., selain itu berbeda nyata. nyata
V3N1 V2N1 4249,67 4934,33 14
13
Dua rata rata--rata perlakuan petak vertikal (pemupukan nitrogen) pada petak horisontal (varietas padi) padi) yang sama
Rekomendasi • Pada pemupukan nitrogen N1 sebaiknya menanam varietas padi …..
• Hipotesis: H0: N1V1=N2V1=N3V1 H0: N1V2=N2V2=N3V2 H0: N1V3=N2V3=N3V3 H0: N1V4=N N2V4=N N3V4 H0: N1V5=N N2V5=N N3V5 H0: N1V6=N2V6=N3V6
Hipotesis : • H0: V1N2=V2N2=V3N2=V4N2=V5N2=V6N2 • H0: V1N3=V2N3=V3N3=V4N3=V5N3=V6N3
15
Hasil Uji BNT Pemupukan Nitrogen
Varietas Padi
Peng.Utama Peng Utama Pemupukan Nitrogen
V1
V2
V3
V4
V5
V6
N1
3571,67 3571 67 ap aw
4934,33 4934 33 bp ax
4249,67 4249 67 ap ay
7094,33 7094 33 cp bz
4101,67 4101 67 ap at
3207,33 3207 33 ap au
4020 61 a 4020,61
N2
5132,00 aq bw
6713,67 cr bx
6122,33 aq cy
4059,00 aq az
5633,33 bq bt
3714,33 aq au
5478,22 b
N3
7548,00 cr cw
7211,33 cr bx
7868,33 cr cy
5553,67 br az
6012,00 br bt
2492,00 ar au
6354,33 c
5417 22 b 5417,22
6286 44 b 6286,44
6080 11 b 6080,11
5569 00 b 5569,00
5249 00 b 5249,00
3137 89a 3137,89a
5289 94 b 5289,94
Peng. Utama Peng Varietas Padi
16
Hasil • Kombinasi pemupukan nitrogen N1 dengan varietas padi V4 berbeda nyata dengan kombinasi perlakuan yang lainnya → kombinasi terbaik. terbaik
dengan • angka-angka yang diikuti oleh huruf yang sama pada kolom yang sama berarti berbeda tidak nyata (sama) • Kolom horisontal (p,q,r) • Kolom vertikal (w,x,y,z,t,u) ( , ,y, , , ) 17
18
Prinsip Dasar Rancangan Tersarang • Dalam percobaan multifaktor tertentu, g dari suatu faktor ((misalkan B)) sama tingkat tapi tidak identik untuk taraf yang berbeda dari faktor yang lain (misalkan A) • Rancangan ini disebut rancangan tersarang (nested (nested design) design) dengan faktor f B g di taraf dari faktor A. tersarang
Rancangan Tersarang (Nested Design) Design) Dosen Pengampu : Kismiantini, Kismiantini, M.Si. M.Si.
1
Untuk memudahkan pengertian tersarang tersarang,, perhatikan kasus berikut berikut..
• Seorang pengusaha perkebunan mangga ingin membeli pupuk Urea dari tiga koperasi yang menerima pupuk dari P b ik Pupuk Pabrik P k ALFA. ALFA Tiga Ti koperasi k i tersebut t b t yaitu it Koperasi K i A, A B, dan C. Masing-masing koperasi mempunyai gudang penyimpanan, p y p , dan mereka menyalurkan y pupuknya p p y ke kioskios pupuk, dimana kios-kios pupuk ini juga mempunyai tempat-tempat penyimpanan. Bila ingin diketahui apakah ada perbedaan kadar pupuk untuk masing-masing masing masing koperasi, koperasi maka penyelesaiannya bukan menggunakan rancangan faktorial, tetapi dengan g rancangan g tersarang. g
2
• Faktor koperasi dan pengecer (kios) tidak ditumpangtindihkan dit mpangtindihkan atau disuper-impose atau difaktorialkan. Bila difaktorialkan, maka Kios 1 p pada Koperasi p A akan muncul di Koperasi p B dan C. Ini tidak mungkin karena Kios 1 di Koperasi A berbeda dengan yang di Koperasi B dan C, karena Kios 1 dari Koperasi A dengan Kios 1 dari Koperasi B maupun Kios 1 dari Koperasi C tidak ada hubungannya. • Ini dinamakan faktor Kios tersarang pada faktor Koperasi, bukannya faktorial Koperasi dengan Kios. Untuk keadaan di atas dinamakan rancangan tersarang dua tahap (two-stage nested) atau rancangan hierarki dua tahap.
3
Perhatikan model berikut :
4
Percobaan Dua Faktor
⎧i = 1, 2, K , a ⎪ Yijk = μ + τ i + β j (i ) + ε ( ij ) k , ⎨ j = 1, 2, K , b ⎪k = 1, 2, K , r ⎩
• Misalkan faktor A dan B • A dan B bersilangan dinotasikan dengan AB = BA = B•A = A•B = A×B = B×A • A tersarang di B dinotasikan dengan A/B • B tersarang di A dinotasikan dengan B/A
• JKT = JKA + JKB(A) + JKG • Terdapat a taraf faktor A, b taraf faktor B tersarang g di masing-masing g g taraf A dan r ulangan. • Subscript j(i) mengindikasikan bahwa pada taraf ke-j dari faktor B adalah tersarang di taraf ke-i dari faktor A. 5
6
Bersilangan
Tersarang • A tersarang di B → A berbeda untuk setiap B B1
B1 B2 B3
A1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯
A2 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯
A1 A2
B1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯
B2 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯
A1 ⎯ ⎯ ⎯
B3 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯
B2 A2 ⎯ ⎯ ⎯
B3
A3 ⎯ ⎯ ⎯
A4 ⎯ ⎯ ⎯
A5 ⎯ ⎯ ⎯
A6 ⎯ ⎯ ⎯
• B tersarang di A → B berbeda untuk setiap A A1 B1 ⎯ ⎯ ⎯
A2
B2 ⎯ ⎯ ⎯
B3 ⎯ ⎯ ⎯
B4 ⎯ ⎯ ⎯
B5 ⎯ ⎯ ⎯
B6 ⎯ ⎯ ⎯
Dalam hal ini ini,, faktor A ada 2 taraf dan faktor B ada 3 taraf 7
B tersarang di A A1
A2
B1
B2
B3
B4
B5
B6
R1-R8
R9-R16
R17-R24
R1-R8
R9-R16
R17-R24
Sumber Variasi
db
R A RA B R/B B/A RA/B
A
a-1
E(KT), misalkan A tetap B acak A2 σ2 + r σ 2 + rb ∑ i
B/A
(b 1)a (b-1)a
R/B
(r-1)b
RA/B
(r-1)(a-1)b σ
Total
abr-1 abr 1
RA / B
B/A
σ
2 RA / B
+ rσ
2 B/A
σ
2 RA / B
+ aσ
2 R/B
8
RAL Satu Faktor • Diagram Blok P1 R1 - R8
P2
P3
R9 - R16 R17 - R24
P4
p = 4,, r = 8
R25 - R32
a −1
• Sumber Variasi R P R/P
2 RA / B
S b Variasi V i i Sumber
p-1
Galat (R/P)
(r-1)p
Total
pr-1 pr 1
9
Sumber Variasi Perlakuan (P)
db p-1
Galat (R/P)
(r-1)p
Total
pr-1
Sumber Variasi
db
Perlakuan (P)
p-1
E(KT) σ
σ
2 R/P
∑P +r
P tetap
p −1
B1 B2 B3 B4 B5
P acak
σ R2 / P + rσ P2
Total
pr-1
Perhatikan diagram blok berikut berikut::
i
E(KT)
(r-1)p σ R2 / P
10
2
2 R/P
Galat (R/P)
db
Perlakuan (P)
11
K1 R1 – R8 R9 – R16 R17 – R24 R25 – R32 R33 – R40
K2 R1 – R8 R9 – R16 R17 – R24 R25 – R32 R33 – R40
Sumber Variasi : R B R/B K RK BK RK/B
K3 R1 – R8 R9 – R16 R17 – R24 R25 – R32 R33 – R40
K4 R1 – R8 R9 – R16 R17 – R24 R25 – R32 R33 – R40
b = 5, 5 k = 4, 4 r=8
Sumber Variasi B K BK R/B RK/B Total
db b-1 k-1 (b-1)(k-1) ( 1)b (r-1)b (r-1)(k-1)b bkr 1 bkr-1 12
13
DIAGRAM BLOK
Suryanto UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2000
DIAGRAM BLOK 1. Rancangan Acak Lengkap Satu Faktor Diagram Blok P1 R1 - R8
P2 R9 - R16
P3 R17 - R24
P4 R25 - R32
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Perlakuan (P)
Galat (R/P)
Total
Derajat kebebasan
Jumlah Kuadrat
p-1 = 3
(r-1)p = 28
pr-1 = 31
2. Rancangan Pengukuran Berulang Satu Faktor (Rancangan Blok Acak) Diagram Blok
P1 P2 P3 P4 R1 - R8 R1 - R8 R1 - R8 R1 - R8
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Perlakuan (P)
p-1 = 3
Replikasi (R)
r-1 = 7
Interaksi (PR)
(p-1)(r-1) = 21
Total
Jumlah Kuadrat
pr-1 = 31
1
3. Rancangan Acak Lengkap Dua Faktor (Faktor K dan B) Diagram Blok
K1 R1 – R8 R33 – R40 R65 – R72 R97 – R104 R129 – R136
B1 B2 B3 B4 B5
K2 R9 – R16 R41 – R48 R73 – R80 R105 – R112 R137 – R144
K3 R17 – R24 R49 – R56 R81 – R88 R113 – R120 R145 – R152
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor K
k-1 = 3
Faktor B
b-1 = 4
Interaksi KB R/KB
Jumlah Kuadrat
(k-1)(b-1) = 12 (r-1)kb = 140
Total
kbr - 1 = 159
2
K4 R25 – R32 R57 – R64 R89 – R96 R121 – R128 R153 – R160
4. Rancangan Campuran, dengan Satu Variabel antara Subjek (B) dan Satu Variabel dalam Subjek (K) Diagram Blok
K1 R1 – R8 R9 – R16 R17 – R24 R25 – R32 R33 – R40
B1 B2 B3 B4 B5
K2 R1 – R8 R9 – R16 R17 – R24 R25 – R32 R33 – R40
K3 R1 – R8 R9 – R16 R17 – R24 R25 – R32 R33 – R40
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor K
k-1 =
3
Faktor B
b-1 =
4
Interaksi KB
Jumlah Kuadrat
(k-1)(b-1) = 12 (r-1)b = 35
R/B
(k-1)(r-1)b = 105
KR/B Total
kbr - 1 = 159
3
K4 R1 – R8 R9 – R16 R17 – R24 R25 – R32 R33 – R40
5. Rancangan Campuran, dengan Satu Variabel antara Subjek (B) dan Dua Variabel dalam Subjek (K dan C) Diagram Blok
K1 B1 B2 B3 B4 B5
K2
K3
K4
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
R1 – R3
R1 – R3
R1 – R3
R1 – R3
R1 – R3
R1 – R3
R1 – R3
R1 – R3
R4 – R6
R4 – R6
R4 – R6
R4 – R6
R4 – R6
R4 – R6
R4 – R6
R4 – R6
R7 – R9
R7 – R9
R7 – R9
R7 – R9
R7 – R9
R7 – R9
R7 – R9
R7 – R9
R10 – R12
R10 – R12
R10 – R12
R10 – R12
R10 – R12
R10 – R12
R10 – R12
R10 – R12
R13 – R15
R13 – R15
R13 – R15
R13 – R15
R13 – R15
R13 – R15
R13 – R15
R13 – R15
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor K
k-1 = 3
Faktor B
b-1 = 4
Interaksi KB Faktor C
(k-1)(b-1) = 12 c-1 = 1
Interaksi KC
(k-1)(c-1) = 3
Interaksi BC
(b-1)(c-1) = 4
Interaksi KBC R/B
(k-1)(b-1)(c-1) = 12 (r-1)b = 10
KR/B
(k-1)(r-1)b = 30
CR/B
(c-1)(r-1)b = 10
KCR/B Total
Jumlah Kuadrat
(k-1)(c-1)(r-1)b = 30 bckr - 1 = 119
4
6. Rancangan Campuran, dengan Dua Variabel antara Subjek (K dan C) dan Satu Variabel dalam Subjek (B)
Diagram Blok
K1 B1 B2 B3 B4 B5
K2
K3
K4
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
R1 – R3
R4 – R6
R7 – R9
R10 – R12
R13 – R15
R16 – R18
R19 – R21
R22 – R24
R1 – R3
R4 – R6
R7 – R9
R10 – R12
R13 – R15
R16 – R18
R19 – R21
R22 – R24
R1 – R3
R4 – R6
R7 – R9
R10 – R12
R13 – R15
R16 – R18
R19 – R21
R22 – R24
R1 – R3
R4 – R6
R7 – R9
R10 – R12
R13 – R15
R16 – R18
R19 – R21
R22 – R24
R1 – R3
R4 – R6
R7 – R9
R10 – R12
R13 – R15
R16 – R18
R19 – R21
R22 – R24
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor K
k-1 = 3
Faktor B
b-1 = 4
Interaksi KB Faktor C
(k-1)(b-1) = 12 c-1 = 1
Interaksi KC
(k-1)(c-1) = 3
Interaksi BC
(b-1)(c-1) = 4
Interaksi KBC R/KC BR/KC Total
Jumlah Kuadrat
(k-1)(b-1)(c-1) = 12 (r-1)kc = 16 (b-1)(r-1)kc = 64 bckr - 1 = 119
5
7. Rancangan Kelompok dalam Perlakuan, Bertingkat Diagram Blok
K1
K2
K3
K4
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
R1 – R8
R9 – R16
R17 – R24
R25 – R32
R33 – R40
R41 – R48
R49 – R56
R57 – R64
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi Faktor K C/K
Derajat kebebasan
Jumlah Kuadrat
k-1 = 3 (c-1)k = 4
R/KC
(r-1)kc = 56
Total
ckr - 1 = 63
6
8. Rancangan dengan Ketersarangan yang Tidak Transitif Diagram Blok
K1
K2
K3
K4
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
R1 – R8
R9 – R16
R1 – R8
R9 – R16
R1 – R8
R9 – R16
R1 – R8
R9 – R16
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi Faktor K
Derajat kebebasan
Jumlah Kuadrat
k-1 = 3
C/K
(c-1)k = 4
R/C
(r-1)c = 14
KR/C
(k-1)(r-1)c = 42
Total
ckr - 1 = 63
7
9. Rancangan Acak Lengkap Tiga Faktor Diagram Blok
K1 B1 B2 B3 B4 B5
K2
K3
K4
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
R1 – R3
R4 – R6
R7 – R9
R10 – R12
R13 – R15
R16 – R18
R19 – R21
R22 – R24
R25 – R27
R28 – R30
R31 – R33
R34 – R36
R37 – R39
R40 – R42
R43 – R45
R46 – R48
R49 – R51
R52 – R54
R55 – R57
R58 – R60
R61 – R63
R64 – R66
R67 – R69
R70 – R72
R73 – R75
R76 – R78
R79 – R81
R82 – R84
R85 – R87
R88 – R90
R91 – R93
R94 – R96
R97 – R99
R100 – R102
R103 – R105
R106 – R108
R109 – R111
R112 – R114
R115 – R117
R118 – R120
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor K
k-1 = 3
Faktor B
b-1 = 4
Interaksi KB Faktor C
(k-1)(b-1) = 12 c-1 = 1
Interaksi KC
(k-1)(c-1) = 3
Interaksi BC
(b-1)(c-1) = 4
Interaksi KBC R/KBC Total
Jumlah Kuadrat
(k-1)(b-1)(c-1) = 12 (r-1)kbc = 80 bckr - 1 = 119
8
Data 1. Rancangan Acak Lengkap Satu Faktor Data P1 6 12 6 6 2 4 4 4 44
P2 14 16 14 12 10 12 10 12 100
P3 8 10 8 6 4 6 8 6 56
P4 14 16 18 16 20 20 18 22 144
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Perlakuan (P)
p-1 =
Galat (R/P)
(r-1)p =
Total
pr-1 =
Jumlah Kuadrat
9
2. Rancangan Pengukuran Berulang Satu Faktor (Rancangan Blok Acak) Data
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 Jumlah
P1 6 12 6 6 2 4 4 4 44
P2 14 16 14 12 10 12 10 12 100
P3 8 10 8 6 4 6 8 6 56
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Perlakuan (P)
p-1 =
Replikasi (R)
r-1 =
Interaksi (PR)
(p-1)(r-1) =
Total
Jumlah Kuadrat
pr-1 =
10
P4 14 16 18 16 20 20 18 22 144
3. Rancangan Acak Lengkap Dua Faktor (Faktor K dan B) Data
B1
B2
K1 6 12 6 6
K2 14 16 14 12
K3 8 10 8 6
K4 14 16 18 16
2 4 4 4
10 12 10 12
4 6 8 6
20 20 18 22
Jumlah
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor K
k-1 =
Faktor B
b-1 =
Interaksi KB
Jumlah Kuadrat
(k-1)(b-1) = (r-1)kb =
R/KB Total
kbr - 1 =
11
4. Rancangan Campuran, dengan Satu Variabel antara Subjek (B) dan Satu Variabel dalam Subjek (K) Data
B1
R1 R2 R3 R4
K1 6 12 6 6
B2
R5 R6 R7 R8
2 4 4 4
K2 14 16 14 12
K3 8 10 8 6
K4 14 16 18 16
10 12 10 12
4 6 8 6
20 20 18 22
Jumlah
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor B
b-1 =
Faktor K
k-1 =
Interaksi BK
Jumlah Kuadrat
(b-1)(k-1) = (r-1)b =
R/B
(k-1)(r-1)b =
KR/B Total
bkr - 1 =
12
5. Rancangan Campuran, dengan Satu Variabel antara Subjek (B) dan Dua Variabel dalam Subjek (K dan C) Data
K1
K2
K3
K4
B1
R1 R2 R3 R4
C1 6 12 6 6
C2 14 16 14 12
C1 8 10 8 6
C2 14 16 18 16
C1 3 6 3 3
C2 7 8 7 6
C1 4 5 4 6
C2 7 8 9 8
B2
R5 R6 R7 R8
2 4 4 4
10 12 10 12
4 6 8 6
20 20 18 22
2 4 4 4
5 6 5 6
2 3 4 3
10 10 9 11
Jumlah
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor K
k-1 =
Faktor B
b-1 =
Interaksi KB
(k-1)(b-1) =
Faktor C
c-1 =
Interaksi KC
(k-1)(c-1) =
Interaksi BC
(b-1)(c-1) =
Interaksi KBC
(k-1)(b-1)(c-1) =
R/B
(r-1)b =
KR/B
(k-1)(r-1)b =
CR/B
(c-1)(r-1)b =
KCR/B
(k-1)(c-1)(r-1)b =
Total
bckr - 1 =
Jumlah Kuadrat
13
6. Rancangan Campuran, dengan Dua Variabel antara Subjek (K dan C) dan Satu Variabel dalam Subjek (B) Data
C1 B1
C2
C1 B2
C2
R1 R2 R3 R4
K1 6 12 6 6
K2 14 16 14 12
K3 8 10 8 6
K4 14 16 18 16
R5 R6 R7 R8
2 4 4 4
10 12 10 12
4 6 8 6
20 20 18 22
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor K
k-1 =
Faktor B
b-1 =
Interaksi KB
(k-1)(b-1) =
Faktor C
c-1 =
Interaksi KC
(k-1)(c-1) =
Interaksi BC
(b-1)(c-1) =
Interaksi KBC
(k-1)(b-1)(c-1) =
R/BC
(r-1)bc =
RK/BC
(r-1)(k-1)bc =
Total
bckr - 1 =
Jumlah Kuadrat
14
7. Rancangan Kelompok dalam Perlakuan, Bertingkat Diagram Blok
K1
K2
K3
K4
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
R1-R4
R5-R8
R9-R12
R13-16
R17-R20
R21-R24
R25-R28
R29-R32
C2 2 4 4 4 14
C3 14 16 14 12 56
C4 10 12 10 12 44
C5 8 10 8 6 32
Data K1 C1 6 12 6 6 30
K2
K3
K4 C6 4 6 8 6 24
C7 14 16 18 16 64
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor K
k-1 =
C/K
(c-1)k =
R/KC
(r-1)kc =
Total
ckr - 1 =
Jumlah Kuadrat
15
C8 20 20 18 22 80
8. Rancangan dengan Ketersarangan yang Tidak Transitif Diagram Blok K1
K2
K3
K4
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
R1 – R4
R5 – R8
R1 – R4
R5 – R8
R1 – R4
R5 – R8
R1 – R4
R5 – R8
C2 2 4 4 4 14
C3 14 16 14 12 56
C4 10 12 10 12 44
C5 8 10 8 6 32
C6 4 6 8 6 24
C7 14 16 18 16 64
Data K1 C1 6 12 6 6 30
K2
K3
K4
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor K
k-1 =
C/K
(c-1)k =
R/C
(r-1)c =
KR/C
(k-1)(r-1)c =
Total
ckr - 1 =
Jumlah Kuadrat
16
C8 20 20 18 22 80
9. Rancangan Acak Lengkap Tiga Faktor Diagram Blok
K1 B1 B2
K2
K3
K4
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
R1 – R3
R4 – R6
R7 – R9
R10 – R12
R13 – R15
R16 – R18
R19 – R21
R22 – R24
R25 – R27
R28 – R30
R31 – R33
R34 – R36
R37 – R39
R40 – R42
R43 – R45
R46 – R48
Data K1 B1
K2
K3
K4
C1 6 12 9
C2 2 4 3
C1 14 16 15
C2 10 12 11
C1 8 10 9
C2 4 6 5
C1 14 16 15
C2 20 20 20
6 6 6
4 4 4
14 12 13
10 12 11
8 6 7
8 6 7
18 16 17
18 22 20
B2
Jumlah
Sumber Variasi, derajat kebebasan, dan Jumlah Kuadrat Sumber Variasi
Derajat kebebasan
Faktor B
b-1 =
Faktor K
k-1 =
Interaksi BK
(k-1)(b-1) =
Faktor C
c-1 =
Interaksi BC
(b-1)(c-1) =
Interaksi KC
(k-1)(c-1) =
Interaksi BKC
(b-1)(k-1)(c-1) =
R/BKC
(r-1)bkc =
Total
bckr - 1 =
Jumlah Kuadrat
17
