HIMPUNAN [PDF]

Citation preview

MAKALAH MATEMATIKA EKONOMI “HIMPUNAN”



DOSEN PENGAMPUH :



EVA MARGARETHA SARAGIH, S.Pd.,M.Pd



DISUSUN OLEH : NURUL SUKMA PERTIWI (18051019) SISKA VIDIANTY (18051024)



KELAS: V A MATEMATIKA PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS ASAHAN T.A 2020/2021



KATA PENGANTAR Dengan memanjatkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada saya sehingga dapat menyelesaikan makalah matematika ekonomi ini yang berjudul “HIMPUNAN.” Saya menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu dalam kesempatan ini saya menghaturkan rasa hormat dan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan makalah ini. Saya menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, saya telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga dapat selesai dengan baik dan oleh karenanya, saya dengan rendah hati dan dengan tangan terbuka menerima masukan, saran dan usul guna penyempurnaan makalah ini.Dan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca.



DAFTAR ISI Kata Pengantar .................................................................................................................. Daftar Isi ............................................................................................................................ BAB I Pendahuluan ............................................................................................................ A. Latar Belakang ..................................................................................................... B. Rumusan Masalah ................................................................................................ C. Tujuan ................................................................................................................... BAB II Pembahasan ........................................................................................................... A. Pengertian Himpunan............................................................................................ B. Penyajian himpunan.............................................................................................. C. Himpunan Universal dan Himpunan Kosong....................................................... D. Operasi Himpunan : Gabungan, Irisan, Selisih dan Pelengkap............................. E. Kaidah – kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan............................ F. Penerapan Matematika/Himpunan Dalam Ekonomi............................................. BAB III Penutup ................................................................................................................. A. Kesimpulan............................................................................................................ Daftar Pustaka.....................................................................................................................



 



BAB I PENDAHULUAN A.    Latar Belakang Matematika merupakan sebuah pelajaran yang memiliki banyak rumus, dan tentu bagi orang yang ingin mempelajarinya harus banyak menghafal.Namun menghafal saja itu tidak cukup, kita harus terbiasa untuk mempraktikan atau menerapkannya dalam kehidupan seharihari. Namun banyak orang yang bertanya-tanya tentang apa kegunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari??? Matematika merupakan media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Dalam matematika, himpunan adalah kumpulan berbagai sesuatu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini sangat sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan oleh karena itu himpunan sangatlah berguna dalam kehidupan sehari-hari. B.     Rumusan Masalah 1. Apa pengertian himpunan? 2. Bagaimana Penyajian himpunan? 3. Apa itu Himpunan Universal dan Himpunan Kosong? 4. Apa itu Operasi Himpunan : Gabungan, Irisan, Selisih dan Pelengkap? 5. Apa sajakah Kaidah – kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan 6. Bagaimana penerapan matematika dalam ekonomi? C.    Tujuan Pembahasan 1. Mengetahui pengertian himpunan. 2. Mengetahui Penyajian himpunan. 3. Mengetahui Himpunan Universal dan Himpunan Kosong. 4. Mengetahui Operasi Himpunan : Gabungan, Irisan, Selisih dan Pelengkap. 5. Mengetahui Kaidah – kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan. 6. Mengetahui penerapan matematika dalam ekonomi.



BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Himpunan Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek. Objek – objek yang mengisis atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota, atau elemen, atau unsur. Objek – objek suatu himpunan sangat bervariasi; bisa berupa orang – orang tertentu, hewan – hewan tertentu, tanaman – tanaman tertentu, angka – angka tertentu dan sebagainya. Dalam penyajian secara umum himpunan dilambangkan dengan huruf – huruf besar seperti A, B, C, P, Q, R, X, Y, atau Z. sedangkan objek –objek yang menjadi anggota suatu himpunan dilambangkan dengan huruf – huruf kecil seperti a, b, c, p, q, r, x, atau z. Penulisan matematis (Notasi) : p ∈ A berarti bahwa objek p merupakan anggotan (unsur atau elemen) dari himpunan A. Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota dari himpunan lain B, dengan perkataan lain p ∈ A juga p ∈ B, maka A disebut himpunan bagian (subset) dari B. A ⊂ B berarti bahwa A merupakan himpunan bagian dari B. Duan himpunan dikatakan sama atau sederajat apabila semua anggota dari himpunan yang satu juga merupakan anggota – anggota bagi himpunan yang lain. Dengan perkataan lain jumlah dan jenis anggota – anggota kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A = B berarti bahwa himpunan A sama dengan himpunan B, yakni jika dan hanya jika A ⊂ B serta B ⊂ A. Pernyataan ingkaran ataubantahan terhadap p ∈ A, A ⊂ B dan A = B masing – masing dituliskan dengan notasi p ∉ A, A ∉ B dan A ≠ B, dengan demikian notasi : p∉A



artinya, objek p bukan merupakan anggota dari himpunan A.



A⊄B



artinya, A bukan merupakan himpunan bagian dari B.



A≠ B



artinya, himpunan A tidak sama dengan himpunan B.



2.2 Penyajian himpunan Penyajian sebuah himpunan dapat dituliskan dengan dua macam cara, cara daftar dan cara kaidah. Cara daftar ialah mencantumkan seluruh objek yang menjadi anggota suatu himpunan; sebagai contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5} Berarti himpunan A beranggotkan bilangan – bilangan bulan positif 1, 2, 3, 4 dan 5. Adapun cara kaidah ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari objek – objek yang menjadi anggota himpunan tersebut; sebagai contoh : A={x; 0 < x < 6} Berarti himpunan A beranggotakan onjek x, dimana x adalah bilangan – bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam. Untuk himpunan A diatas, penyajiannya secara kaidah dapat pula dituliskan sebagai berikut : A = {x; 1 ≤ x ≤ 5} Berarti himpunan A beranggotakan objek x yang harganya paling sdikit sama dengan satu dan paling banyak sama dengan lima. 2.3 Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Setiap himpunan tertentu dianggap terdiri dari beberapa himpunan bagian yang masing – masing mempunyai anggota. Jimpunan “besar” tadi dinamakan himpunan Universal, atau sering disebut juga dengan himpunan saja, dan dalam penulisannnya dilambangkan dengan U . Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satu anggotapun, biasanya dilambangkan dengan notasi { } atau ∅ . Secara teoritik, himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan apapun. Berdasarkan adanya konsep himpunan universal yang merupakan induk bagi semua himpunan, dan himpunan kosong yang merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan, maka terhadap setiap himpunan tertentu (misalkan A) berlaku ketentuan ∅ ⊂ A ⊂ U.



2.4 Operasi Himpunan : Gabungan, Irisan, Selisih dan Pelengkap Dibawah ini diuraikan beberapa “aturan main” dalam pengoperasian himpunan; dalam hubungannya dengan gabungan, irisan dan selisih dari dua buah himpunan , serta pelengkap sebuah himpunan. Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A ∪ B, adalah himpunan yang beranggotakan objek – objek milik A atau objek – objek B. A ∪ B = { x; x ∈ A atau x ∈ B} Irisan (intersection) dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dngan notasi A ∩ B, adalah himpunan yang beranggotakan baik objek milik A maupun objek milik B dengan kata lain beranggotkan objek – objek yang dimiliki oleh A dan B secara bersamaan. A ∩ B = { x; x ∈ A atau x ∈ B} Dalam hal A ∩ B = ∅ yakni jika A dan B tidak mempunyai satupun anggota yang dimiliki bersama, maka A dan B dikatakan disjoin (disjoint). Selisih dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A – B atau A│B adalah himpunan yang beranggotakan objek – A – B ≡ A│B = { x; x ∈ A tetapi x ∉ B } objek milik A yang bukan objek milik B.



´ adalah Pelengkap (complement) dari sebuah himpunan A, dituliskan dengan notasi A sama dengan selisih antara himpunan universal U dan himpunan A. ´´ = { x; x ∈ U tetapi x ∉ A } = U −A A Berikut ini disajikan sedikit ilustrasi berkenaan dengan “aturan main” dalam pengoperasian himpunan.



A



Anggaplah kita mempunyai himpunan – himpunan berikut : U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9} P = {1, 2, 3, 4, ,5} Q = {4, 5, 6,7 ,8} R = {6, 7, 8, 9}



Maka : P ∪ Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} P ∪ R = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7 ,8, 9} = U Q ∪ R = {4, 5, 6, 7,8 9}



P ∩ Q = {4, 5}



P −¿ Q = { 1, 2, 3}



´´ ={6, 7, 8,9} = U −¿ P P



P∩R =∅



P – R = { 1, 2, 3, 4, 5}



´´ ={1, 2, 3, 9} = U −¿ Q Q



Q ∩ R = { 6, 7, 8}



Q – R = {4, 5}



´´ = {1, 2,3, 4, 5} = U−¿ R R



2.5 Kaidah – kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan Dalam pengoperasian lebih lanjut teori himpunan, berlaku beberapa kaidah matematika sebagaimana terinci didalam daftar berikut : Kaidah – kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan Kaidah indeponten 1a. A ∪ A = A



1b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif



2a. (A ∪ B)∪C = A ∪ (B ∪ C)



2b. (A ∩ B)∩C = A ∩ (B ∩ C)



Kaidah Komunikatif 3a. A∪B = B ∪ A



3b. A∩B = B ∩ A Kaidah Distributif



4a. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)



4b. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)



Kaidah Identitas 5a. A ∪ ∅ = A



5b. A ∩ ∅ = A



6a. A ∪ U = U



6b. A ∩ U = U Kaidah Kelengkapan



´´ = U 7a. A ∪ A



´´ = ∅ 7b. A ∩ A



´ = ∅ , ∅´ = U 8b. U



´)=A 8a. ( A Kaidah De Morgan ´´ B )= A ´ ∩B ´ 9a. ( A ∪



´´ B)= A ´ ∪B ´ 9b. ( A ∩



2.6 penerapan matematika dalam ekonomi Berbagai kejadian dalam ekonomi saling berhubungan satu dengan yang lainnya, sehingga masing-masing kejadian tersebut akan saling memengaruhi. Contoh, jika pendapatan seorang individu meningkat, pengeluaran untuk konsumsi akan meningkat. Berbagai kejadian ekonomi tersebut dapat dinyatakan dengan perubahan nilai variabel.Variabel adalah sesuatu yang nilainya berubah-ubah, contohnya biaya, harga, kuantitas, dan pendapatan.Matematika berperan penting dalam menganalisis berbagai kejadian ekonomi.Dengan menggunakan matematika sebagai alat analisis, dan diperoleh hasil analisis yang konkret, mudah untuk dipergunakan sebagai dasar perencanaan, alat pengendalian, dan dasar dalam melakukan evaluasi. Dalam statistik ekonomi, matematika berguna untuk hal-hal berikut (Supranto, 2005: 2-3) : 1. Memahami rumus-rumus statistika, seperti rumus untuk menghitung jumlah, rata-rata, presentase, dan berbagai nilai koefisien 2. Memahami metode perkiraan, seperti least square method dan maximum likelihood yang memerlukan pengetahuan mengenai diferensial yang berguna untuk membuat suatu fungsi maksimum atau minimum 3. Memahami teori pengujian hipotesis, di mana diperlukan pengetahuan berbagai fungsi matematika dan dipergunakan sebagai kriteria dalam pengujian, seperti uji F, uji t, atau uji chi-square 4. Memahami konsep nilai harapan yang memerlukan pengetahuan mengenai integral, dalm rangka menghitung rata-rata kerugian yang mungkin akan diderita, atau rata-rata keuntungan yang dapat diperoleh 5. Memahami analisis regresi, dalam melihat pengaruh perubahan suatu variabel terhadap variabel lainnya.



Matematika merupakan cabang dari logika yang memberikan suatu kerangka kerja yang sistematis, di mana suatu hubungan secara kuantitatif dapat dipelajari.Akan tetapi, harus dibedakan antara matematika murni dengan matematika terapan. Analisis ekonomi didasarkan pada matematika terapan.Hal ini menjadi sebab mengapa matematika perlu dipelajari agar dapat membuat analisis ekonomi secara matematis.Pada analisis ekonomi, deduksi yang diperoleh dengan analisis matematis harus diinterpretasikan dan dilakukan evaluasi secara empiris.Matematika memungkinkan ekonom mendefinisikan variabel-variabel yang relevan secara tepat, asumsi yang dibuat dinyatakan secara jelas, menganalisis secara logis, dan mampu mempelajari pengaruh dari beberapa variabel terhadap satu atau beberapa variabel lainnya.Akan tetapi, matematika tidak dapat mencegah terjadinya pendefinisian variabel ataupun asumsi yang tidak akurat. Apabila analisis matematis memberikan hasil yang benar, tetapi kesimpulannya salah secara empiris, definisi dan asumsi harus diteliti lagi untuk ketepatan dan kelengkapannya. Matematika berkaitan dengan sesuatu yang dapat dihitung atau sesuatu yang dinyatakan dalam bentuk kuantitas (jumlah).Banyak sekali variabel-vaariabel (konsep) ekonomi yang dikuantitatifkan, seperti harga barang, jumlah barang yang diminta dan ditawarkan, jumlah uang beredar, tingkat margin bagi hasil, pendapatan nasional, tingkat investasi, dan sebagainya.Matematika tidak hanya berperan dalam menguantitatifkan variabel-variabel ekonomi, tetapi juga menggali hubungan antara variabel-variabel ekonomi. Hubungan suatu variabel ekonomi dengan variabel-variabel ekonomi yang lain sering dinyatakan dalam bentuk model ekonomi. Oleh karena variabel-variabel ekonomi tersebu dapat dikuantitatifkan, model ekonomi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk simbol/model matematika. Model merupakan penyerdehanaan sesuatu yag sebenarnya terjadi. Bentuk/model sederhana tersebut bisa diturunkan dari suatu realitas dilapangan yang sebenarnya kompleks dan rumitt.Asumsi-asumsi variabel ekonomi diterapkan untuk menyederhanakan sesuatu yang sebenarnya menjadi model ekonomi.Oleh karena itu, sebuah model pasti berbeda dengan yang sesungguhnya dalam hal ukuran, jumlah, tingkat kerumitan, dan tingkat kesempurnaan.Akan sebenarnya.Sebuah



tetapi, model



model ekonomi



bisa



menyajikan



merupakan



yang



penting



penyederhanaan



dari



bentuk



keadaan hubungan



antarvariabel ekonomi dari dunia nyata. Dalam konteks matematika ekonomi, model ekonomi merupakan himpunan matematik antarvariabel-variabel ekonomi (Widodo, 2005:2) Ada banyak variabel ekonomi yang dapat diukur.Angka menunjukkan jumlah, sehingga dalam kerangka bilangan terdapat kemungkinan untuk menggunakann matematika



sebagai sebuah alat untuk pembuatan model dalam ilmu ekonomi.Misalkan, dalam teori keseimbangan pasar, terdapat keterkaitan antara tingkat harga dengan jumlah barang di pasar.Kata “jumlah” berkaitan dengan banyak barang yang diperjualbelikan di pasar, seperti pakaian, makanan, dan sebagainya. Produk-produk tersebut memiliki kardinalitas yang berarti dapat meletakkan sembarang angka pada jumlah yang kita amati. Ordinalitas juga merupakan salah satu sifat dari angka yang menunjukkan urutan sesuatu.



BAB III PENUTUP A.    Kesimpulan Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Di dalam himpunan, ada 6 cara atau langkah untuk menyatakan suatu bilangan himpunan. Adapun 6 cara tersebut adalah enumerasi, simbol-simbol baku, notasi pembentukan himpunan, diagram venn, diagram garis dan diagram cartess. Dalam statistik ekonomi, matematika berguna untuk hal-hal berikut (Supranto, 2005: 2-3) : 6. Memahami rumus-rumus statistika, seperti rumus untuk menghitung jumlah, rata-rata, presentase, dan berbagai nilai koefisien 7. Memahami metode perkiraan, seperti least square method dan maximum likelihood yang memerlukan pengetahuan mengenai diferensial yang berguna untuk membuat suatu fungsi maksimum atau minimum 8. Memahami teori pengujian hipotesis, di mana diperlukan pengetahuan berbagai fungsi matematika dan dipergunakan sebagai kriteria dalam pengujian, seperti uji F, uji t, atau uji chi-square



9. Memahami konsep nilai harapan yang memerlukan pengetahuan mengenai integral, dalm rangka menghitung rata-rata kerugian yang mungkin akan diderita, atau rata-rata keuntungan yang dapat diperoleh 10. Memahami analisis regresi, dalam melihat pengaruh perubahan suatu variabel terhadap variabel lainnya.



DAFTAR PUSTAKA Du Mairy. 2003. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi.Yogyakarta: BPFE Harjito, D. Agus. 2000. Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Ekonisia Al-Arif, M. Nur Rianto.2013. Matematika Terapan untuk Ekonomi. Bandung: CV Pustaka Setia http://rumus-matematika.com/teori-himpunan/. Di akses pada tanggal 3 September 2015 http://susi-deswati.blogspot.co.id/. Di akses pada tanggal 4 september 2015 http://kikysimple.blogspot.co.id/. Di akses pada tanggal 4 september 2015 http://fe.petra.ac.id/. Di akses pada tanggal 4 september 2015 http://www.rumusmatematikadasar.com/. Di akses pada tanggal 4 september 2015 http://collegerlearn.blogspot.com/2012/06/belajar-himpunan-matematika-diskrit.html http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika). Di akses pada tanggal 3 september 2015 http://umharc.student.unidar.ac.id/2013/06/tugas-makalah-ilmiah.html. tanggal )4 September 2015



Diakses



pada