Integral Rangkap III [PDF]

Citation preview

INTEGRAL RANGKAP III Misal diberikan fungsi tiga peubah, w = f ( x,y,z ). Maka integral rangkap 3 dinotasikan dengan



∫∫∫ f (x, y, z ) dV Dalam bentuk tak tentu



∫∫∫ f (x, y, z ) dV = ∫∫∫ f (x, y, z ) dx dy dz



Integral Tertentu atas Daerah Sembarang



Misalkan dV = dz * dA Di mana dA = dx dy atau dA = dy dx Maka bentuk pengintegralannya akan berubah menjadi :  v(x, y )  ∫∫∫ f (x, y, z ) dV = G∫∫ w(∫x, y ) f (x, y, z ) dz  dA  xy 



Bentuk dari Gxy dapat dibedakan menjadi dua yaitu : 1. Gxy = {(x, y) |a ≤ x ≤ b, h(x) ≤ y ≤ g(x)}. Sehingga : b  v(x, y )   ∫ f ( x, y, z ) dz  dA = ∫ ∫∫  G xy  a  w( x , y )



g (x ) v(x, y )



∫( ) (∫ )f (x, y, z ) dz dy dx



h x



w x, y



2. Gxy = {(x, y) | h(y) ≤ x ≤ g(x),c ≤ y ≤ d}. Sehingga : d  v(x, y )   ∫ f ( x, y, z ) dz  dA = ∫ ∫∫  G xy  c  w( x , y )



g ( y ) v(x, y )



∫( ) (∫ )f (x, y, z ) dz dx dy



h y



w x, y



Urutan integrasi sangat mungkin bergantung dari bentuk bangun ruang G, sehingga selain merupakan gabungan dari Gz dan Gxy. Namun dapat juga G dipandang sebagai gabungan



antara Gx dan Gyz atau Gy dan Gxz. Sedangkan Gyz dan Gxz berturut-turut merupakan proyeksi dari bangun ruang G pada bidang YOZ dan XOZ.



Contoh



Contoh



b. G merupakan daerah di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung y2 + z2 = 1, bidang x = 1 dan x = 4.



Secara geometris nilai integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas bangun ruang G merupakan volume dari bangun ruang G bila f ( x,y,z ) = 1.



Contoh Hitung volume bangun ruang, G yang terletak di oktan pertama dibatasi oleh y = 2 x2 dan y + 4z = 8. Soal Latihan ( Nomor 1 sd 5 ) Hitung nilai integral rangkap tiga berikut.



( Nomor 6 sd 9 ) Hitung nilai integral bila



∫∫∫ xyz dV G



( Nomor 10 sd 13 ) Hitung volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh : 10. y = 2x2 , y + 4z = 8 dan terletak di oktan pertama. 11. y2 + 4z2 = 4 , y = x , y = 0 dan terletak di oktan pertama 12. x2 =y , z2 = y dan y = 1 13. y = x2 + 2 , y = 4, z = 0 dan 3y - 4z = 0



KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA Dalam perhitungan integral rangkap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu, dilakukan



transformasi dari kordinat cartesius ke dalam koordinat tabung dan koordinat bola. Hubungan antara koordinat cartesius dengan koordinat tabung dan koordinat bola dijelaskan dari gambar berikut.



Bila dalam koordinat cartesius P( x,y,z ) dan dalam koordinat tabung P( r,θ,z ) maka diperoleh hubungan berikut : x2 + y2 = r2 x = r cos θ y = r sin θ z=z



Bila dalam koordinat cartesius P ( x,y,z ) dan dalam koordinat bola P ( r, θ,ϕ ) maka didapatkan hubungan berikut : ρ2 = x2 + y2 + z2 x = ρ sin ϕ cos θ y = ρ sin ϕ sin θ z = ρ cos ϕ



Untuk mentransformasikan integral dari koordinat cartesius ke dalam koordinat tabung atau koordinat bola digunakan metode determinan jacobi.



Dalam penerapan, bila bangun ruang G simetris terhadap suatu sumbu ( garis ) maka digunakan koordinat tabung. Sedangkan koordinat bola digunakan bila bangun ruang G simetri terhadap suatu titik.



Contoh 1. Gunakan koordinat tabung untuk menghitung integral



2. Gunakan koordinat bola untuk menghitung



Latihan :