Kalbar Dalam Math [PDF]

Citation preview

KALBAR DAL AM MATEMATIKA O P T I M A S I B I AYA P E N D I S T R I B U S I A N M I N YA K TA N A H D E N G A N M E TO D E T R A N S P O RTA S I ( S T U D I K A S U S : P T P E R TA M I N A K A B . S A N G G A U K A L B A R ) - FA J R I A A R YA N T I



LATAR BELAKANG



Kebutuhan tinggi



A



Sulit didapatkan



Biaya produksi besar ≈ 𝐴𝑣𝑡𝑢𝑟



Konsumsi minyak tanah sebelum dilakukan konversi mencapai kisaran 12 juta Kilo Liter (KL) setiap tahun. Ketika itu, besaran subsidi mencapai sekitar Rp 25 triliun.



Subsidi harga



LATAR BELAKANG • Keterbatasan alat produksi minyak tanah. • Terbatasnya ketersediaan minyak tanah yang akan dipasok ke daerahdaerah tujuan. • Terbatasnya biaya operasional dan pendistribusian minyak tanah (PT PERTAMINA, 2011) .



Profil pengguna minyak tanah mampu 22%



sangat miskin 11% miskin 11%



Golongan mampu dan menengah



menengah 56% sangat miskin Data: PT Pertamina Kab. Sanggau



miskin



menengah



mampu



Tidak tepat sasaran



RUMUSAN MASALAH • PT PERTAMINA harus mencari kebijakan yang paling tepat bagaimana sistem pendistribusian minyak tanah dari reservoir-reservoir ke pelanggan secara optimal, sehingga kebutuhan masyarakat akan minyak tanah dapat terpenuhi.



• Jumlah reservoir dari PT PERTAMINA jumlahnya terbatas dan pada setiap reservoir tidak bisa mendistribusikan minyak tanah ke tiap daerah tujuan. • Pada tiap pendistribusian minyak tanah dibutuhkan biaya operasional yang besar, jika biaya operasional ini dapat diminimalkan, maka keuntungannya akan semakin besar.



TUJUAN PENELITIAN Mengoptimalkan pendistribusian minyak tanah ⟹ Meminimalkan biaya pendistribusian minyak tanah Analisis sensivitas pendistribusian minyak tanah



• metode biaya terkecil (Least Cost Method) • Multipliers



• Solver Excel



OPERATIONS RESEARCH



Perkembangan teknologi dalam era globalisasi yang begitu cepat dan kompleks, salah satunya Operations Research sebagai salah satu ilmu terapan praktis yang diperlukan dalam penyelesaian suatu permasalahan yang semakin kompleks melalui pendekatan kuantitatif



OPERATIONS RESEARCH Thomas dan Da Costa (1979) Penerapan Operations Research dilakukan sekurang-kurangnya dalam 12 kegiatan manajemen di berbagai bidang kehidupan, terutama manufaktur : • Perencanaan dan peramalan pasar • Inventory control • Perencanaan dan penjadwalan produksi



• Penganggaran biaya • Transportasi • Perencanaan lokasi pabrik



• Pengendalian mutu • Penelitian promosi dan penjualan • Penggantian mesin dan peralatan • Pemeliharaan • Akunting • Pengemasan produk



OPERATIONS RESEARCH • Operations Research adalah sebuah pendekatan kuantitatif yang menggunakan metode-metode optimisasi untuk menyelesaikan suatu persoalan matematis. • Penggunaan program-program komputer dalam pengajaran Operations Research di antaranya : LINDO, GINO, VNO, Microcomputer Model for Management Decision Making, Computer Models for Management Science, QSB, QSB+, QSQUANT, STORM, CMOM, dan lainnya.



SEJARAH OPERATIONS RESEARCH  Teori Evolusi Manajemen : Operations Research mulai berkembang sejak tahun 1945, pada saat Perang Dunia Kedua.  Pendekatan kuantitatif dalam menyelesaikan persoalan, di mana matematika dan statistika memegang peranan yang sangat dominan telah menempatkan operations research secara teoritis sebagai ilmu pengetahuan yang berakar Scientific Management yang dipelopori oleh Taylor pada Abad XVIII. Di Inggris, dikenal sebagai



Operational Research.



PENERAPAN OPERATIONS RESEARCH Penelitian berbagai industri di Amerika menggunakan teknik-teknik Operations Research Penelitian Turban di tahun 1969 Teknik-teknik Operations Research Statistical Analysis Simulation Linear programming Inventory Theory PERT/CPM Dynamic Programming Non Linear Programming Queueing Theory Heuristic Programming Miscellaneous



Frekuensi Penggunaan (%) 29 25 19 6 6 4 3 1 1 6



Penerbit Erlangga



PARAMETER BIAYA DAN LABA • Biaya Variabel : Elemen biaya yang berubah-ubah secara langsung dengan satuan yang diproduksi • Biaya Tetap : Biaya yang tidak berubah pada setiap satuan barang yang diproduksi • Biaya Semi Variabel : Elemen biaya yang berubah dengan arah yang sama dengan unit yang diproduksi namun kurang proporsional, atau dengan kata lain tidak linear.



MODEL DAN PENYELESAIAN OPTIMAL Dunia Nyata



Masalah



PertimbanganPertimbangan Manajemen



Dunia Simbol



Abstraksi Masalah ke Model



Pembuatan Keputusan



Intuisi dan Pengalaman



Model



Analisis



Interpretasi Hasil Olahan Optimal



Penyelesaian Optimal



PROGRAM-PROGRAM KOMPUTER • LINDO (Linear Interaktif Discrete Optimizer). • Solver Microsoft Excel • Graphic LP Opimizer Versi 2.6 • Crystal Ball



Penerbit Erlangga



PEMROGRAMAN LINEAR Dalam membangun model dari formulasi suatu permasalahan akan digunakan beberapa pengertian sebagai berikut :



a. Variabel Keputusan • Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusankeputusan yang akan dibuat, dilambangkan dengan xij dengan i = jumlah sumber dan j = jumlah tujuan.



b. Fungsi Tujuan • Merupakan fungsi dari variabel keputusan yang dimaksimumkan, apabila berkenaan dengan pendapatan dan keuntungan, atau diminimumkan apabila berkenaan dengan biaya, dilambangkan dengan Z minimum atau maksimum. • Contohnya : Zminimum = 60 x11 + 125 x12 + 100 x13 + 60 x21 + 125 x22 + 100 x23.



PEMROGRAMAN LINEAR c. Pembatas • Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga tepat sasaran menentukan nilai-nilai dari variabel keputusan secara sembarang. Contohnya : x11 + x12 + x13 = 120 x21 + x22 + x23 = 310 x11 + x21 ≤ 202 x12 + x22 ≤ 118 x12 + x22 ≤ 110



d. Pembatas Tanda • Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah varibel keputusannya diasumsikan hanya bernilai positif atau juga bernilai negatif. • Contohnya: Syarat Non Negatif, xij ≥ 0, untuk i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (Hendi, 2007).



METODE TRANSPORTASI • Model umum suatu persoalan transportasi di landasi pada asumsi–asumsi berikut : 1.



Ada sumber (origin) dengan kapasitas (supply) maksimumnya.



2.



Ada tujuan (destination) dengan permintaan (demand) minimumnya.



3.



Biaya angkut (ongkos) berbanding lurus (proporsional) dengan banyaknya barang yang diangkut dari origin ke destination. Asumsi ini berakibat masalah transportasi termasuk dalam kategori masalah program linear, sehingga cara menyelesaikannya bisa memanfaatkan metode yang sudah diperoleh di pemrograman linear.



4.



Hanya ada satu jenis komoditi yang diangkut. Asumsi ini berakibat setiap destination bisa menerima dari setiap origin.



5.



Ada jalur angkutan dari setiap origin ke setiap destination beserta onkos angkut satuan. Ongkos bersifat linear dengn kata lain proporsional terhadap jarak.



6.



Fungsi tujuan/objektif adalah meminimalkan ongkos angkut.



Skema model transportasi Keterangan:



Oi = Sumber (Origin) ke – i (i = 1, 2,..., m) Dj = Tujuan (Destination) ke – j (j = 1, 2,..., n)



bi = Supply maksimum pada Oi aj = Demand minimum pada Dj



Cij = Ongkos angkut satuan pada jalur Oi ke Dj Xij = Banyaknya unit (alokasi) komoditi yang diangkut dari Oi ke Dj



FORMULASI UMUM • Berdasarkan asumsi di atas, maka formulasi model matematika untuk model masalah transportasi adalah sebagai berikut: Mencari 𝑋𝑖𝑗 ≥ 0 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 ; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛)



• yang meminimalkan ongkos total: 𝑛



𝑚



𝑓=



𝐶𝑖𝑗 𝑋𝑖𝑗



(I. 1)



𝑋𝑖𝑗 ≤ 𝑏𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑚)



(I. 2)



𝑋𝑖𝑗 ≥ 𝑎𝑗 (𝑗 = 1,2, … , 𝑛)



(I. 3)



𝑗=1 𝑖=1



• dengan kendala-kendala (constrain): 𝑛



𝑗=1 𝑚



𝑖=1



• Ketaksamaan (I. 2) disebut kendala supply dan ketaksamaan (I. 3) disebut demand. Fungsi 𝑓 pada persamaan (I. 1) disebut fungsi sasaran (objective function).



TABEL MATRIK TRANSPORTASI



Destination



D1



Origin



O1 O2



𝐶11 𝑋11



Demand 𝑎𝑗



... 𝐶12



𝑋12 𝐶21



𝑋21



⋮ Om



D2



𝐶22



𝑋22



⋮



⋮ 𝐶𝑚1



𝑋𝑚1 𝑎1



𝑎2



...



𝐶1𝑛



... ...



𝑏1



𝑋1𝑛 𝐶2𝑛



𝑏2



𝑋2𝑛



⋮



... 𝐶𝑚2



𝑋𝑚2



...



Supply 𝑏𝑖



Dn



⋮ 𝐶𝑚𝑛



𝑏𝑚



𝑋𝑚𝑛 𝑎𝑛



𝑏𝑖 𝑎𝑗



SOLUSI MODEL MASALAH TRANPORTASI UNTUK KEADAAN SETIMBANG 𝑛 • Jika 𝑚 𝑖=1 𝑏𝑖 = 𝑗=1 𝑎𝑗 , yaitu total supply komoditi pada origin sama dengan total demand pada destination, maka masalah transportasi dikatakan setimbang. Dalam kasus setimbang, semua kendala, baik kendala supply maupun kendala demand berbentuk persamaan sbb: 𝑛



𝑋𝑖𝑗 = 𝑏𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑚) 𝑗=1 𝑚



𝑋𝑖𝑗 = 𝑎𝑗 (𝑗 = 1,2, … , 𝑛) 𝑖=1



• Akibatnya banyaknya variabel basis adalah 𝑚 + 𝑛 − 1, sebab 𝑚 + 𝑛 − 1 merupakan banyaknya persamaan yang saling independen. Oleh karena itu penyelesaian layak basis (plb) terdiri atas 𝑚 + 𝑛 − 1 variabel basis.



SOLUSI Solusi fisibel awal



• • • •



Uji optimalitas



• Stepping Stone • Multipliers (MODI)



Least Cost Method North West Corner Method Vogel Aproximation Method Russell’s Approximation Method



ANALISIS SENSITIVITAS Analisis sensitivitas menjelaskan sampai sejauh mana parameter-parameter model pemrograman linear, yaitu koefisien fungsi tujuan dan nilai ruas kanan kendala, boleh berubah tanpa harus mempengaruhi jawaban optimal atau penyelesaian optimal. Penyelesaian Optimal menghasilkan informasi : 1. Nilai Variabel Keputusan Optimal 2. Nilai Fungsi Tujuan Ekstrem 3. Nilai Slack/Surplus Variable 4. Nilai Dual Price/Shadow Price



SOLUSI MODEL MASALAH TRANPORTASI UNTUK KEADAAN SETIMBANG • Diberikan dua origin dengan supply maksimumnya masing-masing 50 dan 40. Diberikan pula dua destination dengan demand minimumnya masing-masing 30 dan 60. Cost untuk perjalanan dari origin ke destination diberikan sebagai berikut: 𝐶11 = 3 𝐶12 = 5 𝐶21 = 1 𝐶22 = 2 • Tentukan nilai minimum dari kasus tersebut!



Langkah pertama menyusun tabel awal dengan metode North West Corner, sebagai berikut: Langkah ke dua, kita lakukan uji optimalitas ∗ 𝐶21 = −∆𝑓21 = −1 − 3 + 5 − 2 = −1 < 0. Karena opprtunity cost𝐶𝑖𝑗∗ ≤ 0 untuk semua kotak kosong 𝑋𝑖𝑗 , maka tabel sudah optimum (minimum). Jadi solusi optimumnya adalah: origin pertama mengirim barang ke destination 1 dan destination 2 masing-masing sebanyak 30 dan 20 unit, sedangkan origin ke dua mengirim barang ke destination ke dua sebanyak 40 unit tanpa mengirimkan barang ke destination pertama. Destination



Origin



O1



3 30



5



50



2



40



20



1



O2 Demand 𝑎𝑗



Supply 𝑏𝑖



D2



D1



40 90 30



60



90



Ongkos minimum yang harus dikeluarkan adalah: 𝑓 = 303 + 205 + 402 + 01 = 270.



• Contoh 2:



Diberikan dua origin dengan supply maksimumnya masing-masing 80 dan 20. Diberikan pula dua destination dengan demand minimumnya masing-masing 50. Cost untuk perjalanan dari origin ke destination diberikan sebagai berikut: 𝐶11 = 4 𝐶12 = 3 𝐶21 = 2 𝐶22 = 5 Tentukan nilai minimum dari kasus tersebut! • Penyelesaian:



Langkah pertama menyusun tabel awal dengan metode North West Corner, sebagai berikut: Destination D1



Origin



O1



4 50



3



80



30 2



O2 Demand 𝑎𝑗



Supply 𝑏𝑖



D2



5



20



20 100 50



50



100



• Langkah ke dua, kita lakukan uji optimalitas 𝐶21 ∗ = −∆𝑓21 = − 2 − 4 + 3 − 5 = 4 > 0. Karena opprtunity cost 𝐶21 ∗ > 0, maka tabel belum optimum (minimum). Langkah ke tiga, kita lakukan perbaikan tabel dengan mengisi 𝑋21 dengan alokasi donor yang paling melarat yaitu 𝑋22 = 20 (digeser sepanjang loop tertutup: 𝑋21 , 𝑋11 , 𝑋12 ). Jadi tabel pada iterasi ke-2 adalah sebagai berikut: D1



Destination Origin



O1 O2 Demand 𝑎𝑗



Supply 𝑏𝑖



D2 4



30



3



80



50 2



5



20



20 100 50



50



100



Pada iterasi ke-2, kita lakukan uji optimalitas: 𝐶22 ∗ = −∆𝑓22 = − 5 − 2 + 4 − 3 = −4 < 0. Karena opprtunity cost 𝐶𝑖𝑗 ∗ ≤ 0 untuk semua kotak kosong 𝑋𝑖𝑗 , maka tabel sudah optimum (minimum). Jadi solusi optimumnya adalah: origin pertama mengirim barang ke destination 1 dan destination 2 masing-masing sebanyak 30 dan 50 unit, sedangkan origin ke dua mengirim barang ke destination 2 sebanyak 20 unit tanpa mengirimkan barang ke destination 2. Ongkos minimum yang harus dikeluarkan adalah: 𝑓 = 30 4 + 50 3 + 20 2 + 0 5 = 310.



• Bila ada jalur (𝑖, 𝑗) dari Oi ke Dj yang tidak bisa dilewati (tidak ada jalur angkutan), maka dalam perhitungan diusahakan agar alokasi 𝑋𝑖𝑗 = 0 yaitu dengan cara memberikan ongkos angkut satuan 𝐶𝑖𝑗 = 𝑀. 𝑀 merupakan suatu bilangan yang sangat besar dimaksudkan agar alokasi 𝑋𝑖𝑗 = 0 pada solusi akhir.



• Latihan: 1. Suatu perusahaan mempunyai 4 buah pabrik dengan 4 daerah pemasaran. Keempat pabrik mempunyai kapasitas produksi yang sama yaitu 100 ton, sedangkan keempat daerah pemasaran masing-masing mempunyai demand 75, 75, 160, dan 90 ton per bulan. Tentukan besarnya komoditi yang seharusnya dikirim dari masing-masing pabrik ke masing-masing daerah pemasaran agar ongkos angkut total minimal, jika diketahui ongkos angkut satuan dari setiap pabrik ke daerah pemasaran sebagai berikut: 𝐶11 𝐶21 𝐶31 𝐶41



=4 =5 =6 =1



𝐶12 𝐶22 𝐶32 𝐶42



=5 =2 =6 =3



𝐶13 𝐶23 𝐶33 𝐶43



=6 =1 =2 =6



𝐶14 𝐶24 𝐶34 𝐶44



=7 =7 =5 =4



• Untuk penyusunan tabel awal, kerjakan dengan metode NWC dan LC dengan menggunakan sofware QSB



2. Sebuah perusahaan pupuk mempunyai tiga pabrik masing-masing di Cirebon, Bandung, dan Cilacap yang masing-masing mampu memproduksi 120, 80, dan 80 ton pupuk per bulan. Perusahaan tersebut juga memiliki tiga gudang di Semarang, Jakarta, dan Purwokerto yang masing-masing mampu menampung 150, 70, dan 60 ton pupuk per bulan. Tentukan banyaknya pupuk yang seharusnya dikirim dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang, agar ongkos angkut total minimum. Diketahui ongkos angkut satuan dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang sebagai berikut: 𝐶11 = 8 𝐶21 = 15 𝐶31 = 3



𝐶12 = 5 𝐶22 = 10 𝐶32 = 9



𝐶13 = 6 𝐶23 = 12 𝐶33 = 10



• Untuk penyusunan tabel awal, kerjakan dengan metode NWC dan LC dengan menggunakan software!



3. Diberikan dua origin dengan supply maksimumnya masing-masing 80 dan 40. Diberikan pula tiga destination dengan demand minimumnya masing-masing 30, 30, dan 50. Cost untuk perjalanan dari origin ke destination diberikan sebagai berikut: 𝐶11 = 5 𝐶12 = 7 𝐶13 = 10 𝐶21 = 2 𝐶22 = 2 𝐶23 = 3 Tentukan nilai minimum dari kasus tersebut!



Permasalahan transportasi pada penelitian ini, diaplikasikan pada kasus pendistribusian minyak tanah oleh PERTAMINA Sanggau. Permasalahan yang terjadi yaitu menentukan biaya optimasi pendistribusian minyak tanah di daerah Kab. Sanggau, yang sebagian besar masyarakat di daerah terpencil masih membutuhkan minyak tanah sebagai kebutuhan sehari-hari. Data yang digunakan adalah pendistribusian minyak tanah dari 2 agen di Kab. Sanggau yaitu KPN Gubernur Kalbar dan PT. Erlima Kalbar ke masing-masing Kecamatan yaitu Kapuas, Pusat Damai, Kembayan, Balai Karangan, Sosok, Batang Tarang, Tayan, Meliau, dan Kedukul.



Dari dua agen PERTAMINA S1 (PT. Erlima Kalbar) dan S2 (KPN Gubernur Kalbar) terdapat persedian minyak tanah masing-masing sebesar 311.920 liter dan 310.000 liter. Minyak tanah tersebut akan didistribusikan ke kecamatan D1 (Kapuas), D2 (Sosok), D3 (Pusat Damai), D4 (Meliau), D5 (Batang Tarang), D6 (Kembayan), D7 (Tayan), D8 (Balai Karangan), dan D9 (Kedukul) dengan daya tampung masing-masing sebesar 302.000 liter, 57.820 liter, 40.800 liter, 52.020 liter, 41.400 liter, 27.000 liter, 46.660 liter, 23.420 liter, dan 30.800 liter. Biaya distribusi yang dikeluarkan oleh agen S1 ke kecamatan D1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 , D7 , D8 dan D9 masing-masing sebesar Rp 60,-/liter, Rp 125,-/liter, Rp 100,-/liter, Rp 230,/liter, Rp 145,-/liter, Rp 150,-/liter, Rp 200,-/liter, Rp 250,-/liter, Rp 130,-/liter. Biaya distribusi yang dikeluarkan oleh agen S2 ke kecamatan D1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 , D7 , D8 dan D9 masing-masing sebesar Rp 50,-/liter, Rp 125,-/liter, Rp 100,-/liter, Rp 230,-/liter, Rp 145,-/liter, Rp 150,-/liter, Rp 200,-/liter, Rp 250,-/liter, Rp 130,-/liter.