Kalkulus 1A Bab 0 [PDF]

Citation preview

Koko Martono – FMIPA - ITB 001



Sistem bilangan real adalah himpunan dilengkapi operasi + (jumlah) dan ⋅ (kali) yang memenuhi tiga aksioma berikut. Aksioma Lapangan, mengatur berbagai sifat aljabar bilangan real. Aksioma Urutan, mengatur bilangan positif, negatif, relasi lebih kecil, relasi lebih besar, pertaksamaan, dan ketaksamaan. Aksioma Kelengkapan, mengatur sifat korespondensi satu-kesatu antara bilangan real dan garis lurus. Prima



Genap



Satu



Ganjil



Komposit



Prima



Irasional



Nol



Asli 1•



2•



0•



Bulat Negatif



Cacah Genap Pecahan



Bulat



Komposit Cacah



= himpunan bilangan asli. = himpunan bilangan bulat. = himpunan bilangan rasional. = himpunan bilangan real.



Pecahan



Ganjil Rasional Real



Irasional



SBRdanF



002



Beberapa Sifat Aljabar Bilangan Real Bentuk Kuadrat Definit Positif Bentuk ax 2 + bx + c dinamakan definit positif ⇔ ax 2 + bx + c > 0 ∀ x Œ . Ilustrasi Bentuk x 2 - 2 x + 2 definit positif karena x 2 - 2 x + 2 = (x - 1)2 + 1 ≥ 1 > 0 "x Œ .



Bentuk ax 2 + bx + c definit positif ⇔ a > 0 dan D = b 2 - 4ac < 0.



(



)



2



Argumentasi ax 2 + bx + c = a x + 2ba - 4Da > 0 ¤ a > 0 dan D < 0. . Pemfaktoran Bentuk Aljabar atas Faktor Linear dan Kuadrat Definit Positif x 2 - a 2 = x 2 + ax - ax - a 2 = x( x + a ) - a ( x + a ) = ( x + a)( x - a ) . x3 - a 3 = x3 - ax 2 + ax 2 - a 2 x + a 2 x - a 3 = ( x - a )( x 2 + ax + a 2 ) . x 4 - a 4 = ( x 2 + a 2 )( x 2 - a 2 ) = ( x 2 + a 2 )( x + a )( x - a) . x 4 + a 4 = ( x 2 + a 2 ) 2 - ( 2 ax) 2 = ( x 2 + a 2 + 2 ax)( x 2 + a 2 - 2 ax) .



Latihan Tentukan faktor linear dan kuadrat definit positif dari bentuk aljabar (a) x 4 + 4 (b) x 6 - 64 (c) x 6 - a 6 (d) x 6 + a 6 . Bentuk Akar Bilangan berbentuk n i , n = 2,3,4, yang bukan bilangan rasional dinamakan bentuk akar. Bilangan irasional yang bukan termasuk



bentuk akar di antaranya adalah 2



2



, 2 log 3 , π, e, dan sebagainya.



Definisi Bentuk Akar h Akar kuadrat dari a ≥ 0, ditulis a , adalah bilangan x ≥ 0 yang memenuhi x2 = a. Ilustrasi: 9 = 3 karena 3 ≥ 0 dan x2 = 9. h Akar kubik dari a ∈ , ditulis 3 a , adalah bilangan x ∈ yang memenuhi x3 = a. Ilustrasi: 3 -8 = -2 karena −2 ∈ dan x3 = −8. h Akar ke-n dari a Untuk n genap positif dan a ≥ 0, n a adalah bilangan x ≥ 0 yang memenuhi xn = a. Untuk n ganjil, n > 1, dan a ∈ , n a adalah bilangan x ∈ yang memenuhi xn = a.



SBRdanF



003



Pertaksamaan Aksioma Urutan Pada terdapat himpunan P ⊆ yang memenuhi: h Jika a ∈ , maka atau a = 0, atau a ∈ P, atau −a ∈ P. h Jika a, b ∈ P, maka a + b ∈ P dan ab ∈ P. P ≡ himpunan bilangan positif dan unsur di P ≡ bilangan positif. Definisi Untuk bilangan real a dan b, h a dikatakan bilangan negatif jika −a ∈ P (positif). h a dikatakan lebih besar dari b (ditulis a > b), jika a − b ∈ P (positif). h a dikatakan lebih kecil dari b (ditulis a < b), jika b > a. h a ≥ b jika a > b atau a = b; a ≤ b jika a < b atau a = b. h Dua bentuk matematika yang dihubungkan dengan tanda >, 0 ⇔ a positif (2) a < 0 ⇔ a negatif



(3) a > 0 ⇔ −a < 0 (4) a < 0 ⇔ −a > 0



Teorema (1) Jika a < b dan b < c, maka a < c. (sifat transitif) (2) Jika a < b dan c ∈ , maka a + c < b + c. (3) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d. (4) Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc. (5) Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc. (6) Jika 0 < a < b dan 0 < c < d, maka ac < bd. (7) Jika 0 < a < b atau a < b < 0, maka 1a > b1 . . x +1



x



Contoh Tentukan himpunan jawab (HJ) pertaksamaan x - 2 £ x + 3 . . x +1 x-2



x



- x+3 £ 0



x2 + 4 x + 3 - x2 + 2 x ( x - 2)( x + 3) 6 ( x + 12 ) ( x - 2)( x + 3)



£0



£0



tak terdefinisi



tak terdefinisi



−−−−− ++++++ 0 −−−−−− +++++ −3 - 12 2



HJ = {x ∈ | x < −3 atau - 12 £ x < 2 }, Notasi selang: HJ = (−∞,−3) ∪ [ - 12 ,2) .



SBRdanF



004



Garis Bilangan dan Selang



Terdapat korespondensi satu-kesatu antara dan garis lurus, setiap bilangan real dapat digambarkan sebagai titik pada garis dan setiap titik dapat dinyatakan oleh bilangan real. Garis yang menggambarkan



dinamakan garis bilangan. 10



2



−4



−3



−2



−1



0



1



2 2



3 10 4



5



Selang Suatu ruas garis pada garis bilangan dinamakan selang hingga. Suatu selang hingga mempunyai batas atas dan batas bawah. Dalam kasus garis yang tak-terbatas, kita mempunyai selang tak-hingga. Selang hingga



Selang tak-hingga



(a,b) = {x ∈ | a < x < b}



(a,∞) = {x ∈ | x > a}



a



b



a



[a,b) = {x ∈ | a ≤ x < b} a



[a,∞) = {x ∈ | x > a} b



(a,b] = {x ∈ | a < x ≤ b} a



Garis real



(−∞,b) = {x ∈



| x < b}



b



[a,b] = {x ∈ a



a



b (−∞,b] = {x ∈



| a ≤ x ≤ b}



b



b



adalah selang (−∞,∞).



| x ≤ b}



(−∞,∞) =



Selang yang tidak memuat titik batasnya dinamakan selang buka dan yang memuat semua titik batasnya dinamakan selang tutup. Lambang ∞ (dibaca: positif tak-hingga) digunakan untuk sesuatu yang lebih besar dari setiap bilangan real, membesar tanpa batas. Lambang −∞ (dibaca: negatif tak-hingga) digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan real, mengecil tanpa batas.



SBRdanF



005



Nilai Mutlak a



b



c



Jarak a ke b adalah b − a



0 Jarak c ke 0 adalah −c



⇓ x 0 x Jarak x ke 0 pada garis bilangan adalah x jika x ≥ 0 dan −x jika x < 0



Ï x, jika x ≥ 0 Jarak x ke 0 pada garis bilangan adalah j ( x,0) = Ì . x , jika x 0 < Ó Nilai mutlak dari x ∈ , ditulis | x |, didefinisikan sebagai Ï x, jika x ≥ 0 . | x| = Ì x , jika x < 0 Ó Arti geometri dari | x | adalah jarak x ke 0 pada garis real . Perhatikan bahwa −x adalah bilangan positif karena x bilangan real negatif.



Jarak dari x ke y pada garis bilangan adalah | x − y |. Sifat Nilai Mutlak 2 2 2 h Jika x ∈ , maka | x | ≥ 0, | x | = | −x |, −| x | ≤ x ≤ | x |, dan | x | = | x | = x . 2 2 h Jika x, y ∈ , maka | x | = | y | ⇔ x = ±y ⇔ x = y dan | x − y | = | y − x |. h Jika x ∈



, maka



x2 = | x | .



h Untuk a > 0, | x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x ≤ a ; dan 2



2



| x | ≥ a ⇔ x ≥ a atau x ≤ −a ⇔ x2 ≥ a2. h Ketaksamaan segitiga: Jika x, y ∈ , maka | x + y | ≤ | x | + | y |, | x − y | ≤ | x | + | y |, | x | − | y | ≤ | x − y |, dan || x | − | y || ≤ | x − y |. h Jika x, y ∈



x



| x|



, maka | xy | = | x | | y | dan y = | y | , y π 0.



Catatan Dari sifat | x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a dengan a > 0 diperoleh | x − c | < a ⇔ c − a < x < c + a. |x−c|



c−a x



a



c



c+a



SBRdanF



006



Beberapa Contoh Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak Contoh Tentukan himpunan jawab pertaksamaan | x2 − 2x | ≤ 3. −3 ≤ x2 − 2x ≤ 3 −3 ≤ x2 − 2x dan x2 − 2x ≤ 3 x2 − 2x + 3 ≥ 0 dan x2 − 2x − 3 ≤ 0 (x − 1)2 + 2 ≥ 0 dan (x + 2) (x − 3) ≤ 0 definit positif dipenuhi oleh semua x



HJ =



−2 ≤ x ≤ 3



dan



∩ [−2,3] = [−2,3].



Contoh (a) Tentukan himpunan jawab pertaksamaan | x − 3 | ≤ 2 | x − 1 |. (b) Tunjukkan ∀x ∈ (a)



berlaku



x-2 x2 + 9



1



£ 9 (| x | + 2) .



(b) Karena x2 + 9 ≥ 9, maka



(x − 3)2 ≤ 4(x − 1)2 x2 − 6x + 9 ≤ 4x2 − 8x + 4 3x2 − 2x − 5 ≥ 0 (x + 1) (3x − 5) ≥ 0



1 x +9 2



1



£ 9.



Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, diperoleh | x − 2 | ≤ | x | + 2. Akibatnya, x-2 x2 + 9



HJ = (−∞,−1] ∪ [123 ,•) .



=



1 1 | x + 2| £ (| x | + 2) . 9 x2 + 9



Contoh Sebuah cakram yang kelilingnya 10 dm harus dihasilkan oleh suatu mesin bubut. Bila yang diukur adalah diameternya, tentukan besarnya toleransi δ untuk diameter agar galat kelilingnya paling banyak 0,02 dm. cakram



diameter



Jika diameter cakram ≡ x dm, maka kelilingnya ≡ π x dm. 10 Untuk keliling = 10 dm, maka diameternya p dm. Akan ditentukan suatu δ > 0 agar x 10



Keliling cakram adalah 10 dm.



10



p



< d fi |p x - 10| < 0,02 .



1



Karena x - p < d ¤ p |p x -10| < d ¤ |p x -10| < pd , ma0,02



ka ambillah πδ ≤ 0,02, sehingga diperoleh δ ≤ p



dm.



SBRdanF



007



Sistem Koordinat Kartesis dan Garis Lurus Sistem Koordinat Kartesis (Koordinat xoy) Bidang datar: 2 = ¥ = {( x, y )| x, y Œ } .



y



K-2



K-1 b 0



K-3



P(a,b) a



K-4



x



Kuadran Sistem koordinat xoy membagi bidang datar atas 4 wilayah yang dinamakan kuadran, K-1 sampai dengan K-4. K-1 = {(x,y) | x > 0 dan y > 0} K-2 = {(x,y) | x < 0 dan y > 0} K-3 = {(x,y) | x < 0 dan y < 0} K-4 = {(x,y) | x > 0 dan y < 0}



Jarak dua titik Jarak dari titik P ( x1 , y1 ) ke titik Q( x2 , y2 ) adalah PQ = ( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 .



Garis lurus Persamaan garis lurus (garis) di bidang xoy adalah ax + by + c = 0, a dan b tak semua nol. h Persamaan garis g yang tak sejajar sumbu y adalah y = mx + n, m dinamakan gradien garis g. Garis ini memotong sumbu y di titik (0,n). h Persamaan garis g melalui titik P ( x1 , y1 ) dan gradiennya m adalah y - y1 = m (x - x1) . h Persamaan garis g melalui titik A(a,0) dan B(0,b), a, b ≠ 0 adalah x a



y



+ b = 1.



Kondisi dua garis saling tegak lurus Garis g: y = mx + n dan h: y = px + q saling tegak lurus (g ⊥ h) ⇔ mp = −1. Jarak titik ke garis Jarak titik R( x0 , y0 ) ke garis g: ax + by + c = 0 adalah | ax0 + by0 + c | d = d ( R, g ) = . 2 2 a +b



SBRdanF



008



Fungsi Real dan Grafiknya x ∈ Df



y



masukan



x ∈ Df



y = f (x)



A = Df x



Rf f



Rf



y f (x)



0 Fungsi sebagai Pemetaan



mesin fungsi



a Df = A = [a,b] b



x



Diagram Kartesis Fungsi



y ∈ Rf keluaran



Fungsi real f : A ⊆ → adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. Himpunan A dinamakan daerah asal fungsi f dan ditulis Df . Unsur y ∈ yang terkait dengan x ∈ A ⊆ dinamakan peta dari x dan ditulis f (x). Unsur x ∈ A dinamakan peubah bebas dan y yang bergantung dari x dinamakan peubah tak bebas. Himpunan semua f (x), x ∈ A dinamakan daerah nilai fungsi f dan ditulis Rf . Aturan Fungsi Lambang y = f (x) yang menyatakan y terkait dengan x dinamakan aturan fungsi. Dalam kasus aturan fungsi y = f (x) diberikan lebih dulu, daerah asal (alamiah) fungsi f adalah Df = {x ∈ | f (x) ∈ } dan daerah nilainya adalah Rf = { f (x) ∈ | x ∈ Df }. Grafik Fungsi Grafik fungsi (kurva) y = f (x) adalah himpunan titik {(x,y) ∈ 2 | y = f (x), x ∈ Df dan y ∈ Rf }. Kesamaan Fungsi f dan g dikatakan sama, ditulis f ≡ g, jika Df = Dg = D dan f (x) = g(x) ∀x ∈ D. Operasi Aljabar pada Fungsi Untuk fungsi f dan g dengan Df = Dg = D didefinisikan operasi aljabar berikut. h Penjumlahan: ditulis f + g, aturannya ( f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x ∈ D. h Pengurangan: ditulis f − g, aturannya ( f − g)(x) = f (x) − g(x) ∀x ∈ D. h Perkalian: ditulis fg, aturannya ( fg)(x) = f (x)g(x) ∀x ∈ D. h Pembagian: ditulis



f g



f



f ( x)



, aturannya g ( x) = g ( x ) ∀x ∈ D dan g(x) ≠ 0.



SBRdanF



009



Fungsi Aljabar Fungsi ini diperoleh dengan sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi kesatuan (identitas) y = x. Contoh fungsi aljabar: 2 h Sukubanyak: P ( x) = Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n . h Fungsi Rasional: f ( x) =



P( x) , Q( x)



h Fungsi Irasional: f ( x) =



n



P dan Q sukubanyak.



g ( x) , g fungsi rasional.



Fungsi Transenden Fungsi transenden adalah fungsi real yang bukan fungsi aljabar. Contoh fungsi transenden: h Fungsi Trigonometri: y = sin x, y = cos x, y = tan x, ⋅ ⋅ ⋅ h Fungsi Logaritma: y = log x , a > 0 dan a ≠ 1, y = ln x. a



(



)



n



h Fungsi Eksponen: y = a , a > 0 dan a ≠ 1, y = e , e = lim 1 + 1n . nÆ• x



x



h Fungsi transenden yang lain adalah invers fungsi trigonometri, fungsi



hiperbolik, dan invers fungsi hiperbolik. Fungsi Implisit Persamaan F(x,y) = 0 secara implisit memuat informasi y = f (x) atau x = g(y). Keduanya dinamakan fungsi implisit. Sebagai ilustrasi, persamaan x2 + y2 = 4 memuat y = 4 - x 2 dan x = 4 - y 2 sebagai fungsi implisitnya. Tak semua bentuk implisit dapat dibuat eksplisit. Fungsi Terbatas Fungsi yang nilainya terletak di antara dua bilangan. Fungsi y = f (x) terbatas jika ∃ m, M ∈ ∋ m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ Df . Sebagai ilustrasi, fungsi y = sin x terbatas karena −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ Df = . Fungsi Periodik Fungsi yang grafiknya selalu berulang setelah selang tertentu. Fungsi y = f (x) periodik jika ∃ p ≠ 0 ∋f (x + p) = f (x) ∀ x ∈ Df . Bilangan p > 0 terkecil yang menenuhi f (x + p) = f (x) dinamakan periode fungsi f. Sebagai ilustrasi, y = f (x) = sin x adalah fungsi periodik dengan periode 2π karena ∃ p ≠ 0, p = 2nπ, n bilangan bulat, sehingga f (x + p) = f (x + 2nπ) = sin (x + 2nπ) = sin x = f (x) ∀x ∈ Df = , dan p = 2π adalah bilangan positif terkecil yang memenuhi f (x + p) = f (x). Hasil ini dapat diperumum, y = f (x) = sin kx adalah fungsi periodik dengan periode 2kp .



SBRdanF



010



Beberapa Contoh Daerah Asal, Daerah Nilai, dan Grafik Fungsi Contoh Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi (a) f (x) = 4x − x2



dan (b) g(x) =



4 x - x 2 kemudian gambarkan grafiknya.



(a) Pada aturan fungsinya x dapat diganti oleh sebarang bilangan real. Jadi daerah asal fungsi f adalah Df = . Untuk menentukan daerah nilainya, tulislah f (x) = 4 − (x − 2)2, x ∈ Df = . Karena (x − 2)2 ≥ 0, maka −(x − 2)2 ≤ 0, sehingga f (x) = 4 − (x − 2)2 ≤ 4. Jadi daerah nilai fungsi f adalah Rf = (−∞,4]. (b) Dari sifat akar kuadrat, agar g(x) ∈ , syaratnya adalah 4x − x2 ≥ 0. Selesaikan pertaksamaan ini, diperoleh x(x − 4) ≤ 0, yang dipenuhi oleh 0 ≤ x ≤ 4. Jadi daerah asal fungsi g adalah Dg = [0,4]. Daerah nilai fungsi g dapat ditentukan dengan beberapa cara. 0≤x≤4 −2 ≤ x − 2 ≤ 2 2 0 ≤ (x − 2) ≤ 4 2 −4 ≤ −(x − 2) ≤ 0 2 0 ≤ 4 − (x − 2) ≤ 4 2 0 ≤ 4x − x ≤ 4



1.



0 £ g (x) = 4 x - x 2 £ 2



Jadi Rg = [0,2].



2. Tulislah y = 4x - x 2 , maka y = 4x − x , y ≥ 0 mem2 2 bentuk persamaan kuadrat x − 4x + y = 0, y ≥ 0. Sya2 rat D ≥ 0 memberikan 16 − 4y ≥ 0, sehingga −2 ≤ y ≤ 2. Karena y ≥ 0, maka 0 ≤ y ≤ 2. Jadi Rg = [0,2]. 2



2



3. Tulislah y = 4x - x 2 , maka y = 4x − x , y ≥ 0 dapat 2 2 ditulis (x − 2) + y = 4, y ≥ 0. Karena bentuk ini adalah lingkaran berpusat di (2,0) dan berjari-jari 2 yang terletak di atas sumbu x, maka Rg = [0,2]. 2



y



2



y



f (x) = 4x − x2 4 2



2



g (x) = 4 x - x 2



1 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −4 Kurva f



x 0



1



2



3



Kurva g



4



x



SBRdanF



011



Fungsi dengan Banyak Aturan Fungsi ini mempunyai lebih dari satu aturan pada daerah asalnya. Contoh fungsi dengan banyak aturan: Ï x 2 - 2 x, jika x ≥ 1 Ï x, jika x ≥ 0 f (x) = | x | = Ì dan g (x) = Ì , jika < 0 x x ÔÓ 3 x - 2, jika x < 1 Ó Sifat Simetri Kurva C: y = f (x) h Kurva C: y = f (x) simetri terhadap sumbu y jika semua titik (x,y) dan (−x,y) terletak pada C. Syaratnya (x,y) ∈ C ⇔ (−x,y) ∈ C ∀x ∈ Df . Sebagai ilustrasi, kurva C: y = x2 simetri terhadap sumbu y karena (x,y) ∈ C ⇔ y = x2 ⇔ y = (−x)2 ⇔ (−x,y) ∈ C ∀ x ∈ Df = . h Kurva C: y = f (x) simetri terhadap titik asal O(0,0) jika semua titik (x,y) dan (−x,−y) terletak pada C. Syaratnya (x,y) ∈ C ⇔ (−x,−y) ∈ C ∀ x ∈Df. Sebagai ilustrasi, kurva C: y = x3 simetri terhadap titik asal O karena (x,y) ∈ C ⇔ y = x3 ⇔ −y = (−x)3 ⇔ (−x,−y) ∈ C ∀ x ∈ Df = .



Latihan Tuliskan definisi sifat simetri kurva K: F(x,y) = 0 kemudian berikan beberapa contohnya. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil h Fungsi y = f (x) dinamakan fungsi genap jika f (−x) = f (x) ∀x ∈ Df . Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y. h Fungsi y = f (x) dinamakan fungsi ganjil jika f (−x) = −f (x) ∀x ∈ Df . Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal O(0,0). 2 3 h Sebagai ilustrasi, y = f (x) = x adalah fungsi genap dan y = f (x) = x adalah fungsi ganjil (jelaskan mengapa!). Fungsi y = f (x) = 0 adalah fungsi genap dan ganjil. Fungsi y = f (x) = x3 + x2 bukan fungsi genap dan juga bukan fungsi ganjil. Pergeseran Kurva Kurva y = f (x − a) + b, a > 0, b > 0 diperoleh dari kurva y = f (x) dengan cara menggeserkannya a satuan ke kanan dan b satuan ke atas. Dalam kasus a < 0 dan b < 0, kurva y = f (x) digeser ke arah sebaliknya. Sebagai ilustrasi, dari y = f (x) = x2 − 2x − 3 = (x − 1)2 − 4 diperoleh bahwa kurva y = f (x) diperoleh dari kurva y = x2 dengan cara menggeserkannya sejauh 1 satuan ke kanan dan 4 satuan ke bawah. Untuk latihan, gambarkan kurvanya dengan cara pergeseran.



SBRdanF



012



Bilangan Bulat Terbesar Jika x ∈ , maka ada tak hingga banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi n ≤ x. Dari jajaran ini, yang terbesar dinamakan bilangan bulat terbesar dan ditulis x . Dalam konteks ini, x = n ¤ n £ x < n + 1, n Œ . y



3 2 1 −3 −2 −1



Perhatikan kurva f (x) = x pada gambar. Aturan fungsinya adalah



f (x) = x



Ï Ô -2, Ô -1, Ô f (x) = x = Ì 0, Ô 1, Ô 2, ÔÓ



x



0 1 2 3 4 −1 −2 −3



Fungsi Tangga



y 1 y



P(x,y) −1 x 0



θ 1 x x + y2 = 1 2



jika jika jika jika jika



- 2 £ x < -1 -1 £ x < 0 0£ x 0, buktikan ketaksamaan a £ b ¤ 1a ≥ b1 . 19.Jika 0 < a ≤ b, buktikan ketaksamaan a £ a2+abb £ ab £ 12 (a + b) £ b. 20.Jika ε > 0 diberikan, tentukan suatu δ = δ (ε) > 0 sehingga | x + 5 | < δ ⇒ | 5x + 25 | < ε. 21.Jika 0 < | x − 2 | < 0,1, buktikan | x2 − 4 | < 0,41. 22.Buktikan "e > 0 $d > 0 '0 < | x - 2| < d fi | x 2 - 4| < e . 23.Sebuah cakram lingkaran yang kelilingnya 10 dm dihasilkan oleh mesin bubut. Bila yang diukur diameternya, tentukan toleransi δ untuk diameter agar galat kelilingnya paling banyak 0,02 dm. 24.Kaitan suhu dalam derajat Fahrenheit dan Celcius adalah C = 95 (F - 32). Jika suatu larutan harus



dijaga pada suhu 50°C dengan toleransi 3%, tentukan toleransinya dalam derajat Fahrenheit.



16



Soal Fungsi dan Komposisi Fungsi A



25.Daerah D pada gambar di samping terdiri dari segitiga samakaki ABC digabung dengan setengah lingkaran berdiameter AC di bagian kanannya. Jika AB = BC = 10 dan ∠ ABC = θ, hitunglah luas daerah D dinyatakan sebagai fungsi dari θ.



10 B



θ 10 C A



B



x



x



D



D



C



26.Daerah D pada gambar di samping terdiri dari segi panjang ABCD digabung dengan setengah lingkaran berdiameter AD di bagian kiri dan kanannya. Jika keliling (panjang batas) daerah D adalah 1 km dan diameter lingkarannya adalah x km, nyatakan luas D sebagai fungsi dari x beserta daerah asal dan daerah nilainya.



27.Jika A(2,3), B(6,3), C(6,−1), dan D(2,−1), tunjukkan ABCD berbentuk persegi kemudian, tentukan persamaan lingkaran dalam dan lingkaran luar dari ABCD. 28.Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi (a) f (x) = 4 x - x 2 (b) g (x) = 4 x + x 2 . 29.Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi (a) f (x) = x + 1x (b) g (x) = x - 1x . 1 - x2 30.Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi (a) f (x) = 2 x 2 (b) g (x) = 2. 1+ x



1+ x



31.Tentukan daerah nilai fungsi (a) f (x) = x 2 - 2 x - 5, 0 £ x £ 3 (b) f (x) = x 2 - 4 x + 5, 0 £ x £ 5. 32.Jika f (x +3) = x3 - 3x, tentukanlah aturan fungsi y = f (x) dan y = f (x + 1). 33.Jika f (x) = 2x − x2 dan g (x) = x + 3, tentukan aturan fungsi f c g dan g c f beserta daerah asal dan daerah nilainya. 34.Untuk permintaan pasar sebesar x ribu laptop ditetapkan harganya Rp p juta per buah, yang me-



menuhi rumus hampiran p (x) = x 2 - 4 x + 25, 0 £ x £ 6. Andaikan sejak tahun 2009 permintaan bulan ke-t adalah x = x(t) ribu laptop dengan rumus hampiran x(t) = 1 + t , 0 ≤ t ≤ 24. (a) Nyatakan p sebagai fungsi dari waktu t; (b) Tentukan harga sebuah laptop pada bulan ke-9 (c) Tentukan permintaan pasar pada saat harga laptop Rp 5,2 juta; (d) Tentukan saat di mana harga laptop melampaui Rp 5,5 juta. (e) Tentukan saat di mana laptop ini mencapai harga termurah. Kunci Jawaban 1. S 2. B 3. S 4. B 5. B 6. S 7. B 8. S 9. S 10. B 11.(a) [0,1] (b) (−∞,0) ∪ (1,∞) 12. [−2,3] x - 4x -1 1 13. [−2,−1) ∪ [3,6) 14. [−2,−1] ∪ [2,3] 15. ÈÎ 13 ,5˘˚ 16. (−∞,1] 17. 2 = | x 2 - 4 x - 1| ◊ 2 , x - 2x + 2 x - 2x + 2 2 carilah batasnya dengan sifat kuadrat sejati 18. Gunakan ab > 0 dan b − a ≥ 0 19. gunakan (a − b) ≥ 0 2



20. ambillah δ ≤ e5



0,02



21. gunakan sifat nilai mutlak 22. pola penyelesaian seperti soal 21 23. 0 < δ ≤ p



24. toleransi dalam F adalah 2,7 derajat 25. 50(sinθ − π cosθ ) + 50π



(



)



( )



26. L(x) = 12 x - 14 p x 2 ; D f = 0, p1 dan



R f = 0, 41p 27. lingkaran dalam: x + y − 16 x − 2y + 13 = 0; lingkaran luar: x + y − 16 x − 2y + 9 = 0 28. (a) Df = [0,4], Rf = [0,2]; (b) Dg = (−∞,−4] ∪ [0,∞), Rg = [0,∞) 29. (a) Df = − {0}, Rf = (−∞,−2] ∪ [2,∞) (b) Dg =



2



− {0}, Rg =



2



2



2



30. (a) Df = , Rf = [−1,1]; (b) Dg = , Rg = (−1,1] 31. Rf = [−6,−2], Rg = [1, 10]



32. f (x) = x − 9x + 24x − 18 dan f (x + 1) = x − 6x + 9x − 2 33. f c g (x) = x − 3, Dfοg = [−3,∞), Rfοg = [−6,∞) 3



2



3



2



g c f (x) = - x 2 + 2 x + 3 , Dgοf = [−1,3], Rgοf = [0,2] 34. (a) p (t) = t - 2 t + 22, 0 £ t £ 24 ; (b) p(9) = Rp 5 juta (c) 4.460 barang; (d) antara bulan ke-16 sampai bulan ke-17; (e) akhir bulan ke-2 dengan pmin = Rp 4,58 juta.