Kel 1 Geo [PDF]

Citation preview

MAKALAH PERBANDINGAN GEOMETRI EUCLID, GEOMETRI NETRAL, DAN GEOMETRI INSIDENSI Disusun guna memenuhi tugas pada mata kuliah Geometry Euclid dan Non Euclid Dosen: Pardomuan NJM Sinambela, M.Pd.



DISUSUN OLEH: KELOMPOK 1 KELAS : PSPM D 18 ANGGOTA : 1. JOSE ANDREAS GANDHI SINAGA



(4183111094)



2. NAZLA ELPINA LUMBAN GAOL



(4183311038)



3. RAHAYU LESTARI



(4183111075)



4. TSUWAIBATUL ASLAMIYAH



(4182111016)



5. RIRIN NURAINI



(4181111043)



6. YOSEVIN ANGELINA HUTABARAT



(4183311035)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2021



KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan tugas makalah kami yang berjudul “Perbandingan Geometri Euclid, Geometri Netral, Dan Geometri Insidensi”. Adapun tugas ini kami buat untuk memenuhi tugas pada mata kuliah Geometry Euclid dan Non Euclid. Tidak lupa juga kami ucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang membantu kami dalam pembuatan tugas ini. Serta tidak lupa juga kami ucapkan terima kasih kepada dosen pengampu mata kuliah Matematika Diskrit yaitu Bapak Pardomuan NJM Sinambela, M.Pd. yang sudah mengarahkan kami bagaimana cara menyelesaikan tugas ini dengan baik dan benar. Kami mohon maaf apabila ada kekurangan dan kesalahan dalam penulisan kata-kata dalam tugas kami ini, kami sadar bahwa isi tugas ini masih jauh dari kata sempurna. Untuk itu kami mohon kritik dan saran yang bersifat membangun dari para pembaca. Semua kritik, saran, dan petunjuk yang diberikan akan kami terima dengan senang hati. Kami berharap semoga apa yang kami tuliskan pada tugas kami ini dapat menambah pengetahuan baru yang bermanfaat bagi para pembaca. Medan, April 2021



Kelompok I



i



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR .....................................................................................................i DAFTAR ISI....................................................................................................................ii BAB I (PENDAHULUAN)..............................................................................................1 A) Latar Belakang ............................................................................................................1 B) Tujuan..........................................................................................................................1 BAB II (PEMBAHASAN)...............................................................................................2 A). Geometri Euclid..........................................................................................................2 B). Geometri Insidensi......................................................................................................8 C). Geometri Netral........................................................................................................13 D). Perbandingan geometri Euclid, geometri Insidensi, dan geometri Netral................28 BAB III (PENUTUP).....................................................................................................31 A). Kesimpulan...............................................................................................................31 B). Saran.........................................................................................................................31 DAFTAR PUSTAKA....................................................................................................32



ii



iii



BAB I PENDAHULUAN A) Latar Belakang Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abstrak yang menjadi unsur dasar geometri. Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan posulat. Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui pembuktian. Berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang disebut dengan dalil. Dalil merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya dapat diterima melalui serangkaian pembuktian. Di dalam geometri terdapat geomeri euclid, geometri insidensi dan geometri netral. Geometri



Euclid



adalah



pembelajaran



geometri



yang didasarkan



pada definisi,



teorema/aksioma (titik, garis dan bidang) dan asumsi-asumsi dari seorang matematikawan yunani yakni Euclid. Geometri insidensi adalah geometri yang didasari oleh aksioma insidensi, geometri ini dapat dikatakan mendasari geometri Euclides yang telah dikenal sebelumnya. Geometri Euclides didasari pada lima aksioma berikut: (1) Kelompok aksioma insidensi. (2) Kelompok aksioma urutan. (3) Kelompok aksioma kekongruenan. (4)Aksioma kesejajaran euclides. (5)Aksioma kekontinuan. Jadi dapat dikatakan bahwa geometri Euclides adalah sebuah geometri insidensi yang dilengkapi dengan kelompok aksioma-aksioma 2, 3, 4, dan 5. Dari Geometri Euclid dapat diambil sarinya berupa dua Geometri yang berlainan dalam dasar logikanya, pengertian pangkalnya dan aksiomanya. Salah satunya adalah Geometri Absolut atau Geometri Netral. Geometri netral dilengkapi dengan sistem aksioma kesetaraan, sistem aksioma urutan, dan sistem aksioma kekongruenan tentang ruas garis, sudut, dan segitiga. Geometri netral hanya berlandaskan empat postulat awal Euclid dan mengabaikan postulat kelima atau postulat kesejajaran Euclid. Akan tetapi dalam geometri netral tetap dikenal istilah kesejajaran garis karena muncul pernyataan tentang garis yang sejajar melalui pembuktian suatu teorema. B) Tujuan Adapun yang menjadi tujuan penulisan makalah ini yakni penulis ingin menyajikan informasi perihal geometri Euclid, geometri netral, dan geometri insidensi, serta perbandingan ketiga jenis geometri tersebut. 1



BAB II PEMBAHASAN A).



GEOMETRI EUCLIDES Kata “geometri” berasal dari bahasa Yunani yaitu geo dan metri. Geo berarti tanah,



dan berarti “pengukuran bumi”. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri adalah bagian dari matematika merupakan ilmu yang membahas tentang hbungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun – bangun ruang. Mempelajari geometri penting karena geometri telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi ilmu pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dari serangkaian pernyataan tentang titik – titik, garis – garis, dan bidang – bidang, dan juga planar (proyeksi bidang) dan benda – benda padat. Geometri yang pertama – tama muncul sebagai suatu system deduktif adalah Geometri Euclides. Geometri dimulai dari istilah – istilah yang tidak terdefinisikan (pengertian pangkal), defenisi – defenisi, aksioma – aksioma, belah ketupat adalah segiempat yang sisi – sisinya sama dan sudut – sudut yang berhadapan sama besar. Yang pertama menunjukkan genus proksimum, yaitu jajargenjang, sedangkan yang kedua tidak menyebutkan genus proksimum yang berakibat tidak ekonomis. Sedangkan diferensia spesifiknya adalah keterangan yang erdapat dibelakang kata “yang”. Defenisi genetic yaitu defenisi yang menyebutkan bagaimana konsep itu terbentuk atau tejadi atau membentuknya konsep yang didefenisikan. Contoh : Jajargejang adalah segitiga dan bayangannya apabila diputar sejauh 1800 dengan pusat titik tengah salah satu sisi segitiga…………………..1) Jaring – jaring limas adalah bangun yang terjadi bila sisi – sisi limas direbahkan dengan poros rusak alas sehingga sampai ke bidang pemuat alasnya………………………….2) Geometri memiliki sistematika yang jelas dan ketat serta kebenarannya mengacu kepada kebenaran sebelumnya. Oleh karena itu, kebenaran dalam geometri tidak ada yang bersifat ambigu atau bertentangan satu dengan lainnya. Hakim tertinggi dari geometri adalah sistematika yang dasarnya adalah kesepakatan. Sebagai contoh kesepakatan bahwa besar sudut satu kali putaran adalah 360 0. Dari kesepakatan ini turun yang namanya postulat bahwa besar sudut setengah putaran adalah 1800. Dari postulat ini turun yang namanya teorema bahwa besar sudut yang bertolak belakang adalah sama. 2



Bukti : Diketahui dari defenisi bahwa besar sudut satu kali putaran adalah 3600



Dari defenisi diketahui postulatnya adalah besar sudut setengah putaran atau garis lurus adalah 1800.



Dari postulat diatas ditemukan teorema bahwa besar sudut yang bertolak belakang adalah sama.



Perhatikan gambar diatas. Akan ditunjukkan : ∡ 1=∡ 3 Dari gambar di atas. ∡ 1+ ∡ 2=180 0……………………(sudut garis lurus) ∡ 3+∡ 2=1800……………………(sudut garis lurus) ∡ 1−∡ 3=0 ∴ ↔ ∡ 1=∡ 3 Jadi, terbukti bahwa besar sudut yang bertlak belakang adalah sama Qed. 



Segi Empat Bidang dalam geometri adalah salah satu unsur yang tak terdefinisikan (undefinite



term). Dari unsure yang tak terdefinisikan dapat diturunkan menjadi defenisi. Sebagai contoh, segi empat, yaitu bidang datar memiliki empat sisi dan sudut yang tidak konveks. Defenisi segi empat tersebut dapat dibuat dari system



3



Genetifnya, yaitu bangun datar tertutup yang dibentuk oleh empat buah garis. Selanjutnya, dari segi-empat ini dapat diturunkan bangun lain seperti yang digambarkan pada alur ini. (defenisikan segiempat-segiempat berikut diberikan pada pembaca).



Euclides dari Aleksandria kira – kira 300 SM dalam bukunya pertama dimuai dengan 23 defenisi, 5 postulat, 10 aksioma dan 48 dalil. A. Defenisi – defenisi : 1. Titik ialah yang tidak mempunyai bagian 2. Garis ialah panjang tanpa lebar 3. Ujung – ujung suatu garis yang terletak rata dengan titik – titik padanya. 4. Suatu garis lurus ialah gari yang terletak rata dengan titik – titk padanya. 5. Suatu bidang ialah hanya mempunyai panjang dan lebar 6. Ujung – ujung suatu bidang adalah garis. 7. Suatu bidang datar ialah suatu bidang yang terletak rata dengan garis – garis padanya. 8. Suatu sudut datar ialah inklinasi (kemiringan) sesamanya dari dua garis dalam satu bidang datar yang bertemu dan tidak terletak pada suatu garis irs. 9. Jika garis lurus memuat sudut lurus, maka sudut itu disebut sudut garis lurus.



4



10. Jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus dan membuat sudut yang bersisian sama, masing – masing sudut ini disebut siku – siku dan garis yang berdiri pada garis lainnya tadi di sebut tegak lurus pada garis lain. 11. Suatu sudut tumpul ialah sudut yang lebih besar dari suatu sudut siku – siku. 12. Suatu sudut lancip ialah sudut yang lebih kecil dari suatu sudut – sudut siku – siku. 13. Suatu batas ialah ujungnya sesuatu. 14. Suatu bangun ialah sesuatu yang temuat dalam suatu batas atau beberapa batas. 15. Suatu lingkaran ialah suatu bangun datar yang temuat dalam satu garis sedemikian, hingga semua garis lurus yang melalui satu titik dalam bangun itu dan mengenai garis tadi sama panjangnya. 16. Dan titik disebut titik pusat lingkaran. 17. Suatu garis tengah dari lingkaran ialah sembarang garis lurus yang melalui titik pusat dan pada kedua arahnya berakhir pada keliling lingkaran dan garis semacam itu membagi dua sama lingkaran itu. 18. Suatu setengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam suatu garis tengah dan keliling lingkaran yang terbagi oleh garis garis tengah itu. Titik pusat setengah lingkaran sama dengan titik pusat lingkaran. 19. Bangun – bangun garis lurus ialah bangun – bagun yang termuat dalam (dibatasi oleh) garis – garis lurus. Bangun – bangun trilateral ialah yang dibatasi oleh lebih dari empat garis. 20. Dari bangun – bangun trilateral (sisi tiga), suatu segitiga sama sisi ialah yang mempunyi tiga sisi sama, suatu segitiga sama kaki ialah yang hanya dua sisinya sama dan suatu segitiga miring ialah semua sisinya tidak sama. 21. Selanjutnya dari bangun – bangun segitiga, suatu segitiga siku – siku ialah yang mempunyai suatu sudut siku – siku, suatu segitiga tumpul yang mempunyai suatu sudut tumpul dan suatu segitiga lancip yang ketiga sudutnya lancip. 22. Dari bangun – bangun sisi empat, suatu bujur sangkar ialah yang sama sisi dan bersudut siku – siku, suatu empat persegi panjang ialah yang bersudut siku – siku tetapi tidak sama sisi, suatu belah ketupat ilaha yang sama sisi, tetapi bersudut siku – siku, suatu jajar genjang ialah banyak sisinya dan sudut – sudutnya yang berhadapan sama, tetapi tidak sama sisinya dan tidak bersudut siku – siku. Sisi empat yang lain dari ini semua disebut trapezium. 23. Garis – garis lurus parallel (sejajar) ialah garis – garis lurus yang terletak dalam suatu bidang datar dan jika diperpanjang tak terbatas pada kedua arahnya tidak akan bertemu pada arah yang manapun. 5



B. Postulat – Postulat 1. Menarik garis luurus dari sembarang titik ke sembarang titik ke sembarang titik yang lain. 2. Memperpanjang suatu ruas garis secara kontinu menjadi garis lurus. 3. Melukis lingkaran dengan sembarang titik pusat dan sembarang jarak. 4. Bahwa semua sudut siku – siku adalah sama 900 5. Bahwa, jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut – sudut dalam sepihak kurang dari sudut siku – siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari sudut siku – siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku – siku. C. Aksioma – Aksioma (Comon Notions) 1.



Benda – benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lain juga sama.



2.



Jika sesuatu yang sama di tambah dengan sesuatu yang sama, jumlahnya sama.



3.



Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sma, sisinya sama.



4.



Benda – benda yang berimpitt satu sama lain, satu sama lain sama (kongruen)



5.



Seluruhnya lebih besar dari bagiannya.



D. Teorema-teorema. Teorema 1. Melukis sebuah segitiga sama sisi pada sebuah garis terbatas yang diketahui. 1) Kongruensi Definisi. Jika dua buah bangun apabila dihimpitkan saling menempati bingkainya atau sisi-sisi yang bersesuaian sama, maka kedua bangun tersebut adalah kongruen. Teorema 2. Dua buah segitiga mempunyai dua sisi dan sudut apitnya sama, maka sisi ketiganya adalah sama, atau lazim disebut (ss,sd,ss). Teorema 3. Melalui suatu titik pada suatu garis ada tepat satu garis yang tegak lurus pada garis tersebut. Definisi. Melalui suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus dan membuat sudut yang bersisian sama, masing-masing sudut ini disebut siku-siku dan garis yang berdiri pada garis lainnya tadi disebut tegak lurus pada garis lain. Teorema 4. Melalui satu titik di luar suatu garis ada tepat satu garis yang tegak lurus pada garis tersebut. 6



Teorema 5. Sudut luar suatu segitiga lebih besar dari sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut. Teorema 6. Dua buah garis sejajar dipotong oleh garis transversal maka sudut-sudut yang sehadap besarnya sama atau sudut dalam bersebrangan besarnya sama. Teorema 7. Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga sudutsudut dalam berseberangan sama, maka kedua garis itu adalah sejajar. Teorema 8. Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis adalah sejajar. Teorema 9. Jumlah sembarang dua sudut dalam suatu segitiga kurang dari 180 °. Teorema 10. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 °. Teorema 11. Sebuah segitiga jika dua sudutnya sama maka sisi-sisi di depan sudut sama. Teorema 12. Sebuah segitiga jika dua sisinya sama maka sudut di depan sisi tersebut sama. Teorema 13. Jika tiga sudut dalam suatu segitiga sama, maka ketiga sisinya sama. 2) Jajargenjang Definisi. Jajargenjang adalah segiempat yang dua pasang sisinya sejajar. Teorema 14. Diagonal jajargenjang membentuk dua segitiga yang kongruen. Teorema 15. Sisi-sisi yang berhadapan pada jajargenjang kongruen. Teorema 16. Sudut-sudut yang berhadapan pada jajargenjang adalah kongruen. Teorema 17. Jika dua garis sejajar maka dua titik pada garis berjarak sama terhadap garis lain. Teorema 18. Diagonal-diagonal jajar genjang saling membagi dua sama panjang. Teorema 19. Tiap dua sudut yang berurutan pada jajar genjang saling bersuplemen. Teorema 20. Diagonal persegi panjang adalah kongruen. Teorema 21. Jika kedua panjang sisi yang berhadapan suatu segi empat sejajar maka segiempat itu jajar genjang. Teorema 22. Diagonal belah ketupat saling tegak lurus. Teorema 23. Diagonal belah ketupat merupakan garis bagi sudut-sudutnya. Teorema 24. Jika 2 sisi dari suatu segiempat sejajar dan kongruen maka segiempat tersebut jajargenjang. Teorema 25. Jika suatu segmen ditarik dari titik tengah dua sisi segitiga maka segmen tersebut sejajar dengan sisi yang ketiga dan panjangnya setengah dari sisi segitiga. 7



Teorema 26. Median suatu trapezium sejajar dengan sisi-sisi yang sejajar dan panjangnya setengah dari jumlah sisi-sisi yang sejajar. Teorema 27. Jika kedua garis sejajar terhadap suatu sisi segitiga dan membagi dua sisi sama panjang sisi kedua, maka membagi dua juga sisi yang ketiga. Teorema 28. Jika suatu garis sejajar terhadap sisi yang sejajar pada suatu trapezium dan membagi sama panjang salah satu sisi yang tidak sejajar maka akan membagi dua sama panjang sisi yang tidak sejajar lainnya. Teorema 29. Ada tiga garis sejajar dipotong dengan sebuah garis transversal sedemikian hingga membuat perbandingan yang sama maka ada garis transversal lain yang memotong garis sejajar itu dengan perbandingan yang sama pula. Teorema 30. Jika dua sisi suatu segitiga tidak kongruen, maka sudut-sudut di hadapan sisi itu tidak kongruen dan sudut yang lebih kecil berhadapan dengan sisi yang lebih pendek. 3) Lingkaran Definisi. Lingkaran adalah sekumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut dengan titik pusat lingkaran, sedangkan jarak titik-titik tersebut terhadap titik tertentu itu disebut jari-jari lingkaran.



B).



GEOMETRI INSIDENSI Geometri insidensi adalah geometri yang didasari oleh aksioma insidensi, geometri ini dapat dikatakan mendasari geometri euclid yang sebelumnya sudah kita kenal. Aksioma insidensi: 1. Garis adalah himpunan titik titik yang mengandung paling sedikit dua titik. 2. Dua titik yang berlainan terkandung dalam tepat satu garis (satu dan tidak lebih dari satu garis) 3. Bidang adalah himpunan Titik titik yang mengandung paling Sedikit tiga titik yang tidak Terkandung dalam satu garis. 4. Tiga titik berlainan yang tak segaris Tekandung dalam satu dan tidak Lebih dari satu bidang. 5. Apabila sebuah bidang memuat dua titik Berlainan dari sebuah garis, maka Bidang itu akan memuat setiap titik pada garis tsb.



8



6. Apabila dua bidang bersekutu pada sebuah titik maka kedua Bidang itu akan bersekutu pada Titik kedua yang lain. Defenisi dan Teorema Insidensi: Definisi



: Sebuah himpunan titik titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan bidang yang memenuhi sistem aksioma 1.1 sampai dengan 1.6 disebut geometri insidensi



Teorema 1.1



: Dua garis yang berbeda bersekutu paling banyak pada satu titik



Definisi



: Sebuah garis yang mengandung titik A dan titik B yang berbeda. Kita sebut garis AB



Teorema 1.2



: Apabila titik A tidak pada garis BC maka titik tiitk A, B, dan C berlainan Dan tidak kolinear.



Teorema 1.3



: Sebuah garis dan sebuah titik yang tidak pada garis itu termuat dalam tepat satu bidang



Definisi



: 1. Andaikan A bukan elemen g (titik A tidak pada garis g), bidang yang memuat garis g dan titik A kita tulis sebagai gA. 2. Andaikan titik-titik A, B, dan C berlainan dan tak kolinear, bidang yang memuat A, B, dan C kita tulis sebagai ABC .



Definisi



: Dua garis l dan m dinamakan sejajar (ditulis l // m) apabila: 1) l dan m termuat dalam satu bidang dan 2) l dan m tidak memiliki titik sekutu (titik temu)



Teorema Akibat : Apabila l // m maka l dan m termuat dalam tepat satu bidang. Teorema 1.4



: Jika dua garis yang berbeda berpotongan maka kedua garis itu termuat dalam tepat satu bidang.



Teorema 1.5



: Apabila dua bidang yang berlainan berpotongan maka himpunan titik potongnya adalah sebuah garis.



Akibat



: Apabila ada garis g dengan g // V dan g // W maka g = V // W.



Definisi



: Dua bidang V dan W disebut sejajar (ditulis V // W) apabila V dan W tidak memiliki titik temu (titik potong).



Teorema 1.6



: Apabila bidang P sejajar dengan bidang Q dan bidang R memotong bidang P dan bidang Q maka himpunan P ∩ R dan himpunan Q ∩ R adalah garis-garis yang sejajar



Definisi



: 1) Apabila garis-garis g1, g2 ,..., gn bertemu pada satu titik kita namakan garis-garis g1 ,g2 ,...,gn konkuren. 2) Apabila bangun geometri B1 ,B2 ,...,Bn terletak pada satu bidang,



9



kita namakan bangun-bangun itu sebidang atau koplanar. Teorema 1.7



: Apabila tiap dua garis dari sekelompok tiga garis koplanar, akan tetapi tidak bertiga koplanar maka ketiga garis itu konkuren atau tiap dua garis diantaranya sejajar.



Teorema akibat : Apabila l // m dan titik A tidak terletak pada bidang yang memuat l dan m, maka ada garis tunggal n yang memuat A sehingga n // l dan n // m. Teorema 1.8



: Pada suatu bidang V ada sebuah garis g. Buktikan ada sebuah titik pada V yang tidak terletak pada g.



Teorema 1.9



: Tiap bidang memuat paling sedikit 3 garis yang tidak konkuren.



Teorema akibat : Pada sebuah bidang V ada sebuah titik A. Buktikan bahwa di V ada garis yang tidak melalui A. Teorema akibat : Di dalam sebuah bidang V, tiap titik A termuat dalam paling sedikit dua garis (yang berlainan). Definisi



: Apabila dua garis tidak sebidang kita katakan bahwa dua garis itu bersilangan.



Teorema 1.10



: Andaikan diketahui empat titik A, B, C, dan D yang berlainan, tak kolinear dan tak sebidang maka berlaku: 1) Apabila diketahui sebuah bidang, maka ada sebuah titik yang tak 2) terletak pada bidang itu. 3) Apabila



diketahui



sebuah



garis,



maka



ada



garis



yang



menyilangnya. 4) Apabila diketahui sebuah titik, maka ada sebuah. bidang yang tidak memuat titik tersebut. 5) Ada paling sedikit enam garis dan paling sedikit empat bidang. Definisi



: Sebuah garis dan sebuah bidang dinamakan sejajar apabila garis dan bidang tidak memiliki titik sekutu (titik temu).



Model Geometri Insidensi Di dalam contoh di bawah ini lambang (A, B) adalah lambang untuk garis yang memuat titik-titik A dan B. Sedangkan lambang (A, B, C) adalah lambang untuk bidang yang memuat titik-titik A, B, dan C, atau garis yang memuat titik-titik A, B, C



10



M12



11



Titik adalah bilangan kompleks, Garis adalah himpunan semua bilangan kompleks



g={z∨az + az ´ +b ¿ 0 , a kompleks tak nol , b real }



Membuktikan I.1. Untuk



membuktikan



model



memenuhi



I.1



ambil



garis



sembarang



g={z∨az + az ´ +b=0 , a kompleks tak nol , b .real } Kita akan membuktikan bahwa g memuat paling sedikit dua titik yang berbeda. Artinya harus kita tunjukkan ada paling sedikit dua bilangan kompleks yang berbeda yang dapat ´ +b=0 . memenuhi persamaan + az ´ +b=0 Andaikan a=α + βi , α , βreal tidak berdua nol dan andaikan z=x +iy maka az + az dapat ditulis sebagai: ( α +iβ ) ( x +iy )+ ( α−iβ )( x−iy )+ b=0 Persamaan ini dapat pula ditulis sebagai: 2 αx−2 βy +b=0 Ambil x = 0, maka y=



b ( β ≠0) 2β



Ambil y = 0, maka x=



b (α ≠ 0) 2α



Sebingga z 1=



b b dan z 2= 2β 2α



´ +b=0 ; ini berarti garis mengandung paling Titik z 1 dan z 2 memenuhi persamaan + az sedikit dua titik yaitu z 1 dan z 2tersebut. Membuktikan I.2. Untuk membuktikan bahwa model memenuhi I,2, kita ambil dua titik yang berbeda, misalnya: titik A=z1 =x1 +iy (x1 , y 1 real) dan titik B=z 2=x 2 +iy (x 2 , y 2 real). Kita harus membuktikan bahwa hanya ada satu garis g yang memuat A dan B tersebut. Kita ´ +b=0 memuat A dan B. Kita akan mencari a dan b, b real andaikan garis az + az sehingga garis memuat titik A dan titik B. Misalkan a=α + βi, α , βreal. Karena g memuat A ( = z 1) dan B ( = z 2) maka az 1 + az´ 1 +b=0…………………………………..….(1) az 2 + az´ 2 +b=0………………………………..…….(2) Dari persamaan (1) kita peroleh :



( α +iβ ) ( x1 +iy 1 ) + ( α−iβ ) ( x 1−iy 1 ) +b=0 2 α x 1−2 β y 1 +b=0……(3) Dengan cara yang sama, menggunakan (2) 2 α x 2−2 β y 2 +b=0,………………………………….(4) Dari (3) dan (4) kita peroleh: 2 α x 1−2 β y 1=¿ 2 α x 2−2 β y 2 , jadi : 12



α y 1− y 2 = =λ β x 1−x 2



sehingga a=β (λ+i) Dengan demikian maka:



b=az 1 + az´ 1=−2( α x1 −β y 1 ) y 1−β x1 α b=−2 α x 1+ 2 =2α λ λ Atau b=2 β ¿) Jadi persamaan garis yang melalui z 1 dan z 2adalah : β ( λ+i ) z + β ( λ−i ) ´z +¿ 2 β ( y 1− λ x1 ) =0



( λ+i ) z+ ( λ−i ) z+2 ( y 1− λ x1 ) =0……………(5) Mudahlah dibuktikan bahwa garis (5) ini adalah satu-satunya garis yang melalui z 1 dan z 2. Membuktikan I.3. Untuk membuktikan bahwa model memenuhi I.3, kita buktikan bahwa bidang memuat paling sedikit 3 titik yang tak segaris. Untuk membuktikan ini ambillah sebuah garis az + az ´ +b=0. Andaikan a=α + βi dan z=i maka i tak terletak pada garis tersebut, sebab ´ +b=−2 R 1 ( ai ) +b=−2 β +b ,b−2 β tidak selalu nol, nol hanya apabila ¿ 2 β , i a i+ ai terletak pada garis itu. Kalau b ≠ 2 β maka i tidak pada garis tersebut. Teorema 1. Dalam geometri euclides, dari tiga titik yang berbeda dan tidak kolinier (segaris), hanya ada satu linglkaran yang terbentuk. Teorema 2. Jika garis AB adalah diameter suatu lingkaran dan jika CD adalah tali busur lain pada lingkaran yang sama yang bukan diameter lingkaran, maka AB> CD. Teorema 3. Jika diameter suatu lingkaran adalah tegak lurus terhadap tali busur lingkaran maka diameternya membagi dua tali busur tersebut. Teorema 4. Jika suatu garis menyinggung lingkaran, maka garis tersebut akan tegak lurus pada jari-jari yang melalui titik-titik singgung garis tersebut. C).



GEOMETRI NETRAL Dalam Geometri Euclid, Geometri Netral tidak menggunakan postulat ke-5 Euclid ataupun ingkaran dari postulat ke-5 itu. Aksioma ke-5 Euclides (kesejajaran) berbunyi ”Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal sedemikian hingga membuat



13



jumlah sudut dalam sepihak kurang dari 180, maka kedua garis itu berpotongan pada pihak yang jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 180”. Aksioma ini diubah oleh Playfair dalam kalimat yang berbeda tetapi bermakna sama yaitu: ”Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui yang melalui sebuah titik di luar garis yang tidak diketahui.” Dari kelima aksioma Euclides, jika aksioma kesejajaran dihilangkan maka geometri ini dinamakan geometri netral. Geometri netral ini menggunakan teoremateorema Saccheri tanpa aksioma kesejajaran (Saccheri menganut postulat kesejajaran Euclides). Dengan melakukan modifikasi-modifikasi, banyak proposisi dalam geometri netral adalah benar secara geometri Euclid maupun non Euclid. Sebagai akibatnya, Geometri Netral menyiapkan kerangka kerja yang cocok yang dengannya kita dapat membandingkan dan mempertentangkan sifat-sifat geometri Euclid dan non Euclid. Geometri netral akan menjelaskan peran postulat kesejajaran dalam geometri Euclid, membukakan jalan untuk mempelajari geometri non Euclid pada bab berikutnya, dan menghasilkan teorema yang cocok untuk geometri non Euclid. Hal lain yang mendasar dalam geometri netral ini yaitu kemungkinan adanya persegi panjang atau kemungkinan tidak adanya persegi panjang. Jika pada geometri netral mengandung persegi panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam setiap segitiga a dalah 180°. Perlu diketahui juga bahwa pada geometri netral ada segi empat yang penting, yaitu yang dinamakan segi empat Saccheri. Sedangkan pada geometri Euclides, tidak ada perbedaan antara segiempat Saccheri dengan persegi panjang. Definisi



: Suatu geometri bidang dikatakan netral jika ia tidak mengikut sertakan postulat parallel ataupun akibat logis dari postulat ini.



Jumlah sudut dalam Segitiga : Teorema yang amat penting berikut ini memerlukan postulat



Archimedes



tentang



kontinuitas



untuk



pembuktiannya. Teorema



: Jumlah ukuran ketiga sudut dalam suatu segitiga adalah kurang dari atau sama dengan 180 ° . [Dalam ∆ ABC (∠ A+∠ B+∠ C)≤180 ° ]. Hasil ini akan amat mengejutkan Anda, oleh karena Anda sudah terbiasa dengan pengertian suatu jumlah



14



yang tepat 180 °. Namun demikian ketepatan ini tidak dapat dibuktikan dalam geometri netral. Lemma 1



: Jumlah ukuran dua sudut dalam suatu segitiga kurang dari 180 °.



Bukti: Pandanglah ∆ ABC dan misalkan D



BC terletak pada ⃗



sedemikian sehingga C di



antara B dan D. Berdasarkan definisi,∠ 4 adalah sudut luar dari ∆ ABC , dan karena itu ∠ 4 >∠1. Karena ∠ 4 +∠2=180 °, maka ∠ 4=180 °−∠2. Oleh karena itu dengan melakukan substitusi ∠ 1 XY, maka ADnCnB suatu persegi panjang. Persegi panjang inilah yang dicari.







Teorema Akibat (Corollary): Jika ada sebuah persegi panjang dalam geometri netral maka ada persegi panjang yang panjang dua sisi yang bersisihannya masingmasing melebihi panjang dua ruas garis yang diketahui. Bukti: Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan ruas garis XY dan PQ. Dengan menggunakan teorema 2 dua kali maka kita peroleh persegi panjang ABEF dengan AF > XY. Kemudian ada persegi panjang AGHF dengan AG > PQ. Maka persegi panjang AGHF adalah persegi panjang yang dicari.







Teorema 3 : Jika ada sebuah persegi panjang, maka ada persegi panjang dengan panjang dua sisi yang berdekatan masing-masing sama ´ dan ZW ´ . dengan XY H



G Q C



E



B P A



X



D



F Y



Bukti : Berdasarkan teorema akibat sebelumnya , kita dapat membuat persegi panjang PQRS. Dengan PQ > XY dan PS > ZW. ( lihat gambar dibawah). Jika kita ´ sehingga PQ ´ ' ≅ XY ´ dan buat garis tegak lurus dari Q’ tempatkan Q’ pada PQ ´ di R’ , terbetuk segiempat PQ’R’S. Kiata akan menunjukkan bahwa memotong SR PQ’R’S adalah persegi panjang. Sudut pada R’, S, dan P adalah sudut siku-siku, maka kita hanya akan menunjukkan



bahwa ∠ P Q ' R' adalah sudut siku-siku.



Karena PQ’R’S adalah segiempat Lambert, dengan m∠ P Q ' R ' ≤ 900. Tetapi jika 18



kita asumsikan m∠ P Q ' R ' < 900, dan m∠QQ ’ R ’> 900, Maka terjadi kontradiksi karena QQ’RR’ juga merupakan Segiempat Lambert dan keempat sudutnya tidak bisa tumpul. Oleh karena itu ∠ P Q ' R' adalah sudut siku−siku . dan segiempat PQ’R’S adalah persegi panjang. ´ dan R” pada Q '´R’ sehingga Dengan cara yang sama kita letakkan S’ pada PS segiempat PQ’R”S’ adalah persegi panjang yang dimaksud.



R’



S



W



S’



Z







R



R”



P



Q’



X



Y



Q



Teorema 4 : Jika dalam suatu geometri netral ada persegi panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga siku-siku sama dengan 1800. Bukti : Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara menunjukkan bahwa: i.



Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari segitiga yang dibentuk dengan cara membelah persegi panjang pada diagonalnya.



ii.



Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 1800.  Misalkan segitiga ABC siku-siku di B, maka terdapat persegi panjang A’B’C’D’ sedemikian hingga A’B’ = AB dan B’C’ = BC.  Hubungkan A’ dan C’, maka segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’.  Sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut yang sama. Perhatikan gambar berikut: A



A’



p



D’



p



19



B



C



B’



q



C’



Misalkan p adalah jumlah sudut segitiga ABC dan q adalah jumlah sudut segitiga A’B’C’, maka menurut definisi segi empat semua sudutnya adalah 900, maka p + q = 4 x 900 ………… (1) Menurut teorema Jumlah sudut dalam Segitiga, maka p ≤ 1800. Andaikan p < 1800. Sedangkan menurut persamaan (1), p + q = 3600, maka diperoleh q > 1800. Hal ini bertentangan dengan teorema Jumlah sudut dalam Segitiga. Jadi, p = 1800 (terbukti).







Teorema 5 : Jika dalam geometri netral ada persegi panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga 1800. Bukti : Perhatikan gambar berikut: A



B



D



C



C



A



D



B



Akan ditunjukkan segitiga ABC memiliki jumlah sudut 1800 (A + B + C = 1800). Tarik garis tinggi CD, sehingga membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga sikusiku yaitu segitiga ACD dan BCD. Jumlah sudut ACD = BCD = 1800. (menurut teorema 4) Sehingga ( A + C1 + D1) + ( B + C2 + D2) = 2 x 1800 = 3600 ⟺ ( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600 ⟺ ( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600 ⟺ A + B +( C1 + C2) = 1800 Jadi, A + B + C = 1800 (terbukti). Jumlah Sudut Suatu Segitiga



 20



Teorema 6 : Jika dalam geometri netral ada sebuah segitiga dengan jumlah



sudut 1800, maka akan ada sebuah persegi panjang. Bukti: Perhatikan gambar berikut. C



p



q



B D Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800. A



Pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku dengan jumlah sudut 1800. Potong segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yang masing-masing mempunyai jumlah sudut p dan q, dengan menarik garis tinggi tertentu, tulis CD. Maka p + q = (2 x 900) + 1800 = 3600 Kita tunjukkan p = 1800, menurut teorema Jumlah sudut dalam Segitiga, p ≤ 1800 Jika p < 1800, q > 1800 maka ini bertentangan dengan teorema Jumlah sudut dalam Segitiga. Jadi, ada dua segitiga siku-siku, misalnya segitiga ABD dengan sudut siku-siku di D yang mempunyai jumlah sudut 1800. Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku, kemudian kedua segi tiga sikusiku tersebut kita tempelkan bersama untuk membentuk sebuah persegi panjang. A



E



1’ 2



2’ B



1



D



Lukis segitiga BAE kongruen dengan segitiga BDE dengan E berlainan pihak dengan D dari sisi AB, dengan BE bersesuaian dengan EB. (lihat gambar di atas). Karena jumlah sudut segitiga BDE adalah 1800, maka 1 + 2 = 900, karena 1 = 1’, 2 = 2’, maka kita peroleh 1 + 2’ = 900 dan 1’ + 2 = 900. Tetapi 1 + 2’ = ABD dan 1’ + 2 = AED Jadi, ∠BAE = ∠EDB =∠ABD= ∠AED= 900, berarti ADBE persegi panjang (definisi persegi panjang). 21







Akibat 1 Teorema 6: Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800. Bukti : Diketahui sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800. Akan ditunjukkan bahwa setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800. Misalkan ada sebuah segitiga yang mempunyai jumlah sudut 1800, maka menurut teorema 6 akan ada sebuah persegi panjang. Sedangkan menurut teorema 5, jika ada sebuah persegi panjang maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut 180 0. (terbukti).







Akibat 2 Teorema 6: Jika sebuah segitiga ABC mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800. Bukti : Misalkan segitiga ABC dengan jumlah sudut < 1800, perhatikan sebarang segitiga PQR. Menurut teorema 1, jumlah sudut p ≤ 1800. Misalkan p = 1800, maka menurut akibat 1 dari teorema 6 di atas, sehingga segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800. Hai ini bertentangan dengan pemisalan di atas. Jadi, yang benar adalah p < 1800.



PROPOSISI-PROPOSISI DALAM GEOMETRI NETRAL a. Dua garis yang tidak berimpit mempunyai paling banyak satu titik potong. b. Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik tengah. Bukti:



.



.



.



A



C



B



Misalkan C dan D adalah titik-titik tengah ruas garis AB. d ( A ,C )=d ( B ,C ) atau|X A −X C|=|X B− X C| d ( A , D )=d ( B , D ) atau |X A −X D|=|X B− X D|



| X A− X C|=| X A −X D|, berarti: X A − X C= 22



{



X A −X D , X A ≥ X D X D −X A , X A < X D



Jika X A − X C =X A −X D , maka X C =X D atau C=D. Jika X A − X C =X D −X A , maka XC + X D =X A, A titik tengan C dan D, tidak mungkin C-A-D. 2 c. Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi. d. Komplemen dari sudut-sudut yang sama adalah sama.



.



. .



C



D



.



. .



R



S



.



.



A B P Q Jika m∠ ABD ≅ m∠ PQS , maka m∠CBD ≅ m∠ RQS. e. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama. Bukti: Terdapat dua garis yaitu m dan n, berpotongan seperti gambar di bawah ini . m b a



c n



∠ a+∠ b=1800 … … … … ..(1) ∠ b+∠ c=1800 … … … .(2) Dari (1) dan (2) diperoleh : ∠ a−∠ c=0 Jadi , ∠ a=∠c f. Kongruensi dua segitiga adalah SS-SD-SS, SD-SS-SD, SS-SS-SS. Bukti : SD-SS-SD Diberikan dua segitiga yaitu ∆ABC dan ∆DEF dengan ∠ CAB ≅∠ FDE, ´ ≅ DE ´ ∠ CBA ∠FED dan AB C



F



C’



x 23



A



x B



D



E



Jika



´ ≅ DF ´ atau CB ´ ≅ FE ´ AC



antara



Kita



akan



menyelesaikannya



dengan



menggunakan postulat (SAS). Misalkan AC tidak kongruen dengan DF diperoleh ´ sehingga fakta bahwa AC > DF. Karena AC > DF maka terdapat titik C’ pada AC ´ ' ≅ DF ´ dan berdasarkan Postulat SAS maka ∆ABC’ ≅ ∆DEF. Sehingga AC ∠ ABC ' ≅ ∠≝¿. Akibatnya ∠ ABC ' ≅ ∠ ABC, hal ini menunjukkan kontradiksi ´ ≅ DF ´ dan ∆ABC ≅ ∆DEF ( SS-SD-SS). dengan postulat sudut. Oleh karena itu AC g. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, sudut-sudut di hadapannya sama. A



AB ≅ AC ⟹ ∠ ACB ≅ ∠ ABC A



Bukti: B



B



C



D



C



Terdapat titik D pada sisi BC. Misalkan ruas garis AD bisektor dari ∠ BAC. AB ≅ AC (diketahui) ∠ BAD ≅ ∠ CAD (AD garis bagi) AD ≅ AD (berhimpit) Jadi, menurut postulat S-Sd-S diperoleh ∆ ABD ≅ ∆ ACD. Akibatnya, ∠ ACB ≅ ∠ ABC. h. Jika dua sudut segitiga sama, dua sisi di hadapannya sama. A ∠ ACB ≅ ∠ ABC ⟹ AB ≅ AC



B



C



Bukti: A 24



B



D



C



Terdapat titik D pada sisi BC. Misalkan ruas garis AD bisektor dari ∠ BAC. ∠ ACB ≅ ∠ ABC (diketahui) ∠ BDA ≅ ∠CDA (90O) ∠ BAD ≅ ∠ CAD (dibuat) Jadi, ∆ ABD ∆ ACD. Karena salah satu sisinya sama (AD = AD), maka ∆ ABD ≅ ∆ ACD Akibatnya, AB ≅ AC. i. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik pada garis tertentu tersebut. j. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik di luar garis tertentu. k. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan hanya jika TA=TB. Bukti : (⟸) Jika TA = TB maka titik T terletak pada sumbu segmen garis AB. Karena T adalah titik yang berjarak sama dari A dan B maka TA = TB. Kita buat PT adalah garis bagi ∠ APB. Akibatnya ∠ APT ≅ ∠BPT . Lihat∆ APT dan ∆ BPT : ∠ APT ≅ ∠ BPT ∠ ATP ≅ ∠ BTP ¿ ) TA =TB Jadi, ∆ APT ≅ ∆ BPT ( SD−SS−SD ) dan PT ⊥ AB. Karena PT ⊥ AB dan TA=TB maka PT adalah garis sumbu AB . P x x



A



T



B



(⟹) Jika titik T terletak pada sumbu segmen garis AB maka TA = TB 25



Jelas karena T terletak pada sumbu segmen garis AB maka TA = TB ( ingat definisi garis sumbu ). l. Jika ada dua sisi suatu segitiga tidak sama, maka sudut-sudut di hadapannya juga tidak sama, dan sudut yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih besar. Bukti : Terdapat ∆ ABC, dengan AC > BC. Karena AC > BC maka terdapat titik D ´ sehingga C-B-D dan CD ´ ≅ AC ´ . Berdasarkan teorema segitiga sama kaki . pada CB ∠ CAD ≅ ∠ CDA. berdasarkan definisi ∠ CBAadalah sudut luar ∆ ABD. Oleh karena itu m∠CBA > m∠CDA. Karena titik B adalah titik dalam pada ∠ CAD, kita punya m∠CAD >m∠ CAB. Akibatnya m∠CBA > m∠CAB. C



B D



A



m. Jika ada dua sudut suatu segitiga tidak sama, maka sisi-sisi di hadapannya juga tidak sama, dan sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar. n. Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah titik dan sebuah garis adalah segmen tegak lurus. o. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi yang ketiga. Terdapat ∆ PQR . Akan ditunjukkan bahwa PQ + QR > PR. R



P



Q



S



´ sehingga P-Q-S dan QS ´ ≅ QR ´ . Maka ∆ QRS adalah segitiga Terdapat titik S pada PQ sama kaki. Akibatnya ∠ QRS ≅ ∠ QSR. Karena P-Q-S kita lihat bahwa PQ + QS = ´ ≅ QR ´ , maka PQ + QR= PS. Karena Q berada di dalam ∠ PRS, kita PS. Karena QS dapatkan m∠ PRS> m∠ QRS . Karena ∠ QRS ≅ ∠ QSR maka m∠ PRS > m∠QSR. Berdasarkan proposisi (m) pada ∆ PRS maka PS > PR . Sehingga PQ + QR > PR. 26



p. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi dengan dua sisi yang kedua, dan sudut apit segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua, maka sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua. Bukti :



´ ≅ DE ´ , AC ´ ≅ DF ´ , Diberikan dua segitiga yaitu ∆ ABC dan ∆≝¿ dengan AB m∠CAB >m ∠FDE. Akan kita tunjukkan bahwa BC > EF. C . R S P



F



Karena m∠CAB >m ∠FDE maka terdapat titik P di dalam ∠ CAB sehingga A D memotong BC E ´ garis bagi ∠ CAPB dan ´ di S. maka ∆ ABP ≅ ∆≝¿. Buat AR ´ ≅ SP ´ . Dengan menggunakan proposisi no O, kita dapatkan BS ∆ ACS ≅ ∆ APS dan CS ´ ≅ SC ´ , maka BS + SC > BP. Diketahui bahwa BS + SC = BC, + SP > BP. Karena SP ´ ≅ EF ´ , akibatnya BC > EF. oleh sebab itu BC > BP. Karena BP q. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua, maka sudut apit dari segitiga pertama lebih besar dari sudut apit dari segitiga kedua. r. Besar sudut luar suatu segitiga adalah lebih besar dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut. Bukti:



BC sedemikian sehingga Perhatikan ∆ ABC dengan titik D pada ⃗ B-C-D. Kita akan menunjukkan bahwa m∠ ACD> m∠ ABC ,m ∠BAC. ´ dan F adalah titik pada ⃗ BEsedemikian Misalkan E adalah titik tengah AC 27



´ . ´ ≅ EF ´ . Kemudian gambarkan ruas garis CF B-E-F dan BE Dengan Aksioma SAS, ∆ ABE ≅ ∆ CEF . Akibatnya, m∠ BAE=m ∠ ECF. Karena F interior



∠ ACD



dari



maka



m∠ ECF + m∠ FCD=m∠ ACD



atau



m∠ ACD> m∠ BAC. s. Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang dari 1800. Bukti : Misalkan



∆ ABC



adalah



segitiga



sebarang



.



akan



ditunjukkan



bahwa



∠ CAB+ ∠ ABC =1800. A Perpanjang CB melalui B hingga D. maka ∠ABD merupakan sudut eksterior dari ∆ ABC. Berdasarkan ∠ABD > ∠CAB . karena ∠ABD teorema sudut C B eksterior maka D = 1800- ∠ABC maka diperoleh 1800- ∠ABC > ∠CAB⇔ ∠CAB +∠ABC = 1800 . t. Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan membentuk sepasang sudut dalam bersebrangan yang sama dua garis tersebut sejajar. u. Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar. v. Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui titik diluar garis tertentu tersebut. w. Misalkan l melalui titik C yang jaraknya ke pusat lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya, maka garis l memotong lingkaran di dua titik. x. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut tegak lurus pada ujung-ujung jari-jari lingkaran. y. Jika diketahui segitiga ABC dan segmen garis PQ sedemikian hingga



PQ =



AB, maka ada titik R di luar PQ sedemikian hingga segitiga PQRS kongruen dengan segitiga ABC. z. Sebuah lingkaran dapat digambar melalui sebarang segitiga. PERBANDINGAN ANTARA GEOMETRI EUCLID, GEOMETRI INSIDENSI, DAN GEOMETRI NETRAL Geometri Euclid



- Geometri Euclides didasari pada lima aksioma berikut: (1) Kelompok aksioma insidensi (2) Kelompok aksioma urutan (3) Kelompok aksioma kekongruenan



28



(4) Aksioma kesejajaran euclides (kontroversial) (5) Aksioma kekontinuan. - Aksioma kesejajaran euclides adalah postulat kesejajaran versi mudah yang dikenal sebagai Postulat Playfair. - Secara



implisit



Postulat



Playfair



mengatakan



bahwa : “garis-garis sejajar tersebut ada dan selalu tunggal”. - Pada geometri Euclides, tidak ada perbedaan antara segiempat Saccheri dengan persegi panjang. Geometri Insidensi



- Sistem aksiomatik dengan tiga istilah tak terdefinisi (titik, garis, dan terletak pada) dan tiga aksioma insidensi dinamakan Geometri Insidensi. - Geometri insidensi didasari oleh aksioma insidensi yang mendasari geometri Euclides. - Geometri Insidensi menyatakan hubungan antara sistem aksioma dan bagian-bagiannya. - Kata insiden digunakan pada istilah terletak, sehingga pernyataan “terletak pada” dan “insiden dengan” menyatakan hal yang sama. Aksioma untuk hubungan tersebut dinamakan aksioma insidensi.



Geometri Netral



-



Geometri



netral



ini



menggunakan



teorema-



teorema Saccheri tanpa aksioma kesejajaran (Saccheri menganut postulat kesejajaran Euclides). -



Geometri netral dilengkapi dengan sistem aksioma kesetaraan, sistem aksioma urutan, dan sistem aksioma kekongruenan tentang ruas garis, sudut, dan segitiga.



-



Geometri netral menjelaskan peran postulat kesejajaran dalam geometri Euclid, membukakan jalan untuk mempelajari geometri non Euclid dan



29



menghasilkan teorema yang cocok untuk geometri non Euclid. -



Dalam geometri netral tetap dikenal istilah kesejajaran



garis



karena



muncul



pernyataan



tentang garis yang sejajar melalui pembuktian suatu teorema. -



Hal lain yang mendasar dalam geometri netral ini yaitu kemungkinan adanya persegi panjang atau kemungkinan tidak adanya persegi panjang. Jika pada



geometri



netral



mengandung



persegi



panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam setiap segitiga adalah 180°. -



Pada geometri netral ada segi empat yang penting, yaitu yang dinamakan segi empat Saccheri.



30



BAB III PENUTUP A) Kesimpulan B) Saran



31



DAFTAR PUSTAKA C.Wallace, Eedward,Stephen F. West. 1992. Roads To Geometry. New Jersey: Prentice Hall. Hasratuddin, dkk. 2019. Geometri Euclid & Non Euclid. Medan: UnimedPress. http://bambanghgmathunsoed.files.wordpress.com/2008/09/geometri-netral.pdf, diunduh pada tanggal 26 September 2011. Mariani, Scolastika. 2010. Bahan Ajar Geometri Non Euclid. Semarang: Universitas Negeri Semarang. Suyitno, Amin. 2010. Geometri Non Euclides. Semarang: Universitas Negeri Semarang.



32