Kelompok 5 [PDF]

Citation preview

KERANGKA ISI 1. Pendahuluan 2. Pembahasan a. Pengertian dan PerhitunganRentangan (Range), Rata-Rata Simpangan (Deviasi Rata-Rata), Standar Deviasi (Simpangan Baku), Varians, Koefisien Variasi, Nilai Standar, Ukuran Kemiringan, Kurtosis. b. Pendeskripsian hasil perolehan ukuran dispersi c. Penentuan ukuran dispersi dengan menggunakan Software Microsoft Excel 3. Rangkuman 4. Latihan Soal 5. Kunci Jawaban 6. Daftar Rujukan PENDAHULUAN Statistika merencanakan,



merupakan



suatu



mengumpulkan,



ilmu



yang



menganalisis,



mempelajari



bagaimana



menginterpretasi,



dan



mempresentasikan data.Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.Alat statistik yang bisa digunakan untuk mengetahui penyebaran data ialah variabilitas.Variabilitas juga sering disebut dispersi atau penyebaran. Dispersi ialah suatu ukuran baik parameter atau statistika untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data.Melalui ukuran penyebaran maka dapat diketahui seberapa jauh data-data menyebar dari titik pemusatannya.Ukuran ini terkadang dinamakan pula ukuran variasi yang menggambarkan berpencarnya data kuantitatif.Pengukuran variabilitas dapat dimanfaatkan untuk kepentingan praktis misalnya; penyusunan standar nilai baik untuk kepentingan akademik maupun praktis dengan menggunakan standar deviasi. Beberapa ukuran dispersi yang terkenal dan akan diuraikan disini ialah :rentangan (range), rata-rata simpangan, simpangan baku, varians, koefisien variasi, nilai standar, ukuran kemiringan.



1



MATERI 1. Pengertian dan perhitungan a. Rentang (Range) Range memiliki nama lain yaitu rentang atau jangkuan dalam varian data. Range adalah selisih antara data nilai terbesar dengan data nilai terkeci. Jadi, range dalam statistik merupakan sebuah sekolompok data kuantitatif yang memiliki nilai terkecil dan terendah yang memiliki rentang atau jangkuan tersebut bisa dibilang dengan range. Rumus Range dalam Statistik: Range (R) = Xmax – Xmin Keterangan: Xmax



= Nilai tertinggi



Xmin



= Nilai terkecil



1) Data Tunggal Rentangan data tunggal dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut. Contoh soal: Hitunglah rentangan (range) dari data di bawah ini! 68 90 82 58 70 60 92 82 58 70 75 60 55 95 90 84 60 85 70 56 Penyelesaian: Diurutkan terlebih dahulu dari nilai yang terkecil ke nilai terbesar 55 56 58 58 60 60 60 68 70 70 70 75 82 82 84 85 90 90 92 95 Diketahui: Xmax = 95 Xmin = 55



2



Jawab: R = Xmax – Xmin = 95 – 55 = 40 2) Data Kelompok Untuk menentukan rentangan pada data kelompok dapat menggunakan dengan dua cara yaitu dengan menggunakan titik atau nilai tengah dan tepi kelas. a. Dengan menggunakan titik atau nilai tengah, rentangan merupakan selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik b. Dengan menggunakan tepi kelas, rengtangan merupakan selisis tepi atas kelas dengan tepi bawah kelas. Contoh soal: Carilah rentangan (range) dari data di bawah ini! Nilai 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89



f 12 15 10 2 6 5



fk 12 27 37 39 45 50



R = X₆ - X₁ = 87 – 62 = 25 b. Rata–Rata Simpangan (Deviasi Rata–Rata) Rata-rata simpangan disebut juga simpangan rata-rata atau deviasi mean. Deviasi mean mengukur jumlah rata-rata dari nilai-nilai populasi (atau sampel) yang berbeda-beda dari rata-ratanya. Deviasi mean didefinisikan sebagai rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi dengan rata-rata hitungnya. 1) Rumus Data Tunggal ∑ | x i - ´x | 1 SR= ∑ | x i - ´x | = n n



3



Keterangan: SR



= simpangan rata-rata



xi



= nilai data ke-i



´x



= rata-rata data



n



= banyaknya data



Contoh soal: Carilah simpangan rata-rata data tunggal di bawah ini ! 55 56 58 58 60 60 60 68 70 70 70 75 82 82 84 85 90 90 92 95 Jawab : ∑x X´ = n = 55+56+58+58+60+ 60+60+68+70+70+ 70+75+82+82+84 +85+90 +90+ 92+ 95 20 =



1460 20



= 73



SR=



∑ | x i - ´x | n



=



|55−73||56−73||58−73||58−73||60−73||60−73||60−73||68−73||70−73| |70−73||70−73||75−73||82−73||82−73||84−73||85−73||90−73||90−73| |92−73||95−73| 20 = 18+17+15+15+13+13+ 13+5+3+3+3+ 2+ 9+9+11+ 12+17 +17+19+22 20 =



236 20



= 11,8



4



2) Rumus Data Kelompok SR=



f | x i - x´ | 1 f | x i - ´x | = f f



Keterangan: f = jumlah seluruh frekuensi f = frekuensi kelas x i= nilai tengah kelas ´x = rata-rata k = banyaknya kelas interval Contoh Soal: Nilai 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 Jumlah X´



fi 12 15 10 2 6 5 50



xi 62 67 72 77 82 87



f ixi 744 1005 720 154 492 435 3550



|xi - ´x | 9 4 1 6 11 16



f i(xi - ´x ) 108 60 10 12 66 80 336



fx f 3550 = 50 = 71 =



f | x i - x´ | f 336 = 50 = 6,72



SR =



c. Standar Deviasi (Simpangan Baku) Simpangan baku merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam



5



gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean. Simpangan baku memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. Simpangan baku tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. Simpangan baku berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan. Simpang baku merupakan ukuran jarak antara skor dengan angka rata-rata kelompoknya. Dengan demikian, dapat diketahui kedudukan seorang siswa dalam kelompoknya dibandingkan dengan rata-rata kelasnya. a) Data Tunggal Rumus simpangan baku yaitu : S=



√∑( x i - ´x ¿2 ¿ atau n



2 ¿ S2 = ∑ ( x i - ´x ¿ n



Keterangan : S = Simpangan baku xi = data ke-i atau nilai ke i ´x = rataan hitung n = banyak nilai data Contoh soal: Hitunglah simpangan rata-rata dari data di bawah ini! 55, 56, 58, 60. 68, 70, 75, 82, 84, 85, 90, 92, 95 Penyelesaian: xi 55 56 58 60 68



fi 1 1 2 3 1



xi - ´x -18 -17 -15 -13 -5



(xi - ´x )2 324 289 225 169 25



6



70 75 82 84 85 90 92 95 Jumlah S2



3 1 2 1 1 2 1 1 20



-3 2 9 11 12 17 19 22



9 4 81 121 144 289 361 484 3476



2 ¿ = ∑ ( x i - ´x ¿ n



=



3476 20



= 173,8 S



= √ S2 = √ 173,8 = 13,18



b) Data Kelompok Rumus simpangan baku: S = √ ∑ f x 2−¿ ¿ ¿ ¿ Nilai 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 Jumlah S



=



fi 12 15 10 2 6 5 50



xi 62 67 72 77 82 87



f ixi 744 1005 720 154 492 435 3550



xi2 3844 4489 5184 5929 6724 7569 33739



f ixi2 46128 67335 51840 11858 40344 37845 255350



2



√∑ f x −¿ ¿ ¿ ¿



= √ 255350−¿ ¿ ¿ ¿ =



√



12602500 50 49



255350−



7



= =



√ √



255350−252050 49 3300 49



= √ 67,35 = 8,21 Contoh menggunakan perumpaan:



S



Nilai 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 Jumlah



=



fi 12 15 10 2 6 5 50



xi 62 67 72 77 82 87



ci -2 -1 0 1 2 3



ci2 4 1 0 1 4 9



ci2 f 48 15 0 2 24 45 134



ci f i -24 -15 0 2 12 15 -10



p √ ∑ ( c f )−¿ ¿ n



=



5 √ 50 (134 )−¿ ¿ 50



=



5 √ 6700−100 50



=



5 √ 6600 50



=



5 x 81,24 50



= 0,1 x 81,24 = 8,124 d. Varians Varian dan standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yang menunjukkan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap nilai rata-ratanya. Varian adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya (Sutrima, 2009). Varian dapat dibedakan antara varians populasi dan varian sampel. Varian populasi (σ dibaca tho) adalah deviasi kuadrat dari setiap data terhadap rata-rata hitung semua data dalam populasi. Varian sampel adalah deviasi kuadrat dari



8



setiap data rata-rata hitung terhadap semua data dalam sampel dimana sampel adalah bagian dari populasi. Varian itu kuadrat dari simpangan baku (standar deviasi): Data tunggal S = 13,8 2 S2= ( 13,8 ) = 173,8



Data kelompok 2



2



S =( 8,21 ) =67 , 4 e. Koefisien Varians Koefisien varians adalah perbandingan antara simpangan baku dengan rata-rata suatu data dan dinyatakan dalam %. Standar deviasi dapat mengukur keheterogenan atau variasi suatu kelompok data. Namun jika membandingkan dua kelompok data yang mempunyai ukuran yang berbeda, standar deviasi tidak dapat digunakan artinya standar deviasi yang lebih besar tidak selalu berarti kelompok data tersebut lebih heterogen. Untuk keperluan perbandingan dua kelompok tanpa melihat ukuran satuannya, maka dapat digunakan suatu ukuran variasi yang dinamakan koefisien variasi (CV). Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data dari rata-rata hitungnya. Besarnya koefisien variasi dinyatakan dengan rumus: S KV = ´ × 100 % X Keterangan: KV = koefisien variasi S = simpangan standar X´ = rata-rata Contoh soal: KV = =



S × 100 % X 13.8 ×100 % 73



9



=18,9% atau 0,18



f. Nilai Standar Nilai standar (Z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan seberapa jauh sebuah nilai mentah menyimpang dari rata-ratanya dalam suatu distribusi data dengan satuan SD. Dengan demikian, nilai standar tidak lagi tergantung pada satuan pengukuran seperti cm, kg, rupiah, detik dan sebagainya Rumus Z-score :



Z= Dimana: Z



X-M SD



= Nilai standar



X



= Nilai mentah yang akan dicari nilai standarnya



M



= Rata-rata distribusi



SD



= Standar deviasi distribusi



Contoh soal:



g. Ukuran Kemiringan Hasan (2009: 125) menyatakan kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Menurut Somantri (2006: 147), ukuran kemiringan adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untuk menentukan miring tidaknya suatu kurva distribusi. Menurut Gasperz (1989: 98), ukuran kemenjuluran atau kemencengan (skewness) merupakan suatu ukuran yang menunjukkan sejauh mana pergeseran dari bentuk yang simetri umtuk suatu sebaran atau distribusi. Sedangkan menurut Herryanto dan Hamid (2008: 62), ukuran kemiringan adalah ukuran yang



10



menyatakan sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Jadi, ukuran kemiringan adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untuk



menentukan



miring



tidaknya



suatu



kurva



distribusi



dibandingkan dengan bentuk yang simetri. Ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu.Apabila diketahui besarnya nilai ukuran ini maka dapat diketahui pula bagaimana model distribusinya.



NEGATIF



NORMAL



POSITIF



Gambar 1 Dari gambar 1 dapat dilihat 3 model distribusi yaitu negatif, simetrik, positif. Untuk mengetahui mengenai sekumpulan data apakah data tersebut modeldistribusi negatif, simetrik atau positif. Hal ini dapatdilihat berdasarkan nilaikoefisien kemiringannya. Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau kekiri, dapat digunakan metode-metode berikut: a) Koefisien Kemiringan Pearson Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-ratadengan modus dibagi simpangan baku (Hasan, 2009: 126). KoefisienKemencengan



Pearson dirumuskan



sebagai



berikut: 1) Koefisien Kemiringan Pearson dengan menggunakan Modus



11



sk =



´x −Mo s



Keterangan: sk



: Koefisien Kemencengan Pearson



s



: Simpangan baku



Mo



: Modus



´x



: Nilai rata-rata data



Apabila secara empiris didapatkan hubungan antarnilai pusatsebagai: ´x −Mo=3 ( ´x −Me ) 2) Koefisien Kemiringan (Median)



sk =



3 ( x´ − Me ) s



Keterangan: sk



: Koefisien Kemencengan Pearson



s



: Simpangan baku



Me



: Median



´x



: Nilai rata-rata data



3) Koefisien Kemiringan meenggunakan nilai kuartil



sk =



Q 3−2 Q 2+Q 1 Q 3 −Q 1



Keterangan: sk



: Koefisien Kemencengan Pearson



Q1



: Kuartil ke 1



Q2



: Kuartil ke 2



Q3



: Kuartil ke 3



Jika nilai dari sk (Koefisien Kemiringan Pearson) dihubungkan dalam keadaan kurva maka didapatkan ketentuan 3 hal:



12



a) Apabila nilai sk = 0, model distribusi kurva memiliki bentuk simetrik atau normal. b) Apabila nilai sk > 0, model distribusi kurva memiliki bentuk kemiringan ke arah kanan yang artinya model distribusi kurva positif. c) Apabila nilai sk < 0, model distribusi kurva memiliki bentuk kemiringan ke arah kiri yang artinya model distribusi kurva negatif. b) Koefisien Kemencengan Bowley Koefisien



Kemencengan



Bowley



berdasarkan



pada



hubungankuartil-kuartil (K1, K2 dan K3) dari sebuah distribusi (Hasan, 2009: 125).Begitu pula menurut Gasperz (1989: 101) bahwa “Bowley (A. L. Bowley) mendasarkan rumusnya pada nilai-nilai kuartil dari suatu sebaran (distribution)”. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan: sk B =



Q 3−2 Q 2+Q 1 ( Q3−Q2 ) −( Q2−Q1 ) atau sk B = Q −Q ( Q3−Q2 ) + ( Q2−Q1 ) 3 1



Keterangan: skB



: Koefisien Kemencengan Bowley



Q1



: Kuartil ke 1



Q2



: Kuartil ke 2



Q3



: Kuartil ke 3



c) Koefisien Kemencengan Persentil Gasperz



(1989:



102)



mengatakan



“Ukuran



Kelly



merupakan suatu ukuran moderat antara ukuran Pearson yang didasarkan pada semua bagian data dan ukuran Bowley yang didasarkan pada 50% dari bagian data.Kelly mendasarkan pada sebaran antara persentil 90 (P90) dan persentil 10 (P10).Jadi, Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90, P50 dan P10) dari sebuah distribusi (Hasan, 2009: 132).



13



Koefisiensi Kemencengan Persentil dirumuskan :



skp=



( P90−P50 )−( P50−P10) P 50−P10



Keterangan: skp : Koefisien Kemencengan Persentil P90 : Persentil ke 90 P50 : Persentil ke 50 P10 : Persentil ke 10 d) Koefisien Kemencengan Momen Koefisien



Kemencengan



Momen



didasarkan



pada



perbandingan momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku. Koefisien Kemencvengan Momen dilambangkan dengan α3. Koefisien Kemencengan Momen disebut juga Kemencengan Relatif (Hasan, 2009: 133) Menurut Gasperz (1989: 103), kemenjuluran α3 digunakan sebagai pengukuran kemenjuluran sekitar rata-rata sebaran teoritits (distribusi teoritis). Menurut Somantri (2006 : 149), koefisien alpha ketiga merupakan rata-rata penyimpangan data dari rata-ratanya dipangkatkan tiga, dibagidengan simpangan baku pangkat tiga. Jadi, koefisien kemencengan momen adalah nilai perbandingan momen ke-3 dengan pangkat tiga simpanbgan baku. a) Untuk data tunggal Koefisien



kemencengan



momen



untuk



data



tunggal



dirumuskan: 1 M3 a3 = 3 = 2 ∑ ¿ ¿ s Keterangan: α3 = koefisien kemencengan momen b) Untuk data kelompok



14



Koefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :



a3 =



1 M3 ∑ ¿ ¿ atau 3 = 2 s



C3 ∑ f u3 ∑ f u2 −3 a3 = 3 = n n s



(



(



∑fu ∑ fu +2 n n



3



)( ) ( ) )



contoh soal data tunggal : x−´x -18 -17 -15 -13 -5 -3 2 9 11 12 17 19 22



Nilai 55 56 58 60 68 70 75 82 84 85 90 92 95 Jumlah



¿ 5832 4913 3375 2197 125 27 8 729 1331 1728 4913 6859 10648 42685



3 m3 1 ∑( x− ´x ) a = 3= 2 s s3 3



=



1 42685 × 2 2289,5



= 9,321 Contoh soal data kelompok : Carilah kemiringan data di bawah ini dengan menggunakan modus, median, quartil. Nilai 60-64 65-69 70-74 75-79



f



fk



x



12 15 10 2



12 27 37 39



62 67 72 77



15



80-84 85-89



6 5



45 50



82 87



Modus : Mo



¿ Lᵢ+



dᵢ d 1 +d 2



¿ 64,5+



3 3+5



¿ 64,5+



3 8



¿ 64,5+0,375 ¿ 64,87 5



SK



x´ −Me s 71−64,875 ¿ 13,18 ¿ 0,46 ¿



Median: Me



1 n−f 2 ¿ Li + p f



( )



¿ 64,5+



5 ( 25−12 15 )



13 9 ¿ 64,5+ 4,3 ¿ 68,8 ¿ 64,5+



SK



3( ´x −Me) s 3(71−68,8) ¿ 13,18 ¿



¿



3× 2,2 13,18



16



¿



6,6 13,18



¿ 0,5 Quartil: Menentukan terlebih dahulu Q ₁, Q ₂ ,Q ₃ Posisi Q 1



Q 1=i



n 4



Q 1=1



50 4



Q 1=12,5 i n−fk Q1 4 Q ₁=L1 + p f Q1



( (



)



1 × 50−12 = 4 5 64,5+ 15



)



¿ 64,5+0,17 ¿ 64,67



Posisi Q 2



Q 2=i



n 4



Q 2=2



50 4



Q2=25



17



i n−fk Q 2 4 Q2=L2 + p f Q2



(



)



2 ×50−12 4 Q2=64,5+ 5 15



(



)



¿ 64,5+ 4 , 3 ¿ 68 , 8



Posisi Q 2



Q 3=i



n 4



Q 3=3



50 4



Q3=37,5 i n−fk Q3 Q 3¿ Lᵢ+ 4 p f Q3



(



)



3 ×50−37 4 ¿ 74,5+ 5 2



(



)



¿ 74,5+1,25 ¿ 75,75



Q 3−Q 2 = 75,75−68,8 ¿ 6,9 5



18



Q 2−Q 1=68,8−64,67 ¿ 4,1 3 Jadi Q 3−Q 2>Q 2−Q 1 Maka menceng kanan. SK=



( Q 3−Q ₂ )−(Q ₂−Q ₁) (Q ₃−Q₂ ) + ( Q 2−Q₁ )



¿



Q₃−2Q ₂−Q ₁ Q ₃−Q ₁



¿



75,75−2 ( 68,8 ) +64,67 75,75−64,67



¿



75,75−137,6+64,67 11,08



¿



2,82 11,08



¿ 0,2 6



h. Keruncingan atau Kurtosis Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal (Hasan, 2009: 137). Menurut Gasperz (1989: 104), kurtosis adalah suatu ukuran tentang keruncingan dari sebuah sebaran, yang biasanya dibandingkan dengan sebaran normal. Menurut Somantri (2006: 151), kurtosis merupakan tingkat menunggunya suatu distribusi, yang umumnya dibandingkan dengan distribusi normal. Sedangkan menurut Herryanto dan Hamid (2008: 6.12), kurtosis adalah derajat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal.



19



Jadi, keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi, yang biasanya dibandingkan dengan distribusi normal.Keruncingan atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut : a) Leptokurtik, merupakan distribusi yang memiliki puncakrelatif tinggi b) Platikurtik, merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar. c) Mesokurtik, merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal.



Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakanadalah koefisien kurtosis persentil. a) Koefisien keruncingan Koefisien atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan α4 (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh : 1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik 2) Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik



20



3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dandata kelompok. 1) Untuk data tunggal 1 4 ∑ ( X − X´ ) ∝4 = n s4 Contoh soal: Tentukan keruncingan kurva dari data 55, 56, 58, 58, 60, 60, 60, 68, 70, 70, 70, 75, 82, 82, 84, 85, 90, 90, 92, 95 1 ∑ ( x−´x )4 α₄ = n S4



Penyelesaian: x



1 ×758457 = 13 30175,9



=



x−´x



( x−´x )4



55



-18



104976



56



-17



83521



58 60 68 70 75 82 84 85 90 92 95 Jumlah



-15 -13 -5 -3 2 9 11 12 17 19 22



50625 28561 625 81 32 6561 14641 20736 83521 130321 234256 758457



58342,85 30175,9



=1,93



Karena hasilnya kurang dari 3 maka kurvanya platikurtik atau hasilnya negatif. 2) Untuk data kelompok ∝4 =



1 ∑ ¿ ¿ atau n 21



∝4



=



C4 ∑ f u 4 ∑ f u3 −4 n n n4



(



(



4



∑ fu ∑ f u 2 ∑ fu 2 ∑ fu +6 −3 n n n n



)( ) (



)( ) ( ) )



Nilai



fi



xi



x i−´x



( x−´x )4



f i ( x−´x )4



60-64



12



62



-9



6561



78732



65-69



15



67



-4



256



3840



70-74



10



72



-1



1



10



75-79



2



77



6



1296



2592



80-84



6



82



11



14641



87846



85-89



5



87



16



65536



327680



Jumlah



50



m₄



500700



1



α₄ = s ₄ = n ∑ f ¿ ¿ ¿ 1 × 500700 50 ¿ 8,24 1 × 500700 50 ¿ 4521,22 ¿



10014 4521,22



¿ 2,2 Karena hasilnya kurang dari 3,maka kurvanya platikurtik atau negatif.



b) Koefisien Kurtosis Persentil Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusi normal, nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil, dirumuskan :



22



1 ( Q3−Q1 ) K= 2 P90 −P 10



2. Penentuan ukuran dispersi dengan menggunakan Software Microsoft Excel



23



RANGKUMAN Variabilitas data adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilainilai data yang berbeda atau bervariasi



dengan nilai ukuran pusatnya atau



seberapa besar penyimpangan nilai-nlai data dengan nilai pusatnya. Dalam variabilitas data dapat diuraikan menjadi beberapa cara seperti : 1. Range dalam statistik merupakan sebuah sekolompok data kuantitatif yang memiliki nilai terkecil dan terendah yang memiliki rentang atau jangkuan tersebut bisa dibilang dengan range. 2. Rata-rata simpangan disebut juga deviasi mean. Deviasi mean mengukur jumlah rata-rata dari nilai-nilai populasi (atau sampel) yang berbeda-beda dari rata-ratanya. Deviasi mean didefinisikan sebagai rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi dengan rata-rata hitungnya. 3. Standar deviasi atau disebut juga simpangan baku merupakan ukuran jarak antara skor dengan angka rata-rata kelompoknya. Simpangan baku merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya 4. Varian adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap ratarata hitungnya.



Varian dan standar deviasi adalah sebuah ukuran



penyebaran yang menunjukkan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap nilai rata-ratanya,jadi saling berhubungan. 5. Koefisien varians adalah perbandingan antara simpangan baku dengan rata-rata suatu data dan dinyatakan dalam %. Standar deviasi dapat mengukur keheterogenan atau variasi suatu kelompok data.



24



6. Nilai standar (Z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan seberapa jauh sebuah nilai mentah menyimpang dari rata-ratanya dalam suatu distribusi data dengan satuan SD. 7. Ukuran kemiringan adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untuk menentukan miring tidaknya suatu kurva distribusi dibandingkan dengan bentuk yang simetri. Dan ada beberapa para ahli yang menghitung kemiringan ini dengan berbagai cara atau pendapatnya masing-masing. 8. Keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi, yang biasanya dibandingkan dengan distribusi normal. Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secararelatif terhadap suatu distribusi normal. Dalam materi Pengukuran Variabilitas data ini banyak perhitunganperhitungan yang berhubungan antara satu dengan yang lainnya. Jika dalam perhitungan dari awal sudah salah maka, dalam mencari data yang selanjutanya juga akan ikut salah. Sehingga, perlu ketelitian dalam pengukuran variabilitas data tersebut.



25



LATIHAN SOAL PILIHAN GANDA 1. Diketahui data tinggi badan 10 siswa kelas 5 adalah 130, 132, 135, 135, 137, 137, 140, 141, 141, 143. Berapakah rentangan data tersebut? a. 14 b. 13 c. 20 d. 6 e. 11 2. Selisih anatara data nilai terbesar dengan data nilai terkecil adalah.. a. Rentangan (range) b. Rata – rata simpangan c. Standart deviasi d. Nilai standart e. Varians 3. Diberikan data tunggal sebagai berikut 4, 6, 7, 8, 9, 10 berapa simpangan rata – rata data tersebut? a. 2,4 b. 4,6 c. 3,3 d. 5,6 e. 1,6 4. Perhatikan tabel distribusi frekuensi data berikut ini



26



Nilai Frekuensi 6 6 7 4 8 10 9 8 10 2 Berapakah nilai simpangan rata-rata data di atas! a. 1,98 b. 2,48 c. 0,98 d. 1,68 e. 4,28 5. Dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa siswa dijadikan sampel. Berikut adalah data sampel tersebut: 172, 180, 169, 175, 173, 170. Berapakah standart deviasi dari data sampel tersebut? a. 3,97 b. 4,77 c. 2,87 d. 4,97 e. 5,52 6. Berikut adalah data sampel sebuah data 156, 160,162, 170, 174, 186. Berapakah varian data sampel tersebut? a. 200,2 b. 314,5 c. 415,6 d. 215,2 e. 245,5 7. Nilai rata – rata ipa kelas 4A adalah 70 dengan simpangan standart 4,2 dan nilai rata – rata ipa kelas 4B adalah 80 dengan simpangan standart 5,2 berapakah koefisien Variasi kelas 4A dan 4B? a. 7% dan 8% b. 6% dan 7% c. 6% dan 6,5% d. 5,5% dan 6,5% 27



e. 5% dan 7,5% 8. Lampu neon rata-rata dapat dipakai selama 2.800 jam dengan simpangan baku700 jam, sedang lampu pijar dapat dipakai rata-rata 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Berapa koefisien variasi lampu pijar dan lampu neon dari data di atas? a. 30% dan 25% b. 30% dan 40% c. 25% dan 40% d. 35% dan 45% e. 25% dan 30% 9. Berikut ini adalah hasil penjurian dua orang peserta lomba Putri Indonesia: Jenis A B X Kepribadian 20 18 16 Inteligensi 109 114 100 Fisik 8 9 7 Perilaku 59 54 50 Berapakah nilai standart yang diperoleh peserta A dan B ?



SD 3 10 1 8



a. 4,57SD dan 5,27SD b. 4,36SD dan 2,57SD c. 5,36SD dan 7,33SD d. 4,36SD dan 4,57SD e. 3,67SD dan 5,36SD 10. Perhatikan data nilai berikut Nilai Frekuensi 51 – 55 1 56 – 60 2 61 – 65 6 66 – 70 15 71 – 75 10 76 – 80 9 81 – 85 3 86 – 90 4 Berapa simpangan rata – rata dari data di atas? a. 6,44 b. 7,44 c. 5,24 28



d. 8,64 e. 3,56 ESSAY 1. Lampu di rumah ila rata-rata dapat dipakai 3800 jam dengan simpangan baku 800 jam, sedangkan lampu dirumah udin dapat dipakai rata-rata selama 4500 jam dengan simpangan baku 1200 jam. Dari data diatas lampu rumah siapa yang lebih baik? 2. Berikut ini adalah tingkat hunian hotel di beberapa kota di Indonesia pada bulan Desember 2002 Kota % dari jumlah kamar tersedia Medan 36 Padang 28 Jakarta 48 Bandung 34 Semarang 41 Yogyakarta 55 Surabaya 41 Denpasar 68 Manado 47 Makassar 32 a. Hitunglah range dari tingkat hunian hotel b. Hitunglah standar devisiasinya c. Hitunglah koefisien relatifnya 3. Hitunglah simpangan baku dari tabel berikut xi 51 54 57 60 63



fi 5 42 18 27 8 Σƒ = 100



4. Berikut ini disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa universitas XYZ. a. Tentukan koefisien kurtosis persentil (K) b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal



29



5. Tentukan koefisien variasi dari data dibawah ini! 6, 7, 8, 9, 10, 14



KUNCI JAWABAN PILIHAN GANDA 1. B



30



2. A 3. E 4. C 5. A 6. D 7. C 8. A 9. D 10. A ESSAY 1. Koefisien variasi pemakaian lampu di rumah ila: KV = =



s ×100 % ´x 800 ×100 % 3800



= 21% Koefisien variasi pemakaian lampu dirumah ila: s KV¿ × 100 % x´ =



1200 × 100 % 4500



= 27% Dari perhitungan koefisien variasi, lampu dirumah ila lebih baik dari lampu dirumah udin, karena koefisien variasi dirumah ila < koefisien dirumah udin. 2. a. Range = nilai tertinggi - nilai terendah = 68 - 28 = 40 b. Standar Deviasi Kelompok 1 2 3 4 5 6 7 8 9



% dari jumlah kamar tersedia 36 28 48 34 41 55 41 68 47



(x - μ) -7 -15 5 -9 -2 12 -2 25 4



(x - μ)2 49 225 25 81 4 144 4 625 16



31



10 jumlah Rata-rata (μ) Σ(X - μ)2



32 430 43



-11



121 1.294 129



N √Σ (X - μ)2



11,4



N c. Koefisien relatifnya / koefisien Standar Deviasi



( Sμ ) x 100 11,4 =( x 100 4,3 )



Koefisien relatifnya=



= 26,5% 3. Rataan hitung : ´x =



51,5+54,42+ 57,18+ 60,27+63,8 100



= 56,73 2



xi



( x i−´x )



fi



51 32,83 5 54 7,45 42 57 0,07 18 60 10,69 27 63 39,31 8 Jumlah 100 Sampel yang berukuruan besar (n > 30) S2



f i ( x i− x´ )2 164,15 312,90 1,26 288,63 314,48 1081,42



2 ¿ = ∑ ( x i - ´x ¿ n



=



1081,42 100



= 10,81 S



= √ S2 = √ 10,81 = 3,29



Jadi, standar deviasi adalah 3,29 4. 32



5. Langkah yang digunakan yaitu; -



Mencari rata-rata



-



Mencari simpangan baku



-



Menentukan koefisien variasi a. ´x = 9 2



b. S = ( x i−´x )



= (6-9)2 + (7-9)2 + (8-9)2 + (9-9)2 + (10-9)2 (14-9)2 = (9 + 4 + 1 + 0 + 1 +25) = 2,6 c. KV = 2,6 x 100% = 28,9%



DAFTAR RUJUKAN



33



Susetyo, Budi. 2010. Statistika untuk Analisis Data Penelitian. Bandung: PT Refika Aditama. Carasiumi. 2014. Cara Menghitung Simpangan Baku. (Online). (http://carasiumi.com/cara-menghitungsimpanganbaku/#Pengertian_Simpangan_Baku), diakses 17 Februari 2019. https://www.rumusstatistik.com/2015/09/menghitung-varian-dan-standardeviasi.html (online) (diakses pada Senin, 18 Februari 2019) Sinollah, Pengukuran Variabilitas, (online), http://dinus.ac.id/repository/docs/ajar/5-pengukuranvariabilitas121203200040-phpapp01_file_2013-0415_090155_mukhamad_taufik_hidayat_se._m.si__akt__.pdf,diakses pada Sabtu, 16 Februari 2019. Sutrima, Budi Usodo. 2009. Wahana Matematika. Jakarta : CV. Haka MJ www.academia.co.id (online), diakses tanggal 18 Februari 2019



34