Kombinatorial Dan Peluang Diskrit Di Permainan Domino [PDF]

Citation preview

Kombinatorial dan Peluang Diskrit di Permainan Gaple/Domino Dian Adi Nugroho 18.11.2071, Wahyu Ulta Prasata Dewa 18.11.2055 Universitas Amikom Yogyakarta [email protected] Universitas Amikom Yogyakarta [email protected] Program Studi Informatika Universitas Amikom Yogyakarta, Jl. Ring Road Utara 55281, Indonesia



ABSTRAK Makalah ini akan membahas salah satu bahasan dari materi dalam mata kuliah Matematika Diskrit, Kombinatorial. Selain penjelasan teori dari Kombinatorial, akan dibahas juga salah satu penerapan kombinatorial dalam sebuah game yang biasa dimainkan dalam kehidupan sehari-hari (Domino). Kombinatorial sangat erat dengan peluang, akan sangat membantu orang dalam memenangkan permainan domino. Berbagai macam angka dalam kartu yang dimiliki memunculkan probabilitas yang dapat menjadi referensi bagi pemain. Kata Kunci – Kombinatorial, Probabilitas, Gaple, Domino.



I.



PENDAHULUAN



Penerapan kombinatorial yang merupakan suatu pokok bahasan materi di mata kuliah Matematika Diskrit kerap kali digunakan di berbagai kegiatan yang sering kali dilakukan oleh manusia. Pada umumnya kombinatorial sangat erat dengan probabilitas dan peluang. Manusia pun mulai mencoba memperhitungkan segala kemungkinan yang ada dalam mengambil sebuah keputusan. Salah satu contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan kombinatorial adalah menghitung banyaknya kombinasi angka nomor kendaraan. Dimana nomor kendaraan terdiri atas empat sampai lima angka dan diikuti dengan empat sampai lima huruf, serta dengan angka pertama yang bukan diisi dengan angka nol (0). Cara paling sederhana untuk menyelesaikan suatu persoalan yang sejenis adalah dengan menumerisasi semua kemungkinan jawabannya. Menumerisasi berarti mencacah atau menghitung satu per satu di setiap kemungkinan jawaban yang akan keluar. Akan tetapi numerisasi masih mungkin dilakukan jika jumlah objek sedikit. Sedangkan persoalan diatas tentang menumerisasikan nomor kendaraan, maka kemungkinan jawabannya adalah, sebagai berikut; 1



AA1111AA AB1111AA AC1111AA ..... ZA9999ZA ZB9999ZB ..... Dst... Sangatlah mungkin bahwa kita sudah lelah sebelum proses numerisasi selesai dilakukan. Dan disinilah peran dari kombinatorial yang bisa dikatakan merupakan “Seni Berhitung”, menyelesaikan persoalan seperti contoh soal tersebut dengan cepat.



II.



TEORI DASAR KOMBINATORIAL



Kombinatorial adalah salah satu cabang matematika yang sering digunakan untuk menghitung jumlah penyusun



objek-objek tanpa harus menumerasi semua peluang



kemungkinan susunannya. 1.



Kaidah Dasar Mengihtung ● Kaidah perkalian (Rule of Product) Percobaan pertama memiliki hasil a dan percobaan yang kedua memiliki hasil b. Maka percobaan pertama dan kedua memiliki hasil a * b. ●



Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum) Percobaan pertama memiliki hasil a dan percobaan yang kedua memiliki hasil b. Maka percobaan pertama atau kedua memiliki hasil a + b.



2.



Permutasi Permutasi yaitu jumlah urutan yang berbeda dari pengaturan objek-objek . Permutasi



juga merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. Misalkan jika jumlah objek adalah n, Urutan kedua dipilih dari (n-1) objek, Urutan ketiga dipilih dari (n-2) objek, ….., Hingga urutan terakhir dipilihah dari 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian, permutas dari objek adalah, 2



n(n – 1)(n – 2) ... (2)(1) = n! Rumus dari permutasi-r (jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek). Dilambangkan dengan P(n,r);



3.



Kombinasi Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan



kemunculan diperhitungkan, maka pada suatu kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. Rumus kombinasir (jumlah pemilihan yang tidak terurutr elemen yang diambil dari n buah elemen), akan dilambangkan dengan C(n,r) atau (n, r).



4.



Interprestasi Kombinasi a. C(n r) = Banyaknya himpunan bagian yang terdiri atas r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. b. C(n r) = Cara memilih r buah elemen darin elemen yang ada, akan tetapi urutan elemen yang ada didalam susunan hasil pemilihan tidak penting.



5.



Permutasi Dan Kombinasi Bentuk Umum Misalkan terdapat n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (ada beberapa



bola warna yang sama). n1 bola diantaranya berwarna 1, bola n2 yang lainnya berwarna 2, dan nk bola diantaranya berwarna k, dan n1+n2+.....+nk = n.



Pertanyaan: Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut yang tiap kotaknya maksimal berisi 1 buah bola?



3



Penyelesaian: Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah; P(n,n) = n! Dari pengaturan n buah bola itu, terdapat n1! Cara memasukan bola berwarna 1, dan terdapat n2! Cara memasukan bola berwarna 2. Yang terdapat nk! Cara memasukan bola berwarna k.



Permutasi n buah bola yang mana n1 di antaranya bola berwarna 1, n2 di antaranya bola berwarna 2, …,nk bola berwarna k adalah;



Cara penyelesaian lain: Terdapat C(n, n1) cara untuk menempatkan n1 buah bola berwarna 1, Terdapat C(n - n1) cara untuk menempatkan n1 buah bola yang berwarna 2, Terdapat C(n - n1 - n2, n3) cara untuk menempatkan n1 buah bola yang berwarna 3, Terdapat C( n - n1 - n2 - …. - nk - 1) cara untuk menempatkan nk buah bola yang berwarna k. Jumlah cara pengaturan seluruh bola kedalam kotak adalah;



4



Kesimpulan:



6. Kombinasi dengan pengulangan Misalkan ada r buah bola yang semua warnanya sama dan terdapat n buah kotak, serta ketentuan sebagai berikut; -



Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola saja. Dan jumlah cara memasukan adalah C(n,r).



III. 1.



TEORI PELUANG DISKRIT



Teori Peluang Kombinatorial dan teori peluang atau bahasa lainnya Probability sangat berkaitan erat.



Teori peluang banyak menggunakan konsep dalam kombinatorial. Tetapi sebenarnya keduanya ini lahir dari gambling games (arena judi ) contoh kasusnya adalah menghitung peluang munculnya nomor lotre tertentu,peluang munculnya nomor dadu, dsb. Namun demikian, pengaplikasian kombinatorial dan teori peluang pada saat ini sudah meluas ke berbagai ilmu lain maupun penerapannya dalam dunia nyara seperti ilmu statistika, fisika, ekonomi, biologi, dan berbagai ilmu lainnya. 2. • •



Teminologi Dasar Sample Space / Ruang contoh Yaitu merupakan himpunan semua kemungkinan hasil percobaan yang bersangkutan. Sample point / titik contoh Yaitu merupakan hasil percobaan didalam ruang contoh. Dimana hasil percobaan tersebut bersifat mutually exclusive / saling terpisah karena dari seluruh ruang contoh, hanya satu titik contoh yang akan muncul.Contohnya pada percobaan seseorang melempar dadu, hasil dari percobaannya yang muncul hanya salah satu dari 6 muka dadu.tidak akan mungkin muncul dua muka atau bahkan lebih. Atau bahkan tidak mungkin tidak ada salah satu muka dadu yang muncul.



3.



Ruang contoh diskrit Yaitu adalah ruang contoh yang anggotanya terbatas. Misalkan ruang contoh



dilambangkan dengan S dan titik-titik contohnya dilambangkan dengan x1,x2……, maka



5



Menyatakan ruang contoh S yang terdiri atas titik titik contoh x1, x2 ……..,xi dst. 4.



Peluang diskrit Yaitu merupakan peluang terjadinya sebuah titik contoh, dan disimbolkan dengan



p(xi). Sifat-sifat peluang diskrit adalah sebagai berikut :



yaitu adalah nilai peluang yang tidak negatif dan selalu lebih kecil atau sama dengan 1



IV. 1.



DOMINO/GAPLE



Sejarah Domino (kadang disebut dengan Gaple) adalah semacam permainan kartu generik. Di



Indonesia kartu domino biasanya berbentuk kartu kecil berukuran 3x5cm, dengan berwarna dasar merah dan terdapat bulatan-bulatan atau lingkaran yang berfungsi sebagai pengganti angka. Pada sisi bagian depan Domino memiliki dua sisi atas dan bawah yang dibatasi oleh garis. Dan berfungsi sebagai titik tengah pembagi antar sisi atas dan sisi bawah pada kartu. Hal ini dimaksudkan untuk membedakan antara nilai kartu di satu sisi. Sedangkan sisi belakang kartu dibiarkan kosong atau polos tanpa motif. Domino berasal dari Tiongkok yang dimulai pada saat festival di Wulin, yang sebelumnya juga dikenal sebagai sebagai kota HangZhou. Domino yang sering digunakan sebagai media perjudian, dijual oleh penjaja keliling barang-barang unik di Rezim XiaoZong dari Dinasti Song (1162 - 1494). Menurut sejarah Domino pertama kali ditemukan di Tiongkok tepatnya pada awal 1120 Masehi yang awal mulanya bernama Tile. Berdasarkan dengan para sejarawan, percaya bahwa Keung T'ai Kung, pada abad kedua belas SM adalah orang yang pertama kali menciptakan jenis permainan tersebut.Yang Chu sz ubi (Penyelidikan pada hadis All Things) menyatakan bahwa domino diciptakan oleh seorang negarawan pada tahun 1120 Masehi.



6



Pada catatan sejarah dikatakan bahwa Yang Chu sz ubi dikatakan telah memberi potongan kartu tersebut sebagai salah satu persembahan kepada Kaisar Hui Tsung, dan setelah itu permainan inipun mulai tersebar luas pada saat era pemerintahan putra Hui, Kao-Tsung (1127-1163 M). Meski begitu sumber lain mengatakan jika dokumen yang ini mengacu pada standardisasi dan bukan penemuan permainan domino itu sendiri. Sejarah domino yang tertulis memunculkan banyak versi yang berbeda. Namun yang jelas dari semua versi itu sepakat bahwa permainan domino pertama kali lahir dan dikenal di Tiongkok. reff: Wiki domino 2.



Rule Play Ada berbagai jenis set domino yang digunakan di seluruh dunia, Berikut adalah aturan



untuk dua game yang paling sering dimainkan di Barat. "standar" atau "blok" dan game "draw". Instruksi menjelaskan permainan yang dimainkan dengan set domino standar atau "double-six" yang terdiri dari 28 kartu, tetapi game dapat dimainkan dengan set doublesembilan atau double-dua belas. Beberapa variasi diberikan di bagian bawah halaman. Di Inggris, permainan ini cenderung dimainkan di pub oleh empat pemain karena dua set pasangan duduk berseberangan. Berikut ini adalah permainan Semua Balita dan variasi. 3. •



The Block Game Permulaan Domino secara acak dikocok menghadap ke bawah dalam lingkaran dengan telapak



tangan. Setiap pemain mengambil 7 kartu domino dan menyembunyikannya dari pemain yang lain sehingga pemain lain tidak dapat melihat nilainya. Orang pertama yang bermain adalah orang yang memegang double-enam, atau double-lima dan seterusnya. Nilai kartu yang dimainkan harus berupa nilai ganda yang memungkinkan pemain untuk mengambil belokan pertama. Jika salah seorang pemain memegang nilai double yang berjumlah 6 kartu, maka kartu harus ditarik dan diacak kembali. 4.



The Play Setiap pemain pada gilirannya harus memainkan kartu dan menyamakannya dengan



nilai kartu yang muncul dimeja. Dan menempatkannya pada nilai yang sama sehingga menyentuh salah satu ujung rantai domino yang dengan demikian secara bertahap bertambah panjang. Seorang pemain hanya dapat memainkan kartu yang memiliki nilai yang sama pada salah satu ujung rantai domino. Jika seorang pemain memainkan domino dengan hasil bahwa kedua ujung rantai menunjukkan angka yang sama(biasanya angka yang berguna bagi pemain dan tidak menyenangkan bagi lawan). 7



Cara pemasangan kartu memberikan sebagian kecil hiburan. Setiap kartu yang ditempatkan harus diposisikan sedemikian rupa sehingga kedua ujung yang cocok berdekatan. Kecuali, kartu yang memiliki nilai double, kartu dapat ditempatkan vertikal atau tidak sejajar dengan kartu sebelumnya. Jika seorang pemain bisa meletakkan nilai domino, maka itu harus dimainkan. Kalau tidak, pemain "mengetuk", atau mengetuk meja dan pemain akan lewat ke pemain berikutnya. Para pemain lawan tentu saja akan membuat catatan mental tentang angka-angka yang saat ini tersedia di meja dan mencoba memastikan bahwa angka-angka itu juga tersedia di masa depan. 5.



The End Biasanya bermain berhenti ketika satu pemain "chip out" (memainkan domino



terakhirnya) meskipun beberapa versi mengharuskan kedua mitra untuk chip out. Jika mencapai titik di mana tidak ada pemain yang bisa melanjutkan, pemenang adalah mitra yang jumlah gabungan semua tempat di domino mereka yang tersisa adalah yang terkecil. Untuk penilaian, beberapa pub akan memainkan satu poin per game. Metode yang lebih menarik, yang mungkin dinilai menggunakan papan buaian, pemenang menulis semua jumlah nilai kartu yang dimiliki tim pemain yang kalah. Dan seluruh jumlah nilai yang lebih besar, itu dianggap kalah.



8



V.



HASIL PEMBAHASAN



Gambar diatas merupakan banyaknya kartu-kartu domino/gaple yang terhitung sebanyak 28 buah. Dimulai dari nilai [0,0] sampai [6,6] yang terdiri dari 7 buah nilai double dan 21 buah nilai acak. Sekarang kita akan menghitung berapa peluang kemunculan dari setiap kombinasi yang ada, dimulai dari nilai yang paling terbesar sampai nilai yang terkecil. Maka pertama kita akan menghitung berapa banyaknya seluruh kejadian yang akan muncul. Pada permainan, pemain diwajibkan mengambil kartu sebanyak 7 buah secara acak dari 28 buah kartu yang tersedia. Sehingga akan terjadi banyaknya kejadian yang ada adalah; 𝐂𝐂(𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟕𝟕) =



28! = 1.184.040 21! 7!



Maka peluang munculnya sebuah kejadian adalah P = |E| / |S|, dimana E adalah banyaknya kejadian yang diinginkan dan S adalah nilai semestanya (1.184.040). -



Double = [0,0],[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[5,5],[6,6]



-



Nilai nol(0) = [0,1],[0,2],[0,3],[0,4],[0,5],[0,6]



-



Nilai satu(1) = [1,2],[1,3],[1,4],[1,5],[1,6]



-



Nilai dua(2) = [2,3],[2,4],[2,5],[2,6]



-



Nilai tiga(3) = [3,4],[3,5],[3,6]



-



Nilai empat(4) = [4,5],[4,6]



-



Nilai lima(5) = [5,6] 9



1.



Peluang munculnya;



a) Seorang pemain memegang 6 kartu bernilai double Untuk setiap 4 pemain, hanya ada 1 pemain yang memegang 6 kartu bernilai double, sehingga total kemungkinannya ada 1 untuk setiap pemain. Maka peluang setiap pemain adalah; 𝟔𝟔 ∶ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎%



b) Seorang pemain memegang 5 kartu bernilai double Untuk setiap 4 pemain, hanya ada 1 pemain yang memegang 5 kartu bernilai double, sehingga total kemungkinannya ada 1 untuk setiap pemain. Maka peluang setiap pemain adalah; 𝟓𝟓 ∶ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎% c) Seorang pemain memegang 4 kartu bernilai double Untuk setiap 4 pemain, hanya ada 1 pemain yang memegang 4 kartu bernilai double, sehingga total kemungkinannya ada 1 untuk setiap pemain. Maka peluang setiap pemain adalah; 𝟒𝟒 ∶ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎%



d) Seorang pemain memegang 3 kartu bernilai double Untuk setiap 4 pemain, hanya ada 1 pemain yang memegang 3 kartu bernilai double, sehingga total kemungkinannya ada 1 untuk setiap pemain. Maka peluang setiap pemain adalah; 𝟑𝟑 ∶ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎%



e) Seorang pemain memegang 2 kartu bernilai double Untuk setiap 4 pemain, hanya ada 1 pemain yang memegang 2 kartu bernilai double, sehingga total kemungkinannya ada 1 untuk setiap pemain. Maka peluang setiap pemain adalah; 𝟐𝟐 ∶ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎%



10



f) Seorang pemain memegang 1 kartu bernilai double Untuk setiap 4 pemain, hanya ada 1 pemain yang memegang 1 kartu bernilai double, sehingga total kemungkinannya ada 1 untuk setiap pemain. Maka peluang setiap pemain adalah;



2.



𝟏𝟏 ∶ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟖𝟖. 𝟓𝟓%



Kartu Big [kartu yang nilainya 38 ke atas]



Cadangan



Akhir kartu



Peluang muncul



[6,6]+[6,5]+[6,4]=33



big



[6,6]+[6,5]+[6,3]=32



big



[6,6]+[6,5]+[6,2]=31



big



[6,4], [6,3], [5,5], [5,4], [5,3], [4,4],



21,4



[6,6]+[6,5]+[6,1]=30



big



[6,4], [6,3], [5,5], [5,4],



14,2



[6,6]+[6,5]+[6,0]=29



big



[6,4], [5,5],



7,14



[6,3], [6,2], [6,1], [6,0], [5,5] ,[5,4], [5,3], [5,2], [5,1], [4,4], [4,3] [4,2], [3,3],



[6,4], [6,2], [6,1], [5,5], [5,4], [5,3], [5,2], [4,4], [4,3]



11



%



46,4



32,1



[6,5]+[6,4]+[5,5]=31



big



[6,6], [6,3], [6,2] [5,4], [5,3], [4,4],



28,5



[6,5]+[6,4]+[6,3]=30



big



[6,6], [5,5] [5,4],



10,7



[6,5]+[6,4]+[6,2]=29



big



[6,6], [5,5]



7,14



[6,5]+[6,4]+[6,1]=28



big



[6,6]



2,14



[6,5]+[6,4]+[6,0]=27



big



[6,6]



2,14



[6,4]+[5,5]+[6,3]=29



big



[6,6], [6,5]



7,14



3.



Kartu Small [kartu yang nilainya 10 ke bawah]



[0,0]+[0,1]+[1,1]=3



Small



[6,0], [5,1], [5,0], [4,2], [4,1], [4,0], [3,3], [3,2], [3,1], [3,0], [2,1], [2,0]



12



42,8



[6,0], [5,1], [5,0], [4,2], [4,1], [4,0],



[0,0]+[0,1]+[0,2]=3



Small



[0,0]+[0,1]+[0,3]=4



Small



[0,0]+[0,1]+[04]=5



Small



[4,0], [3,1], [3,0], [2,1], [2,0], [1,1]



21,4



[0,0]+[0,1]+[0,5]=6



Small



[3,0], [2,1], [2,0], [1,1]



14,3



[0,0]+[0,1]+[0,6]=7



Small



[2,0], [1,1]



7,14



[3,3], [3,2], [3,1], [3,0], [2,1], [1,1]



[5,0], [4,1], [4,0], [3,2], [3,1], [2,1], [2,0], [1,1]



VI.



42,8



28,6



KESIMPULAN



Dalam berbagai macam kegiatan yang kita lakukan disetiap harinya, ada beberapa hal yang kita pelajari dam bisa kita aplikasikan kedalam kombinatorial dan peluang.



VII.



REKOMENDASI



Kemungkinan hasil dari penelitian kami ini dapat digunakan dalam menggacha atau bermain lottre yang memiliki banyak peluang pilihan.



13



VIII. TERIMAKASIH Terimakasih tuhan karena telah memberikan rahmat dan hidayah kepada kami untuk mengerjakan tugas ini dengan lancar. Terimakasih kepada orang tua yang sudah selalu support terus.



IX.



REFERENCES



[1]https://www.mafiaol.com/2012/09/penerapanaplikasi-matematika-pada.html [2019] [2]https://www.mastersofgames.com/rules/dominoes-rules.htm [2019] [3]http://www.beritadomino.org/cara-hitung-peluang-keluarnya-kartu-domino/ [2019] [4]https://www.mafiaol.com/2012/09/penerapanaplikasi-matematika-pada.html [2019] [5]http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2017-2018/Makalah2017/Makalah-



Matdis-2017-111.pdf [2019] [6] https://id.wikipedia.org/wiki/Domino [2019]



14