KSK SMP 2022 - Matematika [PDF]

Citation preview

OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2022 Tingkat Kabupaten/Kota BAGIAN A. PILIHAN GANDA 1.



ABCD adalah suatu persegi panjang. Dari titik C ditarik garis lurus yang memotong sisi AB di titik X. Garis CX memotong perpanjangan sisi AD di titik Y. Jika panjang ̅̅̅̅ BX adalah b cm, panjang ̅̅̅̅ DY adalah d cm, dan luas persegi panjang ABCD adalah L cm2 , maka pernyataan yang benar adalah .... (A) b × d = L (B) b × d = 2L (C) L < b × d < 2L (D) b × d < L



2.



Diketahui suatu barisan aritmetika a1 , a2 , a3 , … dengan semua sukunya bilangan bulat, a1 habis dibagi 3, a2 habis dibagi 5, dan a3 habis dibagi 7. Jika a1 + a2 + a3 = 405 dan a1 > 105, maka nilai k terkecil sedemikian sehingga ak > 1000 adalah .... (A) 74 (B) 75 (C) 76 (D) 77



3.



Pada sebuah ujian yang dilaksanakan secara lisan oleh seorang guru digunakan aturan sebagai berikut. - Sebanyak 30 pertanyaan berbeda dimasukkan secara berpasangan pada 15 kartu. - Seorang siswa mengambil satu kartu secara acak. Jika dia menjawab dengan benar kedua pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia dinyatakan lulus. - Jika dia menjawab dengan benar hanya satu pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia mengambil kartu lain dan guru menentukan yang mana dari dua pertanyaan pada kartu kedua yang harus dijawab. Jika siswa menjawab dengan benar pertanyaan yang ditentukan, siswa tersebut dinyatakan lulus. Pada keadaan lainnya siswa dinyatakan gagal. Jika seorang siswa mengetahui jawaban dari 25 pertanyaan dan tidak tahu jawaban yang benar untuk 5 pertanyaan lainnya, peluang siswa tersebut lulus ujian adalah .... 195 (A)



4.



SMP Nusantara mengadakan kegiatan menanam pohon yang diikuti oleh sejumlah guru pria dan guru wanita. Sepertiga dari keseluruhan guru tersebut mengajak serta siswa dengan aturan satu guru hanya mengajak satu siswa. Terdapat 159 pohon yang ditanam. Jika satu orang guru pria menanam 13 pohon, satu orang guru wanita menanam 10 pohon, dan satu orang siswa menanam 6 pohon, maka banyaknya guru wanita yang menanam pohon adalah ... orang. (A) (B) (C) (D)



5.



5 7 9 12



Perhatikan setengah lingkaran dengan pusat O ̅̅̅̅ berikut. dan diameter AB A C D



P



E



O



B Titik C terletak di busur AB dan P adalah pusat ̅̅̅̅ lingkaran dalam ΔABC. Titik P dilalui oleh DE ̅̅̅̅. Jika DE = 4 cm, maka luas yang tegak lurus AO daerah ΔOBC adalah .... cm2 .



203



(B) (C) (D)



185 203 175 203 165



(A) (B) (C) (D)



2 4 8 16



203



OSK SMP 2022 -



181



6.



Tiga puluh koin dengan jari-jari 3,5 cm ditumpuk menjadi 4 tingkat sehingga menyerupai limas tegak segi empat beraturan dengan sisi angka menghadap ke atas. Tingkat pertama (paling bawah) terdiri dari 16 koin, tingkat kedua terdiri dari 9 koin, tingkat ketiga terdiri dari 4 koin dan tingkat keempat terdiri dari 1 koin. Pada setiap tingkat, koin akan disusun menyerupai persegi dengan setiap koin yang berdekatan saling bersinggungan. Jika dilihat dari atas, total luas sisi angka yang tertutup oleh koin lainnya adalah .... cm2 . (A) (B) (C) (D)



7.



381,5 444,5 539 1155



Diketahui persegi ABCD dengan panjang sisi 12 cm. Titik P terletak pada sisi CD dengan CP ∶ DP = 1 ∶ 2. Persegi ini akan dibentuk menjadi selimut tabung dengan cara mempertemukan sisi AD dengan sisi BC. Jika jarak titik A ke titik P di selimut tabung yang terbentuk adalah a + bπ2 √ cm, π2 maka nilai a + b = …. (A) (B) (C) (D)



8.



252 260 180 165



Dalam suatu kotak tertutup, terdapat dua buah dadu dengan enam sisi. Dadu pertama memiliki satu sisi bermata 1, satu sisi bermata 2, dua sisi bermata 3, dan dua sisi bermata 5. Dadu kedua memiliki satu sisi bermata 1, satu sisi bermata 2, satu sisi bermata 3, dan tiga sisi bermata 5. Suatu permainan dilakukan dengan mengambil secara acak satu dadu dari dalam kotak, kemudian melemparkan dadu tersebut, mengamati hasilnya, dan memasukkannya kembali ke dalam kotak. Permainan dapat diulang beberapa kali. Andi main dua kali dan mendapatkan hasil amatan mata 1 pada permainan pertama dan mata 5 pada permainan kedua. Peluang bahwa hanya dadu kedua yang terambil pada kedua permainan yang dilakukan Andi adalah .... (A) (B) (C) (D)



182



0,4 0,3 0,2 0,1



- OSK SMP 2022



9.



Diketahui f(x) = x 2022 − x 2021 dan g(x) = x 2020 − 2x 2019 + 3x 2018 − 4x 2017 +5x 2016 + ⋯ − 2020x + 2021 Jika n adalah nilai minimum dari f(x) + g(x) untuk x bilangan real, maka nilai dari n + 1 adalah .... (A) (B) (C) (D)



1011 1012 2021 2022



10. Banyak kemungkinan bilangan bulat positif n yang kurang dari 95 dan mengakibatkan 200−n 1 n 3 (√6) ×( ) √3 bilangan bulat adalah .... (A) (B) (C) (D)



14 15 16 17



11. Doni membeli 3 pasang burung kutilang di pasar dan membawanya dalam 1 wadah besar. Sampai di rumah, burung-burung tersebut akan ditempatkan secara acak ke dalam 3 sangkar berbeda yang masing-masing berisi 2 burung. Peluang setiap burung akan ditempatkan di kandang bersama pasangannya yang sesuai adalah .... (A) (B) (C) (D)



1 15 1 10 1 5 1 6



12. Banyak bilangan bulat positif yang habis membagi 10199 dan merupakan kelipatan 10111 adalah .... (A) (B) (C) (D)



7921 12544 32079 40000



13. Jika a, b, c, d bilangan-bilangan asli sehingga a5 = b4 , c 3 = d2 dan c − a = 19 maka nilai dari d − b adalah .... (A) (B) (C) (D)



757 243 1000 81



14. Diketahui barisan himpunan bilangan dengan pola berikut. {1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, … Himpunan pertama memiliki 1 anggota, yaitu bilangan bulat positif pertama. Himpunan berikutnya memiliki 1 anggota lebih banyak dibanding himpunan sebelumnya, dengan anggota adalah bilangan bulat positif pada urutan berikutnya. Jika Mn , adalah rata-rata dari seluruh anggota himpunan ke-n, maka 2M2022 − 2M2021 = …. (A) (B) (C) (D)



2021 2022 4043 4044



16. Bilangan "primus" dihasilkan dari bilangan 4 ̅̅̅̅̅̅ dengan b = 0 yang melalui tiga digit abcd langkah berikut. 1. Kurangilah ̅̅̅̅̅̅ abcd dengan jumlah semua digitnya. 2. Bagilah bilangan hasil dari langkah 1 dengan 9. 3. Kurangilah bilangan hasil dari langkah 2 dengan 99 kali digit pertama bilangan hasil dari langkah 2. Di antara bilangan berikut, yang merupakan bilangan "primus" adalah .... (A) (B) (C) (D)



bukan



38 59 104 117



17. Perhatikan persamaan berikut. √x + 2 − 4√x − 2 + √x + 7 − 6√x − 2 = 1 Banyak bilangan bulat x yang memenuhi persamaan tersebut adalah ....



Frekuensi



15. Nilai ulangan harian Matematika siswa Kelas VII di SMP Harapan disajikan dalam grafik berikut. 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0



Laki-laki



(A) (B) (C) (D)



Perempuan



18. Rio ingin bermain Sudoki pada kotak berukuran 4 x 4. Peraturan permainan Sudoki adalah setiap sel harus diisi dengan salah satu dari angka 1, 2, 3, atau 4 dengan syarat tidak boleh ada angka yang sama pada setiap baris ataupun kolom. 70



80



90



100



Nilai



Berikut diberikan salah satu contoh tampilan akhir permainan Sudoki yang mungkin.



Grafik tersebut memberikan frekuensi nilai kelompok siswa laki-laki (L) dan siswa perempuan (P) secara terpisah. Misalkan R L , dan ML , menyatakan rata-rata dan median nilai kelompok siswa laki-laki serta R P dan MP menyatakan rata-rata dan median nilai kelompok siswa perempuan. Di antara pernyataan berikut, pernyataan yang benar adalah .... (A) (B) (C) (D)



1 2 4 6



MP = ML MP < ML RP = RL RP > RL



1



2



3



4



2



3



4



1



3



4



1



2



4



1



2



3



Banyak seluruh tampilan akhir Sudoki yang mungkin adalah .... (A) (B) (C) (D)



50 576 3456 13824



OSK SMP 2022 -



183



19. Perhatikan gambar setengah lingkaran dengan pusat O berikut.



n



5



17



D C



Q R



P A



O



B



Jika ∠BOR = 48° dan OPA = 80°, besar ∠PQR adalah ....° (A) (B) (C) (D)



92 104 118 125



20. Perhatikan urutan lima bangun datar berikut.



Jika n adalah nilai terkecil yang mungkin untuk mengisi sel pojok kiri atas, maka jumlah bilangan yang berada di keempat sel pojok adalah .... (A) (B) (C) (D)



Urutan kelima bangun datar tersebut dikatakan ideal jika ketiga syarat berikut terpenuhi. (1) ada tepat satu bangun di antara segi lima dan segi enam, (2) ada lebih dari satu bangun di antara segitiga dan segi delapan, dan (3) segi empat tidak di sebelah segi enam ataupun segi delapan. Banyak urutan yang tidak ideal dari kelima bangun datar tersebut adalah .... 1 2 118 119



21. Jika a1 dan a2 adalah dua bilangan bulat positif terkecil berbeda yang memenuhi a9 + 2 habis dibagi 10, maka nilai a1 + a2 adalah .... (A) (B) (C) (D)



18 22 24 26



22. Berikut ini adalah sel 3 x 3 yang akan diisi dengan bilangan bulat positif sedemikian sehingga jumlah tiga bilangan dalam setiap baris, kolom, ataupun diagonal sama.



184



- OSK SMP 2022



104 105 107 110



23. Diketahui suatu persegi panjang ABCD dengan titik P dan Q masing-masing berada pada sisi AB dan CD sedemikian sehingga APCQ merupakan belah ketupat. Titik R merupakan titik pusat persegi panjang ABCD. Titik S terletak di sisi CD dan PS tegak lurus dengan sisi CD. Jika panjang AB = a dan panjang BC = b selisih panjang RS dan QS adalah .... (A)



(A) (B) (C) (D)



41



(B) (C) (D)



a b



√a2 + b 2 −



b 2a b a



√a2



+ b2



b



√a2



+ b2



b



−



√a2 + b 2 −



2a



2a2 b2 a



2b2



−



a a b2



24. Perhatikan persamaan berikut. x 2023 − x 2021 − x 2019 − ⋯ − x 3 = 2x Jumlah dari kuadrat akar-akar real persamaan tersebut adalah .... (A) (B) (C) (D)



0 4 6 9



25. Diketahui himpunan A sebagai berikut. (n − 2)2 + 2 (n − 2)3 + 2 (n − 2)4 + 2 { } , , m m m Semua anggota A adalah bilangan bulat positif. Jika n adalah kelipatan dari m, maka jumlah semua nilai m yang mungkin untuk n = 2022 adalah .... (A) (B) (C) (D)



3 6 12 28



JAWABAN



1.



Jika a3 = 140 maka b = 140 − 135 = 5 sehingga didapat a1 = a2 − b = 135 − 5 = 130 Nilai a1 = 130 tidak memenuhi syarat bahwa a1 habis dibagi 3



Diketahui luas persegi panjang ABCD adalah L = AB × AD C D



d m



A



X



b



Jika a3 = 147 maka b = 147 − 135 = 12 sehingga didapat a1 = a2 − b = 135 − 12 = 123 Nilai a1 = 123 dan habis dibagi 3



B



Perhatikan bahwa jika a3 lebih besar dari 147 (154, 161, 168, …) maka a1 < 105 Ingat! Jika suku awal dan beda barisan aritmetika adalah a dan b, maka suku ke-n adalah un = a + (n − 1)b



Y Dari kesebangunan ∆YAX dan ∆YDC diperoleh YA YD = AX DC YD − AD d = AB − BX AB



ak = a1 + (k − 1)b > 1000 123 + (k − 1) × 12 > 1000 12(k − 1) > 877 1 k − 1 > 73 12 1 k > 74 12



d − AD d = AB − b AB (d × AB) − AB × AD = (d × AB) − b × d L=b×d Pernyataan yang benar adalah b × d = L 𝐀 TRIK SUPERKILAT! Dari kesebangunan ∆YDC dan ∆CBX BX DC = ⇔ BX × DY = DC × BC BC DY b×d=L



2.



Ingat! Jika suku awal dan beda barisan aritmetika adalah a dan b, maka suku ke-n adalah un = a + (n − 1)b Misalkan beda dari deret aritmetika tersebut adalah b, maka a1 + a2 + a3 = 405 a1 + (a1 + b) + (a1 + 2b) = 405 3a1 + 3b = 405 … (: 3) a1 + b = 135 a2 = 135 Diketahui bahwa a3 habis dibagi 7 dan a1 habis dibagi 3. Bilangan sesudah 135 yang habis dibagi 7 dan nantinya memenuhi syarat a1 > 105 adalah 140 dan 147.



Nilai k adalah bilangan asli, maka nilai k terkecil yang memenuhi ak > 1000 adalah 75 𝐁



3.



Diketahui seorang siswa mengetahui jawaban dari 25 pertanyaan dan tidak tahu jawaban yang benar untuk 5 pertanyaan lainnya. Peluang siswa tersebut langsung menjawab benar 2 pertanyaan dalam 1 kartu adalah 25 24 5 24 × = × 30 29 6 29 20 = 29 Peluang siswa tersebut menjawab 1 soal benar pada kartu pertama (yang satu lagi salah) dan menjawab 1 soal benar pada kartu kedua adalah 25 5 24 5 5 6 ( × )× = × × 30 29 28 6 29 7 25 = 203 Jadi peluang siswa tersebut lulus ujian adalah 20 7 25 165 ( × )+( )= 𝐃 29 7 203 203



OSK SMP 2022 -



185



DAPATKAN!!! BUKU SOAL & PEMBAHASAN OLIMPIADE SAINS NASIONAL di: www.tokopedia.com/adisuhar