Kuliah Ke 2 Prostok [PDF]

Citation preview

Kuliah ke-2 , kamis 25 Februari 2021 PELUANG BERSYARAT DAN EKSPEKTASI BERSYARAT Peluang bersyarat. Misalkan A dan B adalah dua kejadian, dengan P ( B )> 0. Peluang bersyarat A jika diberikan kejadian B didefinisikan sebagai : P ( A|B )=



p ( A ∩B) P(B)



Kasus Diskrit Misalkan X dan Y adalah v.a.diskrit, p.d.f bersyarat dari X jika diberikan Y = y adalah : p ( x| y )=P ( X=x|Y = y )=



P (X=x , Y = y ) p(x , y) = , P (Y = y ) p y ( y)



dengan P ( Y = y ) >0 . Fungsi distribusi bersyarat dari X jika diberikan Y = y adalah F ( x| y )=P ( X ≤ x|Y = y )=∑ p ( a| y ) a≤ x



Kemudian Ekspektasi bersyarat dari X jika diberikan Y = y adalah E ( X|Y = y )=∑ x P ( X=x|Y = y ) =∑ xp ( x| y ) x



x



Pertanyaan Misalkan X dan Y adalah v.a saling bebas (independent) bagaimana peluang bersyarat dari X jika diberikan Y = y ??? P ( X=x|Y = y )=



P( X =x , Y = y ) p ( x , y ) P ( X=x ) . P (Y = y ) = = P¿¿ P(Y = y ) p y ( y)



Contoh 1. Misalkan p(x , y ) adalah jont p.d.f dari v.a X dan Y , dengan p ( 1,1 )=0.5 , p ( 1,2 ) =0.1 , p ( 2,1 )=0.1 p ( 2,2 )=0.3 Hitung peluang bersyarat dari X diberikan Y =1



Solusi ??? P ( X =1, Y =1) p (1,1) 5 = = P(Y =1) p y (1) 6



P ( Y =1 )=0,6.= p ( 1,1 )+ p(2,1) P ( X =2, Y =1) p (2,1) 1 = = P(Y =1) p y (1) 6



Contoh 2. Misalkan X dan Y v.a saling bebas berdistribusi Poisson dengan mean masing2 λ 1 dan λ2. Hitunglah Ekspektasi bersyarat dari X diberikan X +Y =n λ1



Jawab : n λ + λ 1 2 Uraian E [ X| X +Y =n ] Cari dulu peluang bersyarat P [ X =k , X +Y =n ] P [ X=k|Y =n−k ] P [ X=k| X +Y =n ]= ¿ = P [ X +Y =n ] P [ X +Y =n ] P [ X =k ] P [ Y =n−k ] ¿ P [ X+ Y =n ] e−λ λ 1k e−λ λ2n−k n! ¿ −( λ + λ ) n k! ( n−k ) ! e ( λ 1+ λ2 ) 1



2



1



¿



λ1 n! k ! ( n−k ) ! λ 1+ λ2



k



2



λ2 λ1 + λ 2



n−k



( )( ) ( )( ) ( )



¿ n k



λ1 λ1 + λ2



k



λ1 λ 1 + λ2



n−k



Jadi peluang bersyaratnya adalah distribusi binomial dengan parameter n dan



λ1 λ1 + λ2 λ1



Jadi eksoejtasi bersyaratnya adalah n λ + λ 1 2



Contoh 3. Misalkan X dan Y v.a saling bebas berdistribusi binomial dengan parameter n dan p. Hitunglah p.d.f bersyarat dari X diberikan X +Y =m Uraian P [ X=k| X +Y =m ] =



P [ X=k , X +Y =m ] P [ X =k , Y =m−k ] P [ X=k ] P [ Y =m−k ] = = P [ X +Y =m ] P [ X +Y =m ] P [ X +Y =m ]



Perhatikan v a X + Y adalah berdistribusi binomial dengan parameter 2 n dan p Silahkan lanjutkan.... Jawab : Distribusi Hypergeometric. Kasus Kontinu Misalkan X dan Y adalah v.a.kontinu, p.d.f bersyarat dari X jika diberikan Y = y adalah f ( x| y )=



f (x , y ) , f y( y)



dengan f (x , y ) adalah joint p.d.f dari v.a X dan Y dan f y ¿ ) adalah p.d.f marginal dari v.a. Y . Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah ∞



E ( X|Y = y )= ∫ xf ( x| y ) dx −∞



Contoh 1. Misalkan joint p.d.f dari v.a. X dan Y adalah f ( x , y )= 6 xy ( 2−x − y ) ,0< x