Limit Dan Turunan [PDF]

Citation preview

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTUKTUR LIMIT DAN TURUNAN



Disusun oleh : RADITYA AMARA BOJA 1037



SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON 1



KULON PROGO OKTOBER



2015



Kata Pengantar Puji syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan tugas matematika tentang limit dan turunan. Terlaksananya pembuatan tugas ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, untuk itu saya ucapkan terimakasih kepada : 1. Ibu Supartini S.pd selaku guru matematika 2. Orang tua yang telah membantu saya baik moril maupun materil Saya menyadari bahwa dalam pembuatan tugas ini masih banyak kekurangan-kekurangan, baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang saya miliki. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun akan sangat penulis harapkan demi penyempurnaan pembuatan tugas ini. Semoga materi ini bisa membantu menambah pengetahuan dan pemahaman para pembaca. Sekian yang dapat sayasampaikan, apabila terdapat banyak kesalahan saya mohon maaf. Terima kasih saya ucapkan atas perhatian dan waktunya untuk membaca laporan saya.



Kulon Progo, Oktober 2015



Penyusun



2



Daftar Isi Halaman Judul................................................................i Kata Pengantar...............................................................ii Daftar Isi.........................................................................iii Limit Fungsi....................................................................1 Pengertian Limit.............................................................1 Limit Fungsi Aljabar........................................................8 Limit Fungsi Trigonometri...............................................12 Turunan..........................................................................18 Pengertian turunan.........................................................18 Diferensial Fungsi Aljabar...............................................24 Diferensial Fungsi Trigonometri......................................26 Aturan Rantai.................................................................27 Fungsi Naik dan Fungsi Turun.........................................29 Soal dan pembahasan limit..........................................31 Soal dan pembahasan turunan....................................50 Penutup..........................................................................58 Daftar pustaka



3



4



LIMIT FUNGSI A. Pengertian Limit Istilah limit dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan. Limit fungsi adalah salah satu materi yang cukup fundamental untuk mempelajari



materi



yang



lebih



tinggi,



yaitu



tentang



kalkulus



( diferensial dan integral). 1. Pengertian limit secara intuitif Untuk memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikan contoh berikut: -



Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x bilangan real. Berapakah nilai f(x) jika x mendekati 2? Penyelesaian



Untuk menentukan nilai f(x) jika x mendekati 2, kita pilih nilai-nilai x disekitar 2 (baik dari kiri maupn dari kanan). Kemudian, kita tentukan nilai f(x) seperti terlihat pada tabel berikut: X



1.



1.



8



9



f(x



4.



4.



)



6



8



1.9 1.9 1.9 1.9 1.9 2 2.0 2.0 2.0 5



6



7



8



9



1



2



3



4.9 4.9 4.9 4.9 4.9 5 5.0 5.4 5.0 2



4



6



8



2



6



Dari tabel di atas, tampak bahwa jika x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 5 dari kiri, sedangkan jika x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati 5 dari kanan. 1



Apabila kita lukis, grafik fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x mendekati 2 tampak seperti gambar berikut. Y 5



1 1 2



0



X



2



Ternyata nilai f(x) terus menerus mendekati 5 jika x terus menerus mendekati 2. Di dalam matematika, pernyataan tersebut dapat ditulis dengan lim x 1



(2x + 1) = 5



lim -



Tentukan nilai Penyelesaian



Fungsi f(x) =



x 1



x2  x  3 x 1



x2  x  3 x 1



terdefinisi untuk semua x bilangan real,



kecuali x = 1. Kita tentukan fungsi f(x) mendekati 1 seperti pada tabel berikut: x



0.6



0.7



0.8



0.9



0.95



1



x2  x  3 x 1



1.1



1.2



untuk



x



1.3 2



2x2 + x –



-



-



3



1.68



1.32



-0.92 -0.48



-



0



0.24



0.5



1.0



1.6



2



8



8



5 1



-0.4



-0.3



-0.2



-0.1



-0.05



0



0.1



0.2



0.3



x2  x  3 x 1



4.2



4.4



4.6



4.8



4.9



0



5.2



5.4



5.6



0



Dari tabel di atas tampak bahwa jika x mendekati 1 dari kini, nilai f(x) mendekati 5 dari arah kiri. Demikian pula x mendekati 1 dari arah kanan, nilai f(x) mendekati 5 dari arah kanan. Untuk x = 1, nilai f(x) =



0 0



(tidak tentu, atau tidak terdefinisi). Oleh karena itu, dapat kita tulis



x2  x  3 lim x 1 x 1



= 5.



Dari kedua contoh di atas, dapat kita peroleh pengertian limit fungsi secara intuitif yaitu sebagai berikut: Misalkan f adalah fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real. Pernyataan lim x a



f(x) = L



Artinya untuk x mendekati a (tetapi x ≠a), nilai f(x) mendekati L.



3



2. Pengertian Limit secara aljabar Selain pengertian secara intuitif, pengertian limit juga dapat dijelaskan secara aljabar. Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu yang memuat



a, kecuali di a sendiri,



sedangkan L adalah suatu bilangan real. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati a,



lim ditulis



x a



f(x) = L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε



> 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x-a| 0 dan kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) 0 atau f ‘ (x) 0 untuk x2 yang merupakan interval untuk fungsi naik. F ‘ (x) f(x) pada x = a dapat di tulis :



Limit ini disebut turunan atau diferensial dari fungsi f(x) pada x = a. 28



Turunan fungsi f(x) untuk setiap nilai x ditentukan dengan rumus :



dengan f'(x) dibaca ( f aksen x ) disebut turunan dari f(x) terhadap x. Notasi turunan dari f(x) dapat dinyatakan dengan :



atau bisa juga dinotasikan dalam bentuk lain, yaitu dengan salah satu lambang berikut ini :



Lambang df(x)/dx atau dy/dx untuk turunan diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 -1716 ).



Turunan Fungsi Aljabar Materi Turunan (derivatif) mencakup materi turunan fungsi aljabar,turunan fungsi trigonometri, gradien garis singgung dan persamaan garis singgung pada suatu kurva tertentu, titik stasioner, fungsi naik dan fungsi turun. Lumayan banyak juga,yah…kita coba mulai dari fungsi aljabar dulu. Rumus-rumus turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut :



Turunan fungsi



f‘(x) didefinisikan sebagai : 29



f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h Rumus-rumus Turunan : untuk a = konstanta 



f(x)=axn maka f′(x)=an.xn−1







f(x)=a maka f′(x)=0







f(x)=x maka f′(x)=1



jika



U=u(x)danV=v(x) adalah suatu fungsi



f(x)=U+V maka f′(x)=U′+V′ f(x)=U−V maka f′(x)=U′−V′ f(x)=U×V maka f′(x)=U′.V+V′.U f(x)=UV maka f′(x)=U′.V−V′.UV2 f(x)=Un maka f′(x)=n.Un−1.U′ dinamakan aturan rantai Jangan sampai lupa yah, setiap fungsi yang hendak diturunkan, pastikan dinyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu, let’s cekidot … Contoh dan pembahasan turunan fungsi: 1. Tentukan turunan pertama dari :



f(x)=2x5 Jawab :



f′(x)==2.5.x5−110x4 2.



f(x)=3x Jawab : 30



nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi maka :



f(x)=3.x−1



f′(x)===3.(−1).x−1−1(−3).x−2−3x2 3.



f(x)=7x−−√ Jawab : nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi f(x)=7√.x12 maka :



f′ (x)=====7√.12.x12−112.7√.x−1212.7√.1x√7√2x√.x√ x√7x−−√2x 4.



f(x)=3x−2x+1 Jawab : kita misalkan



U=3x−2V=x+1makamakaU′=3V′=1 maka :



f′(x)====U′.V−V′.UV2(3)(x+1)−(1)(3x−2) (x+1)23x+3−3x+2(x+1)25(x+1)2 5.



f(x)=(3x2−5)4 Jawab : kita misalkan



U=3x2−5



maka :



U′=6x dan n=4 lalu kita pakai f′(x)=n.Un−1.U′ ( aturan rantai )



31



f′(x)==4.(3x2−5)4−1.6x24x(3x2−5)3



TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Berikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri :



Perhatikan contoh berikut :



Jawab :



Aturan Rantai untuk Mencari Turunan Fungsi 32



Pada postingan sebelumnya sudah di bahas cara menghitung turunan fungsi yang sederhana yaitu turunan fungsi yang berbentuk y = un. Misalnya untuk mencari turunan dari y = (4x–6) 2, lebih dahulu harus menjabarkan (4x–6)2 menjadi 14x2–48x+36 kemudian menurunkannya satu persatu dengan menggunakan cara menegerjakan turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v. Mencari turunan dari y = (4x–6) 2 dapat dikerjakan dengan menggunakan cara menegerjakan turunan fungsi yang berbentuk y = un. Tetapi kamu belum bisa mencari turunan fungsi yang berbentuk y = √(2 + x2) atau y = (3x + 7)99/4 dengan cara menjabarkannya terlebih dahulu. Misalkan ada contoh soal seperti ini carilah dy/dz dari persamaan y = (4x–6)2 dan x = z2 + 4. Bagaimana cara mengerjakan soal seperti itu? Untuk mengerjakan soal mencari dy/dz perlu dikembangkan teknik yang erat hubungannya dengan fungsi-fungsi majemuk yang telah kita pelajari sebelumnya. Jadi, anda harus memahami konsep-konsep sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah uraian berikut.



Jika y = f ◦ g sedemikian hingga y = f(g(x)) di mana f dan g adalah fungsifungsi yang mempunyai turunan, maka y juga mempunyai turunan sehingga:



Dalam bentuk lain dapat diuraikan sebagai berikut. Misalnya: z = g(x), è g'(x) = dz/dx dan f ′. (g(x)) = f ′(z) = dy/dz sehingga y' = f ′(g(x)) ⋅ g'(x) dy/dx = dy/dz ⋅ dz/dx Jadi:



33



Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal 1 Tentukan turunan pertama dari y = (4x3 + 5x2–x+4)12 Penyelesaian: Misal: z = 4x3 + 5x2–x+4 → dz/dx = 12x2 + 10x - 1 y = z12 → dy/dz = 12z11 y' = (dy/dz).(dz/dx) y' = 12z11⋅(12x2 + 10x - 1) y' = 12(4x3 + 5x2–x+4)11(12x2 + 10x - 1) y' = 12(12x2 + 10x - 1)( 4x3 + 5x2–x+4)11



Fungsi Naik dan Turun Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut. Definisi Fungsi Naik dan Turun Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 danx2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2). Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 danx2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).



34



Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.



Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b). 1. 2. 3.



Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b]. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b]. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b] Pembuktian



35



Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua xdalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan



Karena f ’(c) > 0 dan x2 – x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) n



Soal No. 10 Tentukan nilai dari



Pembahasan Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih rendah dari penyebutnya, m < n



Contoh berikutnya tipe soal limit → ∞ yang berbentuk "Selisih Akar Kuadrat".



Ini rumus yang nanti digunakan:



Kita terapkan pada soal berikut Soal No. 11 Nilai dari



adalah...



A. 3/4 B. 4/5 C. 6/5 D. 5/4 E. 4/3 42



Pembahasan Limit bentuk selisih akar kuadrat dimana a=p dengan b = 3 dan q = −5 sehingga tengok rumus di atas



Soal No. 12 Nilai dari



adalah...



A. − 39/10 B. − 9/10 C. −21/10 D. 39/10 E. ∞ Pembahasan Langkah pertama ubah ke bentuk selisih akar seperti soal sebelumnya.



Soal No. 13 Nilai dari



adalah...



A. ∞ B. 8 C. 5/4 D. 1/2 E. 0



Pembahasan Ubah ke bentuk selisih akar seperti ini: 43



Soal No. 14 Nilai dari



adalah...



Pembahasan Ubah ke bentuk selisih akar seperti soal sebelumnya.



Soal No. 15 Nilai dari



Pembahasan Soal limit aljabar dengan bentuk selisih akar gunakan ketentuan berikut:



Limit selisih akar dengan a = c, sehingga hasilnya = 0



Soal No. 16 44



Nilai dari



Pembahasan Limit selisih akar dengan a > c, sehingga hasilnya = ∞ Model berikutnya:



Soal No. 17 Nilai dari l



A. 0 B. 1/3 √3 C. √3 D. 2√3 E. ∞ Pembahasan Modifikasikan hingga jika disubstitusikan tidak menjadi bentuk tak tentu, 2x jika diubah bentuk akar akan menjadi √4x2:



Substitusi x dengan ∞ ingat bilangan dibagi tak hingga hasilnya (mendekati) NOL.



45



Soal dan pembahasan limit trigonometri Rumus berikut untuk menyelesaikan soal-soal limit trigonometri



Soal No. 1 Tentukan hasil dari soal limit berikut



Pembahasan Cara pertama dengan rumus yang ada diatas, sehingga langsung didapatkan



atau dengan cara kedua yang lebih panjang, memakai turunan, 3x turunkan jadi 3 dan sin 4x turunkan jadi 4 cos 4x, kemudian ganti x dengan nol



Soal No. 2 Tentukan hasil dari soal limit berikut



Pembahasan Seperti nomor 1



Soal No. 3 Tentukan hasil dari soal limit berikut



46



Pembahasan Seperti nomor 1 juga



Soal No. 4



Tentukan nilai dari:



Pembahasan Perhatikan rumus limit berikut:



Diperoleh



Soal No. 5 Tentukan hasil dari soal limit berikut Pembahasan Identitas trigonometri berikut diperlukan



Setelah diubah bentuknya gunakan rumus dasar di atas



Soal No. 6



47



Tentukan hasil dari soal limit berikut



Pembahasan Ubah dulu 1 − cos 4x menjadi 2 sin 2 2x.



Soal No. 7 Tentukan hasil dari soal limit berikut



Pembahasan Ubah dulu 1 − cos 6x menjadi 2 sin



2



3x.



Soal No. 8 Tentukan hasil dari soal limit berikut A. 1/2 B. 1/3 C. 1/6 D. 1/12 E. 1/18



Pembahasan Tinggal di susun ulang, didapat hasil



Soal No. 9



48



Nilai A. 4 B. 2 C. −1 D. −2 E. −4



Pembahasan Jika 1 − cos 4x menjadi 2 sin sin 2 2x, sehingga



2



2x, tentunya cos 4x − 1 menjadi − 2



Soal No. 10 Nilai A. −2 B. −1 C. 0 D. 1 E. 2 Pembahasan Ubah 1 − cos 2x menjadi 2 sin 2 x



Soal No. 11 Nilai dari:



A. 2π B. π C. 0 D. 1/π E. 1/2π Pembahasan Misakan:



49



x−2 =y



Soal No. 12 Nilai dari:



A. 0 B. 1/2 C. √2 D. 1/2 √2 E. 1



Pembahasan Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk 0/0, dengan strategi pemfaktoran, Ingat bentuk: a2 − b2 = (a − b)(a + b) dimana a = sin 2x dan b = cos 2x, setelah difaktorkan coret yang sama, kemudian substitusikan nilai x yang diminta:



Soal No. 13 Tentukan nilai dari



50



Pembahasan Substitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0. Ubah cos 2x menjadi bentuk lain yaitu cos2x − sin2x kemudian faktorkan dengan mengingat bentuk a2 − b2 = (a − b)(a + b) Setelah itu coret dengan bagian bawah, hingga diperoleh angka − 1. Rumus untuk cos 2x (dalam soal ini dipakai rumus yang pertama)



Sehingga:



Soal No. 14 Nilai dari



A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 E. 0



51



Pembahasan Faktorkan x2 − 1 dengan mengingat bentuk a2 − b2 = (a − b)(a + b). Kemudian uraikan sin2 (x − 1) menjadi sin (x − 1) sin (x − 1) dan tan (2x − 2) menjadi tan 2(x − 1). Coret seperlunya.



Contoh soal dan pembahasan turunan fungsi aljabar Soal No. 1 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x b) f(x) = 2x3 + 7x Pembahasan Rumus turunan fungsi aljabar bentuk axn



Sehingga: a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x f '(x) = 4⋅3x4− 1 + 2⋅2x2−1 − 5x1-1 f '(x) = 12x3 + 4x1 − 5x0 f '(x) = 12x3 + 4x − 5 b) f(x) = 2x3 + 7x f '(x) = 6x2 + 7 Soal No. 2 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 10x b) f(x) = 8 c) f(x) = 12



52



Pembahasan a) f(x) = 10x f(x) = 10x1 f '(x) = 10x1−1 f '(x) = 10x0 f '(x) = 10



b) f(x) = 8 f(x) = 8x0 f '(x) = 0⋅ 8x0−1 f '(x) = 0



c) f(x) = 12 f '(x) = 0 Soal No. 3 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 5(2x2 + 4x) b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4) Pembahasan Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 5(2x2 + 4x) f(x) = 10x2 + 20x f ' (x) = 20x + 20 b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4) Urai terlebih dahulu hingga menjadi f (x) = 10x2 + 8x + 15x + 12 f (x) = 10x2 + 13x + 12 53



Sehingga f ' (x) = 20x + 13



Soal No. 4 Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut a) b) c)



Pembahasan a)



b)



c)



Soal No. 5 Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut, nyatakan hasil akhir dalam bentuk akar a) b) c)



Pembahasan 54



a)



b)



c)



Soal No. 6 Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi berikut ini



Tentukan turunan untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5) Pembahasan Misal : u = (x2 + 2x + 3) v = (4x + 5) maka u ' = 2x + 2 v'=4 sehingga penerapan rumus di atas menjadi



55



Soal No. 7 Diketahui



Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ' (0) =... A. − 10 B. − 9 C. − 7 D. − 5 E. − 3 Pembahasan Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah



Berikutnya menentukan turunan f (x) yang berbentuk hasil bagi fungsi



Misal: u = x2 + 3 v = 2x + 1



-> ->



u' = 2x v' = 2



Sehingga



56



Untuk nilai x = 0 langsung bisa dimasukkan saja seperti ini



Sehingga f(0) + 2f' (0) = 3 + 2(−6) = − 9



Soal dan pembahasan fungsi turunan beserta jawaban 1.Diketahui f(x) = 2x3 + 3x – 4 .Tentukan turunannya ... Penyelesaian : f(x) = 2x3 +3x-4 f’(x) = 2 . 3x3-1 + 3 . 1x



1-1



-0



f’(x) = 6x2 + 3



2.Diketahui f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x3 + 2x2 + 6x + 12,tentukan nilai f’(x) adalah.... Penyelesaian : f(x) = 5x3 +2x2 + 6x + 12 f’(x) = 15x2+ 4x +6 f’(3) = 15 . 32 +4 . 3 + 6 = 135 + 12 + 6 = 153 3.Diketahui fungsi f(x) = 3x4 + 2x3 - x + 2 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’(1) adalah... Penyelesaian : f (x) = 3x4 + 2x3 – x + 2 f’ (x) = 12x 3 + 6x2 – 2 57



f’(1) = 12 + 6 + 2 = 18 – 2 =16



4.Diketahui fungsi f(x) = x5 +10x4 +5x2 -3x-10 dan f’ adalah turunan pertama dari f. Nilai f’ (1) adalah.... Penyelesaian : f(x) = x5 +10x4 +5x2-3x-10 f’(x) = 5x4 + 40x3 + 10x-3-10 f’(1)= 5.1 + 40.1 + 10.1 – 3 − 10 = 5 + 40 +10 – 3 – 10 = 42



5.Turunan pertama fungsi f(x) =(3x 2-5)4 adalah f’(x) =.... Penyelesaian : f(x) =(3x 2-5)4 f’(x) = (6x – 5 )4 6.Diketahui f(x) = x6 + 12x4 +2x2 – 6x + 8.Dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) adalah.... Penyelesaian: f(x) = x6 + 12x4 +2x2 – 6x + 8 f’(x)= 6x5 + 48x3 – 6 + 8 f’(1)= 6.1 + 48.1 – 6 + 8 = 6 + 48 – 6 + 8 = 56 58



7.Turunan pertama dari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 adalah f’(x).Nilai f’(1) adalah.... Penyelesaian: f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 f’(x) = 6x2 + 6x – 1 + 2 f’(1)= 6.1 + 6.1 – 1 + 2 = 6 + 6 – 1 +2 = 13 8.Diketahui f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x).Nilai f’(1) adalah… Penyelesaian: f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 f’(x) = 24x3 – 6x2 + 6x – 1 – 3 f’(1)= 24.1 – 6.1 + 6.1 – 1 -3 = 24 – 6 + 6 -1 -3 = 20 9.Diketahui y = 3x4 -2x5 – 1/2x6 -51-3.Tentukan turunannya… Penyelesaian : y’=12x4-1 – 2. 5x5 -1 – 1/2 .6x6-1 – 5.1x



1-1



- 0



= 12x3 -10x4 -3x5 -5 10.Diketahui f(x) = (x – 2)2.Tentukan turunanya… Penyelesaian : f(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4 f(x) = x2 – 4x + 4 59



f’(x) = 2x2-1 – 4x1-1 + 0 f’(x) = 2x – 4 11.Jika f(x) = sin2 (2x + π/6), maka nilai f′(0) = …f(x) = sin2 (2x + π/6) Pembahasan: f’(x) = 2 sin (2x + π/6)(2) = 4 sin (2x + π/6) f’(0) = 4 sin (2(0) + π/6) = 4 sin (π/6) = 4(1/2) =2



12. Turunan pertama dari f(x) = sin3(3x2 – 2) adalah f‘(x) = … Penyelesaian: f(x) = sin3(3x2 – 2) f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 2).3.6x.cos (3x2 – 2) = 18x sin2(3x2 – 2) cos (3x2 – 2)



13. Turunan dari f(x) =



adalah f‘(x) = …



PEMBAHASAN : f(x) = (cos2(3x2 + 5x))1/3 = cos2/3(3x2 + 5x) f’(x) = 2/3 cos-1/3(3x2 + 5x).(-sin(3x2 + 5x)).(6x + 5) = -2/3 (6x + 5) cos-1/3(3x2 + 5x) sin(3x2 + 5x)



60



14. Turunan pertama f(x) = cos3 x adalah … PEMBAHASAN : f(x) = cos3 x f’(x) = 3 cos2 x (-sin x) = -3 cos2 x sin x = -3/2 cos x (2 cos x sin x) = -3/2 cos x sin 2x



15. Persamaan garis singgung kurva y =



di titik dengan



absis 3 adalah… PEMBAHASAN : y=



= (5 + x)1/3



m = y’ = 1/3 (5 + x)-2/3 (1) y’(3) = 1/3 (5 + 3)-2/3 (1) = 1/3 ((8)2/3)-1 = 1/3 (4)-1 = 1/12



16. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + 2000/x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah … PEMBAHASAN : Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 160 + 2000/x Biaya proyek dalam x hari : (4x – 160 + 2000/x)x 61



f(x) = 4x2 – 160x + 2000



Agar biaya minimum : f’(x) = 0 f’(x) = 8x – 160 0 = 8x – 160 8x = 160 x = 20 hari Jadi biaya minimum per hari adalah = (4x – 160 + 2000/x) ribu rupiah = (4(20) – 160 + 2000/20) ribu rupiah = (80 – 160 + 100) ribu rupiah = 20 ribu rupiah = 20.000 17. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (4x – 800 + 120/x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam. PEMBAHASAN : Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 800 + 120/x Biaya proyek dalam x hari : (4x – 800 + 120/x)x f(x) = 4x2 – 800x + 120 Agar biaya minimum : f’(x) = 0 f’(x) = 8x – 800



62



0 = 8x – 800 8x = 800 x = 100 jam 18. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) = (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det. PEMBAHASAN : s = f(t) = v=



= (3t + 1)1/2



= f’(t) = 1/2 (3t + 1)-1/2 (3)



f’(8) = 3/2 (3(8) + 1)-1/2 = 3/2 (24 + 1)-1/2 = 3/2 (251/2)-1 = 3/2 (5)-1 = 3/10 19. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x – x 2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah PEMBAHASAN : Keuntungan setiap barang : 225x – x2 Keuntungan x barang : (225x – x2)x f(x) = 225x2 – x3 f’(x) = 450x – 3x2 0 = 450x – 3x2 0 = x(450 – 3x) x = 0 atau x = 150 63



jadi jumlah barang yang diproduksi agar untung maksimum adalah 150 barang.



20. y =(akar)2x^5 JAWAB: y =√(2x^5 ) = √2x^(5/2) → y’= 5/2 √2 x^(3/2) y = -2/x^4 = -2x^-4 → y’ = 8 x^-5 = 8/x^5 y = -8/x^10 = -8 x^-10 → y’ = 80 x^-11 = 80/x^11 y = 2/3x^6 → y’ = 4x^5 y = 3/x^3 - 1/x^4 = 3x^-3 – x^-4 → y’ = -9x^-4 + 4x^-5 = -9/x^4 + 4/x^5 y = 2/(3x) - 2/3 = (2/3) x^-1 – 2/3 → y’ = (-2/3) x^-2 = -2/ (3x^2)



21. 1) 2x^2 y - 4y^3 = 4 JAWAB: 4xy.dx + 2x^2.dy -12y^2.dy=0 4xy.dx +(2x^2 -12y^2)dy=0 dy/dx=4xy/(12y^2 -2x^2) d^2(y)/dx^2 = {(4y + 4x.dy/dx)(12y^2 - 2x^2)-(24y.dy/dx -4x) (4xy)}/(12y^2 -2x^2)^2 Penutup Kesimpulan Pada dasarnya pembuatan tugas ini perlu karena disamping menambah pengetahuan juga bisa untuk pembelajaran. Dengan diberinya tugas ini saya bisa mendapatkan pengalaman yang sangat berguna sekali. Sehingga saya dapat melaksanakan dan menyelesaikan tugas makalah ini. Saya mengucapkan terima kasih atas terselesainya tugas ini kepada orang tua yang telah membantu dalam pembuatan tugas ini dan semoga semua isinya dapat berguna khususnya bagi saya pribadi dan umumnya bagi para pembaca. 64



Apabila dalam hasil tugas ini ada kesalahan atau kekurangan saya mohon maaf yang sebesar-besarnya. Saran Saran saya untuk teman-teman adalah lebih giat lagi dalam mengerjakan tugas dari guru agar tugas tersebut tidak menumpuk.



Daftar Pustaka http://rumus-matematika.com/rumus-turunan-lengkap-beserta-contoh/ http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/121-limit-fungsialjabar#ixzz3pOXG4V1L http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/123-limit-fungsitrigonometri#ixzz3oqzMABn1 http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/100-turunan-fungsialjabar-11-sma#ixzz3pWAIigvV 65



http://mardhotillah29.blogspot.co.id/2013/06/contoh-soal-fungsi-turunanbeserta.html



66