Lingkaran Mohr [PDF]

Citation preview

LINGKARAN MOHR Telah diketahui bahwa keadaan tegangan yang dialami oleh material, baik di dalam struktur maupun di dalam proses pembentukan logam, sebagai akibat dari gaya-gaya eksternal yang diterimanya pada umumnya bersifat kompleks atau lebih dari satu sumbu (multiaksial). Berbagai cara dilakukan untuk mempermudah penggambaran keadaan tegangan spesifik tersebut. Salah satu metode yang paling banyak digunakan adalah metode penggambaran keadaan tegangan dengan menggunakan Diagram Lingkaran Mohr, yang dikembangkan oleh Otto Mohr. Diagram lingkaran Mohr menggambarkan keadaan tegangan pada suatu elemen fisik dengan menggunakan dua buah sumbu. Sumbu absis digunakan untuk menggambarkan tegangan-tegangan normal (normal stress), dan sumbu ordinat digunakan untuk menggambarkan tegangan-tegangan geser (shear stress). Beberapa prinsip dasar dan konvensi yang digunakan dalam konstruksi Lingkaran Mohr adalah sebagai berikut: 1. Sudut θ pada elemen fisik setara dengan sudut 2θ pada lingkaran Mohr.Konvensi tanda arah perputaran sudut adalah jika searah jarum jam maka positif dan jika berlawanan jarum jam maka negative 2. Konvensi tanda arah untuk tegangan geser adalah jika arah kebawah maka (+) dan jika arahnya ke atas maka (-) 3. Konvensi tanda arah untuk tegangan normal adalah seperti pada gambar berikut ini. Tegangan tarik (tension) positif sebaliknya tegangan tekan (compression) negatif. 4. Tegangan-tegangan pada lingkaran Mohr digambarkan dalam dua sumbu ortogonal. Sumbu horisontal (absis) digunakan untuk menggambarkan tegangan normal, sedangkan sumbu vertikal (ordinat) digunakan untuk menggambarkan tegangan geser.



Lingkaran Mohr untuk Pesawat Stres Misalkan dx dy elemen dz Gambar. 3-8b dipotong oleh sebuah pesawat miring dengan n normal pada sembarang sudut φ berlawanan dari sumbu x seperti ditunjukkan pada Gambar. 3-9. Bagian ini berkaitan dengan σ tekanan dan τ yang bertindak atas pesawat miring ini.



Dengan menjumlahkan Pasukan yang disebabkan oleh semua komponen stres ke nol, tekanan σ dan τ yang ditemukan



Persamaan (3-8) dan (3-9) disebut persamaan transformasi pesawat-stres. Membedakan Persamaan. (08/03) sehubungan dengan φ dan pengaturan hasil sama dengan nol memberikan



Persamaan (3-10) mendefinisikan dua nilai tertentu untuk 2φp sudut, salah satu yang mendefinisikan maksimum σ1 yang normal stres dan lainnya, stres σ2 yang normal minimum. Dua ini tegangan disebut tegangan utama, dan arah yang sesuai mereka, kepala sekolah arah. Sudut antara arah utama adalah 90 °. Hal ini penting untuk dicatat yang Eq. (3-10) dapat ditulis dalam bentuk



Membandingkan hal ini dengan Persamaan. (3-9), kita melihat bahwa τ = 0, yang berarti bahwa permukaan yang mengandung tegangan utama memiliki nol tegangan geser. Dengan cara yang sama, kita membedakan Persamaan. (09/03), menetapkan hasil sama dengan nol, dan memperoleh



Persamaan (3-11) mendefinisikan dua nilai dari 2φs di mana τ tegangan geser mencapai suatu nilai ekstrem. Sudut antara permukaan yang mengandung tegangan geser maksimum adalah 90 °. Persamaan (3-11) dapat juga ditulis sebagai



Dengan mensubstitusi ini ke Persamaan. (3-8) hasil



Persamaan (3-12) mengatakan bahwa dua permukaan yang mengandung tegangan geser maksimum juga mengandung tegangan normal sama (σx + σy) / 2. Membandingkan pers. (3-10) dan (3-11), kita melihat bahwa 2φs tan adalah timbal balik negatif dari 2φp tan. Ini berarti bahwa 2φs dan 2φp adalah sudut 90 ° terpisah, dan dengan demikian sudut antara permukaan yang mengandung tegangan geser maksimum dan permukaan yang mengandung tekanan utama adalah ± 45◦. Rumus untuk dua tegangan utama dapat diperoleh dengan mengganti sudut 2φp dari Persamaan. (10/03) dalam Pers. (08/03). Hasilnya adalah



Dengan cara yang sama dua geser tekanan ekstrim-nilai yang ditemukan



perhatian khusus Anda dipanggil untuk fakta bahwa nilai ekstrim dari tegangan geser mungkin tidak sama dengan nilai maksimum yang sebenarnya. Lihat Sec. 37. Penting untuk dicatat bahwa persamaan yang diberikan ke titik ini cukup memadai untuk melakukan setiap transformasi plane stress. Namun, hati-hati harus dilakukan ketika menerapkannya. Misalnya, Anda sedang berusaha untuk menentukan kepala sekolah keadaan stres untuk masalah di mana σx = 14 MPa,



σy = -10 MPa, dan τxy = -16 MPa. Persamaan (3-10) menghasilkan φp = -26.57◦ dan 63,43 ° untuk menemukan permukaan tegangan utama, sedangkan, Eq. (13/03) memberikan σ1 = 22 MPa dan σ2 = -18 MPa untuk tegangan utama. Jika semua yang kita inginkan adalah tegangan utama, kita akan selesai. Namun, bagaimana jika kami ingin menarik elemen yang berisi kepala sekolah menekankan benar berorientasi relatif untuk x, y sumbu? Yah, kita memiliki dua nilai φp dan dua nilai untuk kepala sekolah tekanan. Bagaimana kita tahu mana nilai φp sesuai dengan yang nilai tegangan utama? Untuk membersihkan ini kita akan perlu mengganti salah satu nilai dari φp dalam Persamaan. (3-8) untuk menentukan tegangan normal sesuai dengan sudut itu. Sebuah metode grafis untuk mengekspresikan hubungan dikembangkan di bagian ini, disebut diagram lingkaran Mohr, adalah sarana yang sangat efektif memvisualisasikan keadaan stres pada suatu titik dan melacak arah dari berbagai komponen yang terkait dengan pesawat menekankan. Persamaan (3-8) dan (3-9) dapat ditunjukkan untuk menjadi satu set persamaan parametrik untuk σ dan τ, di mana parameter adalah 2φ. Hubungan antara σ dan τ adalah bahwa dari lingkaran diplot pada bidang σ, τ, di mana pusat lingkaran terletak di C = (σ, τ) = [(Σx + σy) / 2, 0] dan memiliki radius R = ? [(Σx - σy) / 2] 2 + τ 2 xy. Masalah muncul di tanda tegangan geser. Persamaan transformasi didasarkan pada φ positif menjadi berlawanan, seperti ditunjukkan pada Gambar. 3-9. Jika τ positif diplot di atas σ axis, poin akan memutar searah jarum jam pada 2φ lingkaran dalam arah yang berlawanan dari rotasi pada elemen. Ini akan menjadi nyaman jika rotasi berada di sama arah. Satu bisa memecahkan masalah dengan mudah dengan memplot τ positif di bawah sumbu. Namun, pendekatan klasik ke lingkaran Mohr menggunakan konvensi yang berbeda untuk tegangan geser.



Lingkaran Shear Convention Mohr Konvensi ini diikuti dalam menggambar lingkaran Mohr: • tekanan Shear cenderung untuk memutar searah jarum jam elemen (cw) diplot di atas σ sumbu. • Shear menekankan cenderung untuk memutar



elemen



berlawanan



(CCW)



diplot



di



bawah



ini



yang σ sumbu. Sebagai contoh, perhatikan wajah yang tepat dari elemen pada



Gambar. 3-8b. Dengan konvensi lingkaran Mohr tegangan geser ditampilkan diplot bawah sumbu σ karena cenderung untuk memutar elemen berlawanan. Tegangan geser pada wajah atas elemen diplot di atas sumbu σ karena cenderung untuk memutar searah jarum jam elemen. Pada Gambar. 3-10 kita membuat sistem koordinat dengan tegangan normal diplot sepanjang absis dan tegangan geser diplot sebagai ordinat. Pada absis, tarik (positif) tegangan normal diplot ke kanan asal O dan tekan (negatif) yang normal menekankan ke kiri. Pada ordinat, searah jarum jam (cw) tegangan geser diplot up; berlawanan (CCW) tegangan geser diplot bawah.



Menggunakan negara stres Gambar. 3-8b, kita plot lingkaran Mohr, Gambar. 310, dengan terlebih dahulu mencari pada permukaan yang tepat dari elemen yang mengandung σx untuk menetapkan tanda σx dan cw atau arah CCW dari tegangan geser. Wajah yang tepat disebut x wajah mana φ = 0◦. Jika σx positif dan τxy tegangan geser adalah CCW seperti ditunjukkan pada Gambar. 3-8b, kita bisa



membangun titik A dengan koordinat (σx, τ CCW xy) pada Gambar. 3-10. Selanjutnya, kita lihat di bagian atas y wajah, di mana φ = 90◦, yang berisi σy, dan ulangi proses untuk mendapatkan titik B dengan koordinat (σy, τ cw xy) seperti ditunjukkan pada Gambar. 3-10. Kedua negara stres untuk elemen adalah? φ = 90◦ dari satu sama lain pada elemen sehingga mereka akan menjadi 2? φ = 180◦ dari masing-masing lainnya pada lingkaran Mohr. Titik A dan B adalah jarak vertikal yang sama dari sumbu σ. Dengan demikian, AB harus berada pada



diameter



lingkaran,



dan



pusat



lingkaran



C



adalah



di



mana



AB memotong sumbu σ. Dengan titik A dan B pada lingkaran, dan C pusat, lengkap lingkaran kemudian dapat ditarik. Perhatikan bahwa ujung diperpanjang garis AB diberi label x dan y sebagai referensi untuk normals ke permukaan untuk yang menunjuk A dan B mewakili tekanan. Lingkaran seluruh Mohr mewakili keadaan stres pada satu titik dalam struktur. Setiap titik pada lingkaran mewakili negara stres untuk berpotongan permukaan spesifik titik dalam struktur. Setiap pasang titik pada lingkaran 180 ° terpisah mewakili keadaan stres pada elemen yang permukaan adalah 90 ° terpisah. Setelah lingkaran yang ditarik, negara stres dapat divisualisasikan untuk berbagai permukaan berpotongan titik yang dianalisis. Sebagai contoh, tegangan utama σ1 dan σ2 adalah poin D dan E, masing-masing, dan nilai-nilai mereka jelas setuju dengan Persamaan. (13/03). Kami juga melihat bahwa tegangan geser adalah nol pada permukaan yang mengandung σ1 dan σ2. Dua geser tekanan ekstrim-nilai, satu searah jarum jam dan satu berlawanan, terjadi pada F dan G dengan besaran sama dengan radius lingkaran. Permukaan di F dan G masing-masing juga mengandung tekanan normal (Σx + σy) / 2 seperti disebutkan sebelumnya dalam Pers. (3-12). Akhirnya, keadaan stres pada sewenang-wenang permukaan yang terletak di sudut φ berlawanan dari x wajah titik H. Pada suatu waktu, lingkaran Mohr digunakan grafis di mana ia ditarik ke skala yang sangat akurat dan nilai-nilai diukur dengan menggunakan skala dan busur derajat. Di sini, kami secara ketat menggunakan lingkaran Mohr sebagai bantuan



visualisasi dan akan menggunakan pendekatan semi grafis, menghitung nilai dari properti dari lingkaran. Hal ini digambarkan dengan contoh berikut.



CONTOH 3-4 Unsur stres memiliki σx = 80 MPa dan τxy = 50 MPa cw, seperti ditunjukkan pada Gambar. 3-11a. (A) Menggunakan lingkaran Mohr, menemukan tegangan utama dan arah, dan menunjukkan ini pada elemen stres dengan benar selaras



sehubungan



dengan



koordinat



xy.



menggambar



lain



Unsur stres menunjukkan τ1 dan τ2, menemukan tekanan yang normal sesuai, dan label menggambar sepenuhnya. (B) Ulangi bagian menggunakan persamaan transformasi saja. Solusi (a) Dalam pendekatan grafis semi yang digunakan di sini, pertama kita membuat freehand perkiraan sketsa lingkaran Mohr dan kemudian menggunakan geometri dari gambar untuk mendapatkan yang diinginkan informasi. Menggambar σ dan τ kapak pertama (Gambar. 3-11b) dan dari x wajah menemukan σx = 80 Mpa sepanjang sumbu σ. Pada x wajah elemen, kita melihat bahwa tegangan geser adalah 50 MPa di arah cw. Dengan demikian, untuk x wajah, ini menetapkan titik A (80, 50cw) MPa. Sesuai dengan y wajah, stres adalah σ = 0 dan τ = 50 MPa dalam arah CCW. Ini menempatkan titik B (0, 50 CCW) MPa. Garis AB merupakan diameter lingkaran yang diperlukan, yang sekarang dapat ditarik. Persimpangan lingkaran dengan σ sumbu mendefinisikan σ1 dan σ2 seperti yang ditunjukkan. Sekarang, mencatat segitiga ACD, menunjukkan pada sketsa panjang kaki AD dan CD 50 dan 40 MPa, masing-masing. Panjang AC miring adalah Jawaban



dan ini harus diberi label pada sketsa juga. Sejak persimpangan C adalah 40 MPa dari asal, tekanan utama sekarang ditemukan Jawaban



Sudut 2φ dari sumbu x cw untuk σ1 yaitu



Jawaban



Untuk menggambar elemen tegangan utama (Gambar. 3-11c), sketsa x dan y sumbu paralel dengan sumbu aslinya. Sudut φp pada elemen stres harus diukur dalam yang sama arah seperti sudut 2φp pada lingkaran Mohr. Dengan demikian, 51,3 °) searah jarum jam untuk mencari sumbu σ1. The σ2 sumbu 90 ° dari sumbu σ1 dan stres Unsur sekarang dapat diselesaikan dan diberi label seperti yang ditunjukkan. Perhatikan bahwa tidak ada geser menekankan pada elemen ini. Kedua tegangan geser maksimum terjadi pada titik-titik E dan F pada Gambar. 311b. Kedua tegangan normal sesuai dengan ini tegangan geser masing-masing 40 MPa, seperti yang ditunjukkan. Titik E adalah 38,7 ° CCW dari titik A pada lingkaran Mohr. Oleh karena itu, pada Gambar. 3-11d, menggambar Unsur stres berorientasi 19,3 ° (setengah dari 38,7 °) CCW dari x. elemen maka harus label dengan besaran dan arah seperti yang ditunjukkan. Dalam membangun elemen stres ini penting untuk menunjukkan x dan y arah sistem referensi asli. Ini melengkapi hubungan antara asli elemen mesin dan orientasi tekanan utamanya.



Jawaban



(B) Persamaan transformasi yang diprogram. Dari Persamaan. (3-10),



Dari Persamaan. (08/03), untuk sudut pertama φp = -25.7◦,



Geser di permukaan ini diperoleh dari Persamaan. (09/03) sebagai



yang menegaskan bahwa 104,03 MPa adalah tegangan utama. Dari Persamaan. (08/03), untuk φp = 64.3◦,



Jawaban Mengganti φp = 64.3◦ ke Persamaan. (3-9) lagi menghasilkan τ = 0, menunjukkan bahwa -24,03 Mpa juga merupakan tegangan utama. Setelah tegangan utama dihitung mereka dapat dipesan sehingga σ1 ≥ σ2. Dengan demikian, σ1 = 104,03 MPa dan σ2 = -24,03 MPa. Sejak untuk σ1 = 104,03 MPa, φp = -25.7◦, dan karena φ didefinisikan CCW positif di persamaan transformasi, kami memutar searah jarum jam 25,7 ° untuk permukaan yang mengandung σ1. Kami lihat pada Gambar. 3-11c bahwa ini benar-benar setuju dengan metode semi



grafis. Untuk menentukan τ1 dan τ2, pertama kita menggunakan Persamaan. (311) untuk menghitung φs:



Ingat bahwa pers. (3-8) dan (3-9) adalah koordinat persamaan transformasi. Membayangkan bahwa kita berputar x, y sumbu 19,3 ° berlawanan dan y sekarang akan menunjuk dan ke kiri. Jadi tegangan geser negatif pada diputar x wajah akan menunjuk ke bawah dan ke tepat seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3-11d. Jadi sekali lagi, hasil setuju dengan metode semi grafis. Untuk φs = 109.3◦, Pers. (3-8) dan (3-9) memberikan σ = 40,0 MPa dan τ = 64,0 MPa. Menggunakan logika yang sama untuk transformasi koordinat kita menemukan bahwa hasil lagi setuju dengan Gambar. 3-11d.