LKPD Kombinasi [PDF]

Citation preview

Menemukan Konsep Kombinasi



Masalah 1 SANJI



NAMI LUFFY



USOP ZORR O



Dari 5 orang siswa Kelas II SMA N 1 Percut yang lulus seleksi pra olimpiade matematika, akan dipilih 2 orang sekaligus untuk mengikuti olimpiade tingkat kota. Berapa banyak pilihan siswa yang mungkin sebagai peserta olimpiade tingkat kota?



KAMI SIAP MENGIKUTI UJIAN OLIMPIADE!!!



Analisis Jika guru matematika memilih Sanji dan Nami untuk mengikuti olimpiade, hal ini sama saja dengan guru tersebut memilih Nami dan Sanji. Kasus ini adalah jenis kasus yang tidak memperhatikan urutan.



Alternatif Penyelesaian: Adapun pilihan-pilihan yang mungkin sebagai peserta olimpiade tingkat kota adalah sebagai berikut: ............ - ............. ............ - ............. ............ - .............



............ - .............



............ - .............



............ - .............



............ - .............



............ - .............



............ - .............



............ - .............



Terdapat ..... pilihan siswa sebagai peserta olimpiade tingkat kota. Dengan menggunakan faktorial, ..... cara yang ditemukan dapat dijabarkan sebagai berikut: 5



5 × … ×… ×… × 1



….!



10 = 3 × 3! atau 10 = (2 × 1) × (3 ×… ×1 ) = ….!…..!



Masalah 2 Pada suatu pusat pelatihan atlit bulu tangkis, terdapat 3 atlit perempuan dan 4 atlit laki-laki yang sudah memiliki kemampuan yang sama. Untuk suatu pertandingan akbar, tim pelatih ingin membentuk 1 pasangan ganda campuran. Berapa banyak pasangan yang dapat dipilih oleh tim pelatih? Analisis



Untuk memilih 1 pasangan ganda campuran berarti memilih 1 atlit wanita dari 3 atlit wanita dan memilih 1 atlit laki-laki dari 4 atlit lakilaki. Alternatif Penyelesaian: Misalkan 3 atlit wanita kita beri inisial: AW1, AW2, AW3 dan 4 atlit laki-laki kita beri inisial: AL1, AL2, AL3, AL4. Dengan menggunakan metode diagram, banyak pilihan ganda campuran dinyatakan sebagai berikut:



..... ..... ..... .....



Terdapat ..... pasangan ganda campuran yang dapat dipilih



..... ..... ..... ..... ..... ..... .....



Dengan menggunakan faktorial, penjabaran .... cara dengan menerapkan pola (#) adalah: ….



….



3×….×1



4 ×… ×… ×1



….!



….!



12 = 3 × 4 = (…. × 1!) × ( … × 1!) = 1!(2×….) × 1!(3 ×….×1) = (….!….!) × (….!….!) Dari pembahasan Masalah 1 dan 2, memilih k unsur dari n unsur tanpa memperhatikan urutan unsur yang dipilih disebut kombinasi.



KESIMPULAN Kombinasi k unsur dari n unsur biasa dituliskan 𝐶𝑘𝑛 ; n 𝐶𝑘 ; C (n, k) atau (𝑛𝑘) Banyak kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia, tanpa memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan : 𝐶𝑘𝑛 =



…! (… − ⋯ )! … !



Selesaikanlah kombinasi di bawah ini. 8!



1. 𝐶78 = (8−7)!.7! =



8×7! 1!.7!



……!



28 2. 𝐶27 = (……−⋯..)!……! = ……!



3. 𝐶111 = (……−⋯..)!……! =



=8 ……×……!



=⋯



……!……! …….×……! ……!…….!



………!



2000 4. 𝐶1999 = (………−⋯…....)!…….…! = ………!



=⋯



……….×…….…! ….……!…….….!



=⋯



……..!



100 5. 𝐶100 = (……..− ⋯…….)!…….! = ……..!………! = ⋯



Dari pembahasan kombinasi di atas, dapat disimpulkan sifat berikut ini: Sifat Kombinasi 𝑛!



Diketahui 𝐶𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!𝑘! dengan n ≥ k. 𝑛!



1. Jika n – k = 1, maka 𝐶𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!𝑘! = ⋯ ….. 𝑛!



2. Jika k = 1, maka 𝐶𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!𝑘! = ⋯ … ….. 𝑛!



3. Jika n = k, maka 𝐶𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!𝑘! = ⋯ … ….



AKTIVITAS II Penerapan Konsep Kombinasi



Masalah 1 Sebuah tim basket memiliki 12 orang pemain. Dalam suatu pertandingan akan dipilih 6 orang sebagai pemain cadangan. Berapa banyak carakah untuk memilih pemain cadangan?



Analisis Akan dipilih 6 orang dari 12 orang yang akan dijadikan pemain cadangan. Alternatif Penyelesaian: Misalkan .... orang tersebut A,B,C,D,…,L. Dipilih ... orang sebagai pemain cadangan yaitu : A,B,C,D,E,F, hal ini sama saja dengan memilih F,E,C,D,B,A, karena bagaimanapun cara memilihnya 6 orang inilah pemain cadangannya. Ini adalah kasus yang tidak memperhatikan urutan, yaitu kasus kombinasi. ….. 𝐶𝑘𝑛 = 𝐶….. =



…..! ….! ……× ……! = = = ⋯ … …. (… . . − ⋯ … )! … … . ! … . . ! … … ! …….……!



Jadi, terdapat ...... cara memilih.



Masalah 2 Dari 5 pria dan 7 wanita dibentuk komite yang terdiri dari 2 pria dan 3 wanita. Ada berapa macam cara yang berbeda dapat dibentuk apabila: a. setiap pria dan wanita itu dapat dipilih; b. salah seorang pria harus terpilih; c. dua orang pria tidak boleh menjadi anggota komite?



Alternatif Penyelesaian: a. Akan dipilih ..... dari ..... pria dan ..... dari .... wanita. Sehingga banyaknya cara yang mungkin adalah …..!



…..!



…!



…!



…×…!



…×…!



….. ….. 𝐶…... × 𝐶…... = (…−⋯ )!….! × (…−⋯ )!….! = …!…! × …!…! = ….……! × ….……! = ⋯ × … = ⋯



b. Terdapat ... pria dan seorang pria harus terpilih, sehingga sisanya ... pria dipilih untuk diposisikan pada 1 posisi di komite (satu posisi sudah ditempati pria yang terpilih). Sehingga banyaknya cara yang mungkin adalah: …..!



…..!



…!



…!



…×…!



…×…!



….. ….. 𝐶…... × 𝐶…... = (…−⋯ )!….! × (…−⋯ )!….! = …!…! × …!…! = ….……! × ….……! = ⋯ × … = ⋯



c. Terdapat ... pria dan ... orang pria tidak boleh menjadi anggota komite. Sehingga pilihan/calon komite dari pria tinggal ... orang untuk diposisikan pada 2 posisi di komite. Sehingga banyaknya cara yang mungkin adalah: …..!



…..!



…!



…!



…×…!



…×…!



….. ….. 𝐶…... × 𝐶…... = (…−⋯ )!….! × (…−⋯ )!….! = …!…! × …!…! = ….……! × ….……! = ⋯ × … = ⋯



LATIHAN 1. Untuk mengikuti suatu perlombaan, sekolah akan memilih 2 orang siswa dari 13 anak bersedia untuk ikut dalam perlombaan. Tentukan banyaknya kombinasi anak yang diperoleh sekolah dari ke 13 anak tersebut! 2. Suatu kelompok yang terdiri dari 6 orang pria dan 11 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita? 3. Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yang tersedia. Tentukan: a. Banyaknya jenis pilihan soal yang mungkin untuk dikerjakan b. Banyaknya jenis pilihan soal yang mungkin dikerjakan jika nomor 6 dan nomor 7 wajib dikerjakan