LKPD Proglin Pertemuan 3 [PDF]

Citation preview

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD) Menjelaskan dan Menyelesaikan Nilai Optimum Fungsi Obyektif. Nilai Optimum suatu fungsi tujuan f(x,y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik baik dengan metode uji titik maupun dengan menggunakan garis selidik 1.



2.



Metode Uji Titik Menentukan nili optimum uji titik sudut dapat dikerjakan melalui langkah-langkah berikut : a. Lukis daerah penyelesaian dari kendala dalam suatu masalah program linier b. Tentukan koordinat titik sudut titik sudut daerah penyelesaian c. Hitung nilai fungsi tujuan f(x,y) = ax + by untuk masing-masing titik sudut d. Nilai optimum dicari dengan menggunakan nilai nilai pada langkah c Metode garis Selidik Menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan dengan metode garis selidik dapat dikerjakan dengan langkah-langkah berikut : a. Lukis garis ax + by = ab yang memotong sumbu X dititik ( b, 0 ) dan memotong sumbu Y dititik ( 0, a) b. Tarik garis yang sejajar dengan ax + by = ab yang melalui titik – titik perpotongan pada batas-batas daerah himpunan penyelesaian. c. Garis selidik yang berada paling atas atau yang berada paling kanan menunjukan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada paling bawah atau paling kiri pada daerah himpunn penyelesaian menunjukan nilai minimum.



Contoh : 1.



Perhatikan gambara berikut



a.



Tentukan sistem pertidaksamaan linier



b.



Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan f(x,y) = 8x + 3y



2.



Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi obyektif z = 2x + 3y yang memenuhi persamaan x + 3y ≤ 7 , x ≥ 0 dan y ≥ 0 , x ,y 𝜖 R



Jawab : 1.



a.



Persamaan dengan menggunakan grafik 5x + 10 y = 50 ⇒ x + 2y = 10 dengan uji titik didapat



x + 2y ≤ 10



6x + 9y = 54 ⇒ 2x + 3y = 18



2x + 3y ≤18



Model matematika Sistem Pertidalsamaan linier adalah… x + 2y ≤ 10 2x + 3y ≤18 x≥0 y≥ 0 b.



Menentukan nilai maksimum Menentukan titik potong garis x + 2y = 10 dan 2x + 3y = 18 x + 2y = 10



∣ × 2 ⇒ 2x + 4y = 20



2x + 3y = 18



∣ × 1 ⇒ 2x + 3y = 18 − y=2



Untuk y = 2 subtitusi ke persaman



x + 2y = 10 x + 2. 2 = 10 x = 10 − 4 ⇒ x = 6



Jadi titik potong nya adalah ( 6,2 ) 



Menentukan biaya maksimum Titik pojok ( 0, 0 ) ( 9, 0 ) ( 6,2) ( 0,5 )







F ( x, y ) = 8x + 3y 8× 0 + 3 ×0 = 0 + 0 = 0 ( min ) 8 × 9 + 3 × 0 = 72 + 0 = 72 ( max ) 8 × 6 + 3 × 2 = 48 + 6 = 54 B × 0 + 3 × 5 = 0 + 15 = 15



Jadi nilai maksimum dari fugsi tujuan adalah 72



2.



Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah seperti gambar di samping Untuk menggunakan metode garis selidik ax + by = k, ikuti langkah-langkah berikut : 



Gambar garis 2x + 3y = 2( 3 ) ⇒ 2x + 3y = 6 anggap sebagai garis k0







Tarik garis k1 yang sejajar garis k0 Melewati titik A(7,0).







Tarik garis k2 yang sejajar k1 dan kemudian melalui titik B ( 0,7)







Kemudian Tarik garis k3 yang sejajar k2 dan melalui titik (0,0)



Terlihat bahwa dari gambar di samping, garis k2 letaknya paling atas, berarti nilai maksimum dari z = 2x + 3y dicapai pada titik B(0,7). Jadi nilai maksimum dari z = 2x + 3y = 2 (0) + 3 (7) = 21 Garis k3 letaknya paling bawah, berari nilai minimum dicapai pada titik O(0,0) sehingga nilai minimum dari z = 2x + 3y = 2 (0)+ 3 (0)= 0



Ayoo berlatih! Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka cobalah selesaikan soal-soal di bawah ini! 1.



Nilai minimum dari fungsi f(x,y) = 10x + 4y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 5x+ 2y ≤ 80, x + 4y ≥ 25, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah ….



2.



Daerah segilima pada gambar berikut merupakan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dari program linier.



Fungsi obyektif z = 5x + y mencapai maksimum dititik ( pilih salah satu )



3.



a.



A



c. C



b.



B



d. D



e. O



Agar fungsi f( x,y) = nx + 4y dengan kendala 2x + y ≥ 10, x + 2y ≥ 8, x ≥ 0 , y≥0 mencapai nilai minimum hanya dititik ( 4,2 ) maka konstanta n yang memenuhi adalah… a. n ≤ −8 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑛 ≥ −2



d. 2 ≤ 𝑛 ≤ 8



b. n ≤ 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑛 ≥ 8



e. 2 ≤ 𝑛 ≤ 10



c. −2 ≤ 𝑛 ≤ 8 4.



Tentukanlah nilai maksimum dari f(x,y) = 5x + 3y untuk sistem pertidaksamaan : x + y ≤ 6 , 2x + 3y ≤ 15 , x ≥ 0 , y ≥ 0



5.



Tentukanlah nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 3y pada daerah yang diarsir berikut ini



6.



Daerahsegilima ABCDE merupakan himpunan penyelesaian suatu program linear. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif 3x – 2y untuk x dan y bilangan asli adalah .... a.



10 dan –1



b.



10 dan –6



c.



15 dan -6



d.



15 dan –1



e.



15 dan 10