LOGIKA [PDF]

Citation preview

Bab



1



Logika



Materi Pembelajaran:            



Pengertian Logika Kalimat Matematika Tabel Kebenaran Pernyataan Majemuk Daya Ikat dan Daya Pisah Suatu Operasi Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Pernyataan Ekuivalen Sifat-sifat Perangkai Logika Konvers, Invers, dan Kontraposisi Negasi Pernyataan Majemuk Pernyataan Berkuantor Argumen



Tujuan Pembelajaran: Siswa diharapkan mampu:  Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya.  Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.  Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan.



Matematika 1: Logika _________________________________



1



 Menggunakan sifat dan prinsip logika untuk penarikan kesimpulan.



Bab 1 Logika Selamat, sekarang kamu telah berhasil lulus dari bangku SMP atau Madrasah Tsanawiyah dan kini kamu telah duduk di bangku SMA atau Madrasah Aliyah. Pasti ada banyak teman baru dan tentu saja pengalaman baru yang akan kamu peroleh selama di bangku Madrasah Aliyah. Sudah siap belajar matematika lagi? Tentu, kamu sudah siap. Materi pertama kita adalah LOGIKA. Apa itu logika? Dan apa sih yang akan dibahas dalam logika? Untuk memberikan sekelumit gambaran tentang apa yang akan dipelajari dalam logika, perhatikan permasalahan berikut ini. Dalam sebuah ekspedisi untuk menemukan harta karun, seorang petualang menemukan tiga buah kotak tertutup rapat. Di atas kotak pertama terdapat tulisan EMAS, di atas kotak kedua terdapat tulisan PERAK, dan di atas kotak ketiga terdapat tulisan EMAS ATAU PERAK. Setelah menyelidiki sekian lama, petualang tersebut memperoleh petunjuk baru, yaitu: Tulisan di atas setiap kotak adalah salah. Apabila petualang tersebut ingin membawa kotak yang berisi EMAS, kotak manakah yang harus dibawa? Jika kamu penasaran dan ingin membantu petualang tersebut, silakan kamu mempelajari LOGIKA di bawah ini.



1.1. Apa itu Logika? Kamu pasti sering mendengar istilah logika atau kamu sendiri malah sering menggunakan istilah logika dalam berkomunikasi dengan orang lain dalam kehidupan sehari-hari. Jika kamu penggemar lagu-lagu pop Indonesia pasti kamu tahu penyanyi Agnes Monica. Dalam album terbaru “WHATDDUP A’…!?” ada sebuah lagu yang berjudul “Tak Ada Logika”. ………………………….……. Cinta ini kadang-kadang tak ada logika Persis sebuah hasrat dalam hati Hanya ingin dapat memiliki dirimu dalam sesaat ……………………………….. Menurut Agnes Monica, dalam cinta “Tak Ada Logika”. Kok bisa? Lalu apa yang dimaksud dengan logika? Matematika 1: Logika _________________________________



2



Secara umum, logika adalah suatu disiplin ilmu yang membahas dan menyelidiki prinsip-prinsip atau aturan-aturan penalaran yang sah. Dalam kehidupan sehari-hari, penalaran diungkapkan dengan menggunakan bahasa. Bahasa adalah rangkaian kalimat-kalimat yang disusun dengan aturan tertentu. Kalimat merupakan rangkaian kata-kata, sedangkan kata merupakan rangkaian huruf-huruf yang disusun menurut aturan tertentu. Dengan demikian bahasa dapat dinyatakan sebagai rangkaian lambanglambang atau simbol-simbol menurut aturan tertentu. Jika demikian apa yang dimaksud dengan logika matematika? Logika matematika adalah suatu ilmu yang mempunyai aturan penalaran yang betul dengan menggunakan bahasa matematika. Bahasa Matematika adalah bahasa yang diungkapkan dengan menggunakan simbol-simbol tanpa makna yang abstrak sifatnya. Dalam logika dibahas suatu bahasa tertentu, yaitu rangkaian dari kalimatkalimat tertentu yang disebut dengan kalimat deklaratif (pernyataan) dan kalimat terbuka. Tidak semua kalimat dalam kehidupan sehari-hari akan dibahas dalam logika. Kalimat-kalimat yang tidak dibahas tersebut adalah kalimat tanya dan kalimat perintah. Kalimat dibedakan menjadi dua, yaitu: (1) Kalimat bermakna, yaitu kalimat yang dapat dimengerti maksudnya. Contoh: SBY adalah Presiden Indonesia. (2) Kalimat tidak bermakna, yaitu kalimat yang tidak dapat ditemukan maksudnya. Contoh: Gunung Merapi adalah komputer yang tidak bisa makan. Kalimat bermakna dibagi menjadi dua, yaitu: (1) Kalimat deklaratif atau pernyataan. Kalimat deklaratif atau pernyataan adalah kalimat yang dapat bernilai benar atau salah tetapi tidak bisa bernilai benar-salah sekaligus. Contoh: “Jakarta ibukota Indonesia”. Dengan pengetahuan geografi yang kita punya, kita dapat menyimpulkan bahwa benar Jakarta ibukota Indonesia. Sebaliknya, “Tiga adalah bilangan genap” adalah kalimat deklaratif yang bernilai salah karena dengan pengetahuan matematis yang kita punya, kita tahu bahwa tiga bukan bilangan genap. Kalimat deklaratif atau pernyataan sering dilambangkan dengan huruf “p”, “q” atau hurufhuruf yang lain. (2) Kalimat bukan deklaratif. Kalimat bukan deklaratif adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya. Yang termasuk dalam kalimat bukan deklaratif adalah kalimat terbuka, kalimat tanya, dan kalimat perintah. Untuk memperjelas kalimat bukan deklaratif perhatikan contoh-contoh berikut ini. 1. x + 5 = 10 2. Apakah kamu sudah belajar logika? Matematika 1: Logika _________________________________



3



3. Ambilkan buku di dalam rak itu! Kalimat (1) adalah kalimat terbuka. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya. Jika x pada kalimat tersebut diganti dengan lima, maka akan diperoleh kalimat deklaratif bernilai benar. Tetapi jika x diganti bilangan selain lima, maka akan diperoleh kalimat deklaratif bernilai salah. Kalimat (2) adalah kalimat tanya. Kita tahu makna kalimat tersebut, tetapi kalimat tersebut tidak mempunyai nilai benar atau salah. Kalimat (3) adalah kalimat perintah. Meski kalimat tersebut memiliki makna, tetapi tidak mempunyai nilai benar atau salah. Kalimat deklaratif atau pernyataan dibedakan menjadi dua, yaitu: (1) Kalimat sederhana/tunggal. Kalimat sederhana adalah kalimat yang tidak memuat kata perangkai. Contoh: “Candi Borobudur terletak di provinsi Jawa Tengah”. (2) Kalimat majemuk. Kalimat majemuk adalah kalimat yang memuat kata perangkai. Dalam logika matematika, kata perangkai tersebut adalah: negasi (~), konjungsi (), disjungsi (), implikasi (), dan biimplikasi (). Jika p     



dan q adalah kalimat-kalimat deklaratif, maka ~p disebut negasi p, dan dibaca: tidak p / tidak benar p p  q disebut konjungsi dari p dan q, dan dibaca: p dan q/p tetapi q p  q disebut disjungsi dari p dan q, dan dibaca: p atau q p  q disebut implikasi dari p dan q, dan dibaca: jika p, maka q p  q disebut biimplikasi dari p dan q, dan dibaca: p jika dan hanya jika q.



Kalimat yang dirangkai menggunakan kata perangkai negasi disebut kalimat deklaratif (pernyataan) moner, sedang kalimat yang dirangkai menggunakan kata perangkai konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi disebut kalimat deklaratif (pernyataan) biner.



Latihan 1 Tentukan, apakah kalimat berikut termasuk kalimat terbuka ataukah kalimat deklaratif. Jika kalimat deklaratif tentukan nilai kebenarannya! 1. x2 + 16 = 0. 2. 1 adalah bilangan prima. 3. x2  9  0. 4. 4 adalah bilangan komposit. 5.  



22 . 7



6. Rumus pytagoras berlaku untuk sembarang segitiga. 7. Bilangan genap ditambah bilangan genap hasilnya bilangan genap. 8. 8 adalah bilangan pecahan. Matematika 1: Logika _________________________________



4



9. Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap. 10. Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan genap. 11. sin2x + cos2x = 1 12. Jika x2 = 4, maka x = 2. 13. Jika x = 2, maka x2 = 4. 14. Dalam segitiga ABC berlaku a2 = b2 + c2  2bc cos A. 15. Setiap persegi adalah persegi panjang. 16. Setiap persegi panjang adalah jajar genjang. 17. Setiap segitiga sama sisi pasti segitiga sama kaki. 18. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. 19. Semua bilangan cacah adalah bilangan asli. 20. Terdapat bilangan x dan y sedemikian sehingga x + y = 4.



1.2. Tabel Kebenaran Kalimat deklaratif atau pernyataan adalah kalimat yang dapat bernilai benar atau salah tetapi tidak bisa benar-salah sekaligus. Permasalahannya adalah bagaimana menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk? Nilai kebenaran pernyataan majemuk dapat ditentukan dengan menggunakan tabel, yang dinamakan tabel kebenaran. Pada tabel kebenaran didaftar seluruh kemungkinan nilai kebenaran pernyataanpernyataan tunggalnya lalu dengan menggunakan aturan-aturan tertentu ditentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk tersebut. Pada tabel kebenaran nilai kebenaran suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf B untuk menyatakan pernyataan bernilai benar dan S untuk menyatakan pernyataan bernilai salah. Dalam beberapa buku lain, nilai kebenaran suatu pernyataan pada tabel kebenaran kadang dinotasikan dengan 1 atau T untuk pernyataan bernilai benar dan 0 atau F untuk pernyataan bernilai salah.



1.2.1. Negasi Misalnya kamu menyatakan cintamu kepada pujaan hatimumu, “Yang, sungguh aku mencintaimu. Maukah kamu menjadi pacarku?” Dan pujaan hatimu menjawab, “Maaf, kuakui kamu baik dan menyenangkan, tetapi aku tidak mencintaimu. Kita berteman saja, ya..” Ilustrasi sederhana tersebut adalah contoh negasi dalam kehidupan sehari-hari. Apa yang disebut negasi? Negasi adalah suatu pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata “tidak” atau menyisipkan kata “bukan” pada pernyataan semula. Definisi:



Matematika 1: Logika _________________________________



5



~p bernilai benar jika p bernilai salah dan ~p bernilai salah jika p bernilai benar. Dengan menggunakan tabel kebenaran, definisi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut: p ~p B S S B Contoh: 1. p : 1 ~p :1 2. q : 7 ~ q: 7



 3.  3. merupakan bilangan prima. bukan merupakan bilangan prima.



Bagaimana jika suatu negasi kemudian dinegasikan kembali? Mudah saja, jawabnya kembali ke pernyataan semula. Perhatikan tabel di bawah ini! p ~ p ~~ p ~~~P B S B S S B S B



1.2.2. Konjungsi Apa syarat membuat SIM C? Syarat membuat SIM C adalah pemohon memiliki KTP dan Surat Sehat yang dikeluarkan oleh lembaga yang telah ditunjuk. Apa makna dari syarat tersebut? Maknanya adalah kalau kamu memenuhi kedua syarat tersebut kamu berhak untuk mencatatkan diri sebagai pemohon SIM C. Tetapi jika kamu hanya memenuhi salah satu syarat apalagi tidak memenuhi kedua-duanya, maka kamu tidak dapat membuat SIM C. Kok bisa begitu ya? Untuk lebih jelasnya, perhatikan definisi konjungsi di bawah ini. Definisi: Kalimat p  q bernilai benar bila kedua kalimat p dan q bersama-sama bernilai benar. Dengan menggunakan tabel digambarkan sebagai berikut: p B B S



kebenaran,



definisi



tersebut



dapat



q pq B B S S B S



Matematika 1: Logika _________________________________



6



S



S



S



Contoh:  2 bilangan prima dan sisi-sisi belah ketupat sama panjang. (B)  6 bilangan komposit dan jumlah sudut-sudut segitiga 180o. (S)  1 bilangan prima dan Jakarta ibukota Indonesia. (S)  Semarang ibukota Jawa Timur dan Real Madrid dari Perancis. (S)



1.2.3. Disjungsi Seorang warga negara Indonesia dapat menggunakan hak pilih dalam pemilu apabila telah memenuhi beberapa persyaratan. Salah satu persyaratan tersebut adalah: Telah berusia lebih dari 17 tahun atau sudah menikah. Syarat tersebut berarti: jika seseorang telah berusia lebih dari 17 tahun dapat menggunakan hak pilihnya dalam pemilu, atau jika seseorang belum berumur 17 tahun tetapi sudah menikah juga sudah dapat menggunakan hak pilihnya dalam pemilu. Bagaimana jika seseorang berumur lebih dari 17 tahun dan sudah menikah? Tentu saja orang tersebut sudah diperbolehkan menggunakan hak pilihnya. Sebaliknya jika seseorang belum berusia 17 tahun dan belum menikah dapat dipastikan orang tersebut tidak diperbolehkan menggunakan hak pilihnya. Ilustrasi di atas adalah contoh disjungsi dalam kehidupan sehari-hari. Untuk lebih jelasnya perhatikan definisi berikut ini! Definisi: Kalimat p  q bernilai benar bila salah satu dari p dan q atau kedua-duanya bernilai benar, dan kalimat p  q bernilai salah bila p dan q keduanya bernilai salah. Dengan menggunakan tabel digambarkan sebagai berikut: p B B S S



kebenaran,



definisi



tersebut



dapat



q pq B B S B B B S S



Contoh:  log 100 = 2 atau belah ketupat mempunyai sisi-sisi yang sama panjang. (B)  2 + 3 = 5 atau 2 x 3 = 5. (B)  Masjid Istiqlal terletak di Bandung atau 2 x 3 = 6. (B)



Matematika 1: Logika _________________________________



7







5 x 5 = 20 atau 3 bilangan komposit. (S)



1.2.4. Implikasi Kamu membuat janji untuk datang ke rumah pacarmu dengan mengirim sms seperti berikut ini. Yang, jk sr nanti hr cerah, aq dtg ke rmhmu, ya.. tq. Pacarmu membalas dengan mengirim sms Ok, yang. Aq tunggu di rmh. Nanti sore titi dj ya.. Atas janji yang kamu buat tersebut, ada empat kemungkinan realisasi: 1. hari cerah dan kamu datang ke rumah pacarmu. 2. hari cerah, tetapi kamu tidak datang ke rumah pacarmu. 3. hari tidak cerah, tetapi kamu datang ke rumah pacarmu. 4. hari tidak cerah dan kamu tidak datang ke rumah pacarmu. Manakah dari keempat kemungkinan tersebut yang dapat dibenarkan?  Kemungkinan 1 jelas dapat dibenarkan karena sesuai dengan janji yang kamu buat.  Kemungkinan 2 tidak dapat dibenarkan karena apa yang kamu lakukan telah melanggar janji dan dengan demikian merugikan pacarmu yang telah menghabiskan waktu untuk menunggumu.  Kemungkinan 3 masih bisa dibenarkan. Pacarmu pasti senang karena kamu mempunyai tekad yang besar untuk bertemu pacarmu meski hari tidak cerah.  Kemungkinan 4 dapat dibenarkan karena kamu tidak melanggar janji. Bukankah janjimu jika hari cerah, maka kamu datang. Kalau hari tidak cerah, ya tidak apa-apa tidak datang. Ilustrasi di atas adalah contoh nyata konsep implikasi yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Untuk lebih jelasnya perhatikan definisi berikut ini. Definisi: Kalimat p  q bernilai benar bila p bernilai salah atau q bernilai benar, dan kalimat p  q bernilai salah jika p bernilai benar dan q bernilai salah. Dengan menggunakan tabel digambarkan sebagai berikut:



kebenaran,



definisi



tersebut



dapat



p q pq B B B B S S



Matematika 1: Logika _________________________________



8



S B S S



B B



Pada implikasi dari p dan q, pernyataan p disebut anteseden, sedang pernyataan q disebut konsekuen/konklusi. Contoh:  7 bilangan prima  0 bilangan bulat. (B)  4 bilangan genap  4 kelipatan 3. (S)  5 bilangan genap  11 bilangan prima. (B)  2 bilangan ganjil  3 kelipatan 7. (B) Cara lain mengucapkan implikasi: “p  q”  Bila p, maka q  q bila p  p hanya bila q  p syarat cukup untuk q  q syarat perlu untuk p



1.2.5. Biimplikasi Kamu sudah tahu bahwa segitiga sama sisi memiliki tiga sisi yang sama panjang dan tiga sudut yang sama besar. Berapa besar masing-masing sudut dalam sebuah segitiga sama sisi? Benar, 60. Apa komentarmu jika ada pernyataan “Jika segitiga ABC sama sisi, maka semua sisinya sama panjang”? Pasti kamu setujukan?! Bagaimana jika pernyataannya dibalik menjadi “Jika sisi-sisi segitiga ABC sama panjang, maka segitiga ABC sama sisi?” Pasti kamupun masih setuju. Nah, pernyataan implikasi yang tetap bernilai benar meski anteseden dan konsekuen dibalik disebut dengan biimplikasi. Masih bingung? Perhatikan definisi berikut ini! Definisi: Kalimat p  q bernilai benar bila p dan q mempunyai nilai kebenaran sama, dan Kalimat p  q bernilai salah bila p dan q mempunyai nilai kebenaran berbeda. Dengan menggunakan tabel digambarkan sebagai berikut: p B B S S



kebenaran,



definisi



tersebut



dapat



q pq B B S S B S S B



Matematika 1: Logika _________________________________



9



Contoh:  7 bilangan prima  0 bilangan bulat. (B)  4 bilangan genap  4 kelipatan 3. (S)  5 bilangan genap  2 bilangan prima. (S)  2 bilangan ganjil  3 kelipatan 7. (B) Cara lain mengucapkan biimplikasi: “p  q”  p bila dan hanya bila q  p merupakan syarat perlu dan syarat cukup untuk q  q merupakan syarat perlu dan syarat cukup untuk p



1.3. Daya Ikat dan Daya Pisah Suatu Operasi Kamu sudah mempelajari jenis-jenis perangkai kalimat. Mirip sebuah operasi pada bilangan, perangkai kalimat: Negasi (~), Konjungsi (), Disjungsi (), Implikasi (), Biimplikasi () mempunyai daya ikat dan daya pisah yang berbeda-beda. Daya Ikat Paling Kuat Sama Paling Lemah



Perangkai ~  ;   ; 



Karena daya pisah adalah kebalikan dari daya ikat, maka kita memilki susunan daya pisah sebagai berikut: Daya Pisah Paling Kuat Sama Paling Lemah



Perangkai  ;   ;  ~



Kesepakatan: Apabila perangkai yang memiliki daya ikat atau daya pisah sama muncul pada suatu pernyataan majemuk, maka pengerjaan dari arah kiri. Contoh: Berilah tanda kurung sesuai dengan daya ikatnya lalu tentukan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk berikut ini: 1. ~ p  q 2. p  q  ~r Jawab: 1. ~ p  q artinya (~ p )  q



Matematika 1: Logika _________________________________



10



p B B S S



q ~p ~p  q B S B S S S B B B S B B



Jadi tabel kebenaran dari ~ p  q adalah BSBB seperti yang ditunjukkan pada kolom terakhir. Supaya kita tidak perlu membuat kolom yang cukup banyak, maka pernyataan majemuk ~ p  q dapat dikerjakan dengan cara memberikan semua kemungkinan nilai kebenaran di bawah huruf lambang pernyataan. ~ S S B B



p B B S S



 B S B B



q B S B S



Jadi tabel kebenaran dari ~ p  q adalah BSBB seperti yang ditunjukkan pada kolom yang dikotak. 2. p  q  ~r artinya (p  q)  (~r) p q r B B B B S S S S



B B S S B B S S



B S B S B S B S



p q B B S S S S S S



~r S B S B S B S B



(p  q)  (r) S B B S B S B S



Jadi tabel kebenaran dari p  q  ~r adalah SBBSBSBS seperti yang ditunjukkan pada kolom terakhir. Pertimbangkan cara pengerjaan berikut. p B B B



 B B S



q  ~ r B S S B B B B S S B S B



Matematika 1: Logika _________________________________



11



B S S S S



S S S B S B S S S S



S B S B S



B S B S B



S B S B S



Jadi tabel kebenaran dari p  q  ~r ditunjukkan pada kolom yang dikotak.



adalah SBBSBSBS seperti yang



Perhatikan bahwa pengerjaan dengan cara terakhir jauh lebih ringkas dan lebih cepat dibandingkan dengan cara pertama.



Latihan 2 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan: a) p  q  p b) p  q  p  q c) p  q  r d) p  q  r  s e) r  s  (p  q  s) 2. Jika p menyatakan “2 bilangan genap” dan q menyatakan “2 bilangan prima terkecil”, tulislah dengan kata-kata pernyataan majemuk berikut ini. a) p b) q c) p  q d) p  q e) p  q f) p  q g) p  q h) q  p i) p  q j)  p  q 3. Jika diketahui pernyataan p, q, r, s, mempunyai nilai kebenaran berturut-turut B, S, S, B, tentukanlah nilai kebenaran kalimat-kalimat berikut: a) p  q  r  s b) p  r  r  s c) r  s  (p  q  s)



Matematika 1: Logika _________________________________



12



4. Jika diketahui pernyataan “p dan q” bernilai benar, maka tentukanlah nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk berikut ini: a) p  q b) p  q c) p  q d) q  p e) p  q f)  p  q 5. Jika diketahui pernyataan “p atau q” bernilai salah, maka tentukanlah nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk berikut ini: a) p  q b) p  q c) p  q d) q  p e) p  q f)  p  q 6. Jika diketahui pernyataan “Jika p, maka q” bernilai salah, maka tentukanlah nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk berikut ini: a) p  q b) p  q c) p  q d) p  q e) p  q f)  p  q



1.4. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Kamu telah mempelajari tabel kebenaran dari pernyataan majemuk. Sejauh ini tabel kebenaran bernilai kombinasi dari B dan S. Apakah mungkin tabel kebenaran bernilai B semua atau bernilai S semua? Untuk menjawab pertanyaan ini silakan kamu mempelajari definisi-definisi dan beberapa contoh di bawah ini. Setelah mempelajari definisi dan contoh-contohnya kamu pasti bisa menjawab pertanyaan di atas. Definisi: Pernyataan majemuk yang semua nilai kebenarannya B (Benar) tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponen penyusunnya disebut TAUTOLOGI. Contoh: p   p adalah suatu tautologi sebab nilai kebenaran pernyataan majemuk p   p semua bernilai B seperti tampak pada tabel di bawah ini.



Matematika 1: Logika _________________________________



13



p B B S S



 B B B B



 S S B B



p B B S S



Definisi: Pernyataan majemuk yang semua nilai kebenarannya S (Salah) tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponen penyusunnya disebut KONTRADIKSI. Contoh: p  p adalah suatu kontradiksi sebab nilai kebenaran pernyataan majemuk p  p semua bernilai S seperti tampak pada tabel di bawah ini. ~ S S B B



p B B S S



 S S S S



p B B S S



Jika suatu pernyataan majemuk tidak TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI, maka disebut KONTINGENSI.



1.5. Pernyataan-pernyataan Ekuivalen Dua pernyataan disebut ekuivalen satu sama lain secara logis, bila nilai kebenaran kedua pernyataan itu sama. Lambang ekuivalen adalah “  ” Jika dua pernyataan ekuivalen satu sama lain, maka nilai kebenaran kedua pernyataan itu sama. Dengan demikian kita dapat menyatakan ekuivalensi dua pernyataan dengan menggunakan pengertian berikut ini: p  q bila dan hanya bila p  q suatu tautologi. Contoh. 1. p  q  p  q sebab p  q  p  q tautologi seperti ditunjukkan pada tabel kebenaran di bawah ini. p  q   p  q B B B B S B B B B S S B S B S S



Matematika 1: Logika _________________________________



14



S S



B B



B S



B B



B S B B B S B S



2. p  q  (p  q)  (q  p) sebab p  q  (p  q)  (q  p) tautologi seperti ditunjukkan pada tabel kebenaran di bawah ini. p  q  (P  q) B B B B B B B B S S B B S S S S B B S B B S B S B S B S



 (q  p) B B B B S S B B S B S S B S B S



Latihan 3 1. Selidiki apakah (p  q)  (q  ~p) suatu tautologi, kontradiksi, atau kontingensi. 2. Selidiki apakah (p  q  p  q) suatu tautologi, kontradiksi, atau kontingensi. 3. Selidiki apakah (p  q)  (q  ~p) suatu tautologi, kontradiksi, atau kontingensi. 4. Selidiki apakah p  q  q  p 5. Selidiki apakah p  q  q  p 6. Selidiki apakah p  q  q  p 7. Selidiki apakah p  q  q  p 8. Selidiki apakah (p  q)  r  p  (q  r) 9. Selidiki apakah (p  q)  r  p  (q  r) 10.Selidiki apakah (p  q)  r  p  (q  r) 11.Selidiki apakah (p  q)  r  p  (q  r) 12.Selidiki apakah (p  q)  r  (p  r)  (q  r) 13.Selidiki apakah (p  q)  r  (p  r)  (q  r)



1.6. Sifat-sifat Perangkai Logika Perhatikan soal latihan 3 nomor 4 s.d. 13. Apakah kesimpulan yang dapat kamu peroleh berdasar jawaban atas soal-soal tersebut? Jika penyelidikanmu benar, kamu dapat menyimpulkan: Pertama,  pqqp  pqqp  pqqp



Matematika 1: Logika _________________________________



15



Artinya: konjungsi, disjungsi dan biimplikasi bersifat komutatif. Bagaimana dengan implikasi? Jika penyelidikanmu benar, kamu dapat menyimpulkan bahwa implikasi tidak bersifat komutatif sebab p  q tidak ekuivalen dengan q  p Kedua,  (p  q)  r  p  (q  r)  (p  q)  r  p  (q  r)  (p  q)  r  p  (q  r) Artinya: Konjungsi, disjungsi, dan biimplikasi bersifat asosiatif, tetapi implikasi tidak bersifat asosiatif sebab (p  q)  r tidak ekuivalen dengan p  (q  r) Ketiga,  (p  q)  r  (p  r)  (q  r)  (p  q)  r  (p  r)  (q  r) Artinya: konjungsi bersifat distributif terhadap disjungsi dan sebaliknya disjungsi bersifat distributif terhadap konjungsi.



1.7. Konvers, Invers, dan Kontraposisi suatu Implikasi Kita sudah mempelajari pernyataan majemuk berbentuk implikasi. Jika dipunyai pernyataan majemuk p  q, maka: Konvers : qp Invers : p  q Kontraposisi : q  p Contoh: Diketahui pernyataan “Jika Pak Ali seorang haji, maka Pak Ali seorang Muslim”. Konvers: Jika Pak Ali seorang muslim, maka Pak Ali seorang haji. Invers: Jika Pak Ali bukan seorang haji, maka Pak Ali bukan seorang Muslim. Kontraposisi: Jika Pak Ali bukan seorang muslim, maka Pak Ali bukan seorang haji. Permasalahannya, apakah konvers, invers, dan kontraposisi suatu implikasi ekuivalen dengan implikasi sendiri? Untuk menyelidiki permasalahan ini, kita dapat membuat tabel kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi lalu membandingkan tabel kebenaran tersebut. Coba perhatikan tabel kebenaran berikut ini.



Matematika 1: Logika _________________________________



16



p  q B B B B S S S B B S B S



q  p B B B S B B B S S S B S



 S S B B



p   q B B S B B B B S S S S B S B B S



 S B S B



q   p B B S B S S S B B B B S S B B S



Dari tabel kebenaran tampak bahwa:  p  q  q  p  q  p  p  q Jadi, suatu implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya.



Latihan 4 1. Tentukan, konvers, invers, dan kontraposisi pernyataan “Jika x bilangan ganjil, maka x2 bilangan ganjil”. 2. Tentukan, konvers, invers, dan kontraposisi pernyataan “Jika x bukan bilangan ganjil, maka x2 bukan bilangan ganjil”. 3. Tentukan, konvers, invers, dan kontraposisi pernyataan “Jika Jakarta Ibukota Inonesia, maka Milan tidak terletak di Perancis.



1.8. Negasi dari Pernyataan Majemuk Pada subbab 1.2. kita telah membahas negasi dari suatu pernyataan. Negasi adalah suatu pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata “tidak” atau menyisipkan kata “bukan” pada pernyataan semula. Permasalahannya bagaimana negasi dari pernyataan majemuk? Supaya kita lebih mudah membahas negasi pernyataan majemuk, carilah tabel kebenaran dari pernyataan-pernyataan majemuk berikut ini: 1. (p  q) 2. p  q 3. (p  q) 4. p  q 5. (p  q) 6. p  q 7. (p  q) 8. (p  q)  (q  p) Dari kedelapan pernyataan majemuk tersebut, pasangan pernyataan majemuk manakah yang saling ekuivalen? Jika jawabanmu benar, kita akan mendapatkan pasangan pernyataan yang saling ekuivalen: Matematika 1: Logika _________________________________



17



1. 2. 3. 4.



(p (p (p (p



 q)  p  q  q)  p  q  q)  p  q  q)  (p  q)  (q  p)



Dengan demikian kita sudah mendapatkan negasi dari pernyataan majemuk yang dimaksud. Pasangan pertama menjelaskan tentang negasi dari dua pernyataan dengan perangkai konjungsi. Pasangan kedua menjelaskan tentang negasi dari dua pernyataan yang dirangkai dengan perangkai disjungsi. Pasangan ketiga menjelaskan tentang negasi dari dua pernyataan yang dirangkai dengan perangkai implikasi. Pasangan keempat menjelaskan tentang negasi dari dua pernyataan yang dirangkai dengan perangkai biimplikasi. Untuk memperjelas temuan tersebut, perhatikan beberapa contoh berikut ini:  Negasi dari pernyataan majemuk “2x3=6 dan 2+3=5” adalah “2x3≠6 atau 2+3≠5”  Negasi dari pernyataan majemuk “2x3=6 atau 2+3=5” adalah “2x3≠6 dan 2+3≠5”  Negasi dari pernyataan majemuk “Jika 2x3=6, maka 2+3=5” adalah “2x3=6 tetapi 2+3≠5”







Negasi dari pernyataan majemuk “2x3=6 bila dan hanya bila 2+3=5” adalah “2x3=6 tetapi 2+3≠5 atau 2+3=5 tetapi 2x3≠6”



1.9. Pernyataan Berkuantor Setiap pernyataan memiliki nilai kebenaran, yaitu B (benar) atau S (salah) dan tidak mungkin bernilai benar atau salah sekaligus. Jika dari suatu pernyataan diberikan kuantor, yaitu suatu istilah yang digunakan untuk menyatakan “berapa banyak” obyek dalam suatu sistem, maka pernyataan tersebut disebut pernyataan berkuantor. Kuantor terdiri dari: 1. Kuantor universal, dilambangkan “” dan dibaca “Semua ….” , “Sembarang..” atau “Setiap ….” 2. Kuantor eksistensial, dilambangkan “” dan dibaca “ada …..” atau “Beberapa…..” Jika dipunyai pernyataan berkuantor universal “Semua manusia akan mati”, maka dapat diartikan: “semua benda, bila benda itu manusia, maka benda itu akan mati”. Lebih jauh lagi, pernyaan berkuantor tersebut dapat dinyatakan: “semua x, bila x itu manusia, maka x itu akan mati”, sehingga dapat ditulis: (x) (M(x)  T(x)) dengan M adalah manusia dan T adalah akan mati.



Matematika 1: Logika _________________________________



18



Jika dipunyai pernyataan berkuantor eksistensial Ada manusia yang pandai, maka dapat diartikan: “ada benda, benda itu manusia dan benda itu pandai”. Lebih jauh lagi, pernyataan berkuantor tersebut dapat dinyatakan: “ada x, x itu manusia dan x itu pandai”, sehingga dapat ditulis: (x) (M(x)  P(x)) dengan M adalah manusia dan P adalah pandai.



1.10. Negasi Pernyataan Berkuantor Bagaimana jika suatu pernyataan berkuantor dinegasikan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut perhatikan pernyataan berkuantor berikut ini: 1. Semua orang yang sudah dewasa menikah. 2. Ada pejabat negara yang korupsi uang negara. Kalimat pertama adalah pernyataan berkuantor universal. Jika kita tidak setuju dengan pernyataan tersebut, kita dapat menyatakan dengan dua cara: 1. Tidak semua orang yang sudah dewasa menikah. 2. Ada orang dewasa yang tidak menikah. Kalimat pertama sangat jelas. Kita semua paham dengan isi kalimat tersebut sebagai negasi dari “Semua orang yang sudah dewasa menikah”. Kalimat kedua meski sedikit agak menguras pikiran kita untuk memahaminya, tetapi jika kita renung-renungkan memang benar kalimat tersebut adalah negasi dari “Semua orang yang sudah dewasa menikah”. Dengan demikian, untuk menegasikan pernyataan berkuantor universal kita cukup mencari sekurang-kurangnya satu kasus yang tidak memenuhi pernyataan yang dimaksud. Satu kasus tersebut dalam matematika disebut counter example atau contoh penyangkal. Berdasarkan contoh kalimat di atas, kita dapat menyimpulkan: ((x), p(x))  (x), p(x) Contoh: Semua manusia akan mati Negasinya: Ada manusia yang tidak mati. Bagaimana dengan kelimat kedua? Jika kita tidak setuju dengan pernyataan tersebut, kita dapat mengekspresikannya dalam dua cara: 1. Tidak ada pejabat negara yang korupsi uang negara. 2. Semua pejabat negara tidak korupsi uang negara. Bingung? Tidakkan? Kalimat pertama sangat gamblang, tidak perlu dibahas lagi. Bagaimana dengan kalimat kedua? Coba kamu pikir-pikir! Pasti kamu setuju dengan kalimat kedua tersebut sebagai cara untuk menegasikan “Ada pejabat negara yang korupsi uang negara”. Berdasarkan contoh tersebut, kita dapat merumuskan: ((x), p(x))  (x), p(x)



Matematika 1: Logika _________________________________



19



Contoh: Ada manusia yang pandai Negasinya: Semua manusia tidak pandai.



Latihan 5 Tentukan negasi dari pernyataan: 1. 2  3 dan 4  5 2. 4  3 atau Jakarta ibukota Indonesia 3. Jika pelajaran kosong, maka murid-murid bersedih. 4. 2  3 bila dan hanya bila 4  5. 5. Semua orang beragama. 6. Ada siswa SMA yang tidak jujur. 7. Ada pejabat negara yang jujur dan tidak korupsi. 8. Semua orang Indonesia berkulit sawo matang dan berambut hitam. 9. Saya suka grup band Cokelat dan Gigi, tetapi saya tidak suka Dewa 19. 10.Jika kamu sehat dan tidak memiliki cacat, maka kamu dapat menjadi seorang tentara. 11.Jika semua anggota DPR mau dipotong gajinya 10% saja, maka beban keuangan negara akan berkurang. 12.Lihat kembali masalah yang dihadapi petualang dalam pencarian harta karun. Kotak manakah yang berisi emas?



1.11. Argumen Pernahkah kamu melihat orang yang sedang berdebat atau kamu sendiri malah pernah berdebat dengan orang lain? Dalam suatu perdebatan masingmasing pihak akan menyampaikan gagasan, ide, atau pemikiran untuk meyakinkan pihak lawan supaya mau mengakui kebenaran gagasan atau pemikiran yang disampaikan. Gagasan yang disampaikan untuk meyakinkan lawan debat disebut juga dengan argumen(tasi). Tentu saja dalam menyampaikan argumentasi orang tidak akan sembarangan atau ngawur. Argumen yang baik pasti memiliki informasi yang kuat, bersumber pada data yang benar, dan menggunakan kaidah yang benar pula. Pada sub bab ini kita akan mempelajari bagian logika yang disebut denga ARGUMEN. Untuk lebih jelasnya perhatikan definisi berikut ini. Definisi: Argumen adalah himpunan sejumlah berhingga pernyataan sedemikian sehingga pernyataan terakhir disebut kesimpulan dan semua pernyataan lainnya disebut premis-premis.



Matematika 1: Logika _________________________________



20



Himpunan berhingga pernyataan yang disebut di atas tidak boleh kosong. Andaikan p, q, r, s, t berhingga banyak pernyataan dengan t merupakan pernyataan terakhir. Himpunan p, q, r, s, t disebut argumen dan ditulis p, q, r, s,  t bila t diturunkan secara logis dari p, q, r, s dan nilai kebenaran pernyataan t ditentukan oleh nilai kebenaran pernyataan-pernyataan p, q, r, dan s. Pernyataan-pernyataan p, q, r, s disebut premis-premis dan t disebut kesimpulan/konklusi.



1.11.1. Bentuk Argumen Definisi: Bila p, q, r, s, t variabel-variabel pernyataan, disebut bentuk argumen.



maka p, q, r, s,



 t



1.11.2. Keabsahan Suatu Argumen Definisi: Suatu argumen sah bilamana: a. Semua premis bernilai benar dan kesimpulan bernilai benar. b. Suatu atau seluruh premis bernilai salah dan kesimpulan bernilai benar. c. Suatu atau seluruh premis bernilai salah dan kesimpulan bernilai salah. Definisi: Argumen tidak sah bila semua premis bernilai benar dan kesimpulan bernilai salah.



1.11.3. Cara Mengecek Keabsahan Suatu Argumen Terdapat dua cara untuk mengecek keabsahan suatu argumen. Cara 1. Tabel kebenaran. p, q, r, s,  t sah bila (p  q  r  s)  t suatu tautologi Contoh: Dengan menggunakan tabel kebenaran selidikilah apakah argumen berikut ini sah atau tidak sah! p  q Matematika 1: Logika _________________________________



21



qr  p  r Jawab:



( p  q)  (q  r)   S B B B B B B B B S B B B S B S S B S B S S S S B B B S B S S S S B S B B S B B B B B B B B S B B S B S S B B S B S B S B B B B S B S B S B S B Karena tabel kebenaran menghasilkan tautologi,



( p  r)  S B B B S B S S S B B B S B S S B S B B B S B S B S B B B S B S maka argumen SAH.



Contoh: Dengan menggunakan tabel kebenaran selidikilah apakah argumen berikut ini sah atau tidak sah! Premis 1 : Jika pak Ali seorang haji, maka pak Ali seorang Muslim Premis 2 : Pak Ali bukan seorang haji Konklusi : Pak Ali bukan seorang Muslim. Jawab: Bentuk argumen di atas dapat dinyatakan sebagai pq p  q dengan p: Pak Ali seorang haji q: Pak Ali seorang Muslim. (p B B S S



 B S B B



q) B S B S



 B S B S



q B S B S



 S B S B



 S B S B



q B S B S



Karena tabel kebenaran tidak menghasilkan tautologi, maka argumen tidak SAH. Apabila pernyataan-pernyataan yang menyusun bentuk argumen tidaklah banyak (misal 2 atau 3 pernyataan saja), maka cara mengecek keabsahan suatu argumen dengan menggunakan tabel kebenaran sangat mudah dan sederhana. Tetapi, cara ini menjadi sedikit lebih rumit dan tidak efektif Matematika 1: Logika _________________________________



22



jika pernyataan-pernyataan yang menyusun bentuk argumen cukup banyak (misal lebih dari tiga pernyataan). Sebagai gambaran saja, jika terdapat empat pernyataan yang meyusun bentuk argumen, maka kita perlu membuat tabel kebenaran yang terdiri dari 16 baris. Bagaimana jika ada 6 pernyataan? Pasti sangat repot. Cara 2. Aturan Penarikan Kesimpulan Beberapa aturan penarikan kesimpulan yang akan kita pelajari adalah: a. Modus Ponen (MP) Penarikan kesimpulan menggunakan modus ponen berdasarkan premispremis yang berbentuk p  q dan p yang menghasilkan konklusi q. Secara umum modus ponen dapat dituliskan sebagai pq p



premis 1 premis 2



q



konklusi



Contoh: Jika pak Ali seorang haji, maka pak Ali Muslim. Pak Ali seorang haji.  Pak Ali Muslim Untuk menguji keabsahan modus ponen, dapat digunakan cara tabel kebenaran. (p  q)  p  q B B B B B B B B S S S B B S S B B S S B B S B S S S B S Karena tabel kebenaran menghasilkan tautologi, maka terbukti argumen berbentuk modus ponen SAH. b. Modus Tollens (MT) Penarikan kesimpulan menggunakan modus tollens berdasarkan premispremis yang berbentuk p  q dan q yang menghasilkan konklusi p. Secara umum modus ponen dapat dituliskan sebagai



Matematika 1: Logika _________________________________



23



pq ~q



premis 1 premis 2



 ~p



konklusi



Contoh: Jika pak Ali seorang haji, maka pak Ali Muslim. Pak Ali bukan Muslim.  Pak Ali bukan seorang haji Untuk menguji keabsahan modus tollens, dapat digunakan cara tabel kebenaran. (p B B S S



 B S B B



q) B S B S



 S S S B



 S B S B



q B S B S



 B B B B



 S S B B



p B B S S



Karena tabel kebenaran menghasilkan tautologi, maka terbukti argumen berbentuk modus tollens SAH. c. Silogisma Hipotetis (SH) Penarikan kesimpulan menggunakan silogisme hipotetis berdasarkan premispremis yang berbentuk p  q dan q  r yang menghasilkan konklusi p  r. Secara umum silogisme hipotetis dapat dituliskan sebagai pq qr



premis 1 premis 2



pr



konklusi



Contoh: Jika x  A, maka x  C Jika x  C, maka x  B  Jika x  A, maka x  B Untuk menguji keabsahan silogisme hipotetis, dapat digunakan cara tabel kebenaran. Matematika 1: Logika _________________________________



24



(p  q) B B B B B B B S S B S S S B B S B B S B S S B S



 (q  r)  (p  r) B B B B B B B B S B S S B B S S S S B B B B B B S S B S B B S S B B B B B S B B S B S S B S B S B S B B B S B B B S B S B S B S



Karena tabel kebenaran menghasilkan tautologi, maka terbukti argumen berbentuk silogisme hipotetis SAH.



Latihan 6 Selidiki keabsahan argumen berikut ini: 1. pq r   q pr 2.



pq pr r q



3.



Jika siswa tidak lulus SMA, maka siswa ikut Paket C. Siswa tidak lulus SMA Jadi: Siswa ikut Paket C.



4.



Jika x2 = 4, maka x = 2 atau x = -2. X=2 Jadi: x2 = 4



5.



Jika pak Amat haji, maka pak Ali Muslim. Pak Amat seorang muslim. Jadi: Pak Amat bukan haji



6.



log x2 = 4 jika dan hanya jika log 10 = 1 log 10  1 Jadi: log x2  4



7.



Jika pq = 0, maka p = 0 atau q = 0



Matematika 1: Logika _________________________________



25



p = 0 dan q = 0 Jadi: pq = 0 8.



pq qs st pt



9.



p  q q p  r s  r s



Tarik kesimpulan dari premis-premis berikut: 10.



Premis 1 Premis 2



: Jika x ganjil, maka x2 ganjil. : x2 tidak ganjil.



11.



Premis 1



: Jika Amir membolos sekolah, maka ia mendapat sanksi. : Jika Amir mendapat sanksi, maka orangtuanya marah. : Jika orang tua Amir marah, maka strokenya akan kambuh.



Premis 2 Premis 3



Matematika 1: Logika _________________________________



26