Makalah Probabilitas [PDF]

Citation preview

MAKALAH PROBABILITAS



Dosen Pengampu: Mochamad Sidqon, S.Si.,M.Si Mata Kuliah: Probabilitas dan Statistika



Disusun Oleh: Imam Baehaqi NBI. 1461600228 Kelas: S



UNIVERSITAS 17 AGUSTUS 1945 SURABAYA FAKULTAS TEKNIK TEKNIK INFORMATIKA 2017/2018



Kata Pengantar Alhamdulillah, segala puji dan syukur bagi Allah SWT yang telah memberikan kemampuan, kekuatan, serta keberkahan baik waktu, tenaga, maupun pikiran kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Probabilitas” tepat pada waktunya. Makalah yang berjudul “Probabilitas” ini telah saya susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak kedua ataupun ketiga sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu saya menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini. Terlepas dari semua itu, Saya menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka saya menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar saya dapat memperbaiki makalah probabilitas ini. Akhir kata saya berharap semoga makalah “Probabilitas” ini dapat memberikan manfaat maupun inpirasi bagi para pembaca.



Sidoarjo, 11 Januari 2018



Penyusun



ii



DAFTAR ISI



DAFTAR ISI Halaman Judul ............................................................................................................. i Kata Pengantar ........................................................................................................... ii DAFTAR ISI ............................................................................................................... iii BAB I ............................................................................................................................ 1 PENDAHULUAN ........................................................................................................ 1 1.1.



Latar Belakang ............................................................................................... 1



1.2.



Rumusan Masalah .......................................................................................... 2



1.3.



Tujuan ............................................................................................................. 2



1.4.



Manfaat ........................................................................................................... 2



BAB II .......................................................................................................................... 3 DASAR TEORI ........................................................................................................... 3 2.1.



DEFINISI ....................................................................................................... 3



2.2.



SEJARAH ...................................................................................................... 4



BAB III ......................................................................................................................... 6 PEMBAHASAN .......................................................................................................... 6 3.1. PELUANG (PROBABILITAS) KEJADIAN .................................................... 6 3.1.1. PROBABILITAS ......................................................................................... 6 3.1.2. HUBUNGAN ANTARA PROBABILITAS TEORITIS DAN EMPIRIS. . 9 3.1.3. BEBERAPA HUKUM PROBABILITAS ................................................... 9 3.2. PROBABILITAS BERSYARAT..................................................................... 18 3.2.1. Probabilitas Bersyarat ................................................................................ 18 3.3. DISTRIBUSI PROBABILITAS ...................................................................... 23 3.3.1. DISTRIBUSI PELUANG .......................................................................... 23 BAB IV ....................................................................................................................... 27 PENUTUP .................................................................................................................. 27 4.1. Kesimpulan ....................................................................................................... 27 4.2. Saran ................................................................................................................. 27 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 28



iii



BAB I PENDAHULUAN 1.1.



Latar Belakang Dari semua alat analisa, konsep probailitas merupakan salah satu alat analisis yang mempunyai peran sangat penting untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari mulai dari bidang ilmiah sampai pada masalah-masalah kecil, seperti masuk kantor atau tidak, karena awan tebal kemungkinan akan hujan deras dan banjir, dan sebagainya. Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat atau tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P. Probabilitas sering diterjemahkan sebagai peluang atau kebolehkejadian, yaitu peristiwa yang didefinisikan sebagai peluang proses terjadinya sesuatu, baik disengaja (eksperimentasi) atau tidak. Baik di dalam dunia engineering, ekonomi, sosial, budaya maupun dunia komputer tentunya, kita sering menghadapi suatu yang sering disebut sebagai “ketidakpastian”. Ketidakpastian terjadi akibat keterbatasan manusia itu sendiri di dalam dunianya dalam mengukur/ menghitung/ menalar/ meramal sesuatu hal baik yang akan datang maupun yang ada di depan mata, termasuk yang telah terjadi. Sudah sejak dari awal zaman, ketidakpastian diantisipasi manusia dengan berbagai cara. Ada cara yang bersifat prophecy dan supranatural, adapula yang lebih rasional dengan mempelajari periodisitas ( pengulangan) gejala alam untuk mengurangi tingkat ketidakpastian itu hingga sampai ketingkat yang lebih manageble. Namun, ketidakpastian itu tetap mewarnai kehidupan manusia karena ketidak pastian itu mungkin menjadi faktor pemicu dinamika roda kehidupan itu sendiri. Dengan kata lain, walau ketidakpastian itu seringkali menjadi sumber kesulitan, tatapi juga sekaligus merupakan blessing. Dengan itu dibutuhkan suatu pengukuran yang disebut probabilitas dan statistika. Probabilitas dan statistika tidak bisa dipisahkan antara yang satu dan yang lainya. Untuk mengetahui dasar-dasar dari probabilitas dan statistika kita harus mengetahui mulai dari definisi, sejarah, ataupun dengan metode-metode perhitungan matematik.



1



1.2.



Rumusan Masalah 1. Definisi dan Sejarah Perkembangan Probabilitas. 2. Memahami Peluang Kejadian, Probabilitas Bersyarat, dan Distribusi Probabilitas.



1.3.



Tujuan 1. Memenuhi tugas UAS mata kuliah Probabilitas dan Statistika semester ganjil Tahun Akademik 2017/2018.



1.4.



Manfaat 1. Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat. Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimagsudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti kita ketahui dari sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna. 2. Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi. 3. Menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang terkait tentang karakteristik populasi pada situssi ini kita hanya mengambil atau menarik kesimpulan dari hipotesis bukan berarti kejadian yang akan dating kita sudah ketehaui apa yang akan tertjadi. 4. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi.



2



BAB II DASAR TEORI 2.1.DEFINISI Probabilitas Istilah probabilitas atau probability sebenarnya sudah sering kita gunakan karena dapt diartikan sebagai kemungkinan, kebolehjadian, ataupun kebarangkalian. Dalam kehidupan sehari-hari kita menggunakan istilah tersebut secara sederhana, misalnya kita mengatakan bahwa hari ini kemungkinan besar hujan, atau tidak mungkin dia bisa lulus ujian sarjana tahun ini, dan masih banyak lagi. Probabilitas biasanya diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum 1. sedang simbol untuk kemungkinan tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan Q. yaitu =1-P Jika P=0 Berarti



peristiwa



itu



tidak



mungkin



terjadi,



atau



mustahil



Contoh : Matahari terbit pada malam hari adalah mustahil, maka mempunyai probabilitas sama dengan 0 Jika P=1 Berarti



peristiwa



itu



pasti



terjadi,



tidak



mungkin



tidak



Terjadi



Contoh : Air selalu mengalir kedataran yang lebih rendah. Maka probabilitas sama dengan 1



Beberapa metode atau pendekatan untuk menjelaskan pengertian probabilitas adalah :



a.



Pendekatan Klasik atau Matematik (Classical/matematical Approach), menurut pendekatan ini pengertian probabilitas adalah perbandingan dari kejadian



atau



peristiwa



yang



menguntungkan



dengan



seluruh



kejadian/peristiwa apabila setiap kejadian mempunyai kesempatan yang sama. Contoh : Sebuah mata uang (coin) yang mempunyai dua permukaan A dan B, jika dilemparkan keatas satu kali maka sewaktu jatuh tiap-tiap permukaan mempunyai kemungkinan yang sama untuk tampak di atas yaitu masing-



3



masing



1/2



atau



0,50



(Pa



=



0,50



dan



Pb



=0,50)



Sebuah dadu yang mempunyai 6 permukaan yaitu 1,2,3,4,5,6 jika dilemparkan satu kali. Kemungkinan salah satu permukaan tampak diatas adalah 1/6. Pengertian klasik ini merupakan pendekaatan matematika probabilitasnya disebut probabilitas matematis atau teoritis b. Pendekatan Empiris atau Frekuensi ( Empirical/Frequency Approach), menurut pendekatan ini pengertian probabilitas adalah



frekuensi



relatif terjadinya suatu peristiwa didalam suatu percobaan yang berulangulang yang tidak terhingga sifatnya. Karena pada hakekatnya suatu percobaan yang berulang-ulang yang tidak terhingga tidak mungkin dilaksanakan , maka didalam perhitungan ini jumlah percobaannya yang dibatasi. Contoh; Misalkan mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas Tridinanti 2000 orang, maka ruang sampelnya adalah 2000 yang unsurnya terdiri dari 2000 orang mahasiswa. c. Pendekatan subyektif ( Subjectively Approach), menurut pendekatan ini probabilitas adalah peluang terjadinya suatu peristiwa ditentukan berdasarkan perasaan atau kira-kira dari individu.



2.2.SEJARAH Sejarah Perkembangan Ilmu Peluang (Probability) Pengetahuan mengenai peluang (probability) ini diawali oleh adanya pertanyaan seorang bangsawan Perancis yang juga penjudi bernama Chevalier de Mere kepada Pascal (1623-1662). Penjudi tersebut ingin mengetahui bagaimana pola pembagian uang taruhan pada suatu perjudian apabila permainannya terpaksa dihentikan sebelum selesai. Pertanyaan ini kemudian menjadi bahan pertukaran pikiran antara Pascal dan Fermat (1601-1665) melalui surat. Darisurat-menyurat antara kedua pemikir inilah kemudian timbul dasar-dasar cabang matematika yang dinamakan hitung peluang (the theory of probability) pada tahun 1654. Pada tahun 1657 seorang ilmuwan Jerman Christian Huygens (guru Leibniz) menerbitkan buku De Ratiocinilis in Ludo Aleae yang berisitentang risalat perjudian dan sejak saat itu teoripeluang mulai terkenal. Perkembangan



4



pesatterjadi pada abad 18 yang dipelopori oleh JacobBernoulli (1654-1705) dan Abraham de Moivre(1667-1754). Kurva Normal dan persamaannyaditemukan oleh Abraham de Moivre pada tahun1733. Dia pertama-tama menyatakan sifat-sifat darikurva Normal yang kemudian dikembangkan olehdua orang astronom matematika yaitu Pierre deLaplace (1749-1827) berasal dari Perancis danGauss (1777-1855) yang berasal dari Jerman secaraterpisah sehingga diperoleh fungsi normal danaplikasinya. Terbitan kurva Normal oleh de Moivredi temuka Karl Pearson pada tahun 1924 di suatu perpustakan yang digunakan untuk pengembangan statistika induktif untuk ukuran sampel besar.Adolph Quetelet (1796-1874) mempopulerkan sebaran Normal ini pada bermacam-macam databiologi dan sosial Thomas Bayes memberikan landasan teoristatistika Bayesian (Bayesian Statistics) yang padamulanya menuliskan gagasan tersebut dalam jurnal Philosophical Transaction pada tahun 1764. Dewasaini Bayesian sering dipakai oleh para teoritikus genetika kuantitatif secara ekslusif dan juga pada ilmu-ilmu keteknikan, kesehatan, dan lain-lain.S. D. Poisson dikenal sebagai penemu Sebaran Poisson (Poisson Distribution) telahmemberikan landasan teori untuk rare event Yang dituangkan dalam tulisannya Recherches sur la probabilite pada tahun 1837. Teori Poisson banyakdigunakan dalam dunia industri, manajemen,transportasi, biologi dan lain-lain Pada tahun1812 Pierre de Laplace memperkenalkan ide barudan teknik matematika dalam bukunya Theorie Analytique des Probabilities. Laplace mulai menerapkan peluang pada banyak permasalahan saintifik dan praktis, tidak hanya pada permainan judi Jadi walaupun hitung peluang diawali diatas meja judi, ilmu ini telah menjadi pengetahuan yang sangat bermanfaat bagi perikemanusiaan. Didalam statistika, teori peluang yang melandasi inferensia statistika (statistika induktif) yang menjadi cikal bakal statistika modern.



5



BAB III PEMBAHASAN



3.1. PELUANG (PROBABILITAS) KEJADIAN 3.1.1. PROBABILITAS Perhatikan contoh 1.1. berikut. Contoh 1.1. Misalkan anda diminta untuk menebak malam ini hujan atau tidak, atau teman anda bertanya kepada anda prediksi hasil pertandingan liga inggris antara Manchester United dengan Manchester City? Apakah Jawaban Anda? Pada pertanyaan pertama, misalkan anda menjawab Hujan, apakah pasti akan Hujan? Pertanyaan kedua misalkan anda jawab Manchester United, apakah pasti yang menang Manchester United? Nah pasti belum tentu bukan? Dari contoh 1.1. di atas adalah contoh Peluang Kejadian, yang akan kita pelajari pada bab ini. Contoh 1.2. Contoh lagi misalkan anda melempar sebuah uang logam di mana kedua sisinya setimbang, apakah anda bisa memastikan pada lemparan pertama muncul pasti Angka (A)? tentu saja tidak kan? Masih banyak contoh kejadian-kejadian lain yang masih bisa dijadikan contoh. Coba anda cari minimal 3 buah kejadian yang berhubungan dengan peluang! Perlu anda ketahui ada beberapa istilah yang bisa dipakai untuk menyebut peluang, antara lain probabilitas, kemungkinan, kebolehjadian. Simbol probabilitas atau peluang dalam handout ini adalah 𝑃 dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum 1. 6



𝑃 = 0; berarti suatu kejadian tidak mungkin terjadi, atau mustahil. Sebagai contoh adalah matahari bersinar di malam hari, maka karena hal tersebut tidak mungkin peluang kejadian matahari bersinar di malam hari adalah 0. 𝑃 = 1; berarti suatu kejadian yang pasti terjadi. Sebagai contoh adalah setiap manusia pasti akan mati, hal ini pasti terjadi karena tidak ada manusia yang tidak akan mati, sehingga peluang kejadian setiap manusia pasti akan mati adalah 1. Sebagian kejadian yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari mempunyai peluang antara 0 sampai dengan 1. Pertanyaannya adalah berarti tidak tepat 0 atau 1 dong? Ya, jarang sekali kejadian atau peristiwa sehari-hari yang kita jumpai yang mempunyai peluang 0 atau 1. Bagaimana dengan yang peluangnya mendekati 0 ? Hal ini berarti kejadian terswbut mempunyai kemungkinan kecil terjadi atau cenderung untuk tidak terjadi. Sebaliknya apabila suatu kejadian mempunyai peluang mendekati 1 berarti kejadian tersebut mempunyai kemungkinan besar untuk terjadi. Dalam (Djarwanto dan Subagyo,1998 hal 8-9) Ada tiga macam pendekatan mengenai pengertian probabilitas, yaitu: 1)



Pengertian klasik Probabilitas adalah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa di antara keseluruhan peristiwa diantara keseluruhan peristiwa yang bisa terjadi. Probabilitas suatu kejadian ditentukan berdasarkan analisa terhadap obyekobyek yang bersangkutan. Pendekatan probabilitas klasik biasa juga disebut dengan pendekatan secara teori. Definisi 1.1. Jika suatu percobaan menghasilkan 𝑛 hasil yang tidak mungkin terjadi secara bersama-sama dan masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka peluang suatu kejadian ditulis katakanlah kejadian 𝐴 di mana 𝑛(𝐴) adalah banyaknya hasil pada kejadian 𝐴.



7



Contoh 1.3. Sebagai contoh adalah ketika sebuah mata uang logam dilemparkan sekali (dengan kedua permukaan setimbang(simetris)), sewaktu-waktu jatuh maka kedua permukaannya mempunyai kemungkinan yang sama untuk tampak di atas karena simetris. Dalam hal ini baik permukaan Angka (A) maupun Gambar (G) mempunyai kemungkinan yang sama yaitu



atau 0,5 untuk kelihatan dari atas,



sehingga dalam hal ini 𝑃(𝐴) = 0,5 dan 𝑃(𝐺) = 0,5. Keterangan: 𝑃(𝐴) = peluang kejadian kelihatan dari atas adalah Angka. 𝑃(𝐺) = peluang kejadian kelihatan dari atas adalah Gambar 2)



Pengertian berdasarkan pendekatan empiris. Probailitas pada pendekatan ini ditentukan berdasarkan pengamatan yang dilakukan (observasi). Artinya adalah berdasarkan pengalaman atau peristiwa yang telah terjadi. Pendekatan empiris juga bisa disebut sebagai pendekatan dengan frekuensi relatif. Dalam pendekatan empiris, probabilitas suatu kejadian, katakanlah kejadian 𝐴 sama dengan nilai limit dari frekuensi relatif (𝑓) kejadian 𝐴 tersebut. Dengan demikian, apabila 𝐴 terjadi sebanyak 𝑛 kali selama pengamatan berlangsung, di mana 𝑛 mendekati tak hingga (𝑛 → ∞), probabilitas kejadian 𝐴 dirumuskan sebagai



Contoh 1.4. Seandainya saja Anda melemparkan bola dari jarak 3 meter untuk mengenai suatu obyek tertentu sebanyak 100 kali dan ternyata mengenai benda tersebut sebanyak 70 kali, maka berdasarkan pendekatan empiris probabilitasnya dientukan dengan



. 8



3)



Pengertian berdasarkan pendekatan subyektif. Menurut pendekatan ini, probabilitas ditentukan berdasarkan perasaan atau perkiraan dari si Peneliti. Jadi cara ini dipengaruhi oleh pribadi masingmasing individu (orang) sehingga sifatnya adalah subyektif.



3.1.2. HUBUNGAN ANTARA PROBABILITAS TEORITIS DAN EMPIRIS. Pendekatan empiris tentu berbeda dengan pendekatan teoritis, berarti terkadang menghasilkan probabilitas yang tidak sama.



Contoh 1.5. Misalkan secara klasik atau teori, menurut pendekatan ini apabila kita melemparkan sebuah mata uang logam yang simetris peluang munculnya gambar adalah 0,5 dan peluang munculnya angka adalah 0,5. Jadi apabila kita melempar sebanyak 100 kali, maka diperkirakan akan mendapat 50 permukaan Angka dan 50 permukaan Gambar. Lain halnya dengan pendekatan empiris, bisa saja dalam 100 kali pelemparan, kita mendapatkan 55 permukaan Angka dan 45 permukaan Gambar, sehingga secara empiris peluang muncul permukaan angka adalah 0,55 dan peluang muncul permukaan Gambar adalah 0,45.



3.1.3. BEBERAPA HUKUM PROBABILITAS Teorema 1.1. Jika 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian yang saling bebas, maka 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Bukti: Dengan menggunakan ilustrasi gambar 1.1. dan Gambar 1.2., anda akan memulai untuk membuktikan teorema 1.1.



9



S



A



B



S A



Gambar 5.1. Gabungan 𝐴 dan 𝐵 Gambar 1.1. 𝐴 ⋃ 𝐵



B



Gambar 5.2. Irisan 𝐴 dan 𝐵 Gambar 1.2. 𝐴 ⋂ 𝐵



Dari gambar 1.1. diperoleh daerah yang diarsir merupakan gabungan himpunan 𝐴 dengan himpunan 𝐵, dinotasikan dengan 𝐴 ∪ 𝐵. Banyaknya anggota himpunan 𝐴 ∪ 𝐵 adalah 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) Perhatikan bahwa, apabila apabila kedua ruas anda bagi dengan 𝑛(𝑆), diperoleh



𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) (Terbukti).



3.1.3.1. Hukum Peluang Kejadian yang Mutually Exclusive (Saling Lepas). Dari teorema 1.1. bisa diturunkan hukum peluang untuk kejadian saling lepas, Akibat 1.1. Jika 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian yang saling lepas, maka 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) Bukti: Perhatikan gambar 1.3. diagram venn berikut S



A



B



Gambar 1.3. Kejadian saling lepas 10



Dari gambar 1.3.diperoleh 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)



Apabila kedua ruas dikalikan dengan



maka diperoleh



𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 0, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)



Catatan:



karena 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian saling lepas, di mana 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ yang artinya 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(∅) = 0.



Buktikan bahwa 𝑃(𝑆) = 1. Bukti: Perhatikan gambar 1.4. diagram venn berikut, S



A



Gambar 1.4. Diagram Venn suatu kejadian 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑆 𝑛(𝐴 ∪ 𝐴𝑐) = 𝑛(𝑆)



𝑃(𝐴 ∪ 𝐴𝑐) = 1 𝑃(𝑆) = 1 11



Contoh 1.6. Apabila 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian saling lepas, dengan 𝑃(𝐴) = 0,3 dan 𝑃(𝐵) = 0,25 𝑃(𝐵) = 0,25, tentukan 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)! Penyelesaian: Diketahui 𝑃(𝐴) = 0,3; 𝑃(𝐵) = 0,25; 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian saling lepas. Berarti 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 0,3 + 0,25



= 0,55.



Jadi 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,55.



Contoh 1.7. Peluang kejadian munculnya mata dadu berjumlah 5 dan 8 apabila dua buah dadu dilempar sekali adalah? Penyelesaian: Misalkan, 𝑆 = Semesta kejadian, atau kemungkinan semua yang akan muncul apabila dua buah dadu dilempar sekali 𝐴 = Kejadian munculnya mata dadu berjumlah 5. Kejadian munculnya mata dadu berjumlah 8. Berarti,



12



Sehingga,



Jadi



.



3.1.3.2. Hukum Peluang Kejadian yang Saling Bebas. Sifat dua atau lebih peristiwa dari suatu percobaan dapat independent ataupun dependen. Dua atau peristiwa dikatakan bersifat independent jika terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. Sebaliknya, dua atau lebih peristiwa atau kejadian akan mempengaruhi terjadinya peristiwa lain. Dapat dikatakan bahwa dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 dalam ruang sampel 𝑆 dikatakan saling bebas jika kejadian 𝐴 tidak mempengaruhi kejadian 𝐵 dan begitupun sebaliknya. Apabila dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 saling bebas, maka berlaku, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)



13



Contoh 1.8. Jika diketahui dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 saling bebas dengan 𝑃(𝐴) = 0,3 dan 𝑃(𝐵) = 0,4 maka berlaku 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = (0,3) ∙ (0,4) = 0,12 Contoh 1.9. Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka 𝑋 ≤ 3 dadu I dan kejadian munculnya muka 𝑌 ≥ 5 dadu II saling bebas? Jawab: Misalkan 𝑆 = ruang sampel 𝐴 = Kejadian munculnya muka 𝑋 ≤ 3 dadu I 𝐵 = Kejadian munculnya muka 𝑌 ≥ 5 dadu II Berarti 𝑛(𝑆) = 36 (1,1),(1,2), (1,3),(1,4), (1,5),(1,6), (2,1),(2,2), (2,3),(2,4), (2,5),(2,6), 𝐴={



} (3,1),(3,2), (3,3),(3,4), (3,5),(3,6)



𝑛(𝐴) = 18 𝐵 = {(1,5),(1,6),(2,5), (2,6),(3,5), (3,6),(4,5), (4,6),(5,5), (5,6),(6,5), (6,6)} 𝑛(𝐵) = 12 𝐴 ∩ 𝐵 = {(1,5),(1,6), (2,5),(2,6), (3,5),(3,6)} 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 6 Sehingga diperoleh,



14



Perhatikan, dari contoh 1.9. juga berlaku 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)



Kenapa? Karena ternyata contoh 1.9 adalah contoh kejadian saling bebas. Konsep dua kejadian saling bebas di atas juga dapat dikembangkan untuk tiga kejadian saling bebas antara 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 . Apabila 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah tiga kejadian saling bebas, berlaku rumus probabilitas 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶, yaitu 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) Secara umum apabila 𝐴1, 𝐴2,𝐴3, … , 𝐴𝑛 adalah kejadian-kejadian saling bebas, berlaku 𝑃(𝐴1, 𝐴2,𝐴3, … , 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐴2) ∙ 𝑃(𝐴3) ∙ … ∙ 𝑃(𝐴𝑛)



Contoh 1.10.



Apabila 3 Mata Uang Logam dilemparkan sekali, tunjukkan bahwa munculnya muka dari ketiga uang logam tersebut adalah kejadian saling bebas? Penyelesaian: Misalkan, 𝑆 = ruang sampel



15



𝐴 = kejadian munculnya muka pada uang logam I. 𝐵 =kejadian munculnya muka pada uang logam II. 𝐶 = kejadian munculnya muka pada uang logam III.



Berarti, 𝑆 = {(𝑚1,𝑚2, 𝑚3),(𝑚1,𝑚2, 𝑏3),(𝑚1,𝑏2,𝑚3),(𝑚1,𝑏2,𝑏3),} (𝑏1,𝑏2,𝑏3),(𝑏1,𝑏2,𝑚3),(𝑏1,𝑚2,𝑚3), (𝑏1,𝑚2, 𝑏3), 𝑛(𝑆) = 8 𝐴 = {(𝑚1,𝑚2,𝑚3), (𝑚1,𝑚2,𝑏3),(𝑚1, 𝑏2,𝑚3), (𝑚1,𝑏2,𝑏3)} 𝑛(𝐴) = 4 𝐵 = {(𝑚1,𝑚2,𝑚3),(𝑚1, 𝑚2,𝑏3),(𝑏1,𝑚2,𝑚3), (𝑏1,𝑚2, 𝑏3)} 𝑛(𝐵) = 4 𝐶 = {(𝑚1,𝑚2,𝑚3), (𝑏1,𝑚2, 𝑚3),(𝑚1,𝑏2,𝑚3), (𝑏1, 𝑏2,𝑚3)} 𝑛(𝐶) = 4 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {(𝑚1,𝑚2,𝑚3)} 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 1 Sehingga,



Perhatikan juga bahwa, Jadi 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah tiga kejadian saling bebas.



16



Hukum Total Probabilitas. Masih ingatkah, bahwa 𝐵 dan 𝐵𝑐 merupakan dua kejadian yang saling asing, begitu juga dengan 𝐴 dan 𝐴𝑐 saling asing, sehingga 1. 𝐵 ∩ 𝐵𝑐 = ∅ 2. 𝐵 ∪ 𝐵𝑐 = 𝑆 3. 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ∅ 4. 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑆 5. 𝐴 ∩ 𝑆 = 𝐴 6. 𝐴 ∪ 𝑆 = 𝑆



Perhatikan bahwa, 𝐴∩𝑆=𝐴 (𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵𝑐)) = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 𝑛(𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵𝑐)) = 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵𝑐)) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) Secara umum, apabila 𝐵1,𝐵2, 𝐵3,… , 𝐵𝑘 kejadian-kejadian saling asing, maka 𝑆 = 𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ 𝐵3 ∪ … ∪ 𝐵𝑘 Sehingga 𝐴 ∩ 𝑆 = 𝐴 ∩ (𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ 𝐵3 ∪ … ∪ 𝐵𝑘) = 𝐴 ∩ 𝐵 1 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵2 ∪ … ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 𝑘



17



3.2. PROBABILITAS BERSYARAT 3.2.1. Probabilitas Bersyarat Dalam hubungan peristiwa-peristiwa bersyarat, suatu peristiwa hanya bisa terjadi kalau ada peristiwa yang mendahului-nya terjadi. Misalkan peristiwa B hanya akan terjadi kalau peristiwa A telah terjadi. Untuk mempelajari probabilitas bersyarat, maka terlebih dahulu harus dibedakan dua macam probabilitas, 𝑃(𝐴) = Probabilitas terjadinya peristiwa 𝐴 atau peristiwa yang pertama. 𝑃(𝐵|𝐴) = Probabilitas terjadinya peristiwa 𝐵 setelah peristiwa 𝐴 terjadi. Probabilitas kejadian bersyarat,



Secara umum, jika dua peristiwa 𝐵1 dan 𝐵2 saling asing (𝐵1 ∩ 𝐵2 = ∅), maka:



Contoh 2.1. Misalkan sebuah dadu bersisi 6 dilempar, dan 𝐴 kejadian muncul mata dadu kurang dari 6, dan 𝐵 adalah kejadian muncul mata dadu Genap. Apabila kejadian 𝐴 dan 𝐵 dilakukan secara berurutan, maka berapakah kemungkinan muncul mata dadu Genap apabila didahului oleh kejadian munculnya mata dadu kurang dari 6?



Penyelesaian: 𝑆 merupakan ruang sample; 𝑆 = {1,2,3,4,5,6} 𝐴 kejadian muncul mata dadu kurang dari 5 ; 𝐴 = {1,2,3,4,5}



18



𝐵 adalah kejadian muncul mata dadu Genap; 𝐵 = {2,4,6}



Ditanya 𝑃(𝐵|𝐴) = ⋯ ?



Jawab



Jadi probabilitas muncul mata dadu genap apabila didahului kejadian munculnya mata dadu kurang dari 5 adalah



.



Contoh 2.2. Diberikan populasi calon mahasiswa STKIP SURYA yang dibagi menurut jenjang kelamin dan status latar belakang pendidikan mereka, dirangkum dalam tabel 1.1 berikut, Tabel 1.1. rangkuman jumlah populasi calon mahasiswa STKIP SURYA IPA (A) IPS (B) Jumlah Laki-laki (L) 460 40 500 Wanita (W) 150 250 400 Jumlah 610 290 900 Misalkan dari pendaftar akan dipilih calon mahasiswa dengan criteria bahwa dari banyaknya calon mahasiswa yang diutamakan adalah dari IPA, maka hitung probabilitas bahwa, a) Yang terpilih adalah Laki-laki,



19



b) Wanita.



Penyelesaian: a) 𝑛(𝐴) = 610



Sehingga,



Jadi probabilitas terpilihnya laki-laki dengan syarat pendidikan IPA adalah



.



b) 𝑛(𝑊) = 610



𝑛(𝑆) = 900



Sehingga,



20



Jadi probabilitas terpilihnya wanita dengan syarat pendidikan IPA adalah



.



Akibat 2.1. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐴),



Contoh 2.3. Probabilitas seorang calon mahasiswa diterima di program studi pendidikan matematika STKIP SURYA adalah sebesar 0,40 dan apabila dia sudah menjadi mahasiswa di STKIP SURYA, kemungkinan dia lulus sarjana sebesar 0,70. Berapakah kemungkinan calon tersebut akan lulus sarjana?



Penyelesaian: Misalkan A adalah kejadian seorang calon mahasiswa diterima di program studi pendidikan matematika STKIP SURYA. B adalah kejadian calon mahasiswa STKIP SURYA tersebut lulus sarjana. Diketahui, 𝑃(𝐴) = 0,40 𝑃(𝐵|𝐴) = 0,70 Ditanya, 𝑃(𝐵) ?



21



Jadi probabilitas calon mahasiswa tersebut lulus sarjana adalah 0,28.



Sifat-sifat lain probabilitas bersyarat



1.



𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵̅|𝐴)



2.



𝑃(𝐵1 ∪ 𝐵2|𝐴) = 𝑃(𝐵1|𝐴) + 𝑃(𝐵2|𝐴) − 𝑃(𝐵1 ∩ 𝐵2|𝐴)



3.



0 ≤ 𝑃(𝐵|𝐴) ≤ 1



4.



𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)



Contoh 2.4.



Empat buah kartu remi diambil secara random satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan probabilitas bahwa kartu yang terambil secara berturut-turut adalah AS WARU HITAM (ASwh), AS WARU MERAH (ASwm), AS WAJIK (ASwj) dan AS KERITING (ASkr)!



Penyelesaian:



22



Contoh 2.5. Kotak A berisi 10 bola merah (Ma) dan 15 bola hijau (Ha). Kotak B berisi 12 bola merah (Mb) dan 17 bola hijau (Hb). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang bahwa 2 bola yang terambil berwarna hijau! Penyelesaian: 𝑃(𝐻𝑎 ∩ 𝐻𝑏) = 𝑃(𝐻𝑎)𝑃(𝐻𝑏|𝐻𝑎)



= 0,36



3.3. DISTRIBUSI PROBABILITAS 3.3.1. DISTRIBUSI PELUANG Definisi 3.1. Misalkan 𝑋 variabel random diskrit, suatu fungsi 𝑓 disebut fungsi peluang atau distribusi peluang 𝑋 apabila untuk setiap hasil 𝑥 yang mungkin memenuhi, 1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 2. ∑𝑛𝑥=0 𝑓(𝑥) = 1 3. 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑓(𝑥)



Karena 𝑋 variabel random diskrit, maka distribusi peluangnya disebut distribusi peluang diskret.



Contoh 3.1. Pada percobaan pelemparan mata uang 3𝑋, misalkan 𝑋 adalah variable random yang menyatakan banyaknya angka pada setiap hasil yang mungkin maka distribusi peluang 𝑋 dapat ditulis dalam tabel berikut. 𝑋



0



1



2



3



𝑓(𝑥)



23



Diperiksa 1. 𝑓(𝑥) ≥ 0, dipenuhi 2.



, dipenuhi



3. 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑓(0); 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑓(1); 𝑃(𝑋 = 2) = 𝑓(2); 𝑃(𝑋 = 3) = 𝑓(3) Maka 𝑓



fungsi distribusi peluang. Tabel di atas dapat ditulis dengan



Contoh Pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak dua kal. Misal 𝑋 menyatakn jumlah mata dadu pada lemparan 1 dan ke 2, maka distribusi peluang 𝑋 dapat disajikan dalam tabel berikut: 𝑋



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



P(X=x)



Coba periksa apakah memenuhi sebagai fungsi peluang.



Contoh:



Dalam sebuah kotak tersedia 8 bola lampu, 3 diantaranya rusak. Secara acak diambil 3 bola lampu tersebut. Jika 𝑋 menyatakan banyaknya bola lampu rusak yang terambil, tentukan distrbusi peluang 𝑋. Penyelesaian:



𝑋 = 0 artinya tidak ada bola lampu rusak yang terambil, sehingga



𝑋 = 1, artinya 1 bola lampu rusak yang terambil, maka



𝑋 = 2, artinya 2 bola lampu rusak yang terambil, sehingga



𝑋 = 3, artinya 3 bola lampu rusak yang terambil, sehingga



24



Sehingga distribusi peluang 𝑋: 𝑋



0



1



2



3



𝑓(𝑥)



10/56



30/56



15/36



1/56



Sedangkan fungsi distribusi peuang 𝑋 dapat disajikan dalam rumus



Suatu variable random kontinu mempunyai peluang pada setiap titik 𝑋. Oleh karena itu distribusi peluangnya tikdak mungkin disajikan dalam bentuk tabel, tetapi hanya berupa rumus secara terurut. Fungsi distribusi peluang variable random kontinu biasa disebut fungsi padat/fungsi densitas peluang. Definisi Mialkan X variable random kontinu, suatu fungsi 𝑓 disebut fungsi peluang atau distribusi peluang X jika untuk ssetia hasil 𝑥 yang mungkin memenuhi, 1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 2. ∫−∞∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1 3. 𝑃(𝑎 < 𝑋, 𝑏) = ∫𝑎𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥



Karena X variable random kontinu, maka distribusi peluangnya disebut distribusi peluang kontinu. Contoh: Misalkan variable random kontinu X mempunyai fungsi densitas peluang sebagai berikut



25



Tentukan: a.



adalah fungsi peluang



b. Hitung



Penyelesaian: a. (i)



, jelas (karena



sehingga



.



b. Contoh: Diketahui suatu fungsi densitas



a. Tentukan



agar



merupkan fungsi peluang



b. Tentukan



Penyelesaian:



a.



b.



26



BAB IV PENUTUP



4.1. Kesimpulan 1. Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai



harga



angka



yang



menunjukkan



seberapa



besar kemungkinan



suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P. 2. Irisan dua kejadian yaitu kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B. dilambangkan dengan 𝐴 ∩ 𝐵. Unsur – unsur dalam himpunan 𝐴 ∩ 𝐵 mewakili terjadinya secara sekaligus kejadian A dan B, oleh karena itu haruslah merupakan unsur – unsur, dan hanya unsur – unsur yang termasuk dalam A dan B sekaligus. Unsur – unsur itu dapat dirinci ataupun didefinisikan menurut kaidah 𝐴 ∩ 𝐵 = { 𝑥|𝑥 𝜖 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝜖 𝐵}, sedangkan lambang ∈ berarti “adalah anggota” atau “termasuk dalam.” Dalam diagram venn pada gambar daerah yang mewakili menyatakan kejadian A ∩ B, Sedangkan Paduan / gabungan dua kejadian adalah kejadian yang mencangkup semua unsur atau anggota A dan B atau keduanya . 4.2. Saran Menyadari bahwa penulis masih jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih fokus dan details dalam menjelaskan tentang makalah di atas dengan sumber – sumber yang lebih banyak yang tentunga dapat di pertanggung jawabkan. Semoga di mata kuliah Probabilitas dan Statistika selanjutnya bisa lebih baik lagi dan bisa menjadi yang terbaik dari mata kuliah yang lain. Karena Probabilitas merupakan sumber dari Informatika itu sendiri. –,



27



DAFTAR PUSTAKA



http://dokumen.tips/documents/makalah-konsep-dasar-probabilitas.html https://rullybelajar.files.wordpress.com/2014/09/pengantar-probabilitas-dan-teoripeluang.pdf



https://www.academia.edu/12291758/makalah_dasar-dasar_statistik_dan_probabilitas



28