Matrik Hessian [PDF]

Citation preview

Matrik Hessian Matrik adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matrik atau disebut juga elemen (unsur). Matrik Hessian adalah matrik yang setiap elemennya dibentuk dari turunan parsial kedua dari suatu fungsi. Misalkan f(x) fungsi dengan n variabel yang memiliki turunan parsial kedua dan turunannya kontinyu, matrik Hessian f(x) ditulis H adalah :



Matrik Hessian dapat digunakan untuk melakukan uji turunan kedua fungsi lebih dari satu variabel, yaitu untuk mengidentifikasi optimum relatif dari nilai fungsi tersebut. Penggolongan titik stasioner fungsi dua variabel dengan menggunakan matriks Hessian misalkan f(x) = F(x1, …, xn) adalah fungsi bernilai real dimana semua turunan parsialnya kontinu. Misalnya x0 adalah titik stasioner dari F dan didefinisikan H = H(x 0) dengan persamaan Hij = Fxi, yj (x0). H (x0) adalah Hessian dari F pada x0. Titik stasioner dapat digolongkan sebagai berikut : 1. x0. Adalah suatu minimum relatif dari F jika jika H(x0.) definit positif 2. x0. Adalah suatu maksimum relatif dari F jika H(x0.) definit negatif 3. x0. Adalah suatu titik pelana dari F jika H(x0.) indefinite Contoh Soal 1 Diketahui :



 x12  x22  2 x1 x2    f ( x)  2 x1  3x 22  6 x 2  ,  4 x1  6 x2  4   



x  x   1 ,  x2 



maka



2 x  2 x 2  1 d x 2 x 2  2 x1



df



2 4 6 x 2  6  6



Didefinisikan H (x ) adalah matriks hessian dari f (x ) , dimana f (x ) adalah fungsi skalar yang didefinisikan dalam ruang vektor x . Maka H (x ) adalah turunan tingkat dua fungsi f (x ) terhadap x .  2 f  2 f H ( x)    2  xi x j   x



 2 f   x12x1   f H ( x)   x x  2 1  ....... 2   f  x n x1



2 f x1x 2 2 f x 2 x 2 ........ 2 f x n x 2



....... ....... ....... .......



2 f   x1x n  2 f  x 2 x n   ........  2 f  x n x n 



Operator Integral dan differensial mempunyai sifat linier, karena linier maka juga mempunyai sifat komutatif. Matriks Hessian merupakan Matriks Simetri (upper diagonal = lower diagonal) Untuk mengetahui minimum atau maksimum suatu fungsi f (x ) , maka



f (x ) adalah minimum dan



2 f x



2



 H ( x)  0 fungsi f (x) adalah maksimum.



Contoh Soal 2 2



2



f ( x)  3x1  2 x2  4 x1 x2  6 x1  8 x2  6 maka,



 2 f  x x H ( x)   12 1   f  x x  2 1



2 f  H ( x)  0 2 x



2 f   x1x 2  6 4   2 f  4 4 x 2 x 2 



fungsi