Modul 5 [PDF]

Citation preview

MODUL 5 BILANGAN Tes sumatif 1. Pasangan berurutan (𝑝,𝑞,𝑟) yang merupakan contoh dari sifat “Jika 𝑝|𝑞 dan 𝑝|𝑟, maka 𝑝 | 𝑞 + 𝑟”,adalah . . . Jawab : E. ( 3, -3, 3) Penyelesaian 𝑝|𝑞 artinya p habis membagi q 𝑝|r artinya p habis membagi r 𝑝|(q + r) artinya p habis membagi ( q+r). Pasangan berurutan ( p, q, r) yang memenuhi adalah (3, -3, 3) 2. Di antara 5 pertanyaan berikut, yang bernilai benar adalah .... Jawab : A. Jika 𝑝|𝑞 dan 𝑝|𝑟, maka 𝑝|𝑞 − 𝑟 Peneyelesaian Karena p⃒ q dan p⃒ r maka terdapat x.y € Z sehingga q = px dan r = py Diperoleh q – r = px – py = p ( x – y ) Karena ada bilangan bulat ( x – y) sehingga q – r = p ( x – y ) dapat disimpulkan 𝑝|𝑞 − 𝑟 3. Jika 𝑎|𝑏, 𝑐|𝑑, dan 𝑐|𝑒 maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah .... a. Jawab : B. 𝑎𝑐|𝑏𝑒 4. Jika 𝑑 adalah faktor persekutuan terbesar dari 𝑎 dan 𝑏, maka pernyataan berikut ini yang benar adalah .... Jawab : D. 𝑑|𝑎𝑏 Penyelesaian Suatu bilangan bulat d disebut factor persekutuan dari a dan b apabila 𝑑|𝑎 dan 𝑑|𝑏 sehingga FPB (a,b) = d dan 𝑑|𝑎𝑏 5. Jika 𝑑|𝑎𝑏 dan 𝐹𝑃𝐵 (𝑑,a)=1 maka .... Jawab : C. 𝑑|𝑏 Teorema 1.10 Jika 𝑑|𝑎𝑏 dan 𝐹𝑃𝐵 (𝑑,a)=1 maka 𝑑|𝑏 Bukti Karena FPB ( d, a) = 1 maka ada m dan n sehingga dm + an = 1 Akibatnya diperoleh : b ( dm) + b ( an ) = b



D (bm ) + (ab) n = b Karena 𝑑|𝑎𝑏 maka 𝑑|𝑏 6. Jika 𝐹𝑃𝐵 (𝑎,)=6 dan 𝐾𝑃𝐾 [𝑎,𝑏]=210 maka nilai 𝑎 dan 𝑏 berturut-turut adalah .... Jawab : E. 30 dan 40 Penyelesain FPB ( a,b) = 6 KPK [ a,b] = 210 Maka angka yang memenuhi adalah 30 = 2 x 3 x 5



FPB = 2 x3 = 6



42 = 2 x 3 x 7



KPK = 2 x 3 x 5 x 7 = 210



7. Banyak bilangan prima dua angka yang hasil kali angka-angka penyusunnya merupakan bilangan ganjil adalah .... Jawab : D. 12 Penyelesaian Bilangan prima dua angka yang hasil kali angkanya bilangan ganjil yaitu : 11, 13, 17, 19, 31,37,53,59,73,79,91,97 8. Bilangan 1!×2!× 3!× ...× 9! dapat dinyatakan sebagai hasil kali perpangkatan faktor-faktor primanya. Jumlah dari semua pangkat pada bentuk hasil kali faktor-faktor primanya adalah .... Jawab : D. 51 Penyelesaian 1! = 1 2! = 2 x 1 3! = 3 x 2 x 1 4! = 22x 3 x 2 x 1 5! = 5 x 22x 3 x 2 x 1 6! = 2 x 3 x 5 x 22x 3 x 2 x 1 7! = 7 x 2 x 3 x 5 x 22x 3 x 2 x 1 8! = 23x 7 x 2 x 3 x 5 x 22x 3 x 2 x 1 9! = 32x23x7 x 2 x 3 x 5 x 22x 3 x 2 x 1 Jadi jumlah pangkat bilangan primanya 9. Jika bilangan bulat 𝑥 dan 𝑦 memenuhi kongruensi: 2𝑥 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 13), 3𝑦 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 13) maka 𝑥𝑦 kongruen modulo 13 dengan … Jawab : D 8



=1 =2 =4 =5 =7 =8 = 11 = 13 = 51



Penyelesaian 2𝑥 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 13) 2x – 5 habis dibagi 13 X=9 Sebab 2 (9) – 5 habis dibagi 13 3𝑦 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 13) 3y – 7 habis dibagi 13 Y = 11 Sebab 3 ( 11) – 7 habis dibagi 13 Jadi xy mod 13 ≡ 9.11 mod 13 ≡ 99 mod 13 ≡ 8 mod 13 10. Bilangan bulat positif terkecil 𝑛 sehingga berlaku 102018≡ (𝑚𝑜𝑑 7) adalah .... Jawab : B.2 Penyelesaian 10 = 10 mod 7 10 = 3 mod 7



102 = 32 mod 7 102 = 2 mod 7 (102 )3 = 23 mod 7 106 = 1 mod 7 (106 )336 = 1336 mod 7 102016 .102 = 1. 102 mod 7 102018 =102 mod 7 = 2 mod 7 Maka nilai n = 2 11. Jika 2𝑝≡3𝑞(𝑚𝑜𝑑 5), maka 10𝑝 adalah … Jawab : B. 5𝑞 (𝑚𝑜𝑑 10) 12. Jika 𝑝 ≡ (𝑚𝑜𝑑 11), maka 23𝑝–44 adalah …. Jawab : A. 12q + 22 (mod 11)



13. Jika 2𝑝 ≡ 2q(𝑚𝑜𝑑 5), maka 𝑝 adalah …. Jawab B.q (𝑚𝑜𝑑 5) Penyelesaian Teorema 2.3 Jika p,q,r dan m adalah bilangan – bialangn bulat dan m > 0 sedemikian hingga p ≡ q ( mod m ), Maka pr ≡ qr ( mod m) jika 2𝑝 ≡ 2q(𝑚𝑜𝑑 5) ruas kiri dan kanan dikali r =



1 maka p ≡ q ( mod 5) 2



14. Jika 6𝑝 ≡ 9𝑞(𝑚𝑜𝑑 15), maka 2𝑝 ≡ Jawab : D. 3𝑞 (𝑚𝑜𝑑 5) Penyelesaian Teorema 2.6 Jika p ≡ p q ( mod m ) maka pr ≡ qr ( mod mr) Sehingga 6𝑝 ≡ 9𝑞(𝑚𝑜𝑑 15) dikali r =



1 maka 2p ≡ 3q ( mod 5) 2



15. Jika 𝑝 ≡ 2𝑞(𝑚𝑜𝑑 24), maka 𝑝 ≡ .. . Jawab : B. 2p ( mod 8) Teorema 2.14 ap ≡ aq (mod m) jika dan hanya jika p ≡ q ( mod



m ¿ (a , m)



Jika 𝑝 ≡ 2𝑞(𝑚𝑜𝑑 24), maka 𝑝 ≡ 2𝑞(𝑚𝑜𝑑 8) 16. Jika 𝑝≡(𝑚𝑜𝑑 24) dan 𝑝≡𝑞(𝑚𝑜𝑑 36), maka 𝑝≡. . , adalah …. Jawab : C. 𝑞 (𝑚𝑜𝑑 72) Penyelesaian Teorema 2.14 p ≡ q ( q mod m 1) dan p ≡ q ( q mod m2) jika dan hanya jika p ≡ q ( mod [m ¿ ¿ 1 , m2 ] ¿) Jika 𝑝≡(𝑚𝑜𝑑 24) dan 𝑝≡𝑞(𝑚𝑜𝑑 36), maka 𝑝 ≡ q ( mod [ 24, 36]) KPK [ 24, 36 ] = 72 sehingga 𝑝 ≡ q ( mod 72)



51



17. Nilai dari



∑ 4 i−5 i=4



Jawab : C. 5040 Penyelesain I = 4, 4(4) – 5 = 11 i = 5, 4(5) – 5 = 15 i = 6, 4(6) – 5 = 19 .. i = 51….. n = 48 , b = 4 dan a = 11



n Sn = ¿ 2 S48=



48 ¿ 2



= 24 (210 ) = 5040 7



2



2



18. Tentukan persamaan ∑ k ( x −2 x )=405, Nilai x yang memenuhi . . . k =3



Jawab : C. 3 atau - 1 Penyelesain 3 + 4 +52 +62 +7 2( x 2−2 x) = 405 9 + 16 + 25 + 36 + 49( x 2−2 x) = 405 135 ( x 2−2 x) = 405 ( x 2−2 x ) = 3 x 2−2 x−3 = 0 (x–3)(x+1) =0 X = 3 v x = -1 19. Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah …. Jawab : B.567 2



2



Penyelesaian Bilangan habis dibagi 7 = 7, 14, 21, 28, 35….,98 U n = 98 98 = a + ( n – 1)b 98 = 7 + (n – 1) 7 98 = 7 + 7n – 7 7 n = 98 n = 14



14 ( 7 + 98) 2 = 7(105) = 735 Jumlah bilangan yang habis dibagi 4 dan 7 yaitu : 28 + 56 + 84 = 168 S14 =



Jadi jumlah bilangan tidak habis dibagi 4 tetapi habis dibagi 7 adalah 735 – 168 = 567 4



20. Nilai dari ∑ n =1



n ( n+1 ) (2 n+5) adalah ... 2



Jawab : Tidak ada jawaban dipilihan Penyelesaian 4



∑ n =1



n ( n+1 ) (2 n+5) 1 ( 1+1 ) (2.1+5) 2 ( 2+1 ) (2.2+5) 3 (3+ 1 ) (2.3+5) 4 ( 4+1 ) (2.4 +5) = + + + 2 2 2 2 2 =



14+54+ 132+ 260 2



= 230 21. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33,… disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang berbentuk adalah… Jawab : C.84 Penyelesaian 3, 18, 33,… b = 15 Setiap dua suku disisipkan 4 bilangan 3,a,b,c,d, 18,e,f,g,h 33,… Beda baru =



beda lama 15 = =3 k +1 4+ 1



N=7



n Sn = ¿ 2 7 S7= ¿ 2 =



7 ( 24) 2



= 84



25



25



22. Diketahui∑ ¿¿ ) = 0, maka nilai ∑ pk = . . k =5



Jawab : D.42 Penyelesaian



k =5



N = 21 25



25



∑ 2−∑ pk = 0 k =5



k=5 25



2 n - ∑ pk



=0



2.21 - ∑ pk



=0



k =5 25



k =5



25



∑ pk



= 42



k =5



23. Perhatikan pola berikut ini ,,1+4+7+10+13+ ⋯+(3 𝑛−2) Formula yang memenuhi adalah… 3 n2−n Jawab : C. Sn= 2 Penyelesaian n Sn = ( a + U n) 2 n = ( 1 + 3n -2) 2 n = (3n -1) 2 3 n2−n = 2 24. Jumlah barisan geometri tak hingga dari 8 + Jawab : B. 24 Penyelesain Rasio =



u2 u1



16 = 3 8 =



S∞ =



a 1−r



8 ¿



1−



24 3 = 16 2



3 2



= 24



16 32 +. .adalah …. + 3 9



n −1



25.



n ( n−1 ) (n+1) ¿∀ bilangan asli n ≥2. Untuk membuktikan bahwa p(k+1) adalah 3 t =1 benar, maka p(k) adalah benar. Maka, dari prinsip induksi matematika, p(n) adalah……..



∑ t (t−1¿)=



Jawab : B. ∀ bilangan asli n ≥2



26. Pernyataan berikut yang tidak dapat dibuktikan dengan induksi matematika adalah.... Jawab: C . 2n < n! untuk setiap n bilangan asli 27. Pembuktian dengan induksi matematika menunjukkan bahwa a n >1 untuk n bilangan asli jika diketahui …. Jawab ; A .a > 1 28. Pembuktian dengan induksi matematika menunjukkan bahwa 0 < a n< 1 untuk n bilangan bulat posistif jika diketahui …. Jawab :E. 0 < a n< 1 29. Pertidaksamaan 2n + 3 ≤ 2n berlaku untuk bilangan bulat nonnegatif n yang memenuhi …. Jawab :E. n ≥ 4 30. Dengan menggunakkan induksi matematika, kita menunjukkan bahwa untuk n bilangan bulat maka bilangan 52 n−1 habis dibagi… Jawab : C.5