Modul Baris Dan Deret [PDF]

Citation preview

1. Informasi Umum A. Identitas Modul



Sekolah



:



SMA Negeri 6 Kota Komba



Nama Penyusun



:



Melkior Peka , S.Pd



Tahun Disusun



:



2021



Jenjang/Kelas



:



SMA/10



Alokasi Waktu



:



18 JP



B. Kompetensi Awal



Sebelum mempelajari materi ini peserta didik diharapkan dapat: Menyelesaikan operasi persamaan linear satu variabel Menyelesaikan operasi persamaan linear satu variabel C. Profil Pelajar Pancasila



Di akhir pembelajaran ini peserta didik dapat mencerminkan sikap: Beriman, bertagwa kepada Tuhan Yang Maha Esa dan berakhlak mulia Mandiri Bernalar kritis Kreatif Bergotong royong D. Sarana dan Prasarana



Sarana



:



Laptop,



Spidol, whiteboard Prasarana



LCD, : Buku



teks kimia kelas X E. Target Peserta Didik



Peserta didik reguler/tipikal: umum, tidak ada kesulitan dalam mencerna dan memahami materi ajar. Peserta didik dengan kesulitan belajar: memiliki gaya belajar yang terbatas hanya satu gaya misalnya dengan audio. Memiliki kesulitan dengan bahasa dan pemahaman materi ajar, kurang percaya diri, kesulitan berkonsentrasi jangka panjang, dsb. Peserta didik dengan pencapaian tinggi: mencerna dan memahami dengan cepat, mampu mencapai keterampilan berfikir aras tinggi (HOTS), dan memiliki keterampilan memimpin. F. Model Pembelajaran



Tatap muka Pembelajaran Jarak jauh (Daring) Pembelajaran Jarak jauh (Luring)



2. Komponen Inti A. Tujuan Pembelajaran



Setelah kegiatan pembelajaran selesai peserta didik diharapkan: 1. menentukan suku ke-n dan beda dari barisan aritmetika; (Pertemuan 1 ) 2. menentukan suku ke-n dan rasio dari barisan geometri; (Pertemuan 1 dan 2) 3. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep barisan aritmetika dan barisan geometri; (Pertemuan 3 dan 4) 4. menentukan jumlah suku ke-n dari deret aritmetika dan deret geometri; (Pertemuan 5 dan 6) 5. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret aritmetika dan deret geometri; (Pertemuan 7 dan 8 ) 6. menentukan jumlah suku dari deret geometri tak hingga; (Pertemuan 9 ) 8. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret geometri tak hingga. B. Pemahaman Bermakna



Manfaat bagi peserta didik untuk diterapkan dalam kehidupan sehari-hari adalah: Barisan dan deret dalam matematika memiliki manfaat yang banyak dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah barisan dan deret aritmatika. Dengan memahami barisan dan deret aritmatika, para pedagang di pasar bisa memprediksi skala keuntungan dan kerugian. Begitu juga dengan petani, bisa menghitung skala keuntungan dan kerugian dari jumlah total panenan dengan perbandingan harga di pasaran.



C. Pertanyaan Pemantik



Banyak sekali penerapan barisan dan deret dalam kehidupan sehari misalnya pada Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilainilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya.Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori Baris dan Deret.  Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan dari  waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya di sini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya. Agar Anda dapat menyelesaikan masalah tersebut, pelajari materi ini secara saksama dan dengan baik.



D. Kegiatan Pembelajaran



1.



Pertemuan ke-1 dan 2 :



FASE PENDAHULUAN



KEGIATAN PEMBELAJARAN Memberikan salam pembuka dan doa



WAKTU 15 menit



Guru mengecek kehadiran peserta didik Siswa diajak untuk berfikir kritis barisan aritmetika dan KEGIATAN INTI



geometri Siswa membentuk kelompok sesuai dengan petunjuk guru 140 menit ( 3-4 orang per kelompok ) Secara berkelompok (3-4



orang)



peserta



didik



mendiskusikan permasalahan dalam LKPD I PENUTUP



25 menit 1) Peserta didik menyampaikan kesan belajar mereka hari ini 2) guru mengakhiri kegiatan belajar dengan pesan untuk tetap semangat belajar



2. Pertemuan ke-3 dan 4 FASE PENDAHULUAN



KEGIATAN PEMBELAJARAN Memberikan salam pembuka dan doa



WAKTU 15 menit



Guru mengecek kehadiran peserta didik Siswa diajak untuk berfikir kritis tentang permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep KEGIATAN INTI



barisan aritmetika dan barisan geometri Siswa membentuk kelompok sesuai dengan petunjuk guru 140 menit ( 3-4 orang per kelompok ) Secara berkelompok (3-4



orang)



peserta



didik



mendiskusikan permasalahan dalam LKPD II PENUTUP



25 menit 1) Peserta didik menyampaikan kesan belajar mereka hari ini 2) guru mengakhiri kegiatan belajar dengan pesan untuk tetap semangat belajar



3. Pertemuan ke-5 dan 6 FASE PENDAHULUAN



KEGIATAN PEMBELAJARAN Memberikan salam pembuka dan doa Guru mengecek kehadiran peserta didik Siswa diajak untuk berfikir kritis tentang menentukan



WAKTU 15 menit



jumlah suku ke-n dari deret aritmetika dan deret geometri KEGIATAN INTI



Siswa membentuk kelompok sesuai dengan petunjuk guru 140 menit ( 3-4 orang per kelompok ) Secara berkelompok (3-4



orang)



peserta



didik



mendiskusikan permasalahan dalam LKPD III PENUTUP



25 menit 1) Peserta didik menyampaikan kesan belajar mereka hari ini 2) guru mengakhiri kegiatan belajar dengan pesan untuk tetap semangat belajar



4. Pertemuan ke-7 dan 8 FASE PENDAHULUAN



KEGIATAN PEMBELAJARAN Memberikan salam pembuka dan doa



KEGIATAN INTI



Guru mengecek kehadiran peserta didik Siswa diajak untuk berfikir kritis untuk menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret aritmetika dan deret geometri Siswa membentuk kelompok sesuai dengan petunjuk guru 140 menit ( 3-4 orang per kelompok ) Secara berkelompok (3-4



orang)



peserta



WAKTU 15 menit



didik



mendiskusikan permasalahan dalam LKPD IV PENUTUP



25 menit 1) Peserta didik menyampaikan kesan belajar mereka hari ini 2) guru mengakhiri kegiatan belajar dengan pesan untuk tetap semangat belajar



5. Pertemuan ke 9 FASE KEGIATAN PEMBELAJARAN PENDAHULUAN Memberikan salam pembuka dan doa



KEGIATAN INTI



WAKTU 15 menit



Guru mengecek kehadiran peserta didik Siswa diajak untuk berfikir kritis untuk menentukan jumlah suku dari deret geometri tak hingga Siswa membentuk kelompok sesuai dengan petunjuk guru 140 menit ( 3-4 orang per kelompok ) Secara berkelompok (3-4



orang)



peserta



didik



mendiskusikan permasalahan dalam LKPD IV PENUTUP



25 menit 1) Peserta didik menyampaikan kesan belajar mereka hari ini 2) guru mengakhiri kegiatan belajar dengan pesan untuk



tetap semangat belajar E. Asesmen 1) Sikap (Profil Pelajar Pancasila) dapat berupa: observasi, penilaian diri,



penilaian teman sebaya 2) Performa (presentasi hasil diskusi) 3) Tertulis (tes objektif: essay, isian jawaban singkat, benar salah). F. Pengayaan dan Remidial Pengayaan



: diberikan pada peserta didik dengan capaian tinggi agar mereka dapat mengembangkan potensinya secara optimal.



Remedial



: diberikan kepada peserta didik yang membutuhkan bimbingan untuk memahami materi atau pembelajaran mengulang.



Lampiran 1.Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) 1 Kegiatan 1 Pada setiap hari senin, seluruh siswa SMP Ceria selalu melaksanakan upacara bendera. Mereka semua berbaris secara rapi agar dapat mengikuti upacara bendera secara khidmat. Setiap kelas di SMP Ceria terdiri dari 20 orang siswa. Pada kelas IX A, jumlah laki-laki adalah 10 orang dan jumlah perempuan juga 10 orang. Formasi barisan barisan yang dibentuk oleh tiap-tiap kelas adalah terdiri dari 2 baris yang sejajar, dimana baris pertama diisi oleh siswa laki-laki dan baris kedua diisi oleh siswa perempuan. Berikut adalah data siswa laki-laki beserta tinggi badannya di kelas IX A :



Coba kamu perhatikan data tinggi badan dari 10 siswa kelas IX A SMP Ceria seperti yang terlihat pada table di atas. a. Siapakah siswa tertinggi dan siswa terpendek dalam kelas tersebut ? b. Coba kamu urutkan siswa-siswa tersebut dalam suatu barisan sesuai dengan tinggi badan tiap-tiap siswa dari yang terpendek sampai yang tertinggi. Tuliskanhasilmu dalam table berikut ini :



c. Siapakah siswa yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-8, dan berapa tinggi siswa tersebut ? d. Menurutmu bagaimana aturan untuk mengurutkan kesepuluh siswa tersebut dalam suatu barisan berdasarkan tinggi badannya ?



Informasi Utama !! Urutan bilangan yang kalian temukan di atas disebut dengan barisan bilangan dengan aturan/pola tertentu. Bilangan-bilangan yang terdapat dalam barisan tersebut dikenal dengan nama suku. Secara umum suku-suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai U1, U2, U3, ……, Un



Kegiatan 2 Masalah 1:



Coba kamu amati susunan yang dibentuk dari batang korek api seperti pada gambar di bawah !



Setelah itu lengkapilah tabel berikut :



a. Apakah selisih antara dua suku yang berurutan selalu sama/tetap ? b. Menurutmu, berapakah banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat pola ke-20 ? dapatkah kamu menentukannya ? c. untuk menemukan banyak batang korek api pada pola ke-20, kalian harus menemukan pola umum dari barisan di atas. Perhatikan langkah-langkah berikut :



pola ke-1 (U1) ada sebanyak 4 batang korek api, maka : 4 = 4 + (1 – 1) x 3 Pola ke-2 (U2) ada sebanyak 7 batang korek api, maka :



7 = ….. + (2 – 1 ) x 3 Pola ke-3 (U…..) ada sebanyak ……. Batang korek api, maka : …… = …… + (…… - 1) x 3 Pola ke-4 (U…..) ada sebanyak ……. Batang korek api, maka : …… = ……. + (….. - ……) x ……. Pola ke-5 (U……) ada sebanyak ……. Batang korek api, maka : …… = ……. + (….. - ……) x ……. Dan seterusnya, sehingga untuk pola ke-n (U……) kita peroleh : Un = …….. + (……. - …….) x ………. Informasi Utama



Dari kegiatan yang telah kamu lakukan, dapat kamu lihat bahwa susunan bilangan yang menyatakan banyaknya batang korek api untuk membuat tiap -tiap susunan membentuk suatu barisan yang disebut dengan barisan aritmetika. Selisih antara dua buah suku yang berurutan selalu sama/tetap dan disebut dengan beda.



Secara umum, suatu barisan aritmetika dengan suku pertama U1 = a dan beda antara dua suku yang berurutan adalah b, maka suku ke-n (Un) barisan aritmetika tersebut adalah : Un = a + (n – 1) x b



Kegiatan 3 Masalah 2:



Pada kegiatan ini kamu diwajibkan untuk membawa satu lembar kertas hvs. Ikuti langkah-langkah kegiatan di bawah ini : 1. Lipatlah satu lembar kertas yang telah kalian bawa sehingga menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas ? 2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang ? 3. Lakukan kegiatan tersebut sampai 7 kali ! 4. Tuliskan hasil pengamatanmu pada tabel di bawah !



a. Apakah bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas membentuk suatu pola barisan bilangan ? ……………………………………………………………………………………. b. Apakah perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu sama/tetap ? …………………………………………………………………………………………… …………………….. c. Dapatkah kamu menentukan banyak potongan kertas pada pola ke-25 ? …………………………………………………………………………………………… …………………….. d. Untuk dapat menentukan banyak potongan kertas pada pola ke-25, kalian harus menemukan pola umum dari barisan di atas. Perhatikan langkah–langkah berikut ini : Pola ke-1 (U1) ada sebanyak 2 potongan kertas, maka : 2 = 2 x 21 – 1 = 2 x 2 0 Pola ke-2 (U2) ada sebanyak 4 potongan kertas, maka : 4 = 2 x 2…. – 1 = 2 x 2….. Pola ke-3 (U3) ada sebanyak ……. potongan kertas, maka : …… = 2 x …..----- - 1 = 2 x ………….. Pola ke-4 (U4) ada sebanyak ……..potongan kertas, maka : …….= ……X…………… - 1 = …….x…........ Dan seterusnya, dengan cara yang sama untuk pola ke-n (Un) kita peroleh : Un = ……x……….. - …… Informasi Utama Dari kegiatan yang telah kamu lakukan, dapat kamu lihat bahwa susunan bilangan yang menyatakanbanyaknya potongan kertas pada tiap-tiap kegiatan melipat dan menggunting kertas membentuk suatu barisan bilangan yang disebut barisan geometri. Perbandingan antara dua buah suku yang berurutan selalu sama/tetap dan disebut dengan rasio.



Secara umum, suatu barisan geometri dengan suku pertama U1 = a, dan perbandingan/rasio antara dua suku yang berurutan adalah r, maka suku ke-n (Un) dari barisan geometri tersebut adalah :



Un = a x r n -1



Masalah 2:



Kegiatan 3



Pada kegiatan ini kamu diwajibkan untuk membawa satu lembar kertas hvs. Ikuti langkah-langkah kegiatan di bawah ini : 5. Lipatlah satu lembar kertas yang telah kalian bawa sehingga menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas ? 6. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang ? 7. Lakukan kegiatan tersebut sampai 7 kali ! 8. Tuliskan hasil pengamatanmu pada tabel di bawah !



e. Apakah bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas membentuk suatu pola barisan bilangan ? ……………………………………………………………………………………. f. Apakah perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu sama/tetap ? …………………………………………………………………………………………… …………………….. g. Dapatkah kamu menentukan banyak potongan kertas pada pola ke-25 ? …………………………………………………………………………………………… ……………………..



h. Untuk dapat menentukan banyak potongan kertas pada pola ke-25, kalian harus menemukan pola umum dari barisan di atas. Perhatikan langkah–langkah berikut ini : Pola ke-1 (U1) ada sebanyak 2 potongan kertas, maka : 2 = 2 x 21 – 1 = 2 x 2 0 Pola ke-2 (U2) ada sebanyak 4 potongan kertas, maka : 4 = 2 x 2…. – 1 = 2 x 2….. Pola ke-3 (U3) ada sebanyak ……. potongan kertas, maka : …… = 2 x …..----- - 1 = 2 x ………….. Pola ke-4 (U4) ada sebanyak ……..potongan kertas, maka : …….= ……X…………… - 1 = …….x…........ Dan seterusnya, dengan cara yang sama untuk pola ke-n (Un) kita peroleh : Un = ……x……….. - ……



Informasi Utama



Dari kegiatan yang telah kamu lakukan, dapat kamu lihat bahwa susunan bilangan yang menyatakan banyaknya potongan kertas pada tiap-tiap kegiatan melipat dan menggunting kertas membentuk suatu barisan bilangan yang disebut barisan geometri. Perbandingan antara dua buah suku yang berurutan selalu sama/tetap dan disebut dengan rasio.



Secara umum, suatu barisan geometri dengan suku pertama U1 = a, dan perbandingan/rasio antara dua suku yang berurutan adalah r, maka suku ke-n (Un) dari barisan geometri tersebut adalah



Un = a x r n - 1



Contoh Soal 1. Suku ke-3 dan ke-10 barisan aritmetika berturut-turut adalah 11 dan 39. Tentukan suku pertama barisan tersebut! Uraian Jawaban: U3 = 11 maka a+2b=11 U10 = 39 maka



a+9b = 39 0 – 7b = -28 - 7b = -28 28 b= =4 7 b = 4 substitusikan ke a + 2b = 11 a + 2(4) = 11 a + 8 = 11 a = 11 – 8 a=3 suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah 3 2. Tentukan suku pertama, beda atau rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-10 dari barisan bilangan berikut: a. 4, 8, 16, 32,... b. -3, 1, 5, 9,... Uraian Jawaban: a. 4, 8, 16, 32,……merupakan barisan geometri dengan:



Suku pertama : a = 4, dan



, rasio : r  8 / 4 = 2



rumus suku ke-n: Un = ar n1  4(2)n1 ,



suku ke-10 : U10 =ar9 = 4(29) = 4.512 = 2.048 b. -3, 1, 5, 9,.........merupakan barisan aritmatika dengan:



Suku pertama: a = -3, beda : b = 1 – (-3) = 5 – 1 = 9 – 5 = 4, rumus suku ke-n: Un = a + (n – 1)b = -3 + (n – 1)4 = -3 + 4n– 4 = 4n – 7, dan suku ke-10: U10 = 4(10) — 7 = 40 — 7 = 33  Rubrik Penilaian Soal : 1. Seutas tali dipotong menjadi 6 ruas dan panjang masing-masing potongan itu membentuk barisan geometri. Potongan tali pertama/terpendek sama dengan 3 cm dan potongan tali terakhir/terpanjang sama dengan 96 cm. Hitunglah panjang potongan tali ke-4! 2. Suatu jenis bakteri, setiap detik akan membelah diri menjadi dua. Jika pada saat permulaan ada 5 bakteri, waktu yang diperlukan bakteri supaya menjadi 320 adalah 3. Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768.Suku ke-7 deret itu adalah 4. Suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah ….. Kunci Jawaban. 1. Misal: 6 potongan seutas tali yang membentuk barisan geometri dimisalkan: U1 = a sebagai potongan tali pertama/terpendek U2 = ar sebagai potongan tali kedua U3 = ar2 sebagai potongan tali ketiga U4 = ar3 sebagai potongan tali keempat U5 = ar4 sebagai potongan tali kelima U6 = ar5 sebagai potongan tali keenam/ terpanjang



Dengan mensubstitusikan a = 3 (potongan tali terpendek) ke ar5 = 96 (potongan tali terpanjang) diperoleh: 3r5 = 96 96/3 rr55==32 r = 5√32 r=2 sehingga panjang potongan tali ke-4 adalah U4 = ar3 = 3(23) = 3(8) = 24 jadi panjang potongan tali ke-4 adalah 24 cm 2. Deret geometri r = 2 dan a = 5 Un = arⁿ 320 = 5. 2ⁿ =>64 = 2ⁿ 26 = 2ⁿ => jadi n=6 detik 3. a = 3 U9 = 768 Un = ar n 1 U9 = 3r8 = 768 r8 = 256 r =2 U6 = 3. 25 = 3. 64 = 192 4. Deret geometri U5 = 243 = ar5 U9 = r³ = 27 U6 r=3a=3 Jadi U2 = ar = 3 . 3 = 9



Pedoman Penskoran Soal 1. Seutas tali dipotong menjadi



6



ruas



dan



panjang



masing-masing



potongan itu membentuk barisan



geometri.



Potongan



tali



pertama/terpendek dengan



3



cm



potongan terakhir/terpanjang



sama dan tali sama



dengan 96 cm. Hitunglah panjang potongan tali ke4!



Skor 100



Jika mampu menyelesaikan 4 soal dengan benar



2. Suatu jenis bakteri, setiap detik akan membelah diri menjadi dua. Jika pada saat permulaan ada 5 bakteri, waktu yang diperlukan bakteri supaya menjadi 320 adalah



75



3. Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768.Suku ke-7 deret itu adalah



50



4. Suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah …..



25



Jika mampu menyelesaikan 3 soal dengan benar



Jika mampu menyelesaikan 2 soal dengan benar



Jika mampu menyelesaikan 1 soal dengan benar



2. LKPD Pertemuan ke – II Siswa dalam kelompok berdiskusi menyelesaikan masalah masalah berikut 1. Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah … Pembahasan: Diketahui: a = 12 b = 2 Ditanyakan  Jawab:



Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.



6. Suatu virus berkembang biak dua kali lipat setiap 2 jam. Bila jumlah virus pada pukul 07.00 banyaknya 5 spesies, perkembangbiakan virus tersebut pada pukul 15.00 adalah... Jawab : 07.00   →   5 spesies 09.00   →   10 spesies 11.00   →   20 spesies 13.00   →   40 spesies 15.00   →   80 spesies atau U5 = 5 (2)5-1 = 80 7. Sebuah  pabrik sepatu memproduksi 500 pasang sepatu pada awal tahun 2018, karena banyaknya permintaan sepatu di pasar, pabrik sepatu tersebut menambah produksi sepatu 25 pasang setiap bulannya. Berapa pasang jumlah sepatu yang diproduksi pabrik tersebut pada bulan terakhir tahun 2018? Jawab: Diketahui produksi pada awal tahun adalah 500 pasang maka a = 500 dan setiap bulan bertambah  25 maka b = 25 Yang ditanyakan produksi pada bulan desember (U12)     



U12  = a + (n-1)b U12  = 500 + (12-1)25 U12  = 500 + (11)25 U12  = 500 + 275 U12  = 775



Jadi produksi pada bulan Desember tahun 2018 sebanyak 775 pasang sepatu 4. Jumlah penduduk suatu kota dalam 5 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan Badan Pusat Statistik (BPS), pada tahun 2024 mendatang jumlah penduduk kota tesebut akan mencapai 1,2 juta orang. Berapa jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2004? Penyelesaian Jawab Diketahui: n = 5 (tahun 2004- tahun 2024) terjadi 5 kali sensus penduduk r=2 Un = U5 = 1,2 juta Ditanya: berapa jumlah penduduk pada tahun 2004 (U₁) ? Jawab U5 = 1.200.000 ar4 = 1.200.000 a(23) =1.200.000 16a = 1.200.000 a = 75.000 dengan demikian, jumlah penduduk pada tahun 2004 adalah 75.000 orang Rubrik Penilaian



Soal 1. Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …



Skor Keterangan 100 Jika mampu menyelesaikan 4 soal dengan benar



2. Suatu virus berkembang biak dua kali lipat setiap 2 jam. Bila jumlah virus pada pukul 07.00 banyaknya 5 spesies, perkembangbiakan virus tersebut pada pukul 15.00 adalah...



75



Jika mampu menyelesaikan 3 soal dengan benar



3. Sebuah  pabrik sepatu memproduksi 500 pasang sepatu pada awal tahun 2018, karena banyaknya permintaan sepatu di pasar, pabrik sepatu tersebut menambah produksi sepatu 25 pasang setiap bulannya. Berapa pasang jumlah sepatu yang diproduksi pabrik tersebut pada bulan terakhir tahun 2018? 4. Jumlah penduduk suatu kota dalam 5 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan Badan Pusat Statistik (BPS), pada tahun 2024 mendatang jumlah penduduk kota tesebut akan mencapai 1,2 juta orang. Berapa jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2004?



50



Jika mampu menyelesaikan 2 soal dengan benar



25



Jika mampu menyelesaikan 1 soal dengan benar



3.



LKPD Pertemuan ke – III



Petunjuk :



1. Menemukan Rumus Deret Aritmetika



1. Tuliskan nama kelompok dan nama anggota kelompok pada lembar yang telah disediakan. 2. Diskusilah soal-soal berikut dengan teman kelompok masing-masing. 3. Jawablah soal-soal berikut dengan benar. Soal: 1.



Perhatikan gambar dibawah ini



Jika pada baris paling depan tersedia 3 kursi, baris kedua terdapat 6 kursi, dan baris ketiga terdapat 9 kursi, maka : a. Banyak kursi di baris ke 4 dan ke 5 adalah …. b. Banyaknya kursi yang terdapat di baris ke n adalah … c. Menurutmu berapa banyak jumlah seluruh kursi pada:



1. Barisan ke 1 = …..



2. Barisan ke 1 sampai ke 2 = …. 3. Barisan ke 1 sampai ke 3 = ….. d. Nyatakan barisak ke 5 dengan melibatkan barisan ke 3 dan barisan ke 4! Jawab: ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………… e. Berapa banyak seluruh kursi di dalam gedung tersebut sampai baris ke n ? bagaimana cara menentukanya? Sebutkan! Jawab: ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. 2.



Jika U1 = a1 = 3 , U2 = a1 + 3 = 6, U3 = a1 + 6 = 9



Maka tentukan S3 , S4, dan Sn Jawab: S3 = 3



+ 6



+9



S3 = 9



+ 6



+3



S3 = 12 + 12



+



+ 12



= 3+9 + 3+9 + …. = (a1 + U3) + ( a1 + …) + ( …… ) 2S3 = 3( …… ) S3 =



U4 = a1 + …. = …. S4 =



3



S4 =



…



2S4 = 15



+ 6



+



+ … + …



9



+ 12 +…



+



+ … + …. + …



= 3+12 + …. + …. + …. = (a1 + U4) + (…….) + (…....) + (……..) 2S4



= ……



S4 = …….



Sn = a1 + (a1 + b) + (a1 +2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un



Sn = …………………………………………………………….. + 2Sn = ……………………………………………………………. = ……………………………………………………………. Sn = …………………………………………………………….



Jadi, rumus Sn adalah



……………………………….



2. Menemukan Rumus Deret Geometri Petunjuk pengisian Lembar Aktivitas Siswa (LAS) 1.



Baca dan fahami pernyataan-pernyataan dari situasi masalah yang disajikan dalam LKS berikut ini. Kemudian pikirkan kemungkinan jawabannya. Catatlah kemungkinan jawaban yang menurut kamu benar. 2. Diskusikan dengan kelompokmu penyelesaiann LAS tersebut. Kemudian bahaslah hal-hal yang dirasa perlu, untuk mempertegas kebenaran jawaban atau untuk memperoleh pemahaman dan pengertian terhadap masalah yang ditanggapi 3. Presentasikan jawaban yang telah disepakati bersama di depan kelas



Kegiatan 1 :



Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka berapakah panjang tali semula? Jawab : 1. Apa saja yang diketahui dari masalah diatas? ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... 2. Dari yang diketahu carilah nilai rasio (r) nya. ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... 3. Setelah mengetahui nilai r maka dapat digunakan untuk mencari panjang tali semula dengan konsep deret, yaitu : 3 + .... + .... + ..... + ….. + 96 = ………………..



Kegiatan 2 : Menemukan rumus jumlah n suku pertama deret geometri Seperti halnya pada deret aritmetika jumlah n suku pertama dari deret geometri dilambangkan dengan Sn. Jadi untuk deret geometri : Sn = U 1 + U 2 + U 3 + … + U n Sn = a + a r + a r 2 + … + a r n –1 pers.(1) Jika persamaan (1) dikalikan dengan r diperoleh:



Bila persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2) diperoleh: Sn = r Sn = Sn – r Sn



=



Sn = Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah Sn =



 Rubrik Penilaian Soal: 1. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … buah 2. Suku ke – n suatu deret aritmetika un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah 3. Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua adalah 2 cm dan pada hari keempat adalah 3 cm, maka tinggi tanaman tersebut pada hari pertama pengamatan adalah ... 4. Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah ...



Jawab : 1.



 = a + b = 11 … (i)  = a + 3b = 19 … (ii) substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), maka diperoleh :



(11 – b) + 3b = 19            2b = 8 => b = 4 Kemudian substitusi nilai b tersebut salah satu persamaan (misal persamaan (i)) sehingga menjadi : a = 11 – b = 11 – 4 = 7 Setelah nilai a dan b kita peroleh, kemudian substitusi nilai tersebut ke rumusnya : =   (2a + (n – 1) b)  =   (2(7) + (5 – 1)4)   =  (14 + (4)4)   =   (14 + 16)   =  (30) = 75 2. Rumus untuk jumlah suku pertama ke-n barisan aritmatika adalah Sn =   (2a + (n – 1)b) atau Sn =   (a + un). Karena suku ke-n atau un diketahui, maka kita gunakan rumus yang kedua untuk mencari rumu jumlah suku pertama ke-n.  = 3n – 5 a=



 = 3(1) – 5 = -2



Sn =   (a +



 )



   =   (-2 + 3n – 5)    =   (3n – 7) 3. U2 = ar = 2   →   r = 2/a U4 = ar3 = 3 =



maka



4. Pandang ke-enam potongan tali sebagai suku-suku barisan geometri, dengan potongan terpendek adalah suku pertama dan potongan terpanjang adalah suku terakhir. n=6 U1 = a = 10 U6 = ar5 = 320   .......................(*) Substitusi a = 10 ke persamaan (*) diperoleh 10r5 = 320   ⇔   r5 = 32   ⇔   r = 2



Pedoman Penskoran



Indikator Penilaian 1. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … buah



Skor 100



2. Suku ke – n suatu deret aritmetika un = 3n – 5. Rumus



75



menyelesaikan 4 soal dengan benar



jumlah n suku pertama deret tersebut adalah 3. Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua adalah 2



Keterangan Jika mampu



Jika mampu menyelesaikan 3



50



soal dengan benar Jika mampu menyelesaikan 2 soal dengan



cm dan pada hari keempat adalah 3 cm, maka tinggi



benar



tanaman tersebut pada hari pertama pengamatan adalah ... 4. Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah ...



25



Jika mampu menyelesa ikan 1 soal dengan benar



4. LKPD Pertemuan ke – IV Siswa dalam kelompok berdiskusi menyelesaikan Soal soal berikut berikut 1. Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah.. Jawaban : Pandang ke-15 baris kursi sebagai suku-suku barisan aritmatika, dengan jumlah kursi baris terdepan sebagai suku pertama dan selisih jumlah kursi tiap baris yang berdekatan sebagai beda barisan. n = 15 a = 20 b=4 Kapasitas gedung adalah jumlah kursi pada ke-15 baris tersebut, yaitu



2. Seorang kakek membagikan permen kepada 6 orang cucunya, menurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia cucu semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diperoleh cucu kedua sebanyak 9 buah dan cucu kelima sebanyak 21 buah, jumlah seluruh permen adalah ... Jawaban : n=6 U2 = a + b = 9     ........................(1) U5 = a + 4b = 21   ......................(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh a = 5  dan  b = 4 Jumlah seluruh permen adalah S6 = 6/2(2 • 5 + (6 - 1)4) S6 = 3(10 + 20) S6 = 90 3. Adit menabung setiap bulan di sebuah bank. Pada bulan pertama Adit menabung sebesar Rp80.000,00 dan pada bulan-bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp5.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun adalah Jawaban : a = 80  (dalam ribuan rupiah) b = 5   (dalam ribuan rupiah) Jumlah tabungan dalam 1 tahun (12 bulan) adalah S12 = 12/2 (2.80 + (12 - 1)5) S12 = 6 (160 + 55) S12 = 1.290   (dalam ribuan rupiah) 4. Suatu virus berkembang biak dua kali lipat setiap 2 jam. Bila jumlah virus pada pukul 07.00 banyaknya 5 spesies, perkembangbiakan virus tersebut pada pukul 15.00 adalah... Jawaban : 07.00   →   5 spesies 09.00   →   10 spesies 11.00   →   20 spesies 13.00   →   40 spesies 15.00   →   80 spesies atau U5 = 5 (2)5-1 = 80 spesies 5. Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 adalah... Jawaban : 06.00   →   1.600 gram 08.00   →   800 gram 10.00   →   400 gram 12.00   →   200 gram 14.00   →   100 gram atau U5 = 1600 (1/2)5-1 = 100



Rubrik Penilaian Soal



Skor



1.Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah..



skor 20



2. Seorang kakek membagikan permen kepada 6 orang cucunya, menurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia cucu semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diperoleh cucu kedua sebanyak 9 buah dan cucu kelima sebanyak 21 buah, jumlah seluruh permen adalah ...



skor 20



3. Adit menabung setiap bulan di sebuah bank. Pada bulan pertama Adit menabung sebesar Rp80.000,00 dan pada bulan-bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp5.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun adalah



skor 20



4. Suatu virus berkembang biak dua kali lipat setiap 2 jam. Bila jumlah virus pada pukul 07.00 banyaknya 5 spesies, perkembangbiakan virus tersebut pada pukul 15.00 adalah...



skor 20



5.Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 adalah...



skor 20



5. LKPD Pertemuan ke – 9 Siswa secara berkelompok berdiskusi mencari jawaban dari soal berikut 1.



1



1 1 1 1     ...  ? 2 4 8 16



Jawab: Deret tersebut adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama rasio



2.



r



a  1 dan



1 a . Gunakan rumus deret geometri tak hingga yang mahsyur: S  . 2 1 r 1 1 Jadi, S  1  1  ( 1 )  2 2 2



2  2 1



1 1   ...  ? 2 2



Jawab: Barisan tersebut adalah barisan geometri tak hingga dengan suku pertama a  2 dan rasio r



U2 2  . Maka jumlahnya adalah: U1 2 S 



a 2 2 4    2 1 r 1  2 2  2  2  2  2  



.



Kalau penyebutnya mau dirasionalkan juga boleh.



3.



1 1   1  3  9  ...  ? 9 3



Jawab: Barisan tersebut adalah deret geometri tak hingga dengan rasio r  3 (lebih besar dari 1), sehingga suku-sukunya makin lama makin besar (makin membengkak). Sehingga deret tak hingganya divergen (tak terbatas). Jadi, S   4. Sebuah bola dijatuhkan bebas dari ketinggian 12 m menumbuk lantai, kemudian memantul hingga ketinggian 6 m, kemudian jatuh kembali dan memantul hingga ketinggian 3 m, 1 dari ketinggian 2



begitu



seterusnya sehingga ketinggian setiap pantulan adalah



pantulan



sebelumnya. Berapakah panjang total lintasan bola sampai berhenti?



Jawab: Perhatikan gambar berikut !



Dari gambar, jelaslah bahwa: Panjang total lintasan bola  12  2  6  2  3  2 1,5  ...  12  2(6  3  1,5  ...)



Bentuk di dalam kurung adalah deret geometri tak hingga dengan a = 6 dan r = ½. a 1 r 6  12  2  1  12  12  2 



 12  2 



6 ( 12 )



 12  2 12  12  24  36 meter.



 Pedoman Penskoran Indikator Penilaian 1. 1 



1 1 1 1     ...  ? 2 4 8 16



Skor 100



Keterangan Jika mampu menyelesaikan 4 soal dengan benar



2. 2  2  1 



1 1   ...  ? 2 2



75



Jika mampu menyelesaikan 3 soal dengan benar



3.



1 1   1  3  9  ...  ? 9 3



50



Jika mampu menyelesaikan 2 soal dengan benar



4. Sebuah bola dijatuhkan bebas dari ketinggian 12 m menumbuk lantai, kemudian memantul hingga ketinggian 6 m, kemudian jatuh kembali dan memantul hingga ketinggian 3 m, begitu seterusnya



25



Jika mampu menyelesaikan 1 soal dengan benar



1 sehingga ketinggian setiap pantulan adalah dari 2



ketinggian pantulan sebelumnya. Berapakah panjang total lintasan bola sampai berhenti?



B. Bahan Bacaan Guru dan Peserta Didik



 



Buku panduan belajar kemendikbud kurikulum sekolah penggerak 2021 Buku Matematika Kelas X karangan Nana Sutresna penerbit Sukino



C. Daftar Pustaka



 https://ayoguruberbagi.kemdikbud.go.id/rpp/lkpd-barisan-dan-deret-geometri/  https://www.zenius.net/blog/materi-soal-barisan-deret-aritmatika  https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/barisan-dan-deret-matematikakelas-11/  https://www.studiobelajar.com/barisan-deret-aritmatika-geometri/  https://www.yuksinau.id/barisan-dan-deret-matematika/



Mengetahui Kepala SMA Negeri 6 Kota Komba



Kisol, 20 Agustus 2021 Guru Mata Pelajaran



Frumensius Hemat, S.Fil NIP. 19810328 201001 1028



Melkior Peka , S.Pd