15 0 772 KB
PRA UAS 2020
1. DIFFERENSIAL (TURUNAN) Definisi Turunan Fungsi Turunan dari fungsi f adalah fungsi lain, yaitu fโ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah, f โฒ (c) = lim
๐(๐+โ)โ๐(โ)
asalkan limit ini ada.
โ
โโ0
KAIDAH KAIDAH DIFFERENSIAL a. Differensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta maka ๐๐ฆ ๐๐ฅ
Contoh
=0
: y = 5 , maka dy/dx = 0
b. Differensiasi fungsi pangkat Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka ๐๐ฆ ๐๐ฅ
Contoh
= nxn-1
: y = x3 , maka dy/dx = 3x3-1 = 3x2
c. Differensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Jika y = kv , dimana v = h(x), maka ๐๐ฆ ๐๐ฅ
Contoh
= ๐ . ๐ฃโ
: y = 5x3 , maka dy/dx = 5(3x2) = 15x2
d. Differensiasi pembagian konstanta dengan fungsi Jika y = k/v , dimana v = h(x) , maka ๐๐ฆ
= ๐๐ฅ
Contoh
๐ .๐ฃโฒ ๐ฃยฒ
5
๐๐ฆ
: y = ๐ฅยณ , maka ๐๐ฅ = โ
5(3๐ฅ 2 ) (๐ฅ 3 )2
= โ
15๐ฅยฒ ๐ฅโถ
e. Differensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi Jika y = u ยฑ v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka ๐๐ฆ ๐๐ฅ
Contoh
=
:y=
๐๐ข ๐๐ฅ
4x2
+
ยฑ
๐๐ฃ ๐๐ฅ
x3 ,
maka u = 4x2 uโ = 8x v = x3 vโ = 3x2
๐๐ฆ
Sehingga , ๐๐ฅ = 8x + 3x2
KEILMUAN HIMAKU 2020
f. Differensiasi perkalian fungsi Jika y = uv , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= ๐ขโฒ๐ฃ + ๐ข ๐ฃโฒ
: y = (4x2) (x3)
Contoh ๐๐ฆ
Maka, ๐๐ฅ = (8x)(x3) + (4x2)(3x2) ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= 8x4 + 12x4 = 20x4
g. Differensiasi pembagian fungsi ๐ข
Jika y = ๐ฃ , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka ๐๐ฆ
= ๐๐ฅ
Contoh ๐๐ฆ
= ๐๐ฅ
:y=
๐ขโฒ ๐ฃโ๐ข๐ฃโฒ ๐ฃ2
4๐ฅยฒ
sehingga
๐ฅยณ (8๐ฅ)(๐ฅ 3 )โ(4๐ฅ 2)(3๐ฅ 2 ) (๐ฅ 3 )ยฒ
=
8๐ฅ 4 โ12๐ฅโด ๐ฅโถ
= -4x-2
h. Differensiasi fungsi komposit Jika y = f(u), sedangkan u = g(x) dengan kata lain y = f{g(x)}, maka ๐๐ฆ
= ๐๐ฅ
๐๐ฆ ๐๐ข
๐๐ข
. ๐๐ฅ
Contoh : y = (4x3+5)2 Misalkan u = 4x3+5 sehingga uโ = 12x2 dan fungsi y menjadi y = u2 Sehingga,
๐๐ฆ ๐๐ฅ
= 2๐ข . 12๐ฅ 2 = 2 (4๐ฅ 3 + 5). 12๐ฅ 2 = 96๐ฅ 5 + 120๐ฅยฒ
i. Differensiasi fungsi berpangkat Jika y = un , dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka ๐๐ฆ ๐๐ฅ
๐๐ข
= nun-1 . ๐๐ฅ
Contoh : : y = (4x3+5)2 Misalkan u = 4x3+5 sehingga uโ = 12x2 ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= 2(4๐ฅ 3 + 5)(12๐ฅ 2 )
KEILMUAN HIMAKU 2020
2. APLIKASI DIFERENSIAL ๏ท ELASTISITAS PERMINTAAN adalah perubahan persentase jumlah barang yang diminta oleh konsumen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri Ehd =
๐๐ ๐
x
atau
๐๐ ๐
Ehd = Qโ x
๐ ๐
Jenis Elastisitas Harga 1. |Edh| < 1 Inelastis 2. |Edh| = 1 Uniter 3. |Edh| > 1 Elastis 4. |Edh| = 0 Inelastis Sempurna 5. |Edh| = โ Elastis Sempurna
CONTOH Diketahui : Qd = 150 - 3p, Elastisitas permintaan jika p = 40 ๐ Jawab : |Edh| = Qโ x ๐ = - 3 (40) = |-4| = 4 (30) ELASTIS Pada saat p = 40, jika harga naik (turun) sebesar 1%, maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 4% ๏ท ELASTISITAS PENAWARAN adalah perubahan persentase jumlah barang yang ditawarkan oleh produsen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri. a. Elastisitas Harga Titik (Point Elasticity) ๐๐ ๐
Ehd = ๐๐ x ๐
atau
๐
Ehd = Qโ x ๐
b. Elastisitas Harga Busur ฮ๐
Ehd = ฮ๐ X
๐ ๐
CONTOH Diketahui Qs = -200 + 7p2, Elastisitas penawaran saat P = 10 ๐ 14 |Ehd| = Qโ x ๐ = 14 (10) . (10) = 5 = 2,8 (500) ELASTIS Pada saat P = 10, jika harga naik (turun) sebesar 1%, maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebesar 2,8%
KEILMUAN HIMAKU 2020
๏ท
FUNGSI BIAYA Fungsi biaya dipengaruhi variabel penggunaan input pada fungsi produksi Biaya total (Total Cost = TC) adalah fungsi dari jumlah output TC = f(Q) dimana produksi total (Q) merupakan penjumlahan dari penggunaan input misal tenaga kerja Q = F (L) Variabel tenaga kerja (labor) mempengaruhi output (Q) sedangkan variabel Q mempengaruhi total cost gimana TC = TVC (asumsi ceteris paribus) 1) Biaya Total Total Cost Total cost merupakan semua biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk menghasilkan output barang dan jasa TC = f(Q) 2)
Total Fixed Cost (TFC) Dan Total Variable Cost (TVC) TFC atau total fixed cost adalah biaya yang nilainya tetap pada berbagai tingkat produksi TVC total variable cost adalah biaya yang nilainya berubah-ubah sesuai dengan kapasitas produksi TC = TFC + TVC
3)
Average Cost Average Cost merupakan biaya yang dikeluarkan untuk satu unit output yang diproduksi. AC = (TC/Q) = f(Q)/Q AC = AFC + ATC
4)
AFC = TFC/Q AVC= TVC/Q
Marginal Cost Biaya marginal merupakan perubahan total cost akibat adanya perubahan satu unit produk yang dihasilkan. MC = ฮTC / ฮQ
HUBUNGAN ANTARA AVERAGE COST DENGAN MARGINAL COST Tiga prinsip hubungan AC dan MC : 1) kemiringan kurva AC akan negatif, jika kurva marginal cost (MC) terletak dibawah kurva biaya ratarata (AC) 2) kemiringan kurva AC akan menjadi nol minimum, jika dan hanya jika kurva marginal cost (MC) memotong kurva average cost (AC) 3) kemiringan kurva Aceh akan positif atau maksimal, jika dan hanya jika kurva marginal cost (MC) terletak diatas kurva (AC) Kurva AC Minimum Jika Memotong Kurva MC Pembuktian ; TC = f(Q) maka AC = TC/Q dan MC = dTC / dQ Nilai minimum funsi AC : dAC = fI(Q) โ f(Q) = 0 maka f(Q) = fI(Q) . Q dQ Q2 f(Q) = fI(Q) atau AC = MC Q KEILMUAN HIMAKU 2020
Macam โMacam Fungsi Total Cost Jangka Pendek 1) FUNGSI BIAYA TOTAL LINEAR Fungsi : TC = aQ + b dimana a>0 , bโฅ0 Average Cost = AC =
๐๐ถ
๐
= a+ ๐
๐ ฮ๐๐ถ
Marginal Cost = MC =
ฮ๐
Marginal Average Cost = MAC = (dAC/dQ) = -b/Q2
2) FUNGSI BIAYA KUADRAT Fungsi : TC = aQ2 + bQ + c dimana a>0 , bโฅ0 , cโฅ0 Average Cost = AC =
๐๐ถ
๐ ฮ๐๐ถ
Marginal Cost = MC =
๐
= a+ b + ๐
ฮ๐
= 2aQ+b
Marginal Avarage Cost = MAC = (dAC/dQ) = a โ (c/Q2) 3) FUNGSI BIAYA KUBIK Fungsi : TC = aQ3 + bQ2 + cQ + d
๏ท
FUNGSI PENDAPATAN 1) TOTAL REVENUE atau total pendapatan TR = P.Q dimana p = f(Q) sehingga TR = f(Q) . Q TR max =
๐๐๐
๐๐
=0
2) AVERAGE REVENUE atau pendapatan rata-rata AR = TR/Q = (P.Q)/Q = P =f(Q) 3) MARGINAL COST atau pendapatan marginal MR = ๏ท
๐๐๐
๐๐
LABA Laba (โฅ) = TR โ TC Keterangan : TR = P.Q dimana P = f(Q) TC = f(Q) TC Sehingga โฅ = P.Q โ (TC) Laba Maksimun = turunan pertaman fungsi laba โฅmax = โฅI = dโฅ/dQ KEILMUAN HIMAKU 2020
3. DIFFERENSIAL PARSIAL Adalah suatu persamaan yang melibatkan fungsi dua peubah atau lebih dan turunan atau differensiasinya. Suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak dietahui merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel variabel yang dimaksud. ๐๐ ๐๐ฅ
merupakan turunan parsial fungsi f (x,y) terhadap x
Jika y = f (x,y) maka dy =
๐๐ฆ ๐๐ฅ
๐๐ฅ +
๐๐ฆ ๐๐ง
๐๐ง
PARSIAL DERIVATIF ๐๐ฆ
= lim ๐๐ฅโ
ฮ๐ฆ
โ๐ฅโโ0 ฮ๐ฅโ
Contoh
: carilah turunan parsial terhadap xโ dan x2 dari fungsi Y = f(x1x2) = 3x12 + x1x2 + 4x22 Maka turunan terhadap X1 adalah turnan terhadap X2 adalah ๐๐ฆ ๐๐ฅโ
๐๐ฆ
= 6x1 + x2
๐๐ฅโ
= 8x2 + x1
DERIVATIF DARI PARSIAL DERIVATIF Derivatif majemuk dapat diturunkan hingga nilai akhir nya 0 Misalnya : y = x3 + 5z2 - 4x2z โ 6xz2 + 8z โ 7 - Turunan pertama ๐๐ฆ
= 3x2 โ 8xz โ 6z2 ๐๐ฅ
-
๐๐ง
= 10z โ 4x2 โ 12xz + 8
Turunan kedua ๐ยฒ๐ฆ ๐๐ฅยฒ ๐ยฒ๐ฆ
= 6x-8z = -8x -12z
๐๐ฅ๐๐ง
-
๐๐ฆ
๐ยฒ๐ฆ ๐๐งยฒ ๐ยฒ๐ฆ
= 10-12x
๐๐ง๐๐ฅ
= -8x -12z
Turunan ketiga ๐ยณ๐ฆ ๐๐ฅยณ ๐ยณ๐ฆ
=6
๐๐ฅยฒ๐๐ง ๐ยณ๐ฆ ๐๐ฅ๐๐งยฒ
= -8 = -12
๐ยณ๐ฆ ๐๐งยณ ๐ยณ๐ฆ ๐๐งยฒ๐๐ฅ ๐ยณ๐ฆ ๐๐ง๐๐ฅยฒ
=0 = -12 = -8
KEILMUAN HIMAKU 2020
NILAI EKSTRIM Untuk y = f(x,z) akan mencapai titik ekstrim jika : ๐๐ฆ ๐๐ฅ ๐ยฒ๐ฆ ๐๐ฅยฒ ๐ยฒ๐ฆ ๐๐ฅยฒ
=0 0
๐๐ฆ ๐๐ง
=0 ๐ยฒ๐ฆ ๐๐งยฒ ๐ยฒ๐ฆ ๐๐งยฒ
0
MINIMUM
KEILMUAN HIMAKU 2020
4. APLIKASI DIFFERENSIAL PARSIAL - PERMINTAAN MARJINAL Apabila 2 macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan atas masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua barang tersebut Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb) maka:
-
๏ถQda ๏ฝ ๏ถPa
Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan P
๏ถQdb ๏ฝ ๏ถPa
Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan P
๏ถQda ๏ฝ ๏ถPb
Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan P
๏ถQdb ๏ฝ ๏ถPb
Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan P
a
b
a
b
ELASTISITAS PERMINTAAN Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri: 1) Barang a
%๏Qda ๏ถQda P ๏ฝ ๏ด a %๏Pa ๏ถPa Qda
๏จd a ๏ฝ 2) Barang b
๏จd b ๏ฝ -
%๏Qdb ๏ถQdb P ๏ฝ ๏ด b %๏Pb ๏ถPb Qdb
ELASTISITAS SILANG Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas silang yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang lainnya: 1) Elastisitas silang barang a dengan barang b
๏จ ab ๏ฝ
%๏Qda ๏ถQda P ๏ฝ ๏ด b %๏Pb ๏ถPb Qda
2) Elastisitas silang barang b dengan barang a
๏จba ๏ฝ
%๏Qdb ๏ถQdb P ๏ฝ ๏ด a %๏Pa ๏ถPa Qdb
๏จ
๏จ Jika ab dan ba < 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling melengkapi (komplementer); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti penurunan permintaan atas keduanya
๏จ
๏จ ba > 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan Jika ab dan barang b adalah saling menggantikan (substitusi); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti kenaikan permintaan barang lainnya KEILMUAN HIMAKU 2020
-
FUNGSI BIAYA GABUNGAN Keuntungan akan optimum ketika โโ = 0 ๏ถ๏ ๏ฝ0 ๏ถQ A
๏ถ๏ ๏ฝ0 ๏ถQB
Titik optimum adalah maksimum jika โโโ < 0
๏ถ2 ๏ ๏ผ0 ๏ถQA2
๏ถ2 ๏ ๏ผ0 ๏ถQB2
KEILMUAN HIMAKU 2020
5. MATRIKS Adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk persegi dan diapit oleh tanda kurung โ( )โ atau kurung siku โ[ ]โ Jenis matriks 1) Matriks baris Hanya memiliki satu baris dan ber ordo 1xn 2) Matriks kolom Hanya memiliki 1 kolom m x 1 3) Matriks nol 4) Matriks persegi Jumlah baris sama dengan jumlah kolom nya. Bentuk umumnya berordo n x n dengan letak baris sama dengan letak kolom 5) Matriks segitiga atas Matriks persegi yang semua komponen diagonal utama = nol 6) Matriks segitiga bawah Matriks persegi yang semua komponen diatas diagonal utama โ nol 7) Matriks diagonal Matriks persegi yang komponen diagonal utamanya tidak sama dengan nol dan semua komponen lainnya = 0 8) Matriks skalar Matriks diagonal yang semua komponen diagonal utamanya sama 9) Matriks identitas Matriks diagonal yang semua komponen diagonal utama = 1 DETERMINAN Pencarian nilai numerik determinan dengan mengalikan unsur unsurnya secara diagonal
|A| = ad โ bc Sifat Determinan : - |D| = 0 jika semua unsurnya sama Jika dua baris atau dua kolom unsurnya sama Jika dua baris atau dua kolom yang unsurnya sebanding Jika unsur unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol
-
|A| = |AT| |A-1| = 1 / |A| Det k. Anxn = kn det Anxn |AB| = |A| |B| A.B = C maka |A||B| = |C| |An| = |A|n
KEILMUAN HIMAKU 2020