17 0 129 KB
MASALAH NILAI BATAS PEMISAHAN VARIABEL DAN SYARAT BATAS DIRICHLET
Fokus Persamaan Gelombang
x=0
x=l
u tt c u xx 2
u(0, t ) 0 u ( L, t )
(1) Syarat batas Dirichlet
Dengan Syarat awal
u ( x,0) ( x) Persamaan Diferensial Parsial
u t ( x,0) ( x)
METODA PEMISAH VARIABEL UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG
u( x, t ) X ( x)T (t ) Subtitusi ke (1)
utt X T ' ' u xx X ' ' T
X ( x)T ' ' (t ) c 2 X ' ' ( x)T (t ) : c 2 X ( x)T (t )
T ' ' (t ) X ' ' ( x) 2 c T (t ) X ( x)
(konstan)
Buktinya??? Persamaan Diferensial Parsial
2 PDB
X ' 'X 0
dan
T ' 'c 2T 0
Kaitan dengan syarat batas Dirichlet
u (0, t ) X (0)T (t ) 0
X (0) 0
u( L, t ) X ( L)T (t ) 0 Ambil positip,
X ( L) 0
2
X ' ' X 0 2
dan
T ' ' 2 c 2T 0
Persamaan Diferensial Parsial
Kenapa??
Syarat batas
Solusinya
X ( x) C cos x D sin x
C0
n X n ( x) Dn sin x L T (t ) A cos ct B sin ct
cn cn Tn (t ) An cos t Bn sin t L L Persamaan Diferensial Parsial
n L
???
n L
2
un ( x, t ) X n ( x)Tn (t )
jadi
U n ( x, t )
Merupakan himpunan solusi
u tt c u xx 2
u ( x , t ) a n u n ( x, t )
Solusi dari (1)
n 1
cn cn u ( x, t ) n cos t n sin L L n 1
n An Dn a n ???
dan
n t sin x L
n Bn Dn an
Persamaan Diferensial Parsial
???
Kembali ke syarat awal
u ( x,0) ( x) Akan dicari
n
dan
u ( x,0) n sin n 1
n n x ( x) L
m x) Kali dg sin( L
0 xL
x m 0 ( x) sin( L x)dx 0 L
u t ( x,0) ( x)
L
Dan integralkan dari 0 sampai L
n m n sin x sin( x)dx L L n 1
Persamaan Diferensial Parsial
m n m ( x ) sin( x ) dx sin( x ) sin( x)dx n 0 L L L n 1 0 L
L
m L 0 ( x) sin( L x)dx m 2 L
2 m m ( x) sin( x)dx L0 L L
Persamaan Diferensial Parsial
n ???? cn cn cn cn n ut ( x, t ) n sin t n cos t sin x L L L L L n 1
ut ( x,0) n n 1
cn n sin x ( x) L L
Dengan cara yang sama pada saat mencari
n
2 m m ( x) sin( x)dx m c L 0 L L
L
Persamaan Diferensial Parsial
Tentukan solusi persamaan gelombang utt 0.04 u xx Pada selang 0