Pembahasan Kitab Numerik [PDF]

Citation preview

Modul 1: Metode Substitusi Bagian 1: Mengerjakan Soal Numerik dengan Metode Substitusi Untuk beberapa tipe soal, kita dapat dengan mudah menentukan jawaban dengan cara mensubstitusi variabel tanpa mengetahui teorinya sebelumnya. 1. Apabila n bilangan genap, tentukan mana yang merupakan bilangan bulat ganjil! a. 𝑛2 𝑛+1 b. 2



c. −2𝑛 − 4 d. 2𝑛2 − 3 e. √𝑛2 + 2 𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑛 = 2 𝑎) 4 (𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) 3 𝑏) (𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) 2 𝑐) − 8 (𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) 𝑑) 5 (𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) 𝑒) √6 (𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) ∴ [𝐷] 2. Apabila n bilangan bulat, mana yang tidak bisa merupakan bilangan bulat? a.



𝑛−2 2



b. √𝑛 2 c. d. e.



𝑛+1 √𝑛2



+3



1 √ 2 𝑛 +2



𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑜𝑝𝑠𝑖 (𝑏), 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑛 = 0 (𝑎) − 1 → 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 (𝑏) 0 → 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 (𝑐) 2 → 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 (𝑑) √3 → 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 1 (𝑒)√ → 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 2 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙 𝑎𝑑𝑎 (𝑑) 𝑠𝑎𝑚𝑎 (𝑒), 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑛 = 1 (𝑑) 2 → 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 1 (𝑒) = √ → 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 3



Kitab Numerik



∴ [𝐸] 3. Diberikan 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 dan 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6. 𝑥, 𝑦, 𝑧 bilangan bulat positif. Nilai z adalah? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 𝐶𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑔ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙𝑘𝑎𝑛 6 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢𝑖 𝑝𝑒𝑛𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑎𝑛 3 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎 1, 1+2+3 𝑚𝑎𝑘𝑎, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 + 2 + 3 𝑧=3 ∴ [𝐶] 4. Sisa pembagian bilangan bulat positif 𝑚 oleh 𝑛 adalah 𝑟. Berapakah sisa pembagian 2𝑚 oleh 2𝑛? a. 𝑟 b. 2𝑟 c. 2𝑛 d. 𝑚 − 𝑛𝑟 e. 2(𝑚 − 𝑛𝑟) 𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑚 = 3 𝑑𝑎𝑛 𝑛 = 2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑟 = 1 2𝑚 = 6 𝑑𝑎𝑛 2𝑛 = 4 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 2 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛 (𝐵) 𝑑𝑎𝑛 (𝐸) 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑖 𝑚 = 5 𝑑𝑎𝑛 𝑛 = 2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑟 = 1 2𝑚 = 10 𝑑𝑎𝑛 2𝑛 = 4 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 2 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛 (𝐵) ∴ [𝐵] 5. Apabila 1 < 𝑝 < 3, mana pernyataan yang mungkin benar? (I) 𝑝 2 < 2𝑝 (II) 𝑝 2 = 2𝑝 (III) 𝑝 2 > 2𝑝 a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. I, II, dan III 1 < 𝑝 < 3, 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑝 = 2 (𝐼𝐼) 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟



Modul 1: Metode Substitusi 𝐴𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝 < 2 3 𝑝= 2



9 (𝐼) 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 < 3, 4 𝐴𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝 > 2 5 𝑝= 2



25 > 5, 4



(𝐼𝐼𝐼) 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 ∴ [𝐸]



6. Apabila 42,42 = 𝑘 (14 +



𝑚 ), 50



di



mana 𝑘 dan 𝑚 bilangan bulat positif dan 𝑚 < 50, mana yang tepat untuk nilai 𝑘 + 𝑚? a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10 4242 42,42 = 100 4242 700 + 𝑚 = 𝑘( ) 100 50 4242 = 𝑘(700 + 𝑚) 2 2121 = 𝑘(700 + 𝑚) 2121 = 707 ∙ 3 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑘 = 3, 𝑚 = 7 𝑘 + 𝑚 = 10 ∴ [𝐸] 7. 𝑝 dan 𝑞 bilangan bulat positif di 𝑝 𝑞 mana + juga merupakan suatu 9



10



bilangan bulat. Mana nilai 𝑝 yang mungkin? a. 3 b. 4 c. 9 d. 11 e. 19 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 9 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 10 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑔𝑎𝑟 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑝 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 9



Kitab Numerik



𝑌𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝 = 9 ∴ [𝐶] 8. Bilangan 𝑚 bersisa 𝑝 apabila dibagi 14 dan bersisa 𝑞 apabila dibagi 7. Apabila 𝑝 = 𝑞 + 7, manakah nilai m yang mungkin? a. 45 b. 53 c. 72 d. 85 e. 100 𝑂𝑝𝑠𝑖 (𝐴): 𝑏𝑎𝑔𝑖 14 → 𝑠𝑖𝑠𝑎 2 𝑏𝑎𝑔𝑖 7 → 𝑠𝑖𝑠𝑎 3 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘 𝑂𝑝𝑠𝑖 (𝐵): 𝑏𝑎𝑔𝑖 14 → 𝑠𝑖𝑠𝑎 11 𝑏𝑎𝑔𝑖 7 → 𝑠𝑖𝑠𝑎 4 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘 ∴ [𝐵] 9. Diberikan persamaan berikut di mana 𝑝 dan 𝑞 adalah konstanta. 𝑞 bernilai 5 lebih kecil dari 𝑝. 2𝑥 + 𝑝 = 7𝑥 − 3 2𝑦 + 𝑞 = 7𝑦 − 3 Mana pernyataan yang benar? a. 𝑥 bernilai 1 lebih kecil dari 𝑦 b. 𝑥 dan 𝑦 sama nilainya c. x bernilai 1 lebih besar dari 𝑦 d. x bernilai 2 lebih besar dari 𝑦 e. 𝑥 bernilai 2 lebih kecil dari y 𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑝 = 5 → 𝑞 = 0 8 2𝑥 + 5 = 7𝑥 − 3 → 5𝑥 = 8 → 𝑥 = 5 3 2𝑦 = 7𝑦 − 3 → 5𝑦 = 3 → 𝑦 = 5 8 3 5 = + 5 5 5 𝑥 = 𝑦+1 ∴ [𝐶] 10. Ketika 𝑎 dibagi 7, sisanya 4. Ketika 𝑏 dibagi 3, sisanya 2. 0 < 𝑎 < 24 dan 2 < 𝑏 < 8. Mana yang habis dibagi 8? 𝑎 a. b.



𝑏 𝑏



𝑎



c. 𝑎 + 𝑏



Modul 1: Metode Substitusi d. 𝑎𝑏 e. 𝑎 − 𝑏 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑎 = 11 𝑏=5 𝑌𝑎𝑛𝑔 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 8 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎𝑙𝑎ℎ (11 + 5) =𝑎+𝑏 ∴ [𝐶] 3 𝑥



11. Apabila 3𝑥, , dan



15 𝑥



II. x III. 6x A. II saja B. III saja C. I dan III D. I saja E. I, II, dan III 𝑃𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑥 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡, 3 15 𝑛𝑎𝑚𝑢𝑛 3𝑥, , 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡. 𝑥 𝑥 1 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑥 = 3 1 (𝐼) 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 9 1 (𝐼𝐼) 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 3 (𝐼𝐼𝐼) 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 2 𝑌𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘 (𝐼𝐼𝐼) 𝑠𝑎𝑗𝑎. ∴ [𝐵] 12. Volume suatu balok adalah 12𝑥. Ukuran rusuk-rusuk balok tersebut adalah 𝑥, 𝑦, dan 𝑧, di mana 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 bilangan bulat positif. Tentukan nilai terbesar z! A. 48 B. 24 C. 12 D. 6 E. 4 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 12 ∙ 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 12 = 1 ∙ 12 → 𝑧 = 12 ∴ [𝐶] 3 13. Apabila 12𝑦 = 𝑥 dan 𝑥 serta 𝑦 adalah bilangan asli, tentukan nilai terkecil y!



Kitab Numerik



6 18 144 216 256 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑏𝑖𝑘: 1, 8, 64, 125, 216, … 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 12, 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 216. 12 ∙ 18 = 216 ∴ [𝐵]



adalah



bilangan bulat, mana yang bisa merupakan bilangan bulat untuk semua nilai x? 𝑥 I. 3



A. B. C. D. E.



14. Penambahan 𝑥 2 kepada menghasilkan



5+𝑦 . 4𝑦



5 4𝑦



𝑦 bilangan



bulat positif. Mana nilai x yang mungkin? A. B. C.



1 4 1 2 4 5



D. 1 E. 0 5+𝑦 5 1 = + 4𝑦 4𝑦 4 1 𝑥2 = 4 1 𝑥=± 2 ∴ [𝐵] 15. Apabila 𝑥 2 = 𝑦 3 dan (𝑥 − 𝑦)2 = 2𝑥, tentukan mana nilai 𝑦 yang mungkin! A. 64 B. 16 C. 8 D. 4 E. 2 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑏𝑖𝑘: 1, 8, 27, 64, … 2 3 𝑎 = 𝑏 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 64 = 64 𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑏𝑎 𝑥 = 8, 𝑦 = 4 (4)2 = 2(8) → 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 [D] ∴ [𝐶]



Modul 2: Fungsi Terdefinisi Bagian 2: Fungsi Terdefinisi Fungsi terdefinisi adalah operasi matematika yang tidak umum, hanya digunakan khusus untuk satu soal tersebut. 1. 𝑥 ∗ 𝑦 melambangkan banyak bilangan bulat di antara 𝑥 dan 𝑦. Tentukan (−2 ∗ 8) + (2 ∗ −8)! a. 0 b. 9 c. 10 d. 18 e. 20 −2 ∗ 8 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙. 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 − 2 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 8 −1, 0, 1, … , 6, 7 (𝑎𝑑𝑎 9) 2 ∗ −8 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙. 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 − 8 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 2 −7, −6, … ,0, 1 (𝑎𝑑𝑎 9) = 9+9 ∴ [𝐷] 2. Fungsi @ untuk bilangan bulat positif didefinisikan sebagai @(𝑎) = @(𝑎 − 1) + 1. Apabila @(1) adalah 1, mana nilai dari @(3) ... a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 @(1) = 1 @(2) = @(1) + 1 = 1 + 1 = 2 @(3) = @(2) + 1 = 2 + 1 = 3 ∴ [𝐷] 3. 𝐴 ∗ 𝐵 adalah FPB dari A dan B. 𝐴 $ 𝐵 adalah KPK dari A dan B. 𝐴 ∩ 𝐵 didefinisikan sebagai (𝐴 ∗ 𝐵) $ (𝐴 $ 𝐵). Tentukan nilai dari 12 ∩ 15! a. 42 b. 45 c. 48 d. 52 e. 60



Kitab Numerik



12 ∗ 15 = 3 12 $ 15 = 60 𝑚𝑎𝑘𝑎, 12 ∩ 15 = 3 $ 60 = 60 ∴ [𝐸] 4. Untuk semua bilangan asli 𝑛, 𝜋(𝑛) melambangkan jumlah faktor dari 𝑛, termasuk 1 dan 𝑛 itu sendiri. Apabila 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan prima, maka 𝜋(𝑎) + 𝜋(𝑏) − 𝜋(𝑎 𝑥 𝑏) = ... a. -4 b. -2 c. 0 d. 2 e. 4 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑎 = 2 𝜋(𝑎) = 2 𝑏=3 𝜋(𝑏) = 2 𝑎𝑥𝑏=6 𝜋(𝑎 𝑥 𝑏) = 4 2+2−4 =0 ∴ [𝐶] 5. ∆(𝑚) didefinisikan untuk semua bilangan asli 𝑚 sebagai hasil kali dari (𝑚 + 4), (𝑚 + 5), dan (𝑚 + 6). Apabila 𝑛 bilangan bulat positif, maka ∆(𝑛) pasti habis dibagi oleh ... a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 11 ∆𝑛 = (𝑛 + 4)(𝑛 + 5)(𝑛 + 6) 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 𝑖𝑡𝑢 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛 3 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛. = 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 3 𝑆𝑒𝑟𝑡𝑎, 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 = 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 2 𝑀𝑎𝑘𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 2 ∙ 3 ∴ [𝐶] 6. 𝑥 ∗ didefinisikan sebagai 𝑥 ∗ = . Tentukan ((−𝜋)∗ )∗ ! a. − b. −



Modul 2: Fungsi Terdefinisi c. −𝜋 d. e. 𝜋 𝐾𝑒𝑟𝑗𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑑𝑢𝑙𝑢, 𝜋 (−𝜋)∗ = = −1 −𝜋 𝜋 (−1)∗ = = −𝜋 −1 ∴ [𝐶] 7. Untuk bilangan bulat 𝑚 dan 𝑛, didefiniskan 𝑚 $ 𝑛 = 𝑚 − 𝑛 + 𝑛 . Mana yang tidak akan merupakan bilangan negatif? I. 𝑎 $ 𝑎 II. (𝑎 + 𝑏) $ 𝑏 III. (𝑎 + 𝑏) $ (𝑎 + 𝑏) a. I saja b. II saja c. I dan II saja d. I dan III saja e. I, II, dan III 𝑎 $ 𝑎 = 𝑎 → 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 (𝑎 + 𝑏) $ 𝑏 = (𝑎 + 𝑏) − 𝑏 + 𝑏 =𝑎+𝑏 𝑎𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓, |𝑎| > 𝑏 → ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓. (𝑎 + 𝑏) $ (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏) → 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 ∴ [𝐷] 8. Untuk semua bilangan 𝑎 dan 𝑏, di mana 𝑎 ∙ 𝑏 ≠ 0, didefiniskan 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑏 − . Mana yang benar? I. 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎 II. 𝑎 𝑎 = (𝑎 + 1)(𝑎 − 1) III. (𝑎 𝑏) 𝑐 = 𝑎 (𝑏 𝑐) a. I saja b. II saja c. II saja d. I dan II saja e. I, II, dan III 𝑎 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑏 − 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎 = 𝑏𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 − ≠ 𝑏𝑎 − 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎 = 𝑎 − 1 = (𝑎 + 1)(𝑎 − 1)



Kitab Numerik



(𝐼) 𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑛 (𝐼𝐼) 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟, ∴ [𝐵] 9. Apabila [𝑥] = (𝑥 + 2)𝑥 untuk semua x, tentukan [𝑥 + 2] − [𝑥 − 2]! a. −2 b. 𝑥 + 4 c. 0 d. 𝑥 e. 8(𝑥 + 1) [𝑥 + 2] = (𝑥 + 4)(𝑥 + 2) = 𝑥 + 6𝑥 + 8 [𝑥 − 2] = (𝑥)(𝑥 − 2) = 𝑥 − 2𝑥 𝑥 + 6𝑥 + 8 − (𝑥 − 2𝑥) 8𝑥 + 8 = 8(𝑥 + 1) ∴ [𝐸] 10. Apabila 𝑥 𝜑 𝑦 = 𝑥 𝑦 − 𝑦 − 2𝑥, untuk x berapa 𝑥 𝜑 𝑦 = −𝑦 untuk semua nilai y? a. 0 b.



√



c. √3 d. 2 e. 4 𝑥 𝑦 − 𝑦 − 2𝑥 = −𝑦 𝑥 𝑦 − 2𝑥 = 0 𝑥



𝑦−2 =0 𝑥=0 ∴ [𝐴] 11. 𝜃 melambangkan fungsi di mana 1 𝜃 𝑎 = 1 dan 𝑎 𝜃 𝑏 = 𝑏 𝜃 𝑎. Manakah pernyataan yang benar? I. 𝑎 𝜃 1 = 1 II. (1 𝜃 𝑏) 𝜃 𝑐 = 1 𝜃 (𝑏 𝜃 𝑐) III. a. b. c. d. e.



=1



I saja II saja III saja I dan II saja I, II, dan II (𝐼) 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟, 𝑏𝑒𝑔𝑖𝑡𝑢 𝑝𝑢𝑙𝑎 (𝐼𝐼𝐼) ∴ [𝐸] 12. @ melambangkan fungsi di mana: 𝑥 @ 𝑦 = (𝑥 − 𝑦) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 𝑦



Modul 2: Fungsi Terdefinisi 𝑦 𝑥@𝑦=𝑥+ , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≤ 𝑦 4 Apabila 𝑥 @ 𝑦 = −1, mana pernyataan yang benar? I. x = y II. x > y III. x < y a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan III saja e. I, II, dan III 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝑦, 𝑥 𝑥 @ 𝑦 = 𝑥 + = −1 4 5 𝑥 = −1 → 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 4 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 𝑦, (𝑥 − 𝑦) = −1 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑦 𝑦 𝑥 + = −1 → 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 4 ∴ [𝐷]



Kitab Numerik



Modul 3: Teori Bilangan Bagian 3: Teori Bilangan 1. Suatu bilangan dibagi 10.000 akan bersisa 57. Berapa sisa pembagiannya, apabila bilangan tersebut dibagi 1.000? a. 5 b. 7 c. 43 d. 57 e. 570 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝 𝑝 = 10.000𝑞 + 57 𝑞 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖, 𝑚𝑎𝑘𝑎 10𝑞 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 10𝑞 = 𝑛 𝑝 = 1.000𝑛 + 57 𝑚𝑎𝑘𝑎, 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎 57 ∴ [𝐷] 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛: 𝑝 = 𝑘𝑞 + 𝑟 (𝑘 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖, 𝑞 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙, 𝑟 𝑠𝑖𝑠𝑎) 𝑝 𝑟 =𝑞+ 𝑘 𝑘 𝑝 = 10.000𝑞 + 57, 𝑏𝑎𝑔𝑖 1.000 𝑝 57 = 10𝑞 + 1.000 1.000 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎 57 ∴ [𝐷] 2. 𝑛 adalah bilangan positif dan (𝑛 + 1)(𝑛 + 3) adalah bilangan ganjil. Maka, (𝑛 + 2)(𝑛 + 4) adalah kelipatan dari … a. 3 b. 5 c. 6 d. 8 e. 16 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑎𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑢𝑗𝑖 𝑛 = 2 4 ∙ 6 = 24 → 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 6, 8 𝑢𝑗𝑖 𝑛 = 6 8 ∙ 10 = 80 → 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 8 ∴ [𝐷] 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 → 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑎𝑑𝑖 2𝑚 (2𝑚 + 2)(2𝑚 + 4)



Kitab Numerik



4(𝑚 + 1)(𝑚 + 2) 𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑑𝑎𝑟𝑖 (𝑚 + 1) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑚 + 2) 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, ∴ [𝐷] 3. Bilangan 3 membagi 𝑎 menghasilkan hasil 𝑏 dan sisa 2. Bilangan 3 membagi 𝑏 menghasilkan hasil 2 dan sisa 1. Tentukan nilai a! a. 13 b. 17 c. 21 d. 23 e. 27 𝑎 = 3𝑏 + 2 𝑏 = 3(2) + 1 → 𝑏 = 7 𝑎 = 23 ∴ [𝐷] 4. Sisa ketika bilangan positif 𝑚 dibagi oleh 7 adalah 𝑥. Sisa apabila 𝑚 dibagi oleh 14 adalah (𝑥 + 7). Mana bilangan 𝑚 yang memungkinkan? a. 45 b. 53 c. 72 d. 85 e. 100 𝑚 = 7𝑝 + 𝑥 𝑚 = 14𝑞 + 𝑥 + 7 𝑚 = 7(2𝑞 + 1) + 𝑥 2𝑞 + 1 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 45 = 7 ∙ 6 + 3 53 = 7 ∙ 7 + 4 72 = 7 ∙ 10 + 2 85 = 7 ∙ 12 + 1 100 = 7 ∙ 14 + 2 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 53 ∴ [𝐵] 5. Mana yang hasilnya berbeda sendiri? a. 5,43 + 4,63 – 3,24 – 2,32 b. 5,53 + 4,73 – 3,34 – 2,42 c. 5,53 + 4,53 – 3,34 – 2,22 d. 5,43 + 4,73 – 3,24 – 2,42 e. 5,43 + 4,73 – 3,14 – 2,22 𝐵𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎



Modul 3: Teori Bilangan 𝑡𝑒𝑟ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛 (𝑎), 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛 [𝐸] ∴ [𝐸] 6. 𝑝 dan 𝑞 adalah bilangan bulat positif dan = 1,15. Mana nilai 𝑝 yang mungkin? a. 15 b. 18 c. 20 d. 22 e. 23 115 100 𝑠𝑒𝑑𝑒𝑟ℎ𝑎𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 23 20 ∴ [𝐸] 7. 𝑛 adalah bilangan positif. Mana yang akan memberikan sisa bagi 3 ketika dibagi oleh angka 4, 5, dan 6? a. 12𝑛 + 3 b. 24𝑛 + 3 c. 80𝑛 + 3 d. 90𝑛 + 2 e. 120𝑛 + 3 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑛 ℎ𝑎𝑟𝑢𝑠 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑜𝑙𝑒ℎ 4, 5, 𝑑𝑎𝑛 6 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎 ℎ𝑎𝑟𝑢𝑠 3 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘, ∴ [𝐸] 8. 3072 habis dibagi oleh 6 dan 8. Mana yang habis dibagi oleh 6 dan 8 juga? a. 3078 b. 3084 c. 3086 d. 3090 e. 3096 𝐾𝑃𝐾 𝑑𝑎𝑟𝑖 6 𝑑𝑎𝑛 8 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 24 3072 + 24 = 3096 ∴ [𝐸] 9. 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah bilangan bulat berurutan, 𝑎 < 𝑏 < 𝑐. Apabila 𝑝 = 1,15 =



−



dan 𝑞 = − , 𝑞 − 𝑝 = …?



Kitab Numerik



a. b. c. d. e. 𝑏 =𝑎+1 𝑎 𝑎 + 1 6𝑎 − 5𝑎 − 5 𝑝= − = 5 6 30 𝑎−5 = 30 𝑏 𝑐 𝑞= − 5 6 𝑏−5 𝑎−4 𝑞= = 30 30 1 𝑝−𝑞 = 30 ∴ [𝐵] 10. Bilangan palindrom adalah bilangan yang sama nilainya dibaca dari depan maupun belakang, misalnya 737. Berapa selisih bilangan palindrom setelah 233 dengan 233? a. 9 b. 11 c. 13 d. 14 e. 16 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜𝑚 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑘𝑠𝑢𝑑 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 242 242 − 233 = 9 ∴ [𝐴] 11. 𝑚 dan 𝑛 adalah bilangan bulat positif di mana 5𝑚 + 7𝑛 = 46. Berapakah nilai 𝑚𝑛? a. 15 b. 21 c. 24 d. 27 e. 35 46 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ: 5 + 41 10 + 36 15 + 31 … 25 + 21 → 𝑚 = 𝑚 = 5, 𝑛 = 3



Modul 3: Teori Bilangan 𝑚𝑛 = 15 ∴ [𝐴] 12. 𝑎 dan 𝑏 bilangan bulat positif, dan 𝑥 = 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 𝑎 dan 𝑦 = 2 ∙ 2 ∙ 8 ∙ 𝑏. 𝑥 dan 𝑦 terletak di antara 120 dan 130. 𝑎 − 𝑏 = … a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 𝑥 = 42 ∙ 𝑎 𝑥 = 126 → 𝑎 = 3 𝑦 = 32 ∙ 𝑏 𝑦 = 128 → 𝑏 = 4 𝑎−𝑏 = 3−4 ∴ [𝐵] 13. 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, dan 𝑒 adalah 5 bilangan berurutan, tersusun dari yang paling kecil. Menghilangkan salah satu bilangan akan mengurangi jumlah dari semua bilangan tersebut sebesar 20%. Mana bilangan yang dihilangkan? a. 𝑎 b. 𝑏 c. 𝑐 d. 𝑑 e. 𝑒 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒 𝑎 + 𝑎 + 1 +⋯+ 𝑎 +4 = 5𝑎 + 10 𝑏𝑒𝑟𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 20% 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎 80% 80 (5𝑎 + 10) 100 4 (5𝑎 + 10) = 4𝑎 + 8 5 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑝𝑢𝑠 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎 + 2 =𝑐 ∴ [𝐶] 14. Berapa nilai maksimum 𝑚 agar 7 membagi habis 14! ? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 14! = 14 ∙ 13 ∙ … ∙ 7 ∙ … ∙ 1



Kitab Numerik



𝑎𝑑𝑎 2 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 7, 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 7 𝑑𝑎𝑛 7 𝑥 2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑚 = 2 ∴ [𝐵] 15. 𝑝 − 10 habis dibagi oleh 6. Mana yang juga habis dibagi oleh 6? a. 𝑝 b. 𝑝 − 4 c. 𝑝 + 4 d. 𝑝 − 6 e. 𝑝 + 6 𝑝 − 10 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 6, 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ 6 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑝 − 4 → 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 6 ∴ [𝐵] 16. 2𝑎𝑏5 adalah bilangan 4 digit yang habis dibagi oleh 25. 𝑎𝑏 adalah kelipatan 13, maka 𝑎𝑏 =… a. 13 b. 26 c. 52 d. 65 e. 75 𝑝𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑎 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 25: 25, 50, 75, 100, 125, … 2 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟𝑛𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢: 25, 50, 75, 00, … 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑏 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 7 ∴ [𝐶] 17. Bilangan bulat positif 𝑚 dan 𝑛 bersisa 2 dan 3 (secara berurutan) apabila dibagi 6. 𝑚 > 𝑛. Berapa sisa dari pembagian 𝑚 − 𝑛 oleh 6? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑚 = 14 𝑛=9 𝑚−𝑛 =5 𝑠𝑖𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎, 5 ∴ [𝐸] 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑓: 𝑚 = 6𝑝 + 2 𝑛 = 6𝑞 + 3 𝑚 − 𝑛 = 6(𝑝 − 𝑞) − 1 𝑚 − 𝑛 = 6(𝑝 − 𝑞 − 1) + 5 ∴ [𝐸]



Modul 3: Teori Bilangan 18. Sisa pembagian 𝑚 + 𝑛 oleh 12 adalah 8, dan sisa pembagian 𝑚 − 𝑛 oleh 12 adalah 6. Apabila 𝑚 > 𝑛, sisa pembagian 𝑚𝑛 oleh 6 adalah … a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 𝑚 + 𝑛 = 12𝑝 + 8 (𝑖) 𝑚 − 𝑛 = 12𝑞 + 6 (𝑖𝑖) (𝑖) + (𝑖𝑖) 2𝑚 = 12(𝑝 + 𝑞) + 14 𝑚 = 6(𝑝 + 𝑞) + 7 𝑚 = 6(𝑝 + 𝑞 + 1) + 1 (𝑖) − (𝑖𝑖) 2𝑛 = 12(𝑝 − 𝑞) + 2 𝑛 = 6(𝑝 − 𝑞) + 1 𝑚𝑛 = [6(𝑝 + 𝑞 + 1) + 1][6(𝑝 − 𝑞) + 1]



𝐻𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎, (𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔) 1 ∴ [𝐴] 19. Berapa sisa pembagian 7 ∙ 8 oleh 6? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 7 = 49 = 6 ∙ 8 + 1 8 = 64 = 6 ∙ 10 + 4 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 4, ∴ [𝐷] 20. 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, dan 𝑒 adalah bilangan bulat berurutan, disusun dari yang paling kecil. Mana dari pilihan berikut yang tidak ganjil? a. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 b. 𝑎𝑏 + 𝑐 c. 𝑎𝑏 + 𝑑 d. 𝑎𝑐 + 𝑑 e. 𝑎𝑐 + 𝑒 𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 𝑎) 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑏) 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑐) 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑑) 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑒) 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝



Kitab Numerik



𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑎 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙, 𝑏) 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑒) 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 ∴ [𝐸]



Modul 4: Teori Bilangan 2 Bagian 4: Teori Bilangan 2 1. 𝑛 adalah bilangan ganjil. Mana yang bilangan genap? a. 𝑛 b. c. 2𝑛 + 3 d. 𝑛(𝑛 + 3) e. √𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 ∙ 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 = 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 + 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 = 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 ∴ [𝐷] 2. 𝑛 apabila dibagi 2, hasilnya 𝑢 dan sisanya 1. 𝑛 apabila dibagi 5, hasilnya 𝑣 dan sisanya 3. Mana yang benar? a. 2𝑢 + 5𝑣 = 4 b. 2𝑢 − 5𝑣 = 2 c. 4𝑢 + 5𝑣 = 2 d. 4𝑢 − 5𝑣 = 2 e. 3𝑢 − 5𝑣 = 2 𝑛 = 2𝑢 + 1 (𝑖) 𝑛 = 5𝑣 + 3 (𝑖𝑖) (𝑖) − (𝑖𝑖) 2𝑢 − 5𝑣 + 1 − 3 = 0 2𝑢 − 5𝑣 = 2 ∴ [𝐵] 3. 𝑥𝑦 𝑧 < 0, mana yang pasti benar? I. 𝑥𝑧 < 0 II. 𝑧 𝑏, 𝑠𝑒ℎ𝑎𝑟𝑢𝑠𝑛𝑦𝑎 𝑏 − 𝑐 = −1 𝑎, 𝑏, 𝑐 3 𝑏𝑖𝑙. 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 3 (𝐼𝐼) 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑎𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 ∴ [𝐵] 7. 𝑚 bilangan genap. Mana yang merupakan jumlah dari dua bilangan genap berurutan yang lebih besar dari 4𝑚 + 1? a. 8𝑚 + 2 b. 8𝑚 + 4 c. 8𝑚 + 6 d. 8𝑚 + 8



Modul 4: Teori Bilangan 2 e. 8𝑚 + 10 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑘𝑠𝑢𝑑, 4𝑚 + 2 𝑑𝑎𝑛 4𝑚 + 4 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑛𝑦𝑎 8𝑚 + 6 ∴ [𝐶] 8. 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, dan 𝑒 bilangan asli berurutan. Mana yang pasti benar? I. ada 3 bilangan ganjil II. ada angka yang habis dibagi 5 III. 𝑏𝑐 + 1 ganjil a. I saja b. II saja c. I dan II saja d. II dan III saja e. I, II, dan III 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑑 (𝐼) 𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ (𝐼𝐼) 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 (𝐼𝐼𝐼) 𝑏𝑐 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 𝑏𝑐 + 1 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 ∴ [𝐷] 9. Diberikan 𝑎 dan 𝑏 bilangan bulat positif, dan = 2,5. Mana yang pasti benar? I. 𝑎 + 𝑏 ganjil II. 𝑎 + 𝑏 kelipatan 7 III. a. b. c. d. e.



bilangan bulat II saja I dan III saja I dan II saja II dan III saja I, II, dan III



5 10 15 = = 2 4 6 𝑎 + 𝑏 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑎 + 𝑏 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 7 5𝑏 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 𝑎 ∴ [𝐷] 10. Mana yang merupakan sisa apabila 16 + 17 + 18 + 19 dibagi 70? a. 0 b. 69 c. 1 d. 34 2,5 =



Kitab Numerik



e. 47 𝐾𝑒𝑙𝑜𝑚𝑝𝑜𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖, (16 + 19 ) + (17 + 18 ) 𝐺𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠 𝑝𝑒𝑚𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑎𝑛, (16 + 19)(16 − 16 ∙ 19 + 19 ) 𝑑𝑖𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ (17 + 18)(17 − 17 ∙ 18 + 18 ) = 35[𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ + 𝑏𝑖𝑟𝑢] 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑏𝑖𝑟𝑢 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ + 𝑏𝑖𝑟𝑢 = 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 35(𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝) → 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎 0 70 ∴ [𝐴] 11. Mana yang merupakan bilangan positif terkecil yang bersisa 2 apabila dibagi 4, 6, dan 8 namun habis apabila dibagi 37? a. 146 b. 666 c. 296 d. 74 e. 242 𝐾𝑃𝐾 4, 6, 𝑑𝑎𝑛 8 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 24 𝑥 = 24ℎ + 2 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 24 𝑦𝑎𝑛𝑔 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 37, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ 2. 24 + 2 ≠ 48 + 2 ≠ 72 + 2 = 74 → ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 37 ∴ [𝐷] 12. K habis dibagi oleh 3, 4, dan 5. Mana yang juga membagi habis K? I. 3, 4, dan 15 II. 12, 15, dan 18 III. 5, 20, dan 30 a. I saja b. II saja c. I dan II saja d. I dan III saja e. II dan III saja 𝐾𝑃𝐾 3,4, 𝑑𝑎𝑛 5 = 60 𝐾 = 60𝑝 𝐾𝑃𝐾 3,4, 𝑑𝑎𝑛 15 = 60 (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟) 𝐾𝑃𝐾 12,15, 𝑑𝑎𝑛 18 ≠ 60 (𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ) 𝐾𝑃𝐾 5, 20, 𝑑𝑎𝑛 30 = 60 (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟) ∴ [𝐷]



Modul 4: Teori Bilangan 2 13. 𝑝 dan 𝑞 bilangan bulat. 𝑝 apabila dibagi 2, sisanya 1. 𝑞 apabila dibagi 6, sisanya 1. Mana yang benar? I. 𝑝𝑞 + 1 genap II. bilangan bulat III. a. b. c. d. e.



𝑝𝑞 kelipatan 12 I saja II saja III saja I dan II saja I dan III saja 𝑝 = 2ℎ + 1 (𝑝 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) 𝑞 = 6𝑗 + 1 (𝑞 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) 𝑝𝑞 + 1 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟) 𝑝𝑞 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡, 2 𝑝𝑞 = (2ℎ + 1)(6𝑗 + 1) 𝑝𝑞 = 12ℎ𝑗 + 2ℎ + 6𝑗 + 1 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 12(𝑥) (𝐼𝐼𝐼)𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ ∴ [𝐴] 14. 𝑝 dan 𝑞 bilangan bulat positif. Ada berapa bilangan bulat yang lebih besar 𝑝𝑞 dan lebih kecil 𝑝(𝑞 + 2)? a. 3 b. 𝑝 + 2 c. 𝑝 − 2 d. 2𝑝 − 1 e. 2𝑝 + 1 𝑝(𝑞 + 2) = 𝑝𝑞 + 2𝑝 𝑝𝑞 < 𝑥 < 𝑝𝑞 + 2𝑝 𝑠𝑒𝑙𝑖𝑠𝑖ℎ 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 2𝑝 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ, 12



c. 1 > 𝑄 2 1 d. 2 < 1 𝑄



e. 𝑄 < 𝑄 2 1 >1 𝑄 𝑄 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑄 > 0 𝐾𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑄, 1>𝑄 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑄, 𝑄 > 𝑄2 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 1 > 𝑄 > 𝑄 2 ∴ [𝐶] 𝐷𝑎𝑟𝑖



2. Apabila 2 < 𝑥 < 5 dan 3 < 𝑦 < 5, mana yang paling tepat untuk 𝑥 − 𝑦? a. −3 < 𝑥 − 𝑦 < 2 b. −3 < 𝑥 − 𝑦 < 5 c. 0 < 𝑥 − 𝑦 < 2 d. 3 < 𝑥 − 𝑦 < 5 e. 2 < 𝑥 − 𝑦 < 5 2 < 𝑥 < 5 (𝑖) 3 < 𝑦 < 5 → 𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 1 −3 > −𝑦 > −5 −5 < −𝑦 < −3 (𝑖𝑖) 𝑙𝑎𝑘𝑢𝑘𝑎𝑛 (𝑖) + (𝑖𝑖) −3 < 𝑥 − 𝑦 < 2 ∴ [𝐴] 3. Apabila 𝑎 = 𝑥 + 2𝑦 dan 𝑏 = 𝑦 + 2𝑥 serta 3𝑥 + 7𝑦 > 7𝑥 + 3𝑦, mana yang benar? I. 𝑎 > 𝑏 II. 𝑎 = 𝑏 III. 𝑎 < 𝑏 a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. II dan III saja 𝑆𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑢𝑙𝑢 3𝑥 + 7𝑦 > 7𝑥 + 3𝑦



Kitab Numerik



4𝑦 > 4𝑥 𝑦>𝑥 𝑎…𝑏 𝑥 + 2𝑦 … 𝑦 + 2𝑥 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛, 𝑦…𝑥 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑎ℎ𝑢 𝑦 > 𝑥 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 > 𝑏 ∴ [𝐴] 4. Apabila 𝑥 + 𝑧 > 𝑦 + 𝑧, mana yang pasti benar? I. 𝑥 − 𝑧 > 𝑦 − 𝑧 II. 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧 𝑥 𝑦 III. 𝑧 > 𝑧 a. b. c. d. e.



I saja II saja III saja I dan II saja II dan III saja



𝐷𝑎𝑟𝑖 𝑥 + 𝑧 > 𝑦 + 𝑧 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛, 𝑥>𝑦 𝑥−𝑧 >𝑦−𝑧 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛, 𝑥 > 𝑦 (𝐼) 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧 𝑇𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑧 < 0 (𝐼𝐼) 𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑥 𝑦 > 𝑧 𝑧 𝑇𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑧 < 0 (𝐼𝐼𝐼) 𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ ∴ [𝐴] 5. |𝑥| + 𝑥 = 4, mana yang ganjil? a. 𝑥 2 + 3𝑥 b. 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 c. 𝑥 2 + 4𝑥 d. 𝑥 2 + 4𝑥 + 2 e. 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑥 = 2 ∴ [𝐸] 6. 𝑥 < 𝑦 < −1, mana yang positif? a. −𝑥 2 b. 𝑦 c. 𝑥 2 𝑦 d.



𝑥2 𝑦2



e. 𝑦 − 𝑥 2 𝑥 2 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓; 𝑦 2 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓



Modul 5: Pertidaksamaan ∴ [𝐷] 7. Pada ∆𝑃𝑄𝑅, 𝑃𝑄 = 𝑥, 𝑄𝑅 = 𝑥 + 3, dan 𝑃𝑅 = 𝑦. Apabila 𝑥 = 𝑦 + 3, mana yang benar? a. ∠𝑃 < ∠𝑄 < ∠𝑅 b. ∠Q < ∠R < ∠P c. ∠R < ∠P < ∠Q d. ∠P < ∠R < ∠Q e. ∠Q < ∠P < ∠R 𝐵𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛 𝑢𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑖, 𝑄𝑅 > 𝑃𝑄 > 𝑃𝑅 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑑𝑖 ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟, ∠P > ∠R > ∠Q ∴ [𝐵] 8. 5 < 𝑥 < 10 dan 𝑦 = 𝑥 + 5, mana nilai terbesar untuk bilangan bulat 𝑥 + 𝑦? a. 18 b. 20 c. 23 d. 24 e. 25 𝑦 =𝑥+5 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 + 5 … (𝑖) 5 < 𝑥 < 10 10 < 2𝑥 < 20 15 < 2𝑥 + 5 < 25 15 < 𝑥 + 𝑦 < 25 ∴ [𝐷] 3𝑦 9. Diberikan 𝑥 > 5 , mana yang benar? I. 6𝑦 + 5𝑥 < 10𝑥 + 3𝑦 II. 2𝑦 + 5𝑥 > 4𝑥 + 3𝑦 III. 2𝑦 + 5𝑥 > 5𝑥 + 4𝑦 a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. II dan III saja 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝐼, 3𝑦 < 5𝑥 3 𝑦 < 𝑥 (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟) 5 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝐼𝐼, 𝑥 > 𝑦 (𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟) 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝐼𝐼𝐼, 2𝑦 > 4𝑦 (𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)



Kitab Numerik



∴ [𝐴] 10. Diberikan (𝑥 − 𝑦) > (𝑥 − 𝑦) , mana yang pasti benar? a. 𝑥 3 < 𝑦 2 b. 𝑥 5 < 𝑦 4 c. 𝑥 3 > 𝑦 2 d. 𝑥 5 > 𝑦 4 e. 𝑥 3 > 𝑦 3 𝑎3 > 𝑎2 → 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑥−𝑦 >0 𝑥>𝑦 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 𝑦, 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎𝑙𝑎ℎ 𝐸 ∴ [𝐸] 11. Ada 3 orang pekerja: A, B, dan C yang bekerja di suatu perusahaan selama 4 hari. Gajinya adalah: Untuk A, gaji pertamanya $4. Setiap hari bertambah $2. Untuk B, gaji pertamanya $3. Setiap hari bertambah $2. Untuk C, gaji pertamanya $1. Setiap hari bertambah mengikuti bilangan prima: 2, 3, lalu 5. Mana yang dengan tepat menggambarkan jumlah gaji A, B, dan C selama 4 hari pertama? a. 𝐴 > 𝐵 > 𝐶 b. 𝐶 > 𝐵 > 𝐴 c. 𝐴 > 𝐶 > 𝐵 d. 𝐵 > 𝐴 > 𝐶 e. 𝐶 > 𝐴 > 𝐵 ∑𝐴 = 4 + 6 + 8 + 10 = 28 ∑𝐵 = 3 + 5 + 7 + 9 = 24 ∑𝐶 = 1, 3, 6, 11 = 21 ∴ [𝐴] 2 2 12. 𝑥 − 𝑦 = 16 dan 𝑥 + 𝑦 > 𝑥 − 𝑦, mana yang memungkinkan untuk 𝑥 − 𝑦? a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7 (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 16 𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 + 𝑦), (𝑥 − 𝑦) = 4 3



2



Modul 5: Pertidaksamaan 𝑁𝑎𝑚𝑢𝑛, (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 + 𝑦) (𝑥 − 𝑦) < 4 ∴ [𝐴] 13. Diberikan 0 < 𝑥 ≤ 1, maka mana yang merupakan nilai maksimum (𝑥 − 1)2 + 𝑥? a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 0 < 𝑥 ≤ 1 → 𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 0 < 𝑥2 ≤ 𝑥 −𝑥 < 𝑥 2 − 𝑥 ≤ 0 𝑥2 − 𝑥 ≤ 0 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎, (𝑥 − 1)2 + 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1 ≤ 1 ∴ [𝐷] 14. Apabila 𝑎 > 0 dan 6𝑎 = 5𝑏, mana yang pasti benar? a. 𝑎 =



6𝑏 5



5𝑎 6



e. 𝑏 > 𝑎



5 6𝑎 = 5𝑏 → 𝑎 = 𝑏 6 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 → 𝑏 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑏 > 𝑎 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 ∴ [𝐸] 15. Apabila −3 < 𝑥 < −1 dan 3 < 𝑦 < 7, mana yang dapat menjelaskan 𝑥−𝑦 properti 2 ? 𝑥−𝑦 < −2 2 𝑥−𝑦 −3 < 2 < −1 𝑥−𝑦 −2 < 2 < 0 𝑥−𝑦 2< 2 𝑥𝑦 𝑦



𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 𝑥 𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑦 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓, ∴ [𝐵] 17. Diberikan 𝑥 > 𝑦 > 0 dan 𝑝 > 𝑞 > 0. Mana pernyataan yang pasti lebih besar dari 1? a. b. c. d. e.



b. 𝑎𝑏 < 0 c. 𝑎 > 𝑏 d. 𝑏 =



16. Diberikan 𝑥 < 𝑦 < −1, mana yang pasti benar? 𝑥 a. > 𝑥𝑦



𝑥+𝑝 𝑦+𝑞 𝑥+𝑞 𝑦+𝑝 𝑥 𝑝 𝑥𝑞 𝑦𝑝 𝑦𝑞 𝑥𝑝



𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 𝑥 > 𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑝 > 𝑞 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 + 𝑝 > 𝑦 + 𝑞 ∴ [𝐴] 18. Diberikan 2𝑥 + 𝑦 > 𝑚 dan 2𝑦 + 𝑥 < 𝑛, maka 𝑥 − 𝑦 pasti lebih besar dari … a. 𝑚 + 𝑛 b. 𝑚 − 𝑛 c. 𝑚𝑛 d. 2𝑚 + 𝑛 e. 𝑛 − 𝑚 2𝑥 + 𝑦 > 𝑚 (𝑖) 2𝑦 + 𝑥 < 𝑛 −2𝑦 − 𝑥 > −𝑛 (𝑖𝑖) 𝑥−𝑦 >𝑚−𝑛 ∴ [𝐵]



Modul 6: Pecahan dan Desimal 1. Diberikan 𝑝 + 𝑞 = 12 dan 𝑝𝑞 = 35. 1 𝑝



Tentukan nilai + a. b. c. d. e.



1 ! 𝑞



1 5 1 7 1 35 12 35 23 35



1 1 + 𝑝 𝑞 𝑝 + 𝑞 12 = 𝑝𝑞 35 ∴ [𝐷]



2. 𝑥 ≠ 1 dan 𝑦 =



1 , 𝑥−1



mana yang



tidak mungkin menjadi nilai dari y? a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 0 0 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 , 𝑎 ≠ 0 𝑎 ∴ [𝐴] 3. Diberikan



2𝑥 +2𝑥−1 2𝑥+1 −2𝑥



, mana yang



bernilai sama? a. 1 b.



3 2



c. 2 d.



5 2



e. 3 1 2𝑥 + 2𝑥 2 2 ∙ 2𝑥 − 2𝑥 3 𝑥 ∙2 3 2 = 2𝑥 2 ∴ [𝐵] 4. Ada 87 bola di dalam suatu toples. Setiap bola dicat paling sedikit dengan salah satu warna dari dua warna yang tersedia: merah atau hijau. Setelah diamati, 2/7 dari bola yang memiliki warna merah juga memiliki warna hijau, dan 3/7 dari bola yang memiliki warna



Kitab Numerik



hijau juga memiliki warna merah. Tentukan pecahan yang melambangkan jumlah bola yang memiliki kedua warna hijau dan merah. a. 6/14 b. 2/7 c. 6/35 d. 6/29 e. 6/42 𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑀 = 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝐻 = 𝑏𝑜𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢 𝐾 = 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑤𝑎𝑟𝑛𝑎 𝐵𝑜𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑗𝑎 = 𝑀 − 𝐾 𝐵𝑜𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢 𝑠𝑎𝑗𝑎 = 𝐻 − 𝐾 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎, 𝑇 =𝑀−𝐾+𝐻−𝐾+𝐾 𝑇 = 𝑀 + 𝐻 − 𝐾 (𝑖) 𝐷𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑜𝑎𝑙, 2 3 𝐾= 𝑀= 𝐻 7 7 7 7 𝑀 = 𝐾 𝑑𝑎𝑛 𝐻 = 𝐾 2 3 7 7 𝑇 = 𝐾+ 𝐾−𝐾 2 3 21 + 14 − 6 29 𝑇= 𝐾= 𝐾 6 6 6 𝐾= 𝑇 29 ∴ [𝐷] 5. Di suatu negara, 60% dari warga laki-lakinya dan 70% dari warga perempuannya memiliki hak memilih. 70% dari warga lagi-laki yang memiliki hak memilih berpartisipasi, dan 60% dari warga perempuan yang memiliki hak memilih berpartisipasi. Berapa bagian warga yang berpartisipasi dalam pemilihan? a. 0,42 b. 0,48 c. 0,49 d. 0,54 e. 0,60 𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝐿 = 𝑙𝑎𝑘𝑖 − 𝑙𝑎𝑘𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃 = 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙



Modul 6: Pecahan dan Desimal 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑘𝑖 − 𝑙𝑎𝑘𝑖, 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖ℎ: 70% 𝑑𝑎𝑟𝑖 60% 𝐿 70 60 ∙ ∙𝐿 100 100 42 𝐿 100 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛, 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖ℎ: 60% 𝑑𝑎𝑟𝑖 70% 𝑃 60 70 ∙ ∙𝑃 100 100 42 𝑃 100 𝐵𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ, 42 42 𝐿+ 𝑃 100 100 = 42 𝐿+𝑃 100 ∴ [𝐴] 𝑦 3



6. Apabila 𝑥 − 𝑦 = 9, maka (𝑥 − ) − 𝑥 3



(𝑦 − ) adalah … a. b. c. d. e.



7.



1



a. b. c. d. e.



1 𝑑



𝑐



𝑑



𝑐



=⋯ 16 34 2 15 Keterangan tidak cukup 1 1 1 1 1 1 ( − ) ( + ) = ( 2 − 2) 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 5(3) = 15 ∴ [𝐷] 3−𝑥 3 𝑥2



, mana yang



memiliki nilai yang sama? 𝑥 2 −𝑥 3



Kitab Numerik



3𝑥 2 −𝑥 3 𝑥2 − 𝑥 3𝑥−1 3 3−𝑥 3



1 𝑥 2 (3 − ) 𝑥 3 3𝑥 − 1 𝑥2 ( ) 𝑥 3 𝑥(3𝑥 − 1) 3 3𝑥 2 − 𝑥 3 ∴ [𝐵] 9. Dari pilihan berikut, mana yang bernilai paling kecil? a. b.



e.



1



a.



e.



d.



𝑦 𝑥 (𝑥 − ) − (𝑦 − ) 3 3 1 𝑥 − 𝑦 + (𝑥 − 𝑦) 3 4 (𝑥 − 𝑦) 3 ∴ [𝐷] 1 1 1 = 5 dan + = 3, maka 2 −



8. Diberikan



c. d.



c.



-4 -3 0 12 27



−



𝑐 1 𝑑2



b.



3 4 5 6 7 8 19 24 13 15



𝐷𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛, 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑖ℎ𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑗𝑒𝑙𝑎𝑠, 𝑐>𝑏>𝑎 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑛 𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑 3 19 … → 72 < 76 4 24 𝑎 𝑦, tentukan nilai 𝑥 + 2𝑦! a. 8 b. 4 c. 12 d. 16 e. 20 𝑥3 + 𝑦3 = 18 𝑥𝑦 𝑥 3 + 𝑦 3 = 18𝑥𝑦 3 (𝑥 + 𝑦) − 3𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) = 18𝑥𝑦 123 − 3𝑥𝑦(12) = 18𝑥𝑦 1728 − 36𝑥𝑦 = 18𝑥𝑦 54𝑥𝑦 = 1728 𝑥𝑦 = 32 𝑥 + 𝑦 = 12 → 𝑦 = 12 − 𝑥 𝑥(12 − 𝑥) = 32 12𝑥 − 𝑥 2 = 32 𝑥 2 − 12𝑥 + 32 = 0



Modul 6: Pecahan dan Desimal (𝑥 − 4)(𝑥 − 8) = 0 𝑥=4→𝑦=8 𝑥=8→𝑦=4 𝑥 > 𝑦 → 𝑥 = 8, 𝑦 = 4 ∴ [𝐷] 𝑥



𝑦



5



20. √ + √ = , 𝑥 + 𝑦 = 10. Apabila 𝑦 𝑥 2 𝑥 > 𝑦, tentukan 𝑥 − 𝑦! a. 6 b. 8 c. 10 d. 12 e. 4 𝑥 𝑦 5 √ +√ = 𝑦 𝑥 2 𝑥 𝑥𝑦 𝑦 25 + 2√ + = 𝑦 𝑦𝑥 𝑥 4 𝑥 𝑦 25 + +2= 𝑦 𝑥 4 2 2 𝑥 +𝑦 17 = 𝑥𝑦 4 17 (𝑥 + 𝑦)2 − 2𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 4 17 100 − 2𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 4 25 100 = 𝑥𝑦 4 𝑥𝑦 = 16 𝑥(10 − 𝑥) = 16 10𝑥 − 𝑥 2 = 16 2 𝑥 − 10𝑥 + 16 = 0 (𝑥 − 8)(𝑥 − 2) = 0 𝑥=8→𝑦=2 𝑥=2→𝑦=8 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘 𝑥 = 8, 𝑦 = 2 ∴ [𝐴]



Kitab Numerik



Modul 7: Persamaan Bab 7: Persamaan 1. Apabila 𝑦𝑧 − 𝑧𝑥 = 3 dan 𝑧𝑥 − 𝑥𝑦 = 4, maka 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 =… a. -7 b. 1 c. 3 d. 4 e. 7 𝑦𝑧 − 𝑧𝑥 = 3 𝑧𝑥 − 𝑥𝑦 = 4 𝑦𝑧 − 𝑧𝑥 + 𝑧𝑥 − 𝑥𝑦 = 7 𝑦𝑧 − 𝑥𝑦 = 7 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 = −7 ∴ [𝐴] 2. (𝑥 + 5)



+



= 4, maka x = …



a. b. c. 1 d. 5 e. 10 𝑥 5 1+ + +1 = 4 5 𝑥 𝑥 5 + =2 5 𝑥 𝑥 + 25 =2 5𝑥 𝑥 + 25 = 10𝑥 𝑥 − 10𝑥 + 25 = 0 (𝑥 − 5) = 0 ∴ [𝐷] 3. Apabila |2𝑥 − 4| sama dengan 2 dan (𝑥 − 3) sama dengan 4, maka nilai x adalah … a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 (𝑥 − 3) = 4 → 𝑥 − 3 = ±2 𝑥 = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1 |2𝑥 − 4| = 2 𝑥 = 5 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 ∴ [𝐴] 4. Apabila 𝑥 + 𝑦 = 7 dan 𝑥 + 𝑦 = 25, maka nilai 𝑥 + 𝑦 yang mungkin adalah … a. 7



Kitab Numerik



b. c. d. e.



25 35 65 91



𝐴𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 3 𝑑𝑎𝑛 4 3 + 4 = 27 + 64 = 91 ∴ [𝐸] 5. Diberikan sistem persamaan, 𝑥+𝑙 =6 𝑥−𝑚 =5 𝑥+𝑝 =4 𝑥−𝑞 =3 Mana yang merupakan nilai 𝑙 + 𝑚 + 𝑝 + 𝑞? a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 7 (𝑖) − (𝑖𝑖) → 𝑙 + 𝑚 = 1 (𝑖𝑖𝑖) − (𝑖𝑣) → 𝑝 + 𝑞 = 1 𝑙+𝑚+𝑝+𝑞 =2 ∴ [𝐴] 6. Apabila 𝑚𝑛 = 3 damn + = , mana yang merupakan nilai 0,1 + 0,1 + 0,1 ? a. 0,2 + 0,1 b. 0,1 + 0,1 + 0,1 c. 0,1 + 0,1 + 0,1 d. 0,1 + 0,1 + 0,1 e. 0,1 + 0,1 + 0,1 3 𝑚 1 1 4 + = 𝑚 3 3 𝑚 1 𝑚 4 + = 𝑚 3 3 3+𝑚 4 = 3𝑚 3 4𝑚 = 𝑚 + 3 𝑚 − 4𝑚 + 3 = 0 (𝑚 − 3)(𝑚 − 1) = 0 𝑚=3→𝑛=1 𝑚𝑛 = 3 → 𝑛 =



0,1 + 0,1 + 0,1



Modul 7: Persamaan



0,2 + 0,1 ∴ [𝐴] 7. Apabila (𝑥 − 2𝑦)(𝑥 + 2𝑦) = 5 dan (2𝑥 − 𝑦)(2𝑥 + 𝑦) = 35, maka adalah ... a. -8/5 b. -4/5 c. 0 d. 4/5 e. 7/5 𝑥 − 4𝑦 = 5 (𝑖) 4𝑥 − 𝑦 = 35 (𝑖𝑖) (𝑖) + (𝑖𝑖) 5𝑥 − 5𝑦 = 40 𝑥 −𝑦 =8 (𝑖) − (𝑖𝑖) −3𝑥 − 3𝑦 = −30 𝑥 + 𝑦 = 10 8 4 = 10 5 ∴ [𝐷] 8. 𝑎, 𝑏. dan 𝑐 adalah tiga bilangan berbeda. Tidak ada bilangan yang merupakan rata-rata dari kedua bilangan lainnya. Apabila = , maka 𝑥 + 𝑦 +



= 𝑧 = ... a. 0 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6



𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑎 = 1 𝑏=3 𝑐=4 𝑥 𝑦 𝑧 = = −4 5 −1 𝑥 = −4, 𝑦 = 5, 𝑧 = −1 𝑥+𝑦+𝑧 =0 ∴ [𝐴] 9. Apabila



=



=



= 𝑘, di



mana 𝑘 adalah bilangan riil, mana nilai 𝑘 yang tepat? a.



d. 2 e. 3 𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑘𝑛𝑖𝑘 𝑝𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑎𝑛, 𝑙=𝑚=𝑛=1 1 𝑘= 2 ∴ [𝐵] 𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑟𝑗𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟, 𝑙 = 𝑘(𝑚 + 𝑛) 𝑚 = 𝑘(𝑛 + 𝑙) 𝑛 = 𝑘(𝑙 + 𝑚) 𝑙 + 𝑚 + 𝑛 = 𝑘(2𝑚 + 2𝑛 + 2𝑙) 𝑙 + 𝑚 + 𝑛 = 2(𝑚 + 𝑛 + 𝑙)𝑘 2𝑘 = 1 1 𝑘= 2 ∴ [𝐵] 10. Diberikan 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah tiga bilangan berbeda dan = = , maka nilai yang tepat untuk 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 adalah ... a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 𝑥 𝑦 𝑧 = = =𝑘 𝑏−𝑐 𝑐−𝑎 𝑎−𝑏 𝑥 = 𝑘(𝑏 − 𝑐) 𝑦 = 𝑘(𝑐 − 𝑎) 𝑧 = 𝑘(𝑎 − 𝑏) 𝑎𝑥 = 𝑎𝑘(𝑏 − 𝑐) 𝑏𝑦 = 𝑏𝑘(𝑐 − 𝑎) 𝑐𝑧 = 𝑐𝑘(𝑎 − 𝑏) 𝑘 𝑎(𝑏 − 𝑐) + 𝑏(𝑐 − 𝑎) + 𝑐(𝑎 − 𝑏) 𝑘(𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐)



𝑘(0) = 0 ∴ [𝐴] 11. Diberikan 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah tiga bilangan berbeda. Tidak ada bilangan yang merupakan ratarata dari kedua bilangan lainnya. Apabila = = = 𝑘, maka 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =... a. 0 b.



b. c. 1



Kitab Numerik



c.



Modul 7: Persamaan dan 𝑚 dan 𝑛 merupakan konstanta, berapakah ?



d. e. 𝑥 = 𝑘(𝑏 − 𝑐) 𝑦 = 𝑘(𝑐 − 𝑎) 𝑧 = 𝑘(𝑎 − 𝑏) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑘(0) 𝑥+𝑦+𝑧 =0 ∴ [𝐴] 12. Apabila 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 tidak bernilai 0 atau 1, dan 𝑎 = 𝑏, 𝑏 = 𝑐, dan 𝑐 = 𝑎, maka 𝑥𝑦𝑧 = ... a. 0 b. 1 c. 2 d. 𝑎 e. 𝑎𝑏𝑐 𝑎 =𝑏 𝑏 =𝑎 =𝑐 𝑐 =𝑎 𝑎 =𝑎 𝑥𝑦𝑧 = 1 ∴ [𝐵] 13. Diberikan 2 sistem persamaan, 1 1 𝑥− 𝑦=4 3 6 6𝑥 − 𝑎𝑦 = 8 𝑎 adalah suatu konstanta. Apabila persamaan tersebut tidak memiliki solusi, maka 𝑎 adalah? a. b. 1 c. 2 d. 3 e. 6 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛, 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑎𝑚𝑎, 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑦 𝑠𝑎𝑚𝑎 1 → 6 → 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖 18 3 1 𝑀𝑎𝑘𝑎, − → −𝑎 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖 18 6 𝑎=3 ∴ [𝐷] 14. Diberikan 2 sistem persamaan, 𝑚𝑥 − 6𝑦 = 10 2𝑥 − 𝑛𝑦 = 5 Apabila sistem persamaan di atas memiliki tak hingga penyelesaian,



Kitab Numerik



a. b. c. d. 3 e. 5 𝑇𝑎𝑘 ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 → 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑚𝑥 − 6𝑦 = 10 2𝑥 − 𝑛𝑦 = 5 → 4𝑥 − 2𝑛𝑦 = 10 𝑚=4 −6 = −2𝑛 → 𝑛 = 3 𝑚 4 = 𝑛 3 ∴ [𝐶] 15. Diberikan persamaan, √𝑥 + √2 = √32 tentukan nilai x yang tepat ... a. 18 b. 19 c. 20 d. 17 e. 21 √𝑥 = √32 − √2 √𝑥 = 4√2 − √2 √𝑥 = 3√2 → √𝑥 = √18 ∴ [𝐴] 16. Diberikan persamaan, 4√𝑥 + 3 𝑦 = 43 (𝑖) 5√𝑥 − 2 𝑦 = 25 (𝑖𝑖) tentukan nilai 𝑥 + 𝑦 ... a. 10 b. 11 c. 12 d. 74 e. 75 (𝑖) 𝑥 2 𝑑𝑎𝑛 (𝑖𝑖) 𝑥 3 8√𝑥 + 6 𝑦 = 86 15√𝑥 − 6 𝑦 = 75 23√𝑥 = 161 √𝑥 = 7 → 𝑥 = 49 4(7) + 3 𝑦 = 43 3 𝑦 = 15 →



𝑦 = 5 → 𝑦 = 25 ∴ [𝐷]



Modul 7: Persamaan 17. Diberikan persamaan



=(



)



,



tentukan jumlah dari akarakarnya! a. 64 b. 80 c. 36 d. 216 e. 14 16(𝑥 + 18) = 25𝑥 → 𝑥 = 𝑎 → 𝑥 = ±√𝑎 4(𝑥 + 18) = ±5𝑥 4𝑥 + 72 = ±5𝑥 𝑥 = 72 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −8 ∴ [𝐴] 18. Diberikan persamaan



+



= −3,



tentukan jumlah dari akarakarnya! a. -7 b. 7 c. 0 d. 2 e. 5 30 + 21𝑥 = −3 𝑥 3𝑥 + 21𝑥 + 30 = 0 (3𝑥 + 6)(𝑥 + 5) 𝑥 = −5 𝑥 = −2 ∴ [𝐴] 19. Diberikan 𝑎 + 𝑏 = 4, 𝑏 + 𝑐 = 6, 𝑐 + 𝑑 = 8. Nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 sama dengan ... a. 16 b. 15 c. 14 d. 13 e. 12 𝑎+𝑏 =4 𝑏+𝑐 =6 𝑐+𝑑 =8 𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 + 𝑑 = 18 𝑎 + 2(𝑏 + 𝑐) + 𝑑 = 18 𝑎 + 𝑑 + 12 = 18 𝑎+𝑑 =6 (𝑎 + 𝑑) + (𝑏 + 𝑐) = 12 ∴ [𝐸]



Kitab Numerik



20. Diberikan 𝑥 + √𝑥 = 30 dan 𝑦 − 𝑦 = 6. Tentukan nilai 𝑥 + 𝑦 apabila 𝑥 dan 𝑦 bilangan asli! a. 32 b. 33 c. 34 d. 35 e. 36 𝑥 + √𝑥 = 30 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 𝑥 = 27 𝑦− 𝑦=6 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 𝑦 = 8 ∴ [𝐷]



Modul 8: Statistika Bab 8: Statistika 1. Apabila rata-rata dari 5 bilangan adalah -10, dan jumlah dari 3 bilangannya adalah 16, berapa rata-rata 2 bilangan lainnya? a. -33 b. -1 c. 5 d. 20 e. 25 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒 = −10 5 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 16 16 + (𝑑 + 𝑒) = −10 5 16 + (𝑑 + 𝑒) = −50 (𝑑 + 𝑒) = −66 (𝑑 + 𝑒) = −33 2 ∴ [𝐴] 2. Diberikan garis bilangan:



(tidak sesuai skala) Median dari 𝑀, 𝑃, 𝑄, 𝑅, dan 𝑆 adalah … a. M b. P c. Q d. R e. S ∴ [𝐶] 3. Data riset menunjukkan kadar hujan yang diukur dalam suatu satuan dalam 8 bulan pertama tahun 2008 adalah 2, 4, 4, 5, 7, 9, 10, 11. Mana yang menunjukkan ratarata dan mediannya, secara berurutan? a. 6,5 dan 6 b. 6 dan 7,5 c. 7 dan 8 d. 8 dan 9 e. 8,5 dan 9,5 ∑ 𝑑𝑎𝑡𝑎 = 52 52 13 = = 6,5 8 2



Kitab Numerik



5+7 2 ∴ [𝐴] 4. Sebuah kelompok beranggotakan 30 orang pekerja dari pabrik A memiliki rata-rata umur 27. Kelompok lain beranggotakan 70 orang pekerja dari pabrik B memiliki rata-rata umur 23. Apabila kelompok mereka disatukan, berapa rata-rata umur mereka? a. 23 b. 24,2 c. 25 d. 26,8 e. 27 ∑𝑢𝑚𝑢𝑟 𝐴 = 30(27) = 810 ∑𝑢𝑚𝑢𝑟 𝐵 = 70(23) = 1610 ∑𝑢𝑚𝑢𝑟 = 2420 2420 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 = = 24,2 100 ∴ [𝐵] 5. Selisih dua sudut pada suatu segitiga adalah 24°. Rata-rata dari dua sudut yang sama adalah 54°. Mana yang merupakan sudut terbesar segitiga tersebut? a. 45° b. 60° c. 66° d. 72° e. 78° 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 𝐴 − 𝐵 = 24 → 𝐴 = 24 + 𝐵 𝐴+𝐵 = 54 2 24 + 2𝐵 = 108 2𝐵 = 84 𝐵 = 42° 𝐴 = 66° 𝐶 = 180 − (42 + 66) = 72° ∴ [𝐷] 6. Rata-rata dari semua sisi suatu persegi panjang bernilai sama dengan dua kali lebar persegi panjang. Apabila luasnya 18, kelilingnya adalah … a. 6√6 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 =



Modul 8: Statistika b. c. d. e.



8√6 24 32 48



𝑝 ∙ 𝑙 = 18 2𝑝 + 2𝑙 = 2𝑙 4 𝑝+𝑙 = 2𝑙 2 𝑝 + 𝑙 = 4𝑙 𝑝 = 3𝑙 2 3𝑙 = 18 → 𝑙 2 = 6 𝑙 = √6 𝑝 = 3√6 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 8√6 ∴ [𝐵] 7. Dalam segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷, sudut 𝐴 memiliki besar 20 derajat lebih dari rata-rata ketiga sudut lainnya. Maka, besar sudut A adalah … a. 70° b. 85° c. 95° d. 105° e. 110° 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 360 𝐵+𝐶+𝐷 𝐴 = 20 + 3 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 𝑥 𝑥 20 + + 𝑥 = 360 3 4 𝑥 = 340 3 255 = 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 𝐴 = 360 − 255 = 105° ∴ [𝐷] 8. Mana bilangan yang dapat dihilangkan dari himpunan 𝐻 = {0,2,4,5,9} tanpa mengganti ratarata himpunan 𝐻? a. 0 b. 2 c. 4 d. 5 e. 9 𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎𝑤𝑎𝑙: 20 =4 5 𝑆𝑒𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔𝑖,



Kitab Numerik



20 − 𝑥 =4 4 20 − 𝑥 = 16 𝑥=4 ∴ [𝐶] 9. Dalam suatu himpunan 3 bilangan, rata-rata dari dua bilangan pertamanya adalah 2, rata-rata dari dua bilangan terakhirnya adalah 3, dan rata-rata dari bilangan pertama dan ketiga adalah 4. Berapa rata-rata dari ketiga bilangan tersebut? a. 2 b. 2,5 c. 3 d. 3,5 e. 4 𝑎, 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 𝑎+𝑏 =2→𝑎+𝑏 =4 2 𝑏+𝑐 =3→𝑏+𝑐 =6 2 𝑎+𝑐 =4→𝑎+𝑐 =8 2 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 18 𝑎+𝑏+𝑐 =9 𝑎+𝑏+𝑐 =3 3 ∴ [𝐶] 10. Rata-rata aritmatika dari 𝑎 dan 𝑏 adalah 5, dan rata-rata geometri dari 𝑎 dan 𝑏 adalah 8. Tentukan 𝑎2 − 10𝑎! a. -64 b. 76 c. 82 d. 96 e. 102 𝑎+𝑏 = 5 → 𝑎 + 𝑏 = 10 2 𝑏 = 10 − 𝑎 √𝑎𝑏 = 8 𝑎𝑏 = 64 𝑎(10 − 𝑎) = 64 10𝑎 − 𝑎2 = 64 𝑎2 − 10𝑎 = −64 ∴ [𝐴]



Modul 8: Statistika 11. Rata-rata umur pemain pada timA dan tim B, secara berurutan, adalah 20 tahun dan 30 tahun. Apabila rata-rata umur kedua tim tersebut adalah 26, dan total pemain kedua tim adalah 100, mana yang memungkinkan sebagai jumlah pemain tim A? a. 20 b. 40 c. 50 d. 60 e. 80 𝐴 + 𝐵 = 100 𝐵 = 100 − 𝐴 20(𝐴) + 30(𝐵) = 26 100 20𝐴 + 30(100 − 𝐴) = 2600 20𝐴 + 3000 − 30𝐴 = 2600 10𝐴 = 400 𝐴 = 40 ∴ [𝐵] 12. 40% dari pekerja di sebuah pabrik adalah buruh. Sisanya adalah eksekutif. Apabila gaji tiap buruh adalah $390 dan gaji tiap eksekutif adalah $420, berapa gaji rata-rata semua pekerja di pabrik tersebut? a. $390 b. $405 c. $408 d. $415 e. $420 𝐵+𝐸 =𝑇 4 6 𝐵= 𝑇→𝐸= 𝑇 10 10 4 6 390 (10) 𝑇 + 420 (10) 𝑇 𝑇 156 + 252 = 408 ∴ [𝐶] 13. Perhatikan tabel berikut: Kalori dalam Daging 500 500 520 550 550 550 550 600 600 900 Tabel tersebut menunjukkan kalori dari 10 makanan terakhir Budi. Apabila Budi lalu memakan makanan berkalori 900, mana data



Kitab Numerik



yang tidak akan berubah? I. Median II. Modus III. Jangkauan a. I saja b. I dan II saja c. I dan III saja d. II dan III saja e. I, II, dan III 𝑌𝑎𝑛𝑔 𝑗𝑒𝑙𝑎𝑠: 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝 550 𝐽𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑢𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝 900 − 500 𝑈𝑟𝑢𝑡𝑘𝑎𝑛, 𝑙𝑎𝑙𝑢 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ𝑘𝑎𝑛 900 550 + 550 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 2 𝑀𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 550 ∴ [𝐸] 14. Perhatikan dot plot berikut!



Data di atas menunjukkan konsumsi bahan bakar mobil per kilometer, dalam liter. Apabila titik yang menunjukkan konsumsi terbesar dihilangkan, apa yang akan terjadi? a. Hanya rata-ratanya yang akan berkurang b. Hanya rata-rata dan standar deviasinya yang akan berkurang c. Hanya rata-rata dan mediannya yang akan berkurang d. Rata-rata, standar deviasi, dan mediannya akan berkurang. e. Tidak ada yang berkurang. 𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑑𝑖ℎ𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑛 → 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴𝑤𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎 23, 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝 23. 𝑆𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑐𝑎𝑘 ∴ [𝐵]



Modul 8: Statistika 15. Pernyataan manakah yang selalu tepat? I. Rata-rata dari 20 bilangan ganjil positif pertama adalah 10,5 II. Rata-rata dari 10 bilangan asli pertama adalah 5 III. Rata-rata dari 4 bilangan asli pertama yang berakhiran 2 adalah 17 a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. I, dan III saja 1, 3, 5, 7, … , 39 ∑(𝐼) = 40 ∙ 10 = 400 400 = 20 (𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ) 20 1, 2, 3, … , 10 11(5) = 55 55 = 5,5 (𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ) 10 2, 12, 22, 32 68 ∑(𝐼𝐼𝐼) = = 17 4 ∴ [𝐶] 16. Himpunan 𝑀 memiliki 10 elemen yang apabila dijumlahkan bernilai 0. Mana yang pasti benar? I. Rata-rata dari 𝑀 adalah 0 II. Median dari 𝑀 adalah 0 III. Modus dari 𝑀 adalah 0 a. Tidak ada b. I saja c. I dan II saja d. II dan III saja e. I, II, dan III ∑ 𝑀 = 0 → 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎𝑛𝑦𝑎 0 ∴ [𝐵]



Kitab Numerik



Modul 9: Rasio atau Perbandingan Bab 9: Rasio atau Perbandingan 1. Andi dapat membuat 3 skateboard dalam 50 menit. Berapa banyak skateboard yang dapat ia buat dalam 5 jam? a. 16 b. 17 c. 18 d. 19 e. 20 3 𝑠𝑘𝑎𝑡𝑒𝑏𝑜𝑎𝑟𝑑 → 50 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝑥 𝑠𝑘𝑎𝑡𝑒𝑏𝑜𝑎𝑟𝑑 → 300 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 300 𝑥= ∙ 3 = 18 50 ∴ [𝐶] 2. Perhatikan gambar!



Perbandingan suduat A, B, dan C pada segitiga di atas adalah 5: 12: 13. Berapa besar sudut A? a. 15 b. 27 c. 30 d. 34 e. 40 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180 𝐴 5 12 = →𝐵= 𝐴 𝐵 12 5 𝐴 5 13 = →𝐶= 𝐴 𝐶 13 5 12 13 𝐴 + 𝐴 + 𝐴 = 180 5 5 5 + 25 𝐴 = 180 5 6𝐴 = 180 𝐴 = 30° ∴ [𝐶]



Kitab Numerik



3. Perhatikan gambar!



Apabila 𝑥: 𝑦 = 2: 3, tentukan 𝑦! a. 16 b. 32 c. 48 d. 54 e. 72 𝑦 + 𝑥 = 90° 𝑥 2 2 = →𝑥= 𝑦 𝑦 3 3 2 𝑦 + 𝑦 = 90° 3 5 𝑦 = 90° 3 𝑦 = 54° ∴ [𝐷] 4. Perhatikan gambar!



Pada persegi panjang ABCD, titik H, G, F, dan E berada di titik tengah masing-masing sisi. Hitung perbandingan luas daerah yang diarsir dan yang tidak diarsir! a. 1 : 1 b. 1 : 2 c. 2 : 1 d. 1 : 3 e. 3 : 1 𝑃𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝐸𝐹 𝑑𝑎𝑛 𝐹𝐺 𝑘𝑒 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑖𝑟𝑖, ∴ [𝐴] 5. Perbandingan jumlah dari kebalikan 𝑥 dan 𝑦 terhadap hasil



Modul 9: Rasio atau Perbandingan kali kebalikan dari 𝑥 dan 𝑦 adalah 1: 3. Tentukan jumlah dari 𝑥 dan 𝑦! a. b.



1 3 1 2



c. 1 d. 2 e. 4 1 1 𝑥+𝑦 + = 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥+𝑦 1 𝑥𝑦 = 1 3 𝑥𝑦 1 𝑥+𝑦 = 3 ∴ [𝐴] 6. Perbadingan 𝑥 terhadap 𝑦 adalah 3:4. Perbandingan 𝑥 + 7 terhadap 𝑦 + 7 adalah 4:5. Tentukan perbandingan 𝑥 + 14 terhadap 𝑦 + 14! a. 3:4 b. 4:5 c. 4:6 d. 5:6 e. 6:7 𝑥 3 3 = →𝑥= 𝑦 𝑦 4 4 𝑥+7 4 = 𝑦+7 5 3 4𝑦 +7 = 4 𝑦+7 5 15 𝑦 + 35 = 4𝑦 + 28 4 1 𝑦 = 7 → 𝑦 = 28 4 3 𝑥 = ∙ 28 = 21 4 35 5 = 42 6 ∴ [𝐷] 7. Diberikan 2 bangun segitiga, figure 1 dan figure 2. Apabila Dalam figure 1, 𝑦 = √3𝑥 dan 𝑧 = 2𝑥, tentukan 𝑝: 𝑞: 𝑟 dalam figure 2!



Kitab Numerik



a. 1 : 2 : 3 b. √3: 1: 2 3



c. 1: √2 : 1 d. 2: √3: 1 e. 3: 2: 1 𝑦~𝑝 𝑥~𝑞 𝑧~𝑟 𝑝: 𝑞: 𝑟 = 𝑦: 𝑥: 𝑧 = √3𝑥: 𝑥: 2𝑥 ∴ [𝐵] 8. Dalam sebuah kelas, 10% dari murid perempuannya bermata biru, dan 20% murid laki-lakinya bermata biru. Apabila perbandingan jumlah perempuan dibanding jumlah laki-laki adalah 3: 4, maka bagian murid yang memiliki mata biru di kelas adalah … a. 11/70 b. 11/45 c. 14/45 d. 12/33 e. 23/49 𝑃 = 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛 𝐿 = 𝑙𝑎𝑘𝑖 − 𝑙𝑎𝑘𝑖 𝑃 3 3 = →𝑃= 𝐿 𝐿 4 4 1 3 2 10 ∙ 4 𝐿 + 10 𝐿 3 4𝐿 + 𝐿 3𝐿 + 8𝐿 40 3+4 4 𝐿 11 40 = 11 7 70 4 ∴ [𝐴]



Modul 9: Rasio atau Perbandingan 9. Apabila 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 2𝑏, 𝑧 = 3𝑐, dan 𝑥+𝑦+𝑧



𝑥: 𝑦: 𝑧 = 1: 2: 3, maka 𝑎+𝑏+𝑐 adalah … a. b.



1 3 1 2



c. 2 d. 3 e. 6 𝑥: 𝑦: 𝑧 = 1: 2: 3 𝑎: 2𝑏: 3𝑐 = 1: 2: 3 𝑎: 𝑏: 𝑐 = 1: 1: 1 𝑘 + 2𝑘 + 3𝑘 6𝑘 = =2 𝑘+𝑘+𝑘 3𝑘 ∴ [𝐶] 10. Sebuah batuan berharga tidak sengaja terjatuh dan terpecah menjadi 3 bagian sama berat. Apabila nilai jual batuan sama dengan kuadrat dari beratnya, tentukan nilai jual ketiga batu setelah pecah terhadap nilai jual sebelum pecah! a. 1/9 b. 1/3 c. 1 d. 3 e. 9 𝑆𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 𝑝𝑒𝑐𝑎ℎ → 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑥 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 2 1 𝑆𝑒𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑐𝑎ℎ → 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑥 3 1 2 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 9 1 𝑎𝑑𝑎 3 → 𝑥 2 3 ∴ [𝐵] 11. Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yang apabila diakarkan akan menjadi bilangan bulat. Apabila A, B, dan C adalah tiga bilangan bulat positif, dan perbandingannya adalah 1: 2: 3. Mana yang merupakan bilangan kuadrat sempurna? a. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 b. 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2 c. 𝐴3 + 𝐵3 + 𝐶 3



Kitab Numerik



d. 3𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2 e. 3𝐴2 + 4𝐵2 + 4𝐶 2 𝐴: 𝐵: 𝐶 = 1: 2: 3 𝐴 = 𝑘, 𝐵 = 2𝑘, 𝐶 = 3𝑘 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑘𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛, 𝑦𝑎 𝑘 2 𝑐𝑜𝑏𝑎 (𝐵) → 𝑘 2 + 4𝑘 2 + 9𝑘 2 14𝑘 2 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑏𝑎 (𝐷) → 3𝑘 2 + 4𝑘 2 + 9𝑘 2 16𝑘 2 → 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑎𝑘𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛 ∴ [𝐷] 12. Dua plat logam, A dan B, disusun oleh dua elemen sederhana. Susunan elemen pada logam A adalah 5: 3 dan susunan elemen pada logam B adalah 1: 2. Suatu logam baru dibuat dengan mencampurkan logam A dan B dengan perbandingan 4: 3. Berapa perbandingan susunan elemen pada logam baru tersebut? a. 1:1 b. 2:3 c. 5:2 d. 4:3 e. 7:9 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑢𝑟𝑎𝑛 4 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝐴, 3 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝐵 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑢𝑟𝑎𝑛 7𝑥 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛: 4𝑥 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐴; 3𝑥 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐵 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑝 = 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 1 𝑞 = 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 2 𝑃𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚 𝐴, 5 5 𝑝 = ∙ 4𝑥 = 𝑥 8 2 3 3 𝑞 = ∙ 4𝑥 = 𝑥 8 2 𝑃𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚 𝐵, 1 𝑝 = ∙ 3𝑥 = 𝑥 3 2 𝑞 = ∙ 3𝑥 = 2𝑥 3 𝑃𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑢𝑟𝑎𝑛: 5+2 7 ∑𝑝 = = 2 2 3+4 7 ∑𝑞 = = 2 2 ∴ [𝐴]



Modul 9: Rasio atau Perbandingan 13. Perhatikan gambar!



Dari segitiga di ataas, segitiga baru dibuat dengan cara mengurangi s sehingga luas barunya memiliki nilai 64% dari luas awalnya. Berapa besar s yang dikurangi? a. 8% b. 20% c. 25% d. 30% e. 15% 1 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑤𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠 2 2 𝑀𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 64%𝑛𝑦𝑎 16 1 2 1 2 ∙ 𝑠 = 𝑥 25 2 2 (𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢) 16 𝑥 2 = 𝑠2 ∙ 25 4 𝑥 = ∙𝑠 5 1 𝐵𝑒𝑟𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔 = 20% 5 ∴ [𝐵] 14. Adi dan Adul adalah seorang koki di sebuah restoran terkenal. Adi dapat menyelesaikan hidangan komplit dalam 20 menit. Apabila Adi dan Adul bekerja bersamasama, mereka dapat nyelesaikan hidangan dalam 15 menit. Berapa lama yang dibutuhkan Adul untuk menyelesaikan satu hidangan komplit? a. 10 menit b. 15 menit c. 30 menit d. 60 menit e. 45 menit



Kitab Numerik



1 1 1 = + 15 20 𝐴𝑑𝑢𝑙 1 𝐴𝑑𝑢𝑙 + 20 = 15 20 ∙ 𝐴𝑑𝑢𝑙 20 ∙ 𝐴𝑑𝑢𝑙 = 15 ∙ 𝐴𝑑𝑢𝑙 + 300 5 ∙ 𝐴𝑑𝑢𝑙 = 300 𝐴𝑑𝑢𝑙 = 60 ∴ [𝐷] 15. Berapa perbandingan nasi A yang memiliki harga $0,8 per pon yang harus dicampur dengan nasi B yang memiliki harga $0,9 per pon agar campuran tersebut memiliki harga $0,825 per pon? a. 1 : 3 b. 1 : 2 c. 1 : 1 d. 2 : 1 e. 3 : 1 0,8𝑥 + 0,9𝑦 0,825 = 𝑥+𝑦 0,825𝑥 + 0,825𝑦 = 0,8𝑥 + 0,9𝑦 0,025𝑥 = 0,075𝑦 𝑥 3 = 𝑦 1 ∴ [𝐸]



Modul 10: Eksponen dan Akar Bab 10: Eksponen dan Akar 1. Apabila 𝑛 bernilai 10 + 2 ∙ 10 + 10 , maka jumlah angka nol dalam bilangan n adalah … a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 100.000 + 2.000 + 1.000.000 = 1.102.000 𝑎𝑑𝑎 4 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑛𝑜𝑙 ∴ [𝐶] 2. Apabila 𝑥𝑦 = 1 dan 𝑥 ≠ 𝑦, maka 7



=⋯



a. b. c. d. e.



1/7 1 7 7 7 =7



=7 ∴ [𝐵] 3. Diberikan bilangan 𝑁 = 3 ∙ 5 ∙ 7, mana yang merupakan bilangan kuadrat terbesar yang merupakan faktor dari 𝑁? a. 3 b. 5 c. 9 d. (9 ∙ 5) e. (3 ∙ 5 ∙ 7) 𝑁 = 9 ∙ 5 ∙ 35 ∴ [𝐷] 4. Apabila 𝑝 = 4? a. b. c. d. e.



√ √



√3 − 2 √2 − 1 (2 − 1) 6 − √ √3 − 2√2 + 2 𝑝= 1 Karena ditanyakan p − 4, jadinya jawabannya D. ∴ [𝐷] 𝑝=



5. Diberikan 𝑝 = 216



Kitab Numerik



+



256 , mana yang merupakan bilangan bulat? a. p/19 b. p/36 c. p d. 19/p e. 36/p 1 1 1 𝑝= + + √216 √256 3 1 1 1 𝑝= + + 6 9 4 6 + 4 + 9 19 𝑝= = 36 36 ∴ [𝐷] 6. Apabila = 4, = 6, 𝑎 = 9, dan 𝑎𝑏 a. b. c. d. e.



= −8, maka 𝑥 + 2𝑦 =… -2 -5 -10 -13 -15 𝑎𝑏 = −8 → 𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 1 𝑎= 𝑥 4 1 𝑥 = 9 → 𝑥 = ±12 16 Karena a negatif, x = −12 𝑎 = −3 3 1 − =6→𝑦=− 𝑦 2 𝑥 + 2𝑦 = −12 − 1 = −13 ∴ [𝐷]



, mana yang 𝑝 −



√3 − 2 √3 + 2 2 −2√2 + √6 − √3 − 2 −2√2 + √6 − √3 + 2 𝐾𝑎𝑙𝑖 𝑠𝑒𝑘𝑎𝑤𝑎𝑛 𝑝



+ 243



7. Apabila √27 = 3 dan 4 maka nilai 𝑚 adalah … a. -1 b. − c. 0



> 1,



Modul 10: Eksponen dan Akar d.



36𝑥 6 3 = 𝑥= 𝑥 6400 80 40



e. 1 =3 3 = 3𝑚 𝑚 3 = 3𝑚 𝑚 = 1 → 𝑚 = ±1 4 >1 ∴ [𝐸]



∴ [𝐷]



3



√



8.



√



a. √7 b. 7 c. 7 d. 7 e. 7 7 √7 7 7



=



7 7



=7 ∴ [𝐷] 9. Jumlah dari √75 dan √12 adalah … a. √87 b. 7√3 c. 3√5+3√2 d. 29√3 e. 3√3 √75 = 5√3 √12 = 2√3 ∴ [𝐵] −



!



a. b. − c. d. e. 100𝑥 − 64𝑥 6400



Kitab Numerik



+



=⋯



a. 𝑥 + 𝑦 b. 𝑥 c. d. e.



=⋯



10. Sederhanakan



11.



(



)



𝑥 + 3𝑥 𝑥 𝑦 + 2𝑥 𝑦 + 2𝑥(𝑥 + 3𝑥 ) 2𝑥(𝑥 𝑦 + 2𝑥 𝑦) 1 1 1 + = 2𝑥 2𝑥 𝑥 ∴ [𝐶] 12. Apabila 𝑥 𝑦 = 10 dan 𝑥 𝑦 = 8, maka nilai dari 𝑥 𝑦 adalah … a. 18 b. 20 c. 40 d. 60 e. 80 𝑥 𝑦 = 10(𝑖) 𝑥 𝑦 = 8(𝑖𝑖) (𝑖)𝑥(𝑖𝑖) 𝑥 𝑦 = 80 ∴ [𝐸] 13. Diberikan 2 − 2 = 𝑘(2 ), maka nilai dari 𝑘 adalah … a. 3 b. 5 c. 7 d. 8 e. 9 2 ∙ 8 − 2 = 𝑘(2 ) 7∙2 =𝑘∙2 ∴ [𝐶] 14. Diberikan 2√𝑥 + 2 = 3√2. Apabila 𝑥 > 0, maka nilai 𝑥 adalah … a. 2 b. 2,5 c. 3 d. 3,5 e. 4 𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑘𝑎𝑛, 4(𝑥 + 2) = 9(2)



Modul 10: Eksponen dan Akar 4𝑥 + 8 = 18 4𝑥 = 10 5 𝑥= 2 ∴ [𝐵] 15. Diberikan 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥 , dan 𝑥 > 1. Apabila 𝑎 + 𝑏 = 5, maka nilai c adalah ... a. 3 b. 5 c. 8 d. 6 e. 10 𝑥 ( )=𝑥 𝑥 =𝑥 𝑐=6 ∴ [𝐷] 16. Mana nilai yang bernilai paling kecil? a. b. c. d. e. 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 7 8



7 8 ∴ [𝐴] 17. Diberikan 𝑥 = 0,99, 𝑦 = √0,99, dan 𝑧 = (0,99) . Mana yang benar? a. 𝑥 < 𝑧 < 𝑦 b. 𝑧 < 𝑦 < 𝑥 c. 𝑧 < 𝑥 < 𝑦 d. 𝑦 < 𝑥 < 𝑧 e. 𝑦 < 𝑧 < 𝑥 𝑥 = 0,99
𝑥>𝑧 𝑧 𝑦 dan 𝑥𝑦 ≠ 0, B 𝑥



𝑦



1 𝑦+ 𝑦



𝑥+



1 𝑥



𝐴>𝐵 𝐴=𝐵 𝐴 3, mana yang bernilai



d.



(𝑥



a. b. c. d.



5𝑥 5𝑥 + 10 𝑥 + 10 5𝑥 + 6𝑥 + 10 5𝑥 − 6𝑥 + 10



c. (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)



1 𝑥 −𝑦 𝑥 −𝑦 𝑥 −𝑦



A



a. b. c. d. e.



(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 𝐶𝑜𝑏𝑎 𝑗𝑎𝑏𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛 𝐵 ∴ [𝐵] 13. Diberikan persamaan, 6𝑦 − 𝑥 3(𝑥 − 𝑦) + 5 ( ) + = 30 2 Tentukan nilai x! a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 𝑥 3𝑥 − 3𝑦 + 5 + 3𝑦 − = 30 2 5 𝑥=5 2 𝑥=2 ∴ [𝐴] 14. Diketahui 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2 dan 𝑎𝑏 = 1, 𝑏𝑐 = 2, dan 𝑎𝑐 = 3. Tentukan nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ! a. 2 b. -4 c. 4 d. 8 e. -8



Modul 11: Aljabar dan Pemfaktoran 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) − 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐)



= 4 − 2(6) = −8 ∴ [𝐸] 15. Diberikan 𝑥 + = 5, tentukan nilai dari 𝑥 + a. b. c. d. e.



!



90 100 110 120 130 𝑥+



1 𝑥



=𝑥 +



1 1 −3 𝑥∙ 𝑥 𝑥



𝑥+



1 𝑥



1 − 3(1)(5) 𝑥 1 𝑥 + = 110 𝑥 ∴ [𝐶] 16. Apabila 𝑥 = 𝑦 + 𝑧, 𝑦 = 𝑧 + 𝑥, dan 𝑧 = 𝑥 + 𝑦, berapakah nilai 125 = 𝑥 +



dari a. b. c. d. e.



+



+



?



1 0 -1 2 -2 𝑥 =𝑦+𝑧 𝑥 +𝑥 =𝑥+𝑦+𝑧 𝑥(𝑥 + 1) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 1 𝑥 = 𝑥+1 𝑥+𝑦+𝑧 𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑎, 1 𝑦 = 𝑦+1 𝑥+𝑦+𝑧 1 𝑧 = 𝑧+1 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 + + 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ∴ [𝐴]



Kitab Numerik



Modul 12: Persentase Bab 12: Persentase 1. Nilai 𝑝 − 𝑞 apabila 60% dari 𝑚 3



bernilai 𝑝 dan 5 dari 𝑚 bernilai 𝑞? a. 0 𝑚 b. 11 c. d. e.



2𝑚 11 3𝑚 55 6𝑚 55



6 3 𝑚= 𝑚 10 5 3 𝑞= 𝑚 5 𝑝−𝑞 =0 ∴ [𝐴] 2. Bulan Januari, nilai saham meningkat 25%. Bulan Februari, nilai saham turun 20%. Bulan Maret, nilai saham naik 50%. Bulan April, nilai saham turun 40%. Abdul menginvestasikan saham sebesar $80 pada awal tahun dan menjualnya di akhir April. Persentase perubahan harga sahamnya adalah … a. 0% b. 5% c. 10% d. 40% e. 50% $80 𝑛𝑎𝑖𝑘 25% 1 ∙ 80 = $20 4 𝐽𝑎𝑑𝑖 $100 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛 20% 1 ∙ 100 = $20 5 𝐽𝑎𝑑𝑖 $80 𝑛𝑎𝑖𝑘 50% 1 ∙ 80 = $40 2 𝐽𝑎𝑑𝑖 $120 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛 40% 2 ∙ 120 = $48 5 𝐽𝑎𝑑𝑖 $72 80 − 72 ∙ 100% = 10% 80 ∴ [𝐶] 3. Ekspor tahunan perusahaan es krim meningkat 25% tahun 𝑝=



Kitab Numerik



kemarin. Tahun sekarang, meningkat sebesar 20%. Apabila kenaikan ekspor bernilai 1 juta dollar tahun kemarin, maka kenaikan ekspor tahun ini bernilai (dalam juta dollar) a. 0,75 b. 0,8 c. 1 d. 1,2 e. 1,25 1 𝑥 = 1 𝑗𝑢𝑡𝑎 → 𝑥 = 4 𝑗𝑢𝑡𝑎 4 4 𝑗𝑡 → 𝑒𝑘𝑠𝑝𝑜𝑟 1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 𝑛𝑎𝑖𝑘 1 𝑗𝑢𝑡𝑎 → 𝑗𝑎𝑑𝑖 5 𝑗𝑢𝑡𝑎 5 𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑛𝑎𝑖𝑘 20% 1 ∙ 5 = 1 𝑗𝑢𝑡𝑎 5 ∴ [𝐶] 4. Dalam suatu kelas, 120 dari muridnya laki-laki dan 100 dari muridnya perempuan. 25% dari murid laki-laki dan 20% dari murid perempuan mengikuti jurusan teknik. 20% dari laki-laki dan 25% dari perempuan yang mengikuti jurusan teknik berhasil lulus ujian akhir. Berapa persen murid jurusan teknik yang lulus ujian akhir? a. 5% b. 10% c. 16% d. 22% e. 25% 𝐿𝑎𝑘𝑖 − 𝑙𝑎𝑘𝑖: 1 ∙ 120 = 30 4



20 ∙ 30 = 6 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 100 𝑃𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛: 1 ∙ 100 = 20 5 25 ∙ 20 = 5 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 100 11 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑟𝑖 50 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑘𝑛𝑖𝑘 11 = 22% 50 ∴ [𝐷]



Modul 12: Persentase 5. Apabila



𝑥+𝑦 𝑥−𝑦



4 3



= dan 𝑥 ≠ 0, maka



berapa persen dari 𝑥 + 3𝑦 yang bernilai 𝑥 − 3𝑦? a. 20% b. 25% c. 30% d. 35% e. 40% 3𝑥 + 3𝑦 = 4𝑥 − 4𝑦 7𝑦 = 𝑥 𝑥 + 3𝑦 = 10𝑦 𝑥 − 3𝑦 = 4𝑦 4𝑦 4 = = 40% 10𝑦 10 ∴ [𝐸] 6. Jono menjual apel dengan harga 125% dari harga belinya. Berapa persen keuntungannya setelah ia menjual 100 apel? a. 0% b. 20% c. 25% d. 33,3% e. 50% 𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑝𝑒𝑙 = 𝑥 125 5 𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑗𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑒𝑙 = 𝑥= 𝑥 100 4 1 𝐾𝑒𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 = 𝑥 4 100 𝐽𝑢𝑎𝑙 100 𝑎𝑝𝑒𝑙 → 𝑥 = 25𝑥 4 𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖 100𝑥 25𝑥 = 25% 100𝑥 ∴ [𝐶] 7. Aldo memiliki 𝑥 butir telur. Dia menjual 12 darinya dengan keuntungan 10% dan sisanya dengan kerugian 10%. Ia tidak menerima keuntungan maupun kerugian setelah menjual semua telurnya. Berapakah x? a. 10 b. 12 c. 13 d. 14 e. 24 𝑥 𝑡𝑒𝑙𝑢𝑟



Kitab Numerik



10 ∙ 12 = 1,2 100 10 (𝑥 − 12) 𝐾𝑒𝑟𝑢𝑔𝑖𝑎𝑛: 100 = 0,1(𝑥 − 12) 𝐾𝑒𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 = 𝐾𝑒𝑟𝑢𝑔𝑖𝑎𝑛 1,2 = 0,1(𝑥 − 12) 1,2 = 0,1𝑥 − 1,2 2,4 = 0,1𝑥 → 𝑥 = 24 ∴ [𝐸] 8. Setiap orang dari sebuah grup yang beranggotakan 110 investor memiliki investasi di modal, keamanan, atau keduanya. Tepat 25% dari investor modal memiliki investasi di keamanan, dan tepat 40% dari investor keamanan memiliki investasi modal. Berapa orang yang berinvestasi modal? a. 65 b. 80 c. 120 d. 135 e. 150 𝑀 = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝐾 = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑘𝑒𝑎𝑚𝑎𝑛𝑎𝑛 𝐶 = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑀 + 𝐾 − 𝐶 = 110 25 40 𝑀=𝐶= 𝐾 100 100 𝑀 = 4𝐶 𝐾 = 2,5𝐶 4𝐶 + 2,5𝐶 − 𝐶 = 110 5,5𝐶 = 110 𝐶 = 20 𝑀 = 80 ∴ [𝐵] 9. Persentase bilangan bulat dari 1 sampai dengan 100 yang kuadratnya berakhiran dengan digit 1 adalah 𝑥%, dan persentase bilangan bulat dari 1 sampai dengan 200 yang kuadratnya berakhiran dengan digit 1 adalah 𝑦%. Mana yang tepat? a. 𝑥 = 𝑦 b. 𝑥 = 2𝑦 c. 𝑥 = 4𝑦 d. 𝑦 = 2𝑥 𝐾𝑒𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛:



Modul 12: Persentase e. 𝑦 = 4𝑥 2



2



2



2



2



1 , 9 , 11 , 19 , … 99 = 20 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 100 20 = 20% 100 12 , 92 , 112 , … , 1912 , 1992 40 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 200 40 = 20% 200 𝑥=𝑦 ∴ [𝐴] 10. Harga dasar sebuah mobil adalah $𝑚. Lalu menerima penurunan sebesar 𝑥%, diikuti kenaikan sebesar 𝑦% sehingga harga akhirnya menjadi $𝑛. Apabila 𝑦 = 𝑥 𝑥 , maka yang merupakan nilai 1−



100



dari n adalah … a.



3𝑚 4



b. 𝑚 4𝑚 c. 3 d.



3𝑚 2



e. 2𝑚



𝑥 𝑥 = 100 − 𝑥 1 − 100 100 100𝑥 𝑦= 100 − 𝑥 𝑚 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛 𝑥% (100 − 𝑥)𝑚 𝑥 𝑚′ = 𝑚 − 𝑚= 100 100 𝑚′ 𝑛𝑎𝑖𝑘 𝑦% 𝑦 𝑛 = 𝑚′ + 𝑚′ 100 (100 + 𝑦)𝑚′ 𝑛= 100 100𝑥 100𝑛 = (100 + ) 𝑚′ 100 − 𝑥 (100 − 𝑥)𝑚 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖 𝑚′ = , 100 𝑙𝑎𝑙𝑢 𝑠𝑒𝑑𝑒𝑟ℎ𝑎𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 100𝑛 = 100𝑚 𝑛=𝑚 ∴ [𝐵] 11. Setiap tahun, modal A dan B berkembang sesuai aturan perusahaan: 𝑦=



𝑥



1) Persentase kenaikan modal yang diperbolehkan adalah 20% dan 30% 2) Persentase kenaikan kedua modal tidak boleh sama dalam tahun yang sama. 3) Persentasi kenaikan tiap modal tidak bisa memiliki persentase kenaikan yang sama dalam 2 tahun berurutan. Adi menginvestasikan jumlah modal yang sama besar kepada A dan B. Tahun pertama, B naik sebesar 30%. Setelah 3 tahun, berapa perbandingan dari modal di B terhadap modal di A? a. 12/13 b. 1 c. 13/12 d. 1,2 e. 1,3 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑎𝑤𝑎𝑙 = 𝑥 𝑇𝑎ℎ𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎: 𝐵 𝑛𝑎𝑖𝑘 30% → 𝐵′ = 1,3𝑥 𝐴 𝑛𝑎𝑖𝑘 20% → 𝐴′ = 1,2𝑥 𝑇𝑎ℎ𝑢𝑛 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎: ′ 𝐵 𝑛𝑎𝑖𝑘 20% → 𝐵′′ = 1,56𝑥 𝐴′ 𝑛𝑎𝑖𝑘 30% → 𝐴′′ = 1,56𝑥 𝑇𝑎ℎ𝑢𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎: 𝐵′′ 𝑛𝑎𝑖𝑘 30% 130 𝐵′′′ = ∙ 1,56𝑥 100 𝐴′′ 𝑛𝑎𝑖𝑘 20% 120 𝐴′′′ = ∙ 1,56𝑥 100 𝐵′′′ 13 = 𝐴′′′ 12 ∴ [𝐶] 12. Menjual 12 lilin dengan harga $10 menimbulkan kerugian sebesar 𝑎%. Menjual 12 lilin dengan harga $12 menghasilkan keuntungan sebesar 𝑎%. Berapa nilai 𝑎? a. b. c.



Kitab Numerik



11 1100 11 100 100 11



Modul 12: Persentase d. 10 e. 11 𝑥 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖 𝑥 − 10 ∙ 100% = 𝑎% 𝑥 𝑥 − 10 → 𝑎 = 100 ∙ 𝑥 12 − 𝑥 ∙ 100% = 𝑎% 𝑥 12 − 𝑥 → 𝑎 = 100 ∙ 𝑥 𝑥 − 10 12 − 𝑥 = 𝑥 𝑥 2𝑥 = 22 𝑥 = 11 1 𝑎 = 100 ∙ 11 ∴ [𝐶] 13. Gaji total seorang karyawan di tahun 2003, 2004, dan 2005 adalah $36.400. Gajinya memiliki kenaikan sebesar 20% setiap tahunnya. Berapa gajinya di tahun 2005? a. $5.600 b. $8.800 c. $10.000 d. $12.000 e. $14.400 120 120 120 𝑥+ 𝑥+ ∙ 𝑥 = 36400 100 100 100 12 144 𝑥+ 𝑥+ 𝑥 = 36400 10 100 100 + 120 + 144 𝑥 = 36400 100 364 𝑥 = 36400 100 𝑥 = 10.000 144 𝐺𝑎𝑗𝑖 𝑑𝑖 2005: ∙ 10.000 100 = 14.400 ∴ [𝐸] 14. Karena penebangan hutan secara liar, ilmuwan mendapat data bahwa populasi rusa menurun sebesar 6% setiap tahun. Apabila populasi rusa sekarang 𝑝, berapa populasi rusa 10 tahun yang akan datang? a. (𝑚 + 0,06)9



Kitab Numerik



(𝑚 + 0,06)10 𝑚(1 − 0,06)11 𝑚(1 − 0,06)9 𝑚(1 − 0,06)10 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑚 +1 𝑡ℎ𝑛 = (1 − 0,06)𝑚 = 𝑚′ +2 𝑡ℎ𝑛 = (1 − 0,06)𝑚′ = (1 − 0,06)2 𝑚 +10 𝑡ℎ𝑛 = (1 − 0,06)10 𝑚 ∴ [𝐸] 15. Abdul membuat rekening bank yang mendapat bunga 𝑚% tiap tahun. Apabila ia membuka akun tersebut dengan saldo awal $200, maka $200(𝑥)𝑡 melambangkan jumlah saldo Abdul setelah 𝑡 tahun. Mana yang memberikan nilai 𝑥 yang tepat dalam 𝑚? a. 1 + 0,01𝑚 b. 1 + 𝑚 c. 1 − 𝑚 d. 1 + 100𝑚 e. Informasi yang diberikan tidak memenuhi kriteria untuk menjawab 𝑚% 𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑡 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛, 𝑚 𝑡 𝑚′ = $200 (1 + ) 100 ′ 𝑚 = $200(1 + 0,01𝑚)𝑡 ∴ [𝐴] b. c. d. e.



Modul 13: Grafik Bab 13: Grafik Gunakan tabel berikut untuk mengerjakan soal nomor 1 sampai dengan nomor 3! Murid Kelas 9 di SMP X Laki- Perempuan laki Mengikuti kelas bahasa Spanyol Tidak mengikuti kelas bahasa Spanyol



12



13



19



16



1. Menggunakan aproksimasi, berapa persen murid perempuan di SMP X yang mengikuti kelas bahasa Spanyol? a. 21% b. 37% c. 45% d. 50% e. 57% 𝑆𝑖𝑠𝑤𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 29 13 ≈ 45% 29 ∴ [𝐶] 2. Murid yang tidak mengikuti kelas bahasa Spanyol berjumlah 𝑥 persen lebih banyak dibandingkan murid yang mengikuti kelas bahasa Spanyol. Tentukan nilai 𝑥! a. 20 b. 25 c. 30 d. 40 e. 50 𝑌𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑖𝑘𝑢𝑡𝑖 ∶ 25 𝑌𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑖𝑘𝑢𝑡𝑖: 35 𝐿𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 10 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎 10 ∙ 100 = 40% 25 ∴ [𝐷] 3. Apabila 2 murid laki-laki yang awalnya tidak mengikuti kelas bahasa Spanyol memutuskan untuk mengikuti kelas bahasa Spanyol, dan SMP X menerima



Kitab Numerik



murid baru sebanyak 8 murid perempuan dan 7 murid laki-laki yang semuanya mengikuti kelas bahasa Spanyol, berapa persen murid kelas 9 SMP X yang mengikuti kelas bahasa Spanyol sekarang? a. 52% b. 53% c. 54% d. 55% e. 56% 𝐴𝑤𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎, 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎 = 60 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑖𝑘𝑢𝑡𝑖 = 25 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑖𝑘𝑢𝑡𝑖 = 35 𝐿𝑎𝑙𝑢, 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎 = 75 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑖𝑘𝑢𝑡𝑖 = 42 42 ∙ 100% = 14 ∙ 4 = 56% 75 ∴ [𝐸] Gunakan grafik berikut untuk mengerjakan soal nomor 4 sampai dengan nomor 5!



4. Berdasarkan grafik, mana periode dua bulan yang memiliki kenaikan harga listrik tertinggi? a. Antara Januari dan Februari b. Antara Mei dan Juni c. Antara Juni dan Juli d. Antara Juli dan Agustus e. Antara November dan Desember 𝐷𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑒𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛, 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑡 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 𝐽𝑢𝑙𝑖 − 𝐴𝑔𝑢𝑠𝑡𝑢𝑠



Modul 13: Grafik 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑐𝑢𝑟𝑎𝑚 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘𝑒𝑛𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛. ∴ [𝐷] 5. Menggunakan aproksimasi, berapakah rata-rata aritmatika harga listrik per bulan untuk semester pertama tahun tersebut? a. $45 b. $50 c. $60 d. $70 e. $75 𝐽𝑎𝑛 ≈ 40 𝐹𝑒𝑏 ≈ 20 𝑀𝑎𝑟 ≈ 30 𝐴𝑝𝑟 ≈ 45 𝑀𝑎𝑦 ≈ 60 𝐽𝑢𝑛 ≈ 65 260 ≈ ≈ $45 6 ∴ [𝐴] Gunakan grafik berikut untuk menjawab soal nomor 6 sampai dengan nomor 8!



∴ [𝐸] 7. Berdasarkan rata-rata, berapa lama pengalaman seorang operator mesin yang menghasilkan jumlah bagian mesin cacat yang sama seperti operator mesin yang memiliki 12.000 jam pengalaman? a. 2.000 b. 2.700 c. 4.400 d. 8.400 e. 12.800 𝐵𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘, 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 2.400 𝑠. 𝑑. 3200 ∴ [𝐵] 8. Berdasarkan data individuindividu yang menghasilkan bagian mesin cacat sebesar 4,2% dari semua bagian yang ia buat, dengan aproksimasi, berapa lama jam terbang operator mesin yang paling kurang berpengalaman? a. 2.300 b. 5.000 c. 7.700 d. 9.800 e. 15.100 𝐷𝑎𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 (𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 − 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘), 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑔ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙𝑘𝑎𝑛 4,2% 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ ≈ 8.000 𝑗𝑎𝑚 𝑑𝑎𝑛 ≈ 9.600 𝑗𝑎𝑚 ∴ [𝐶]



Gunakan informasi dari tabel berikut untuk menjawab soal nomor 9 sampai dengan nomor 11! 6. Berdasarkan rata-rata, operator yang menghasilkan mesin dengan bagian cacat paling sedikit memiliki pengalaman selama … jam a. 40 b. 4.000 c. 8.000 d. 12.000 e. 16.000 𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎, 𝑙𝑖ℎ𝑎𝑡 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎, 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 − 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘



Kitab Numerik



Populasi dan PDB dari 50 Negara Afrika



9. Dari data 50 negara Afrika yang disajikan di tabel, berapakah persenkah jumlah negara yang



Modul 13: Grafik memiliki populasi kurang dari 20 juta dan PDB kurang dari 20 miliar? a. 38% b. 44% c. 62% d. 68% e. 90% 3+3+3+7+8+7 50 31 = 62% 50 ∴ [𝐶] 10. Menggunakan aproksimasi, berapa persen negara Afrika pada tabel di atas yang memiliki PDB di antara 10-20 miliar juga memiliki populasi antara 10-20 juta? a. 6% b. 23% c. 26% d. 30% e. 51% 𝑃𝐷𝐵 10 − 20 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟: 13 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎 3 ∙ 100 ≈ 23% 13 ∴ [𝐵] 11. Berdasarkan tabel, mana yang memiliki jumlah terbanyak? a. Negara dengan PDB lebih besar dari 10 miliar dan populasi kurang dari 20 juta b. Negara dengan PDB kurang dari 20 miliar dan populasi lebih dari 10 juta c. Negara dengan PDB lebih dari 20 miliar d. Negara dengan PDB kurang dari 100 miliar dan populasi kurang dari 10 juta e. Negara dengan PDB kurang dari 100 miliar dan populasi di antara 10 juta dan 50 juta 𝑎. 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 11 𝑏. 1 + 3 + 3 + 7 = 14 𝑐. 5 + 10 = 15 𝑑. 1 + 3 + 8 + 7 + 3 = 22



Kitab Numerik



𝑒. 7 + 3 + 1 + 3 + 7 = 21 ∴ [𝐷] Gunakan informasi dari grafik berikut untuk menjawab soal dari nomor 12 sampai dengan nomor ! Data Rumah berdasarkan Jumlah Penghuni (79.986.074 total rumah)



12. Berapa persenkah rumah dengan penghuni kurang dari 4 orang? a. 11,1% b. 14,5% c. 25,6% d. 74,4% e. 88,9% 16,5 + 36,3 + 21,6 = 74,4% ∴ [𝐷] 13. Dari semua rumah berpenghuni di atas, menggunakan aproksimasi, berapa banyak rumah yang dihuni oleh 5 orang? a. 1 juta b. 2 juta c. 3 juta d. 4 juta e. 5 juta 6,7 ∙ 80 𝑗𝑢𝑡𝑎 ≈ 5 𝑗𝑢𝑡𝑎 100 ∴ [𝐸] 14. Berdasarkan jumlah orang yang tinggal di rumah, urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar: Rumah dengan 1 penghuni, rumah dengna 3 penghuni, dan rumah dengan 5 penghuni!



Modul 13: Grafik a. Rumah dengan 1 penghuni, rumah dengan 3 penghuni, rumah dengan 5 penghuni b. Rumah dengan 1 penghuni, rumah dengan 5 penghuni, rumah dengan 3 penghuni c. Rumah dengan 3 penghuni, rumah dengan 1 penghuni, rumah dengan 5 penghuni d. Rumah dengan 3 penghuni, rumah dengan 5 penghuni, rumah dengan 1 penghuni e. Rumah dengan 5 penghuni, rumah dengan 3 penghuni, rumah dengan 1 penghuni 1 𝑝𝑒𝑛𝑔ℎ𝑢𝑛𝑖 → 21,6 𝑥 1 = 21,6 3 𝑝𝑒𝑛𝑔ℎ𝑢𝑛𝑖 → 16,5 𝑥 3 = 49,5 5 𝑝𝑒𝑛𝑔ℎ𝑢𝑛𝑖 → 6,7 𝑥 5 = 33,5 ∴ [𝐵] 15. Kombinasi mana yang paling menguasai lebih dari 50% jenis rumah berdasarkan jumlah hunian dari grafik yang diberikan? a. Rumah dengan 2 dan 3 penghuni b. Rumah dengan 3 dan 4 penghuni c. Rumah dengan 4 dan 5 penghuni d. Rumah dengan 5 dan 6 penghuni e. Rumah dengan 6 dan 7 penghuni 𝐶𝑢𝑘𝑢𝑝 𝑗𝑒𝑙𝑎𝑠, ∴ [𝐴]



Kitab Numerik



Modul 14: Soal Cerita If you noticed, mulai dari modul



kecepatan salah satunya 2 km/h



ini, aku ganti alih font dari yang



lebih cepat dari yang lain dan



biasanya pakai Cambria Math,



setelah 3 jam mereka terpisah



sekarang memakai seri dari Latin



sejau 30 km, berapa kecepatan



Modern seperti format yang



orang yang berlari kecil lebih



digunakan dalam LATEX!



cepat?



Di bab ini, aku ngambil soalsoalnya dari SAT. Nanti, di bagian “Soal Cerita 2”, soal-soalnya bakal aku ambil dari GRE. 1. Abdul berlari kecil dari titik X ke titik Y. Setengah jam kemudian, Budi berlari kecil dengan kecepatan 1 km/h lebih lambat daripada dua kali kecepatan Abdul dengan arah yang sama: dari X menuju Y. Apabila Budi menyusul Abdul dalam 2 jam, berapa km yang Budi telah susuri? a. 2



a. 3 km/h b. 4 km/h c. 5 km/h d. 6 km/h e. 7 km/h 𝑘𝑚 𝑘𝑒 𝑘𝑖𝑟𝑖 ℎ 𝑘𝑚 𝐵 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑗𝑢 𝑣 𝑘𝑒 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 ℎ 30 = (𝑣 + 2)(3) + 𝑣(3) 30 = 3𝑣 + 6 + 3𝑣 6𝑣 = 24 𝑣=4 𝑣+2=6 ∴ [𝐷] 3. Pukul 1 siang, kapal A berangkat 𝐴 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑗𝑢 𝑣 + 2



dari pelabuhan ke arah barat



b. 3



dengan kecepatan 𝑥



c. 4 d. 6 e. 6



. Dua jam



kemudian, kapal B dengan jarak awal 100 km dari selatan 𝑘𝑚 𝐴𝑏𝑑𝑢𝑙 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑗𝑢 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑣 ℎ 𝑘𝑚 𝐵𝑢𝑑𝑖 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑗𝑢 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 (2𝑣 − 1) ℎ 𝑠 =𝑠 1 𝑣 𝑡+ = (2𝑣 − 1)(𝑡) 2 𝑡 = 2 𝑗𝑎𝑚 5 𝑣 = (2𝑣 − 1)(2) 2 5 𝑣 = 4𝑣 − 2 2 3 4 𝑘𝑚 𝑣=2→𝑣= 2 3 ℎ 4 𝑠 = 2 × − 1 (2) 3 10 1 𝑠 = =3 3 3 ∴ [𝐵]



2. Dua orang berlari kecil dari titik yang sama namun dengan arah yang berlawanan. Apabila



Kitab Numerik



pelabuhan melaju ke arah utara dengan kecepatan 𝑦



. Pada pukul



5 sore, seberapa jauh jarak kedua kapal? a.



(4𝑥) + (100 + 2𝑦)



b. 𝑥 + 𝑦 c. 𝑥 +𝑦 d.



(4𝑥) + (2𝑦)



e.



(4𝑥) + (100 − 2𝑦) 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑔𝑎𝑛!



𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 =



(4𝑥) + (100 − 2𝑦) ∴ [𝐸]



Modul 14: Soal Cerita 4. Dani dapat memotong rumput



b. 8 tahun



halaman rumahnya dalam 30



c. 10 tahun



menit. Dengan bantuan adiknya,



d. 20 tahun



mereka dapat memotong rumput halaman rumahnya dalam 20 menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkan adiknya untuk memotong rumput halaman rumahnya, sendiri? a.



jam



b.



jam



c. 1 jam d.



jam



e. 2 jam 1 1 1 = + 20 30 𝑡 1 1 = 𝑡 60 60 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 = 1 𝑗𝑎𝑚 ∴ [𝐶] 5. Berapa gram larutan 30% garam yang harus ditambahkan kepada 50 gram larutan 10% garam agar campurannya memiliki sifat 20% garam? a. 20 b. 30 c. 40 d. 50 e. 60 𝑥 𝑔𝑟 𝑙𝑎𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛 → 0,3𝑥 𝑔𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 50 𝑔𝑟 𝑙𝑎𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛 → 5 𝑔𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 0,3𝑥 + 5 2 = 50 + 𝑥 10 3𝑥 + 50 = 100 + 2𝑥 𝑥 = 50 ∴ [𝐷] 6. Joni berusia 20 tahun lebih tua daripada Jono. Dalam 10 tahun, usia Jono akan menjadi setengah dari usia Joni. Berapakah umur Jono? a. 2 tahun



Kitab Numerik



e. 25 tahun 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑢𝑚𝑢𝑟 𝐽𝑜𝑛𝑖 = 𝑥 𝑈𝑚𝑢𝑟 𝐽𝑜𝑛𝑜 = 𝑦 𝑥 = 20 + 𝑦 1 𝑦 + 10 = (𝑥 + 10) 2 𝑥 + 10 = 2𝑦 + 20 2𝑦 + 10 = 20 + 𝑦 𝑦 = 10 ∴ [𝐶] 7. Tabungan total sebesar $1200 ditabungkan ke dua rekening yang berbeda selama 1 tahun. Satu rekening berbunga 5% dan satu rekening berbunga 7%. Apabila besar bunga totalnya adalah $72, berapa nominal uang yang ditabungkan dalam rekening berbunga 5%? a. $410 b. $520 c. $600 d. $650 e. $760 𝑇𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑖 5% = 𝑥 𝑇𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑖 7% = 1200 − 𝑥 5𝑥% + 7(1200 − 𝑥)% = 72 5𝑥 + 8400 − 7𝑥 = 7200 2𝑥 = 1200 𝑥 = $600 ∴ [𝐶] 8. Kereta X meninggalkan New York pada pukul 10.00 pagi dan pergi ke arah timur dengan kecepatan tetap 𝑥 km/h. Apabila kereta lain, Y, meninggalkan New York pada pukul 11.30 pagi dengan arah yang sama dengan kecepatan



km/h,



pada pukul berapa kereta Y akan menyusul kereta X? a. 2.00 siang



Modul 14: Soal Cerita b. 3.00 siang c. 3.30 siang d. 4.00 sore e. 8.00 malam 𝑥 𝑡+



3 4 = 𝑥(𝑡) 2 3 1 3 𝑡= 3 2



9 𝑗𝑎𝑚 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑌 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 2 11.30 + 4 𝑗𝑎𝑚 30 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 4 𝑠𝑜𝑟𝑒 ∴ [𝐷] 9. Seorang kakek memberikan koin 𝑡=



emasnya kepada dua anaknya dalam jumlah yang berbeda di mana selisih dari kuadrat kedua jumlahnya bernilai 36 kali selisih kedua jumlahnya. Berapa jumlah koin emas yang dimiliki kakek



11. Seorang pria berjalan dengan kecepatan 10 km/h. Setiap 10 km, ia beristirahat selama 6 menit. Berapa menitkah yang dibutuhkannya untuk berjalan 50 km? a. 300 b. 318 c. 322 d. 324 e. 330 𝐵𝑒𝑟𝑗𝑎𝑙𝑎𝑛 50 𝑘𝑚, 𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟𝑎ℎ𝑎𝑡 4 𝑘𝑎𝑙𝑖 = +24 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 50 𝑘𝑚 → 5 𝑗𝑎𝑚 5 𝑗𝑎𝑚 24 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡, 324 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡. ∴ [𝐷] 12. Sebuah proyek memiliki 3 masalah.



tersebut? a. 24 b. 26 c. 30 d. 36 e. 40 𝑎 − 𝑏 = 36(𝑎 − 𝑏) 𝑎 + 𝑏 = 36 ∴ [𝐷] 10. Patrick membeli 80 pensil dan menjual semuanya. Kerugian total yang ia dapat nilainya sama dengan harga jual 20 pensil tersebut. Maka, harga beli 80 pensil bernilai … kali dari harga jual 80 pensil.



Tiga tim dibuat untuk menyelesaikan masing-masing masalah. Aldo dipercaya untuk menjadi anggota semua tim tersebut. Selain Aldo, setiap orang hanya dipasangkan ke tepat 1 tim saja. Apabila setiap tim beranggotakan 6 orang, berapa jumlah total semua ilmuwan (orang)?



a. 0,75



a. 10



b. 0,8



b. 12



c. 1



c. 14



d. 1,2



d. 15



e. 1,25



e. 16 𝑏 = ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖 𝑗 = ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑗𝑢𝑎𝑙



Kitab Numerik



𝐾𝑒𝑟𝑢𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑒𝑛𝑠𝑖𝑙: 𝑏 − 𝑗 𝐾𝑒𝑟𝑢𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 80(𝑏 − 𝑗) = 20𝑗 80𝑏 − 80𝑗 = 20𝑗 8 100𝑗 = 80𝑏 → 𝑗 = 𝑏 10 10 𝑏= 𝑗 8 ∴ [𝐸]



𝑇𝑖𝑚 1: 𝐴𝑙𝑑𝑜 + 5 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑇𝑖𝑚 2: 𝐴𝑙𝑑𝑜 + 5 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔



Modul 14: Soal Cerita 𝑇𝑖𝑚 3: 𝐴𝑙𝑑𝑜 + 5 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 → 𝐴𝑙𝑑𝑜 + 15 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 16 ∴ [𝐸] 13. Sebuah kapal mengalami kecelakaan. Apabila jumlah air yang masuk sebanyak 120 ton, kapal akan benar-benar tenggelam. Air masuk dengan laju 2 ton per menit dan pompa dalam kapar dapat mengeluarkan air dengan laju 1,75 ton per menit. Berapa menit lagi waktu yang dimiliki kapal sebelum kapal tersebut tenggelam? a. 480



𝑚 𝑥+4 = 6 𝑚 𝑥 10 6 (𝑥 + 4) = 𝑥 10 6𝑥 + 24 = 10𝑥 4𝑥 = 24 → 𝑥 = 6 𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑎𝑠𝑎𝑟: $12 → 6 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 $24 → 12 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 ∴ [𝐵] 15. Seseorang memiliki $42. Ia membeli 50 buah mangga dan 30 buah jeruk dengan seluruh uangnya. Lalu, ia menukarkan 6 buah mangga dengan 9 buah jeruk karena harga untuk 6 buah mangga sama dengan harga 9 buah



b. 560



jeruk. Berapakah harga setiap



c. 620



mangga?



d. 680



a. $0,4



e. 720



b. $0,45



𝐴𝑖𝑟 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘, (2 − 1,75) 𝑡𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 0,25 𝑡𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡. 120 𝑡𝑜𝑛 = 0,25 𝑥 𝑥 = 120 × 4 = 480 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 14. Ketika harga buah jeruk diturunkan sebesar 40%, dengan menggunakan uang $12, akan didapat 4 buah jeruk lebih banyak daripada harga biasanya. Berapa banyak jeruk yang dapat dibeli menggunakan $24 ketika harga jeruk merupakan harga dasarnya? a. 8 b. 12 c. 16 d. 20



c. $0,5 d. $0,55 e. $0,6 𝑥 = $ 𝑝𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑦 = $ 𝑝𝑒𝑟 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 6𝑥 = 9𝑦 6 2 𝑦= 𝑥= 𝑥 9 3 𝐷𝑖 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟, 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑚𝑎𝑛𝑔𝑔𝑎 = 44 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 = 39 2 42 = 44 × 𝑥 + 39 × 𝑥 3 42 = 44𝑥 + 26𝑥 42 = 70𝑥 42 6 𝑥= = 70 10 ∴ [𝐸] 16. Pendapatan tahunan Pak Furqon di tahun 1966 dan 1967, masing-



e. 24 𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 𝑚 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 1 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 ∝ 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ



masing adalah 𝑥 dolar. Rata-rata pendapatan tahunannya dari tahun 1968, 1969, sampai dengan 1970 adalah 𝑦 dolar. Berapakah ratarata pendapatan tahunannya



Kitab Numerik



Modul 14: Soal Cerita dalam selang tahun 1966 sampai dengan 1970? a.



+



b.



inci dipotong menjadi 3 bagian yang panjangnya berbeda-beda.



+



Bagian terpanjang 3 kali panjang



c. 5(𝑥 + 𝑦) d. + e.



∴ [𝐴] 19. Seutas benang dengan panjang 35



bagian terpendek. Mana yang dapat merupakan panjang bagian



+



𝑥 + 𝑥 + 3𝑦 2𝑥 3𝑦 = + 5 5 5 ∴ [𝐴] 17. Selang A dapat mengisi tandon dalam 5 menit, dan selang B dapat mengisi tandon yang sama dalam 6 menit. Berapa tandon yang dapat diisi oleh selang B dalam waktu yang sama, apabila waktu yang dimaksud adalah waktu yang dibutuhkan selang A untuk mengisi 6 buah tandon? a. 3 b. 4 c. 5 d. 5,5 e. 6 𝐴: 5 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜𝑛 6 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜𝑛 → 30 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝐵: 6 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜𝑛 30 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 → 5 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜𝑛 ∴ [𝐶] 18. Harga saham A dan B masingmasing merupakan bilangan bulat positif. Apabila harga 4 saham A dan 5 saham B adalah $27, berapa harga 2 saham A dan 3 saham B dalam dolar?



tengah potongan tersebu? a. 5 inci b. 7 inci c. 10 inci d. 16 inci e. 20 inci 35 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 = 3𝑐 → 𝑏 = 35 − 4𝑐 𝑐 < 𝑏 < 3𝑐 𝑐 < 35 − 4𝑐 < 3𝑐 5𝑐 < 35 → 𝑐 < 7 35 < 7𝑐 → 𝑐 > 5 5 < 𝑐 < 7 → 𝑘𝑎𝑙𝑖 4 20 < 4𝑐 < 28 → 𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 −28 < −4𝑐 < −20 → +35 7 < 𝑏 < 15 ∴ [𝐶] 20. Suatu hari, Bu Yeni berangkat telat 30 menit dari rumah sehingga mencapai sekolah 50 menit lebih telat, karena jalanannya macet, beliau mengemudi 25% lebih lambat dari biasanya hari itu. Berapa menit biasanya waktu yang dibutuhkan Bu Yeni untuk mencapai sekolah? a. 20 b. 40 c. 60



a. 15



d. 80



b. 24



e. 100



c. 35 d. 42 e. 55 4𝑥 + 5𝑦 = 27 (12, 15) → 𝑥 = 3 𝑦 = 3 2(3) + 3(3) = 15$



Kitab Numerik



𝐷𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑝𝑒𝑟𝑗𝑎𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛, 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑙𝑎𝑚𝑎 20 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑖𝑎𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎. 𝑠 = 𝑣𝑡 = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑟𝑢𝑚𝑎ℎ → 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎ℎ 𝑣 𝑡 =𝑣 𝑡 𝑡 = 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙



Modul 14: Soal Cerita 75 𝑣 × (𝑡 + 20) = 𝑣𝑡 100 3 𝑡 + 15 = 𝑡 4 1 𝑡 = 15 → 𝑡 = 60 4 ∴ [𝐶]



Kitab Numerik



Modul 15: Soal Cerita 2 Welcome ke Soal Cerita bagian 2! Soalsoal disini diambil dari GRE, bukan dari SAT. 1. Kereta mempunyai harga tiket $6 untuk anak-anak dan $9 untuk orang dewasa. Harga total tiket kereta untuk 6 orang penumpang hari itu di antara $44 dan $50. A Banyaknya anak-anak a. A > B



B Banyaknya orang dewasa



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memilih salah satu dari ketiga jawaban di atas



“beli 6 kopi, dapat 1 gratis” dan toko kopi B menawarkan promo “diskon 15% untuk semua kopi apabila memesan ≥ 6 kopi”. Pada kedua toko, harganya sama, yaitu 1 kopi = $2,60



Kitab Numerik



kopi di toko kopi B



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memilih salah satu dari ketiga jawaban di atas 𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑘𝑜 𝑘𝑜𝑝𝑖 𝐴 = 6 𝑘𝑜𝑝𝑖 = 6 × 2,6 = $15,6 𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑘𝑜 𝑘𝑜𝑝𝑖 𝐵 = 7 𝑘𝑜𝑝𝑖, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑘𝑜𝑝𝑖 85 × 2,6 = $2,21 100 7 × 2,21 = $15,47 𝐴>𝐵 ∴ [𝐴] 3. Sebuah roda sepeda memiliki jarijari yang berasal dari titik tengah



𝑥 = 𝑎𝑛𝑎𝑘 − 𝑎𝑛𝑎𝑘 𝑦 = 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑤𝑎𝑠𝑎 44 < 6𝑥 + 9𝑦 < 50 𝑥+𝑦 =6 6𝑥 + 6𝑦 = 36 44 < 6𝑥 + 6𝑦 + 3𝑦 < 50 44 < 36 + 3𝑦 < 50 8 < 3𝑦 < 14 8 14 𝐴 𝐴𝑑𝑎 𝑑𝑢𝑎 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛𝑎𝑛, ∴ [𝐷] 2. Toko kopi A menawarkan promo



A Total harga pembelian 7



kopi di toko kopi A a. A > B



B Total harga pembelian 7



roda ke titik-titik yang berada di ujung roda. Semua titik-titik tersebut berjarak sama besar. Apabila jumlah jari-jari lebih kecil dari 6, berapa sudut terkecil yang memungkinkan antara dua jari-jari terdekat? a. 18o b. 30o c. 40o d. 60o e. 72o 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖: 360 𝑛 𝑛 𝑛 6 360 360 > 𝑛 6 360 > 60 𝑛 ∴ [𝐸] 4. Bilangan k, l, dan m adalah bilangan genap berurutan di



Modul 15: Soal Cerita 2 antara 23 dan 33. Mana yang



sit-up, dan berlari 1 mil dalam 10



merupakan nilai yang mungkin



menit. Budi mendapat nilai yang



yang melambangkan rata-rata



sama dengan Abdul, hanya saja



aritmatika dari k, l, dan m?



jumlah push-upnya 4 lebih banyak



a. 24



dan ia berlari 1 mil dalam 12



b. 25



menit. Berapa banyak sit-up yang



c. 25,5



dilakukan oleh Budi?



d. 28



a. 16



e. 32



b. 19



𝑘+𝑙+𝑚 𝑘+𝑘+2+𝑘+4 = 3𝑘 + 6 𝑘 ≥ 24 𝑑𝑎𝑛 𝑚 ≤ 32 𝑘 + 4 ≤ 32 𝑘 ≤ 28 24 ≤ 𝑘 ≤ 28 72 ≤ 3𝑘 ≤ 84 78 ≤ 3𝑘 + 6 ≤ 90 → 𝑏𝑎𝑔𝑖 3 26 ≤ 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 ≤ 30 ∴ [𝐷] 5. Kebalikan dari bilangan bulat negatif x lebih besar dari penjumlahan bilangan y dan z. Mana yang pasti benar? a. 𝑥 > 𝑦 + 𝑧 b. y dan z bilangan positif c. 1 > 𝑥(𝑦 + 𝑧) d. 1 < 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 e. >𝑧−𝑦 1 >𝑦+𝑧 𝑥 𝑥 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑦 + 𝑧 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 × 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 ∴ [𝐷] 6. Dalam suatu tes kebugaran, nilai dihitung dengan suatu fungsi 2𝑝𝑠 − 45𝑚 di mana p dan s adalah jumlah push-up dan sit-up yang dapat dilakukan setiap menit dan m adalah lama waktu yang dibutuhkan untuk lari 1 mil. Abdul berhasil melakukan 21 push-up, 30



Kitab Numerik



c. 25 d. 27 e. 35 𝐴𝑏𝑑𝑢𝑙: 2(21)(30) − 45(10) = 810 𝐵𝑢𝑑𝑖: 2(25)(𝑠) − 45(12) = 810 50𝑠 = 1350 𝑠 = 27 ∴ [𝐷] 7. Di toko A, dari jumlah apelnya berwarna merah. Di toko B, yang memiliki jumlah apel 2 kali lebih banyak dari toko A, 0,375 dari jumlah apelnya berwarna merah. A Banyak apel merah di toko A a. A > B



B Banyak apel merah di toko B



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memilih salah satu dari ketiga jawaban di atas 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑝𝑒𝑙 𝑑𝑖 𝑡𝑜𝑘𝑜 𝐴 = 𝑥 3 𝐴𝑝𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ𝑛𝑦𝑎, 𝑥 4 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑝𝑒𝑙 𝑑𝑖 𝑡𝑜𝑘𝑜 𝐵 = 2𝑥 𝐴𝑝𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ𝑛𝑦𝑎, 0,375 × 2𝑥 = 0,75𝑥 𝐴=𝐵 ∴ [𝐶]



Modul 15: Soal Cerita 2 8. Apabila gaji Ken 20% lebih besar,



abc yang memungkinkan agar



nilai gaji tersebut akan menjadi



&𝑎𝑏𝑐& menghasilkan bilangan



20% lebih sedikit dari gaji Lorena.



prima?



Apabila gaji Lorena $60.000,



a. 0



berapa gaji Ken?



b. 1



a. $36.000



c. 2



b. $40.000



d. 3



c. $42.500



e. 9



d. $42.850 e. $45.000 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑗𝑖 𝐾𝑒𝑛 = 𝑥 120 80 𝑥= 60.000 100 100 2 𝑥 = × 60.000 3 = $40.000 ∴ [𝐵] 9. Aku meminjam $450 dengan bunga 0%. Aku mengembalikan 0.5% dari total pinjaman tersebut setiap 7 hari, dimulai tepat 7 hari setelah aku meminjam uang tersebut. Sekarang, total uang yang sudah dikembalikan Aku sebesar $18, dengan bayaran terbaru dibayarkan hari ini. Berapa hari yang lalu Aku meminjam uang? a. 6 b. 8 c. 25 d. 42 e. 56 0,5 × 450 = $2,25 100 $18 = $2,25 × 𝑛 𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑛 = 8 𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑦𝑎𝑟𝑎𝑛 𝐷𝑖𝑏𝑎𝑦𝑎𝑟 𝑡𝑖𝑎𝑝 7 ℎ𝑎𝑟𝑖 8 × 7 = 56 ∴ [𝐸] 10. abc adalah bilangan 3 digit di mana a adalah digit ratusan, b adalah digit puuhan, dan c adalah digit satuan. Misalkan &𝑎𝑏𝑐& = (2 )(3 )(5 ). Ada berapa kombinasi



Kitab Numerik



𝑎 > 0 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 3 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎𝑏𝑐 = 100 &𝑎𝑏𝑐& = 2 → 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎𝑏𝑐 > 100, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑘𝑎𝑙𝑖 2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑖𝑛 (𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎) ∴ [𝐵] 11. Apabila 125 × 48 diekspresikan dalam suatu bilangan bulat, ada berapa bilangan 0 berurutan dihitung dari sebelah kiri titik desimal bilangan tersebut? a. 22 b. 32 c. 42 d. 50 e. 112 125 = 125 × 125 125 × 125 × 48 125 × (6.000) 125 × (6 × 10 ) 125 × 6 × 6 × 10 (750) × 6 × 10 75 × 6 × 10 (450) × 75 × 10 45 × 75 × 10 ∴ [𝐵] 12. Disajikan tabel berikut: A Sisa ketika 10 dibagi 2 a. A > B



B Sisa ketika 3 dibagi 3



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memilih salah



Modul 15: Soal Cerita 2 satu dari ketiga jawaban di atas 10 = 2 × 5 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 2. 3 =3×3 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 3. ∴ [𝐶] 13. Di era modern, populasi global meningkat sebanyak 1 miliar orang setiap 13 tahun (aproksimasi). Apabila laju tersebut bertahan terus sampai sekarang, berapa lama waktu yang dibutuhkan agar populasi global meningkat jadi 2 kali populasi global sekarang? (populasi global sekarang = 7 miliar orang) a. 26 tahun b. 52 tahun c. 91 tahun d. 104 tahun e. 169 tahun 𝐵𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ 7 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟 13 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 7 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟 × = 91 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 1 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟 ∴ [𝐶] 14. Cindy membeli 48 soda, dengan komposisi soda 12 ons (kaleng) atau soda 20 ons (botol). Apabila jumlah ons yang kaleng yang ia beli sama dengan jumlah ons botol, berapa botol soda yang dibeli Cindy? a. 18 b. 21 c. 24 d. 27 e. 30 𝑥 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑜𝑑𝑎 𝑘𝑎𝑙𝑒𝑛𝑔 𝑦 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑜𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑡𝑜𝑙 𝑥 + 𝑦 = 48 12𝑥 = 20𝑦 20 5 𝑥= 𝑦= 𝑦 12 3



Kitab Numerik



5 𝑦 + 𝑦 = 48 3



8 𝑦 = 48 → 𝑦 = 18 3 ∴ [𝐴] 15. Lou memiliki tiga orang putri: Wen, Mildred, dan Tyla. 3 tahun yang lalu, ketika umur Lou 2 kali umur Tyla, ia 30 tahun lebih tua dari Mildred. Sekarang, Lou 47 tahun lebih tua dari Wen. Dalam 4 tahun, umur Wen setengahnya umur Tyla. Berapa jumlah umur Lou, Wen, Mildred, dan Tyla? a. 138 b. 144 c. 154 d. 166 e. 181 3 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑙𝑢: (𝐿 − 3) = 2(𝑇 − 3) 𝐿 − 3 = 2𝑇 − 6 𝐿 = 2𝑇 − 3 2𝑇 = 𝐿 + 3 𝐿 3 𝑇 = + 2 2 (𝐿 − 3) = (𝑀 − 3) + 30 𝐿 = 𝑀 + 30 𝑆𝑒𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔: 𝐿 = 𝑊 + 47 𝑊 = 𝐿 − 47 𝐷𝑎𝑙𝑎𝑚 4 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛: 1 (𝑊 + 4) = (𝑇 + 4) 2 𝐿 3 2(𝐿 − 47 + 4) = + +4 2 2 𝐿 3 2𝐿 − 86 = + + 4 2 2 3 183 𝐿= 2 2 𝐿 = 61 𝑇 = 32 𝑊 = 14 𝑀 = 31 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 138 ∴ [𝐴]



Modul 15: Soal Cerita 2 16. Rob dan Sue berlari pada sirkuit berupa bundaran dengan keliling 10 mil. Mereka berlari dari titik yang sama dengan arah yang sama. Sue berlari dengan kecepatan konstan 8 mil per jam dan Rob berlari dengan kecepatan konstan 6 mil per jam. Dalam berapa Sue akan tepat memiliki total keliling 1 lap ‘putaran’ lebih banyak dari Rob? a. 3



e. 3 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 1 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛: 𝑆𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 → 4 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡, 𝐷𝑒𝑙𝑢𝑥𝑒 → 2 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 1 1 1 1+2 3 = + = = 𝑡 4 2 4 4 4 𝑡 = 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 1 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛 3 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 135 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛, 4 × 135 = 180 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 3 = 3 𝑗𝑎𝑚 ∴ [𝐸] 18. 12 pegawai dapat mengepak boks dalam kecepatan 60 boks tiap 9



b. 4



menit. Berapa menit yang



c. 5



dibutuhkan 27 pegawai untuk



d. 6



mengepak 180 boks, dengan asumsi



e. 7 1 𝑙𝑎𝑝 = 10 𝑚𝑖𝑙



cepat kerja semua pegawai sama?



8 𝑙𝑎𝑝 𝑝𝑒𝑟 𝑗𝑎𝑚 10 6 6 𝑚𝑖𝑙 𝑝𝑒𝑟 𝑗𝑎𝑚 → 1 𝑙𝑎𝑝 𝑝𝑒𝑟 𝑗𝑎𝑚 10



a. 12



𝑠 = 𝑣𝑡 𝑠 =𝑠 +1 8 6 𝑡 = 𝑡+1 10 10 2 𝑡=1 10 10 𝑡= = 5 𝑗𝑎𝑚 2 ∴ [𝐶] 17. Mesin standar dapat mengisi



d. 15



8 𝑚𝑖𝑙 𝑝𝑒𝑟 𝑗𝑎𝑚 →



kaleng cat dengna kecepatan 1 galon setiap 4 menit. Mesin deluxe dapat mengisi kaleng cat dengan kecepatan 2 kali lebih cepat daripada mesin standar. Berapa jam yang dibutuhkan mesin cat standar dan mesin cat deluxe untuk mengisi 135 galon cat, apabila bekerja bersama-sama? a. 1 b. 1,5 c. 2 d. 2,5



Kitab Numerik



b. 13 c. 14 e. 16 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 12 𝑝𝑒𝑔𝑎𝑤𝑎𝑖: 60 𝑏𝑜𝑘𝑠 𝑝𝑒𝑟 9 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 27 𝑝𝑒𝑔𝑎𝑤𝑎𝑖: 27 × 60 𝑏𝑜𝑘𝑠 𝑝𝑒𝑟 9 12 135 𝑏𝑜𝑘𝑠 𝑝𝑒𝑟 9 180 180 𝑏𝑜𝑘𝑠 𝑝𝑒𝑟 9 × 135 12



𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡



𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 ∴ [𝐴] 19. Rachel dapat membuat 1 brosur tiap 10 menit dan Terry dapat membaut 1 brosur tiap 8 menit. A Menit yang dibutuhkan apabila Rachel dan Terry bersama-sama membuat 9 brosur a. A > B



B 40



Modul 15: Soal Cerita 2 b. B > A



48 = 60 ℎ𝑎𝑟𝑖 32 60 4 𝑐ℎ𝑒𝑓 → = 15 ℎ𝑎𝑟𝑖 4 ∴ [𝐶] 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛: 1 𝑐ℎ𝑒𝑓 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡: 80 𝑘𝑢𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑡 𝑝𝑒𝑟 ℎ𝑎𝑟𝑖. 𝐾𝑢𝑒 𝑊𝑎𝑘𝑡𝑢 𝐾𝑢𝑒 = 𝐶ℎ𝑒𝑓 × × 𝑊𝑎𝑘𝑡𝑢 𝐶ℎ𝑒𝑓 3600 = 𝑥 × 80 × 3 𝑥 = 15 → 𝐴 = 15 4800 = 4 × 80 × 𝑡 𝑡 = 15 → 𝐵 = 15 ∴ [𝐶] 4800 𝑘𝑢𝑒 → 40 ×



c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memilih salah satu dari ketiga jawaban di atas 𝐵𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎, 1 1 1 + = 10 8 𝑡 4+5 1 = 40 𝑡



40 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑒𝑟 𝑏𝑟𝑜𝑠𝑢𝑟 9 9 𝑏𝑟𝑜𝑠𝑢𝑟 → 40 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 ∴ [𝐶] 20. Sebuah tim yang terdiri dari 8 koki 𝑡=



dapat membuat 3.200 kue tart dalam 5 hari. A Jumlah chef yang dibutuhkan untuk membuat 3.600 kue tart dalam 3 hari a. A > B



B Jumlah hari yang dibutuhkan 4 chef untuk membuat 4.800 kue tart



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memilih salah satu dari ketiga jawaban di atas 𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑠𝑎𝑟 3200 𝑘𝑢𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑡: 8 𝑐ℎ𝑒𝑓 → 5 ℎ𝑎𝑟𝑖 1 𝑐ℎ𝑒𝑓 → 40 ℎ𝑎𝑟𝑖 1 𝑐ℎ𝑒𝑓 → 40 ℎ𝑎𝑟𝑖 → 3200 𝑘𝑢𝑒 36 3600 𝑘𝑢𝑒 → 40 × = 45 ℎ𝑎𝑟𝑖 32 𝑖𝑛𝑔𝑖𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 3 ℎ𝑎𝑟𝑖 1 𝑐ℎ𝑒𝑓 → 45 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝑥 𝑐ℎ𝑒𝑓 → 3 ℎ𝑎𝑟𝑖 45 𝑥=1× = 15 𝑐ℎ𝑒𝑓 3 𝑃𝑒𝑟 𝑐ℎ𝑒𝑓,



Kitab Numerik



Modul 16: Barisan dan Deret Selamat datang di modul 16! Di modul ini, 10 soal pertama adalah soal teoretis mengenai barisan dan deret. Selebihnya adalah model-model soal TPA. Untuk lebih lengkapnya, Soal-soal melanjutkan barisan yang dicantumkan di sini tidak ditemukan di folder NTSE, kok.



) − 4 untuk setiap bilangan



bulat 𝑛 ≥ 2. Apabila 𝑆 = 6, a. -20 b. 16 c. 20 d. 24 e. 36 𝑆 = 2𝑆 − 4 = 12 − 4 = 8 𝑆 = 2𝑆 − 4 = 16 − 4 = 12 𝑆 = 2𝑆 − 4 = 24 − 4 = 20 𝑆 = 2𝑆 − 4 = 40 − 4 = 36 ∴ [𝐸] 2. Suku ke-n pada barisan S −



−



+



− 3 untuk setiap bilangan



bulat 𝑛 ≥ 3. Apabila 𝑆 = 5 dan 𝑆 = 0, berapakah nilai dari 𝑆 ? a. -6 b. -5 c. -3 d. -1 e. 1 𝑆 =𝑆 +𝑆 −3=2 𝑆 = 𝑆 + 𝑆 − 3 = −1 𝑆 = 𝑆 + 𝑆 − 3 = −2 𝑆 = 𝑆 + 𝑆 − 3 = −6



Kitab Numerik



sebelumnya. Suku ke-2 dari barisan 84. Berapakah suku pertama barisan ini? a. 20



d. 12 e. 8 𝑈 = 𝑎 + 4𝑏 = 84 𝑈 = 𝑎 + 𝑏 = 27 3𝑏 = 57 𝑏 = 19 𝑎 + 19 = 27 → 𝑎 = 8 ∴ [𝐸] 4. Dalam suatu barisan, suku 𝑎



berapakah nilai dari 𝑆 ?



𝑆



suatu konstanta kepada suku



c. 13



didefinisikan sebagai 𝑆 =



didefiniskan sebagai 𝑆 = 𝑆



didapat dengan cara menambah



b. 15



1. Suku ke-n pada barisan S −



3. Tiap suku pada suatu barisan



ini adalah 27 dan suku ke-5 adalah



silahkan cek folder NTSE! Oh, iya.



2(𝑆



∴ [𝐴]



didefiniskan dengan rumus 𝑎 = 2×𝑎



−



untuk setiap 𝑛 ≥ 2.



Apabila 𝑎 = 1, berapakah selisih dari jumlah 10 suku pertama dengan jumlah suku ke-11 dan suku ke-12 barisan tersebut? a. 1 b. 1.024 c. 1.025 d. 2.048 e. 2.049 𝑎 =1 𝑎 =2×1=2 𝑎 =2×2=4 𝑎 = 2 − ,𝑛 ≥ 2 𝐵𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖. 𝑎(𝑟 − 1) 2 − 1 𝑆 = = 𝑟−1 2−1 𝑈 =2 𝑈 =2 𝑆𝑒𝑙𝑖𝑠𝑖ℎ → (2 + 2 − 2 + 1) = 2.049 ∴ [𝐸]



Modul 16: Barisan dan Deret 5. Dalam suatu barisan 𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 , dirumuskan 𝑎



+



𝑎 + (𝑎 + 10) + (𝑎 + 20) + (𝑎 + 30) = 4𝑎 + 60



= 2𝑎 . Apabila



𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 3 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟:



𝑎 − 𝑎 = 96, berapakah nilai 𝑎 ? a. 48



(𝑎 + 40) + (𝑎 + 50) + (𝑎 + 60) = 3𝑎 + 150



b. 96



4𝑎 + 60 = 3𝑎 + 150



c. 98



𝑎 = 90 ∴ [𝐴] 8. Diberikan barisan 𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 .



d. 192 e. 198 𝑎 = 96 + 𝑎 1 𝑎 = 2𝑎 → 𝑎 = 𝑎 2 1 𝑎 = 96 → 𝑎 = 192 2 ∴ [𝐷] 6. Dalam suatu barisan aritmatika, jumlah dari 𝑛 suku pertama adalah



Apabila setiap suku di barisannya (kecuali suku pertama dan terakhir) adalah rata-rata dari dua suku yang mengapitnya, dan 𝑎 = 1 serta 𝑎 = 3, tentukan 𝑎 ! a. b. 1



31, dan jumlah dari 𝑛 − 1 suku



c.



pertama adalah 20. Berapakah



d. 2 e.



nilai dari suku ke 𝑛 dalam barisan tersebut? a. 9 b. 11 c. 20 d. 31 e. 51 𝑆 −𝑆



− = 𝑈 𝑈 = 11 ∴ [𝐵] 7. Sebuah pekerja direkrut selama 7



hari. Setiap hari, bayarannya bertambah $10 dari yang ia dapat di hari sebelumnya. Total gaji 4 hari pertamanya sama dengan total gaji 3 hari terakhirnya. Berapa gaji pertamanya? a. $90



1, 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , 3 𝑎 +1 𝑎 = 2 3+𝑎 𝑎 = 2 (𝑎 + 𝑎 ) 𝑎 = 2 2𝑎 + 4 𝑎 = 4 4𝑎 = 2𝑎 + 4 2𝑎 = 4 → 𝑎 = 2 ∴ [𝐷] 9. Sebuah barisan terdiri atas 𝑎, 𝑎𝑟, dan 𝑎𝑟 . Suku pertama bernilai dua kali suku kedua. Berapa perbandingan antara jumlah kedua suku pertama dengan jumlah kedua suku terakhir barisan tersebut? a. 1 : 1



b. $138



b. 1 : 2



c. $153



c. 1 : 4



d. $160



d. 2 : 1



e. $163 𝐺𝑎𝑗𝑖 𝑎𝑤𝑎𝑙 = 𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ $10 𝑡𝑖𝑎𝑝 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 4 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎:



Kitab Numerik



e. 4 : 1 𝑎 = 2𝑎𝑟 → 𝑟 =



1 2



Modul 16: Barisan dan Deret 1 1 𝑎, 𝑎, 𝑎 2 4 1 3 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 (𝑖) 2 2 1 1 3 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 (𝑖𝑖) 2 4 4 (𝑖): (𝑖𝑖) = 2: 1 ∴ [𝐷] 10. Suku ke n, 𝑎 , didefinisikan oleh (𝑎



−



− 1) . Apabila 𝑎 = 64,



berapakah nilai dari 𝑎 ? a. 2 b. 3 c. -7 d. 9 dan -7 e. 9



𝑥=2 ∴ [𝐵] 13. 𝑎, 𝑏, 𝑑, ? , 𝑝 a. h b. i c. j d. k e. l 𝑎 → 𝑏 𝑏𝑒𝑟𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 1 𝑏 → 𝑑 𝑏𝑒𝑟𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 2 𝑑 → ? 𝑏𝑒𝑟𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 4 ? → 𝑝 𝑏𝑒𝑟𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 8 𝑝 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘: ℎ [𝐴] 14. Dari barisan berikut, ada satu angka yang tidak mengikuti pola.



64 = (𝑎 − 1) ±8 = 𝑎 − 1 𝑎 = 9 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎 = −7 𝑎 = (𝑎 − 1) 𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 ∴ [𝐸]



Carilah angka tersebut! 9, 23, 51, 106, 219 a. 9 b. 23 c. 51 d. 106



Di bagian ini, cukup memilih mana kira-



e. 219



kira bilangan yang tepat untuk mengisi variabel yang disisipkan pada barisan. 11. 255, 3610, 4915, x, 8125 a. 5100



𝑃𝑜𝑙𝑎𝑛𝑦𝑎 × 2 + 5 𝑌𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑘, 106, 𝑠𝑒ℎ𝑎𝑟𝑢𝑠𝑛𝑦𝑎 107 ∴ [𝐷] 15. 13, 39, 118, 356, 1071, 3217, ? a. 9656



b. 6420



b. 6355



c. 5420



c. 6459



d. 6422



d. 9561



e. 5215 2 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡. 25, 36, 49 → 64 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 5, 10, 15 → 20 ∴ [𝐵] 12. 2, 6, 6, 5, 10, 4, 14, 3, 18, x a. 1



e. 1313 × 3 + 0,× 3 + 1,× 3 + 2, … 3217 × 3 + 5 = 9656 ∴ [𝐴] 16.



, a. b.



b. 2



c.



c. 19



d.



d. 22



e.



e. 21 2, 6, 6, 5, 10, 4, 14, 3, 18, 𝑥



Kitab Numerik



,



,



,…



Modul 16: Barisan dan Deret 1 1 1 1 1 , , , , 10 30 50 70 90 1 10 = 90 900 ∴ [𝐵] 17. 2, 30, 6, 20, 12, 12, ? a. 26 b. 22 c. 20 d. 24 e. 28 2, 30, 6, 20, 12, 12, ? 𝐿𝑖ℎ𝑎𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ; +4, +6, +8 ∴ [𝐶] 18. 6, 20, 36, 48, 50, ?, ? a. 36, 0 b. 0, 36 c. 36, 42 d. 100, 125 e. 48, 56 1 ×6=6 2 × 5 = 20 3 × 4 = 36 … 6 × 1 = 36 7 ×0=0 ∴ [𝐴] 19. 7, 15, 28, 59, 114, ? a. 243 b. 233 c. 213 d. 223 e. 253 7 × 2 + 1 = 15 15 × 2 − 2 = 28 28 × 2 + 3 = 59 59 × 2 − 4 = 114 114 × 2 + 5 = 233 ∴ [𝐵] 20. 25, 49, 89, 145, 217, ? a. 305 b. 327 c. 309 d. 303



Kitab Numerik



e. 301 𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎, 49 − 25 = 24 = 4 × 6 89 − 49 = 40 = 4 × 10 145 − 89 = 4 × 14 . .217 + 4 × 22 217 + 88 = 305 ∴ [𝐴]



Modul 17: Menghitung 1. Sebuah buku dengan 80.000 kata



kupon sebesar $10 untuk harga total.



dijual dengan harga $24 dan sebuah cerita pendek dengan 1.000 kata dijual dengan harga $1. A Harga per kata untuk buku



B Harga per kata untuk cerita pendek



a. A > B b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan salah



a. A > B



satu dari ketiga jawaban di



b. B > A



atas



c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan salah satu dari ketiga jawaban di atas 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑏𝑢𝑘𝑢, 24 3 =$ 80.000 10.000 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑐𝑒𝑟𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘, 1 1 =$ 1.000 1.000 ∴ [𝐵] 2. Tabel Harga Tiket pada Museum Hari Kerja



Weekend dan Hari Libur $9 $16



5-18 tahun $7 19-64 $14 tahun ≥ 65 $8 $10 tahun Anak di bawah 5 tahun tidak dikenakan biaya. A Harga tiket hari kerja untuk 1 anak berusia 12 tahun dan 1 orang berusia 39 tahun



Kitab Numerik



B Harga tiket weekend untuk 1 anak berusia 4 tahun, 2 anak berusia 8 tahun, dan 1 orang berusia 65 tahun, setelah memakai



𝐴, $(7 + 14) = $21 𝐵, $(2 × 9 + 10) − $10 = $18 ∴ [𝐴] 3. Perhatikan tabel! A Jumlah hari dari 30 Mei 1917 sampai dengan 15 Mei 1996 a. A > B



B Jumlah hari dari 15 Mei 1912 sampai dengan 30 Mei 1991



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan salah satu dari ketiga jawaban di atas 𝐴, 1917 → 1996 = 79 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 𝐵, 1912 → 1991 = 79 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛, 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 30 𝑀𝑒𝑖 → 15 𝑀𝑒𝑖 < 15 𝑀𝑒𝑖 → 30 𝑀𝑒𝑖



∴ [𝐵] 4. Di suatu kerajaan kuno, ukuran panjang diukur dalah satuan crown, sama dengan 10 inci. Satuan lainnya yang dipakai adalah scepter, sama dengan 14 inci. Apabila suatu menara dihitung memiliki tinggi 70 crown,



Modul 17: Menghitung berapa scepter tinggi menara



7. PDB suatu negara adalah $4,5



tersebut?



miliar. Apabila populasinya 1,75



a. 35



juta, berapa aproksimasi



b. 49



pendapatan per kapita negara



c. 50



tersebut? (Pendapatan per kapita



d. 75



= PDB/populasi)



e. 98



a. $3



70 𝑐𝑟𝑜𝑤𝑛 → 700 𝑖𝑛𝑐𝑖 700 700 𝑖𝑛𝑐𝑖 → = 50 𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑒𝑟 14 ∴ [𝐶] 5. Berapa banyak ubin persegi berukuran 1 inci yang diperlukan untuk menutupi suatu kamar mandi dengan ukuran 5 kaki × 4 kaki? (1 kaki = 12 inci) a. 20



b. $25 c. $257 d. $2571 e. $25714 4,5 × 10 ≈ 2,5 × 10 1,75 × 10 ∴ [𝐷] 8. Ada berapa banyak bilangan positif 𝑛 yang memenuhi syarat bahwa jumlah dari



b. 240



,



, dan



adalah suatu bilangan bulat?



c. 1440



a. 6



d. 2160



b. 60



e. 2880 60 × 48 𝑖𝑛𝑐𝑖 = 2880 𝑖𝑛𝑐𝑖 1 𝑢𝑏𝑖𝑛 → 1 𝑖𝑛𝑐𝑖 2880 = 2880 1 ∴ [𝐸] 6. Dari 5,5 miliar bakteri yang ditumbuhkan untuk suatu eksperien, 1 dari 75 jutanya bermutasi. Menggunakan aproksimasi, ada berapa bakteri yang mengalami mutasi? a. 7



c. Senilai dengan FPB dari 13, 18, dan 29 d. Senilai dengan KPK dari 13, 18, dan 29 e. 12 13 18 29 60 + + = 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 = 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖 60 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 60: (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) ∴ [𝐸] 9. Ada berapa banyak bilangan bulat 𝑛 dari 5 sampai dengan 20 yang



b. 73



memenuhi syarat bahwa jumlah



c. 733



dari 3𝑛, 9𝑛, dan 11𝑛 lebih besar



d. 7333



dari 200?



e. 73333 1 × 5,5 × 10 75 × 10 5,5 × 10 75 550 × 10 ≈ 73 75 ∴ [𝐵]



Kitab Numerik



a. 4 b. 8 c. 12 d. 16 e. 20 5 ≤ 𝑛 ≤ 20 3𝑛 + 9𝑛 + 11𝑛 = 23𝑛



Modul 17: Menghitung 115 ≤ 23𝑛 ≤ 460 𝐿𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 200, 𝑚𝑢𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑛 = 9 𝑠. 𝑑. 𝑛 = 20 = 12 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 ∴ [𝐶] 10. Di suatu pabrik, terdapat buruh, eksekutif, dan kasir. 59% di antarnya adalah buruh, 460 di antaranya eksekutif, dan sisanya, 360 orang, adalah kasir. Ada berapa total pekerja di kasir tersebut? a. 1500 b. 2000 c. 2500 d. 3000 e. 3500 41% × 𝑥 = 460 + 360 41% × 𝑥 = 820 100 𝑥 = 820 × = 2000 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 41 ∴ [𝐵] 11. Di Kota Windsor, 250 keluarga memiliki setidaknya 1 mobil dan 60 keluarga memiliki setidaknya 2 mobil. Berapa keluarga yang memiliki tepat 1 mobil saja? a. 30 b. 190 c. 280 d. 310 e. 420 250 = 1 𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙 + [> 1 𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙] 60 = [> 1 𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙] 1 𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙 = 250 − 60 = 190 ∴ [𝐵] 12. Ana adalah anak perempuan yang memiliki jumlah saudara laki-laki yang sama dengan jumlah saudara perempuannya. Andrew adalah anak laki-laki yang memiliki jumlah saudara perempuan dua



Kitab Numerik



kali lebih banyak dari jumlah saudara laki-laki. Ana dan Andrew adalah anak dari Emma. Berapa anak yang dimiliki oleh Emma? a. 2 b. 3 c. 5 d. 7 e. 8 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑥 = 𝑠𝑎𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑘𝑖 𝑦 = 𝑠𝑎𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛 𝑀𝑒𝑛𝑢𝑟𝑢𝑡 𝐴𝑛𝑎 (𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛), 𝑥=𝑦 𝑇𝑖𝑛𝑗𝑎𝑢𝑎𝑛 𝑘𝑖𝑡𝑎, (𝑥 − 1) = 𝑦 𝑀𝑒𝑛𝑢𝑟𝑢𝑡 𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑤 (𝑙𝑎𝑘𝑖 − 𝑙𝑎𝑘𝑖), 𝑥 = 2𝑦 𝑇𝑖𝑛𝑗𝑎𝑢𝑎𝑛 𝑘𝑖𝑡𝑎, 𝑥 = 2(𝑦 − 1) 𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛, 𝑦 + 1 = 2𝑦 − 2 𝑦=3 𝑥 = 2(3 − 1) = 4 𝑥 + 𝑦 = 7 𝑎𝑛𝑎𝑘 ∴ [𝐷] 13. Dalam suatu pemilu, pemilih dapat memilih lebih dari 1 kandidat. Dua kandidat, A dan B, sedang bertarung dalam pemilu tersebut. 100 pemilih memilih A. 50 dari 250 pemilih memilih keduanya. Apabila setiap pemilih memilih paling tidak satu kandidat (tidak ada golput), berapa orang yang hanya memilih B? a. 50 b. 100 c. 150 d. 200 e. 250 100 = [𝐴&𝐵] + 𝐴 50 = 𝐴&𝐵 → 𝐴 = 50 𝐵 = 250 − [𝐴&𝐵] − 𝐴 = 250 − 50 − 50



Modul 17: Menghitung ∴ [𝐶] 14. Total peserta dalam sebuah pertemuan adalah 750, terdiri atas laki-laki dan perempuan. Setengah dari peserta perempan dan seperempat dari peserta laki-laki adalah pendukung Demokrat. Sepertiga dari total pesertanya adalah pendukung Demokrat. Ada berapa pendukung Demokrat yang merupakan perempuan? a. 75



Kota Eros mengemukakan bahwa 50% dari mereka lebih memilih



b. 100



merek A. Sensus lain di Kota



c. 125



Angie dengan 100 penduduk



d. 175



mengemukakan bahwa 60% dari



e. 250 𝑥 = 𝑙𝑎𝑘𝑖, 𝑦 = 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛 𝑥 + 𝑦 = 750 → 𝑥 = 750 − 𝑦 1 1 1 × 750 = 𝑦 + 𝑥 3 2 4 1 1 250 = 𝑦 + (750 − 𝑦) 2 4 1 375 1 250 = 𝑦 + − 𝑦 2 2 4 125 1 = 𝑦 2 4 𝑦 = 250 1 𝑌𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑘𝑟𝑎𝑡 → × 250 2 ∴ [𝐶] 15. Dalam suatu toples, kelerengnya merah,



2 𝑀= 𝑇 5 1 𝐻= 𝑇 4 1 𝐵= 𝑇 5 9 𝐻 +𝐵 = 𝑇 20 8 𝑀= 𝑇 20 𝐵>𝐴 ∴ [𝐵] 16. Suatu sensus dari 𝑛 penduduk



kelerengnya hijau, dan



kelerengnya berwarna biru. A Banyak kelereng merah



B Banyak kelereng hijau dan biru



a. A > B b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan salah satu dari ketiga jawaban di atas 𝑇 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑘𝑒𝑙𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔



Kitab Numerik



mereka lebih memilih merek A. Apabila penduduk kedua kota digabungkan, hasilnya adalah bahwa 55% orang lebih menyukasi merek A. Berapa total orang yang disurvei? a. 50 b. 100 c. 150 d. 200 e. 250 1 𝑛 + 3 × 100 55 2 5 = 𝑛 + 100 100 1 𝑛 + 60 55 2 = 𝑛 + 100 100 50𝑛 + 6000 = 55𝑛 + 5500 5𝑛 = 500 → 𝑛 = 100 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑢𝑟𝑣𝑒𝑖, 𝐸𝑟𝑜𝑠 + 𝐴𝑛𝑔𝑖𝑒 100 + 100 = 200 ∴ [𝐷]



Modul 18: Himpunan Khusus untuk bab ini, soal-soal tidak diambil dari SAT/GRE/NTSE, namun kebanyakan soal adalah modifikasi soalsoal yang pernah diujikan sebelumnya oleh penulis sendiri. Sumber soal adalah dari buku Pakar Matematika Daniel. 1. Daerah yang diarsir dapat dinyatakan dengan …



b. c. d. e.



(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ ℎ𝑎𝑟𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑖𝑟𝑖𝑠 𝑡𝑒𝑟ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝐶 𝑑𝑖 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎ℎ 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟, 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵, 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑝𝑎𝑡 𝐵. ∴ [𝐵] 3. Jika 𝐴 adalah komplemen dari A, maka daerah yang diarsir pada diagram Venn di bawah ini dapat dinyatakan sebagai …



(1) (2) (3) (4) a.



𝐵∩𝐴 ∩𝐶 𝐵 − (𝐴 ∪ 𝐶) (𝐴 ∪ 𝐶) − 𝐵 (𝐵 − 𝐶) − 𝐴 1, 2, dan 3 benar



b. 1 dan 3 saja yang benar c. 2 dan 4 saja yang benar d. 4 saja yang benar e. Semua benar 𝑃𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛 𝑃𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛 𝑃𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛 𝑃𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛



𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟, 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟, 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟, 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟, ∴ [𝐸] 2. Jika 𝐴 adalah komplemen dari A, (1) (2) (3) (4)



maka daerah yang diarsir pada diagram Venn di bawah ini dapat dinyatakan sebagai …



a. (𝐴 ∪ 𝐵 ) ∩ 𝐶



Kitab Numerik



a. b. c. d. e.



𝐴 ∩𝐶 ∩𝐵 𝐴 ∪𝐶 ∩𝐵 (𝐴 ∩ 𝐶) ∩ 𝐵 𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) (𝐴 ∪ 𝐶) ∪ 𝐵 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 ℎ𝑎𝑟𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑖𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵. 𝐵𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐶 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘, ∴ [𝐴] 4. Dalam diagram Venn di bawah ini, bagian yang diarsir dapat dinyatakan sebagai …



Modul 18: Himpunan a. b. c. d. e.



(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) 𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑡𝑖𝑛𝑗𝑎𝑢, 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝐴 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵 𝑖𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝐶 ∴ [𝐶] 5. Daerah yang diarsir pada diagram



𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑡𝑖𝑛𝑗𝑎𝑢, 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝐵 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑖𝑟𝑖𝑠 𝐶, 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 ∴ [𝐶] 7. Jika 𝐴 menyatakan komplemen himpunan A, maka daerah diarsir pada gambar di bawah menyatakan …



Venn di bawah ini dapat dinyatakan sebagai …



a. b. c. d. e. a. b. c. d. e.



𝐴 ∩𝐵 ∩𝐶 (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 𝐴∩𝐵 ∩𝐶 (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)



𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑡𝑖𝑛𝑗𝑎𝑢, 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑖𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝐴 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐶, 𝑡𝑎𝑛𝑝𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑛𝑦𝑎 𝐵. ∴ [𝐶] 6. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di atas ini adalah …



𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐶) (𝐵 ∩ 𝐶) − 𝐴 (𝐴 ∩ 𝐶) − 𝐴 (𝐶 − 𝐵) ∩ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐶) − (𝐵 ∩ 𝐴) 𝐷𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝐶 𝑖𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝐵 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔𝑖 𝐴 ∴ [𝐸]



Gunakan informasi di bawah untuk mengerjakan soal nomor 8 sampai dengan nomor 11. Di sebuah kelas yang beranggotakan 150 siswa, 45 mengikuti pelajaran sejarah, 65 mengikuti pelajaran geografi, dan 10 orang mengikuti pelajaran sejarah dan geografi. 8. Berapa banyak siswa yang hanya mengikuti pelajaran sejarah? a. 65 b. 40



a. b. c. d. e.



(𝐶 − 𝐴) − 𝐵 𝐵 ∩ (𝐴 − 𝐶) (𝐵 ∩ 𝐶) − 𝐴 𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐶) 𝐴 − (𝐶 − 𝐵)



Kitab Numerik



c. 35 d. 45 e. 10



Modul 18: Himpunan 9. Berapa banyak siswa yang tidak



Gunakan informasi di bawah untuk



mengikuti sejarah dan geografi



mengerjakan soal nomor 12 sampai dengan



sekaligus?



nomor 15.



a. 10



Sebuah survei dari 200 pemakai



b. 100



telepon genggam memiliki hasil bahwa 140



c. 35



menggunakan Panasonic, 120



d. 140



menggunakan Nokia, dan 143



e. 24 10. Berapa banyak siswa yang mengambil setidaknya satu mata pelajaran?



menggunakan Siemens. 95 menggunakan Panasonic dan Nokia, 85 menggunakan Nokia dan Siemens, dan 93 menggunakan Panasonic dan Siemens. 70 menggunakan



a. 10



ketiganya.



b. 50



12. Berapa banyak orang yang



c. 100 d. 90



memakai Panasonic dan Nokia



e. 45



(keduanya), tapi tidak



11. Berapa banyak siswa yang tidak



menggunakan Siemens?



mengikuti kedua mata pelajaran



a. 25



tersebut?



b. 165



a. 90



c. 57



b. 50



d. 95



c. 10



e. 140 13. Berapa banyak orang yang



d. 100



menggunakan hanya 1 merek



e. 30



telepon saja? a. 63 b. 70 c. 67 d. 200 e. 145 14. Berapa banyak orang yang tidak menggunakan Panasonic dan (8), 35 ∴ [𝐶] (9), 35 + 55 + 50 = 140 ∴ [𝐷] (10), 35 + 10 + 55 = 100 ∴ [𝐶] (11), 50 ∴ [𝐵]



Siemens? a. 40 b. 80 c. 120 d. 10 e. 45 15. Berapa banyak orang yang menggunakan merek lain selain ketiga merek yang disebutkan?



Kitab Numerik



Modul 18: Himpunan a. 10



𝑥 ≤ 10 𝐵 = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (𝐴 − 𝐵) = (0, 1) 𝑛(𝐴 − 𝐵) = 2 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 ℎ𝑖𝑚𝑝𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 =2 =2 ∴ [𝐶] + 17. Diberikan 𝐴 = {𝑥 | − ≤



b. 0 c. 70 d. 20 e. 30



0, 𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑐𝑎ℎ} dan 𝐵 = √ {𝑥 | 𝑥 − 1 < 2, 𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡}, maka banyak himpunan bagian dari (𝐵 − 𝐴) adalah … a. 1 b. 2 c. 4 d. 16



(12), 25 ∴ [𝐴] (13), 22 + 10 + 35 = 67 ∴ [𝐶] (14), 10 ∴ [𝐷] (15), 0 ∴ [𝐵] 16. Diberikan 𝐴 = {𝑥 |𝑥 − 𝑥 − 6 < 0, 𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑐𝑎ℎ} dan 𝐵 = {𝑥| |𝑥 − 6| ≤ 4, 𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡}. Banyak himpunan bagian dari (𝐴 − 𝐵) adalah … a. 1 b. 2



e. 32 𝑥+2 ≤0 𝑥−3 −2 ≤ 𝑥 < 3 √𝐴 = 0, 1, 2 𝑥−1 A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memilih salah satu dari tiga jawaban di atas 𝐴, 2 5 𝐵, 2 1 1 × = 5 4 10 𝐴>𝐵 ∴ [𝐴] 5. Sebuah rapat dihadiri 750 orang, di mana 450 darinya adalah perempuan. Setengah dari perempuannya berusia kurang dari 30 tahun, dan seperempat dari laki-lakinya berusia kurang dari 30



angka yang diambil secara



tahun. Apabila salah satu hadirin



sekaligus dan acak dari himpunan



dipilih untuk mendapatkan hadiah,



𝑆 = {1, 2, 3, 4} adalah 5?



berapa peluang orang yang



a.



mendapatkan hadiah tersebut



b.



berusia kurang dari 30 tahun? a.



c.



b.



d.



c.



e. 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 ℎ𝑖𝑚𝑝𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑔𝑜𝑡𝑎 2: 𝐶 =6 1 𝑑𝑎𝑛 4, 2 𝑑𝑎𝑛 3 → 𝑎𝑑𝑎 2 2 1 = 6 3



Kitab Numerik



d. e. 1 × 450 = 225 2 1 × 300 = 75 4



Modul 19: Peluang, Permutasi, dan Kombinasi 300 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑟𝑖 750 300 2 = 750 5 ∴ [𝐷] 6. Tom memiliki peluang untuk lulus sebuah tes sebesar 0,3. John memiliki peluang untuk lulus dari tes yang sama sebesar 0,4. Berapa peluang di mana paling tidak satu orang lulus tes tersebut? a. 0,28



8. Sebuah koin dengan sisi gambar dan angka memiliki peluang untuk mendarat pada sisi gambar. Apabila koin tersebut ditos 3 kali, berapa peluangnya muncul 2 angka dan 1 gambar, dalam urutan apapun? a. b. c. d.



b. 0,32



e.



c. 0,5 d. 0,58



𝑏 3, 2,



e. 0,82 7 𝑇𝑜𝑚 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑙𝑢𝑙𝑢𝑠: 10 6 𝐽𝑜ℎ𝑛 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑙𝑢𝑙𝑢𝑠: 10 𝐾𝑒𝑑𝑢𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑙𝑢𝑙𝑢𝑠: 42 = 0,42 100 𝑆𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑚𝑒𝑟𝑒𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 1 − 0,42 = 0,58 ∴ [𝐷] 7. Sebuah angka diambil secara acak dari 10 bilangan positif yang berurutan. Berapa peluang agar angka yang diambil bernilai lebih besar dari rata-rata aritmatika 10 bilangan tersebut? a.



1 =𝐶 2



1 2



1 2



1 8 3 = 8 ∴ [𝐶] 9. Sebuah dadu 6 sisi diberi angka 1 = 3×



sampai dengan 6. Apabila dadu dilempar 2 kali, berapa peluang setidaknya salah satu lemparan memunculkan angka lebih besar dari 4? a. b. c. d. e. 2 1 = 6 3 1 1 𝑏 2, 1, + 𝑏 2, 2, 3 3 1 2 1 𝐶 × × +𝐶 × 3 3 3 2 1 2× +1× 9 9 5 9 ∴ [𝐷] 10. Sebuah kota memiliki peluang 𝑃𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 =



b. c. d. e. 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎𝑛𝑦𝑎 5,5 > 5,5: 6, 7, 8, 9, 10 (𝑎𝑑𝑎 5) 5 10 ∴ [𝐶]



Kitab Numerik



untuk terkena hujan dalam hari apapun sebesar . Dalam suatu



Modul 19: Peluang, Permutasi, dan Kombinasi periode 3 hari, berapa peluang



13. Gare sedang mengikuti sebuah



turun hujan di kota tersebut?



ujian yang memiliki dua bagian, A



a.



dan B. Intruksi pengerjaan ujian



b.



sebagai berikut:



c.



Bagian A memiliki 3 pertanyaan.



d.



Gare harus mengisi 2. Bagian B memiliki 4 pertanyaan.



e. 1 2 1 − 𝑏 3,3, 3 2 1−𝐶 × 3 8 1−1× 27 19 = 27 ∴ [𝐷] 11. Ada berapa banyak bilangan 6 digit yang berbeda yang dapat dibentuk dari angka 3, 3, 4, 4, 4, dan 5?



Gare harus mengisi 2. Bagian A harus dikerjakan dahulu sebelum bagian B. Ada berapa banyak cara yang dapat dilakukan Gare untuk mengerjakan ujian tersebut? (Catatan: mengerjakan nomor 1 dahulu sebelum nomor 2 dengan nomor 2 dahulu sebelum nomor 1 dianggap sebagai cara yang berbeda) a. 12



a. 10



b. 15



b. 20



c. 36



c. 30



d. 72



d. 36



e. 90



e. 60 6! (6 − 6)! 2! 3! 4×5×6 = = 60 2 ∴ [𝐸] 12. Ada berapa banyak kata berbeda 𝑃



(



)



=



yang dapat didapat dari proses mengubah urutan pada kata SUCCESS?



𝐵𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝐴: 3! 𝑃 = =6 (3 − 2)! 𝐵𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝐵: 4! 𝑃 = = 12 (4 − 2)! 6 × 12 = 72 ∴ [𝐷] 14. Ada berapa banyak cara agar kata ACCLAIM disusun sehingga huruf



a. 20



vokalnya selalu bersebalahan?



b. 30



a.



c. 40



b.



d. 60



c.



e. 420 7! (7 − 7)! 3! 2! 4×5×6×7 = = 420 2 ∴ [𝐸] 𝑃



(



Kitab Numerik



)



=



d. e.



× × × × ×



× 𝐴𝐴𝐼 𝑑𝑖𝑎𝑛𝑔𝑔𝑎𝑝 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝐴𝐴𝐼, 𝐶, 𝐶, 𝐿, 𝑀 5! 5! 𝑃()= = (5 − 5)! 2! 2!



Modul 19: Peluang, Permutasi, dan Kombinasi 𝐴𝐴𝐼 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖, 3! 3! 𝑃 ()= = (3 − 3)! 2! 2! 5! 3! = × 2! 2! ∴ [𝐸] 15. Ada berapa cara menyusun kata



17. Ada berapa cara 5 orang dari 6 orang diatur dalam suatu susunan meja bundar? a. 56 b. 80 c. 100



GOSSAMERE sehingga semua



d. 120



huruf S dan M muncul di tengah-



e. 144



tengah kata? a.



×



b.



×



c.



×



d.



×



e.



×



∗∗∗ 𝑆𝑆𝑀 ∗∗∗ 𝐻𝑢𝑟𝑢𝑓 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ: 𝐺, 𝑂, 𝐴, 𝐸, 𝑅, 𝐸 𝑃 =𝑃 ( )= 2! 𝑃 𝐶𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑦𝑢𝑠𝑢𝑛 𝑆𝑆𝑀 → 2! 𝑃 𝑃 = × 2! 2! ∴ [𝐷] 16. Chelsea memiliki 5 bunga mawar dan 2 bunga melati. Sebuah bouquet akan dibuat dari 3 buah bunga. Ada berapa jenis bouquet yang dapat dibentuk apabila harus ada 1 bunga melati di bouquet tersebut?



𝑀𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖ℎ 5 𝑑𝑎𝑟𝑖 6: 𝐶 =6 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 5 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔: (5 − 1)! = 4! = 6 × 4! = 144 ∴ [𝐸] 18. Sebuah negara menginginkan seluruh pemilik kendaraan bermotornya untuk memiliki plat nomor yang dimulai dengan 2 huruf yang dipilih dari 26 huruf alfabet, diikuti 4 angka yang diambil dari angka 0 sampai dengan 9. Pengulangan diperbolehkan. Contohnya, GF3352. A Banyaknya kemungkinan plat kendaraan unik a. A > B



B 6.000.000



b. B > A



a. 5



c. A = B



b. 20



d. Informasi yang diberikan tidak



c. 25



cukup untuk menjawab salah



d. 35 e. 40 1 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖, 2 𝑚𝑎𝑤𝑎𝑟 𝐶 × 𝐶 = 2 × 10 = 20 2 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖, 1 𝑚𝑎𝑤𝑎𝑟 𝐶 ×𝐶 =1×5=5 = 25 ∴ [𝐶]



Kitab Numerik



satu dari tiga jawaban di atas 2 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 → ℎ𝑢𝑟𝑢𝑓 = 26 4 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 → 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 = 10 26 × 10 = 676 × 10 = 6.760.000 > 6.000.000 ∴ [𝐴]



Modul 19: Peluang, Permutasi, dan Kombinasi 19. Sebuah grup berisikan 12 orang yang belum saling mengenal bertemu di sebuah kelas. Berapa banyak salaman yang terjadi apabila setiap orang bersalaman tepat sekali dengan setiap orang lain di ruangan tersebut? a. 12 b. 22 c. 66 d. 132 e. 244 12! 1 = 11 × 12 × = 66 10! 2! 2 ∴ [𝐶] 20. Sebuah poligon memiliki 12 titik 𝐶



=



sudut. Ada berapa banyak diagonal yang dapat dibentuk dalam poligon tersebut? a. 54 b. 66 c. 108 d. 132 e. 144 1 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖ℎ𝑢𝑏𝑢𝑛𝑔𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 11 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛, 𝑛𝑎𝑚𝑢𝑛 2 𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙. 1 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 → 9 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑑𝑎 12 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 12(9) = 108, 𝑛𝑎𝑚𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝐴 → 𝐵 ≠ 𝐵 → 𝐴 𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝐴 → 𝐵 = 𝐵 → 𝐴 108 = 54 2 ∴ [𝐴] 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛: 𝐶𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠, 𝐶 = 66 𝑁𝑎𝑚𝑢𝑛, 66 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑟𝑢𝑠𝑢𝑘. 𝑅𝑢𝑠𝑢𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎 12, 66 − 12 = 54 ∴ [𝐴]



Kitab Numerik



Modul 20: Fungsi 1. Apabila 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑎 𝑏 dan



c. 20



𝑓(𝑚, 𝑛) = 5, berapakah nilai dari



d. 25



𝑓(3𝑚, 2𝑛)?



e. 30



a. 240



𝑔(𝑚) = 𝑚 − 7 = 29 𝑚 = 36 ℎ(𝑚) = |3𝑚| + 2 (3𝑚) + 2 √ 9×𝑚 +2 3(6) + 2 = 20 ∴ [𝐶]



b. 360 c. 480 d. 600 e. 720 𝑓(𝑚, 𝑛) = 𝑚 𝑛 = 5 𝑓(3𝑚, 2𝑛) = (3𝑚) (2𝑛) = 9𝑚 × 16𝑛 = 9 × 16 × (𝑚 𝑛 ) = 9 × 16 × 5 = 720 2. Apabila ℎ(𝑥) = 5𝑥 + 𝑥, mana yang merupakan nilai dari ℎ(𝑎 + 𝑏)? a. 5𝑎 + 5𝑏 b. 5𝑎 + 5𝑏 c. 5𝑎 + 5𝑏 + 𝑎 + 𝑏 d. 5𝑎 + 10𝑎𝑏 + 5𝑏 e. 5𝑎 + 10𝑎𝑏 + 5𝑏 + 𝑎 + 𝑏 5(𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 𝑏) 5(𝑎 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 ) + (𝑎 + 𝑏) ∴ [𝐸] 3. Diberikan 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 4 dan 𝑔(𝑐) = 12. Apabila 𝑐 < 0, berapakah nilai dari 𝑔(𝑐 − 2)? a. 0 b. -32 c. 32 d. 16 e. 8 𝑔(𝑐) = 𝑐 − 4 = 12 𝑐 = 16 → 𝑐 = ±4 𝑐 < 0 → 𝑐 = −4 𝑔(𝑐 − 2) = 𝑔(−6) = 36 − 4 = 32 ∴ [𝐶] 4. Diberikan ℎ(𝑥) = |3𝑥| + 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 7. Apabila 𝑔(𝑚) = 29,



5. Apabila ~𝑥 = |14𝑥|, mana pernyataan yang pasti benar? 1. ~2 = ~(−2) 2. ~3 + ~4 = ~7 3. Nilai minimum ~𝑥 adalah nol. a. 1 saja b. 2 saja c. 1 dan 2 saja d. 2 dan 3 saja e. 1, 2, dan 3 benar 1, ~2 = |28| = 28 ~(−2) = |−28| = 28 2, ~3 = |42| = 42 ~4 = |56| = 56 ~7 = |98| = 98 3, |14𝑥| ≥ 0 ∴ [𝐸] 6. Diberikan fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 dan 𝑓(𝑚) = −11 A m



B Setengah dari 𝑓(𝑚)



a. A > B b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak



berapa nilai dari ℎ(𝑚)?



cukup untuk menentukan salah



a. 10



satu dari tiga pilihan di atas 𝑓(𝑚) = 2𝑚 − 3 = −11



b. 15



Kitab Numerik



Modul 20: Fungsi 2𝑚 = −8 → 𝑚 = −4 1 1 11 × 𝑓(𝑚) = × −11 = − 2 2 2 −4 > 5,5 ∴ [𝐴] 7. Apabila 𝑓(𝑥) = − dan 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 2, dan 𝑓 𝑔(𝑥) = 1, berapakah nilai 𝑥? a. − b. − c.



ditentukan oleh fungsi



d. 1 e.



(



+ +



)



di



mana k adalah suatu konstanta, r



𝑓 𝑔(𝑥) = 𝑓(3𝑥 − 2) 2 − 3𝑥 + 2 −3𝑥 + 4 = =1 5 5 −3𝑥 + 4 = 5 −3𝑥 = 1 1 𝑥=− 3 ∴ [𝐵] 8. Skor yang didapatkan seorang pemanah dihitung dengan fungsi − +



50(10) − 10(10) 500 − 100 = 10 + 10 20 400 = = 20 20 𝑃𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎ℎ 𝐵, 50(5) − 10(20) 250 − 200 = 10 + 15 25 50 = =2 25 20 − 2 = 18 ∴ [𝐷] 9. Harga sewa suatu apartemen



di mana b adalah jumlah



bulls-eye, a adalah jumlah anak panah yang ditembakkan, dan s adalah waktu dalam detik yang dibutuhkan untuk menembak. Berapa selisih poin seorang pemanah yang menembak semua bulls-eye dalam 10 detik dengan 10 anak panah dengan seorang pemanah yang menembak setengah dari jumlah bulls-eye pemanah pertama dengan jumlah anak panah dua kali lebih banyak dalam 15 detik?



dan kamar mandi, f adalah tingkat lantai apartemen tersebut. Sebuah unit dengan 2 kamar tidur dan 2 kamar mandi di lantai pertama memiliki harga sewa $800 per bulan. Berapa harga sewa sebuah unit dengan 3 kamar tidur dan 1 kamar mandi di lantai ketiga? a. $825 b. $875 c. $900 d. $925 e. $1.000 𝑘(5 × 4 + 10 × 2) 1+5 6 × 800 = 𝑘 × 40 𝑘 = 120 120(5 × 9 + 10 × 1) 𝑥= 3+5 120 × 55 𝑥= = 15 × 55 = $825 8 ∴ [𝐴] 10. Untuk fungsi manakah 𝑓(𝑥) adalah $800 =



𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)?



a. 2 b. 7 c. 10 d. 18 e. 20 𝑃𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎ℎ 𝐴:



Kitab Numerik



dan t adlaah jumlah kamar tidur



a. b. c. d. e.



𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥) = 5𝑥 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 √ 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎



Modul 20: Fungsi 5(𝑎 + 𝑏) = 5𝑎 + 5𝑏 ∴ [𝐵] 11. Apabila 𝑓(2𝑎) = 2𝑓(𝑎) dan 𝑓(6) = 11, berapa nilai dari 𝑓(24)? a. 22 b. 24



riil (tidak imajiner)? a. 𝑥 ≥ 0 b. 𝑥 ≥ d. 𝑥 ≥ 2 e. 𝑥 ≥ 3



d. 66 e. 88 𝑓(24) = 2𝑓(12) 𝑓(12) = 2𝑓(6) = 22 𝑓(24) = 2 × 22 = 44 ∴ [𝐶] 12. Mana fungsi yang memenuhi 𝑓(𝑥) = 𝑓( 𝑥) untuk semua nilai x? a. b. c. d. e.



𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = 13𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 10 √ 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 1 1 (13𝑥) = 13 𝑥 2 2 ∴ [𝐵] 13. Sebuah fungsi 𝑓(𝑥) didefinisikan 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) B



𝑓(2,5) a. A > B



Untuk nilai x berapa 𝑔(𝑥) bernilai



c. 𝑥 ≥



c. 44



A



14. Diberikan 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3) + 1.



𝑓(3,5)



√ 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 3 + 1 2𝑥 − 3 𝑡𝑎𝑘 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 2𝑥 ≥ 3 3 𝑥≥ 2 ∴ [𝐶] 15. Tabel di bawah menunjukkan pemasangan x terhadap f(x). 𝑥 -1 0 1 2 𝑓 (𝑥) 1 3 1 -5 Mana yang merupakan f(x)? a. b. c. d. e.



𝑓(𝑥) = −2𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 3 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎𝑓(0) = 3 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑏, 𝑐, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑒 𝑓(1) = 1 ∴ [𝐸] 16. Sebuah fungsi didefiniskan 𝑓(𝑥) = √ 𝑎 𝑥 + 𝑏 untuk x bilangan tak



b. B > A



negatif. Berapa nilai dari 𝑓(3),



c. A = B



apabila 𝑓(4) − 𝑓(1) = 2 dan 𝑓 (4) +



d. Informasi yang diberikan tidak



𝑓(1) = 10?



cukup untuk menentukan salah



a. 1



satu dari tiga pilihan di atas 𝑓(2,5) = (1,5) × (0,5) × (−0,5) × (−1,5) 𝑓(3,5) = (2,5) × (1,5) × (0,5) × (−0,5) 𝑓 (2,5) 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑓(3,5) 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝐴>𝐵 ∴ [𝐴]



b. 2 √ c. 2 3 √ d. 2 3 + 2 √ e. 2 3 − 2



Kitab Numerik



𝑓(4) − 𝑓(1) = 2 2𝑎 + 𝑏 − (𝑎 + 𝑏) = 2 𝑎=2 𝑓(4) + 𝑓(1) = 10 2𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 = 10 3𝑎 + 2𝑏 = 10



Modul 20: Fungsi 2𝑏 = 4 → √𝑏 = 2 𝑓(3) = 2 3 + 2 ∴ [𝐷] 17. Diberikan grafik:



salah satu dari ketiga pilihan di atas.



√ 𝑓 (𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑏 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑘𝑢𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 2 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎, 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑘𝑎𝑙𝑖𝑛𝑦𝑎. 𝑔(𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑏 √ 𝑎𝑏 > 𝑎𝑏 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑎, 𝑏 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎. ∴ [𝐵] 19. Mana yang bukan merupakan grafik dari fungsi 𝑦 = 𝑓 (𝑥)?



Apabila luas ABCD adalah 16 satuan, berapakah nilai a? a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 16 𝐵𝐶 = 𝐷𝐶 = 4 𝑂 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ (𝑂, 𝑂) 𝐶 = (2,0) 𝐵 = (2,4) 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎 (2,4) 4 =𝑎−2 𝑎=8 ∴ [𝐷] 18. Fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) didefinisikan sebagai



a.



b.



rata-rata geometri dari x dan y. Fungsi 𝑔(𝑥, 𝑦) didefinisikan sebagai kelipatan persekutuan terkecil dari x dan y. a dan b adalah dua bilangan prima berbeda. 𝐴 𝐵 𝑓(𝑎, 𝑏) 𝑔(𝑎, 𝑏) a. A > B b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan



Kitab Numerik



c.



Modul 20: Fungsi



d.



c.



e. 𝑇𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑑𝑎𝑟𝑖 1 ∴ [𝐷] 20. Mana yang merupakan grafik dari fungsi 𝑥 = 𝑓(𝑦)? d.



a.



e. 𝑇𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑑𝑎𝑟𝑖 1 ∴ [𝐷]



b.



Kitab Numerik



Modul 21: Soal Sulit 1. Diberikan ketentuan bahwa 𝑥 < 0. A 𝑥 − 5𝑥 + 6 a. A > B



B 𝑥 − 9𝑥 + 20



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan salah satu dari ketiga pilihan di atas 𝐴: (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 𝐵: (𝑥 − 5)(𝑥 − 4) 𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑏𝑎 𝑥 = −1: 𝐴 → 12; 𝐵 → 30 𝑆𝑒𝑚𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑥, 𝐵≫𝐴 ∴ [𝐵] 2. Apabila 𝑥 bilangan positif, berapakah angka satuan dari 24



+



× (36) × (17) ?



c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan salah satu dari ketiga pilihan di atas 𝑃𝑉 𝑘= 𝑇 20 𝐴)𝑘 = 𝑃 × 32 32 8 𝑃 = 𝑘= 𝑘 20 5 10 × 78 𝐵)𝑘 = 𝑇 780 𝑇 = 𝑘 8 780 𝑀𝑒𝑚𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑛 𝑘 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 5 𝑘 8𝑘 … 780 × 5 → 𝑡𝑒𝑟𝑔𝑎𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘 ∴ [𝐷] 4. Sebuah perusahaan memproduksi barang dengan harga 𝑝 + 15 dolar dan menjualnya dengan harga 𝑝(9 − 𝑝) dolar. Untuk nilai p



a. 2



berapakah perusahaan tersebut



b. 3



menerima keuntungan?



c. 4



a. b. c. d. e.



d. 6 e. 8 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 36 → 6 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 17 → 3 5 + 2𝑥 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 24 →4 6 × 3 × 4 = 72 𝐷𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟𝑛𝑦𝑎 2. ∴ [𝐴] 3. Untuk suatu gas, tekanan P, volume V, dan temperatur T dihungkan oleh persamaan 𝑃𝑉 = 𝑘𝑇 di mana 𝑘 adalah suatu konstanta. A Nilai P ketika 𝑉 = 20 dan 𝑇 = 32 a. A > B b. B > A



Kitab Numerik



B Nilai T ketika 𝑉 = 10 dan 𝑃 = 78



3≤𝑝≤5 2 B



B Rata-rata dari seluruh bilangan kelipatan 10 dari 199 sampai dengan 706



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan salah satu dari ketiga pilihan di atas 200, 205, … , 705 705 = 200 + (𝑛 − 1)5 705 = 200 + 5𝑛 − 5 5𝑛 = 510 → 𝑛 = 102 102 𝑆= (200 + 705) 2 𝑆 905 𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 = = 102 2 200, 210, … , 700 700 = 200 + (𝑛 − 1)10 700 = 200 + 10𝑛 − 10



Modul 21: Soal Sulit 510 = 10𝑛 → 𝑛 = 51 51 𝑆 = (200 + 700) 2 𝑆 900 𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 = = 51 2 905 900 > 2 2 ∴ [𝐴] 9. Sebuah kantong berisi 3 kelereng putih, 4 kelereng hitam, dan 2 kelereng merah. Diambil 2 kelereng dari kantong tanpa pengembalian. Berapa peluang terambil kelereng warna merah pada pengambilan



11. Diberikan 𝑚 = 2 5



dan 𝑛 = 2



×3



×3



A Jumlah angka 0 berturutturut dari titik desimal ke sebelah kiri pada 𝑚 a. A > B



𝐵>𝐴 ∴ [𝐵] ×4 ×



×4



×5 .



B Jumlah angka 0 berturutturut dari titik desimal ke sebelah kiri pada 𝑛



b. B > A



kedua?



c. A = B



a.



d. Informasi yang diberikan tidak



b.



cukup untuk menentukan salah



c.



satu dari ketiga pilihan di atas 𝑚 = (2 × 5) × 3 × (2 × 2 × 5) ×4 𝑚 = 10 × 2 × 3 × 4 𝑛 = (2 × 5) × 2 × 3 × 4 𝑛 = 10 × 2 × 3 × 4 ∴ [𝐴] 12. Berapakah perbandingan antara



d. e. 𝑃𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 7 2 14 × = 9 8 72 𝑃𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 2 1 2 × = 9 8 72 16 2 ∑𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 = = 72 9 ∴ [𝐷] 10. 𝑥 adalah bilangan bulat positif. A (−1) + (−1) + (−1) a. A > B



B (−1) + (−1) +(−1) + (−1)



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan salah satu dari ketiga pilihan di atas 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 𝐴=1+1+1=3 𝐵 =1+1+1+1=4 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙, 𝐴 = −1 − 1 − 1 = −3 𝐵 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0



Kitab Numerik



jumlah semua bilangan ganjil dari 1 sampai dengan 100 dengan jumlah semua bilangan genap dari 100 sampai dengan 150? a. 2 banding 3 b. 5 banding 7 c. 10 banding 13 d. 53 banding 60 e. 202 banding 251 1, 3, 5, … , 99 99 = 1 + (𝑛 − 1)2 99 = 1 + 2𝑛 − 2 → 2𝑛 = 100 𝑛 = 50 50 𝑆 = (1 + 99) = 2500 2 = 250 × 10 100, 102, … , 150 150 = 100 + (𝑛 − 1)2 150 = 100 + 2𝑛 − 2



Modul 21: Soal Sulit 2𝑛 = 52 → 𝑛 = 26 26 (100 + 150) = 13 × 250 2 10 × 250 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑛 13 × 250 = 10: 13 ∴ [𝐶] 13. @ adalah suatu operasi di mana 𝑎@𝑏 =



( + )



−



+



, 𝑎𝑏 ≠ 0.



Berapakah hasil penjumlahan dari semua solusi 𝑥@2 =



?



(− )



a. -1 b. -0,75 c. -0,25 d. 0,25 e. 0,75 𝑥+1 2+1 − 𝑥 2 𝑥+1 𝑥@(−1) = 𝑥 𝑥+1 3 1 𝑥+1 − = × 𝑥 2 2 𝑥 1 𝑥+1 3 = 2 𝑥 2 𝑥+1 =3 𝑥 (𝑖) 𝑥 + 1 = 3𝑥 2𝑥 = 1 → 𝑥 = 0,5 (𝑖𝑖) 𝑥 + 1 = −3𝑥 4𝑥 = −1 → 𝑥 = −0,25 0,5 − 0,25 = 0,25 ∴ [𝐷] 14. 𝑥 adalah bilangan tak negatif dan 𝑥@2 =



akar dari (10 − 3𝑥) lebih besar dari 𝑥. A



sama nilainya seperti … a. 2𝑥
1 6𝑦 − 2 < 2𝑥 1 − 𝑦 < 2𝑥 < 17 + 𝑦 3𝑦 − 1 > 2𝑥 > 17 − 3𝑦 |𝑥| < 𝑎 ≡ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 −(3𝑦 − 9) < 8 − 2𝑥 < 3𝑦 − 9 (𝑖) 8 − 2𝑥 > −3𝑦 + 9 3𝑦 − 1 > 2𝑥 2𝑥 < 3𝑦 − 1 (𝑖𝑖) 8 − 2𝑥 < 3𝑦 − 9 17 − 3𝑦 < 2𝑥 2𝑥 > 17 − 3𝑦 ∴ [𝐸] 16. Di tahun 2003, ada 28 hari di bulan Februari dan ada 365 hari dalam 1 tahunnya. Di tahun 2004, ada 29 hari di bulan Februari dan



B



|𝑥| a. A > B



10 − 3𝑥 > 𝑥 0 > 𝑥 + 3𝑥 − 10 𝑥 + 3𝑥 − 10 < 0 (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) < 0 −5 < 𝑥 < 2 𝑆𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑎𝑘𝑎𝑟, 10 − 3𝑥 ≥ 0 10 ≥ 3𝑥 3 𝑥≤ 10 3 𝐼𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎, −5 < 𝑥 ≤ 10 𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑘 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 3 0≤𝑥≤ 10 |𝑥| < 2 ∴ [𝐵] 15. Pertidaksamaan |8 − 2𝑥| < 3𝑦 − 9



2



ada 366 hari dalam 1 tahunnya. Apabila tanggal 11 Maret 2003



b. B > A



adalah hari Selasa, maka 11 Maret



c. A = B



2004 adalah hari …



d. Informasi yang diberikan tidak



a. Senin



cukup untuk menentukan salah



b. Selasa



satu dari ketiga pilihan di atas √ 10 − 3𝑥 > 𝑥 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 ≥ 0



c. Rabu



Kitab Numerik



d. Kamis e. Minggu



Modul 21: Soal Sulit 11 𝑀𝑎𝑟𝑒𝑡 2003 → 11 𝑀𝑎𝑟𝑒𝑡 2004: 366 ℎ𝑎𝑟𝑖 366 𝑚𝑜𝑑 7 = 2 2 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑆𝑒𝑙𝑎𝑠𝑎 = 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 ∴ [𝐷] 17. Ada 5 orang yang bekerja dalam suatu pabrik, A, B, C, D, dan E. Mereka dibayar (secara berurutan) sebesar $66, $52, $46, $32, dan $28 untuk membuat satu barang. Waktu yang dibutuhkan mereka (secara berurutan) adalah 20 menit, 24 menit, 30 menit, 40 menit, dan 48 menit. Semua barang dijual dengan keuntungan $100 untuk perusahaan, dan setiap pekerja dibayar melalui keuntungan ini. Apabila setiap orang bekerja selama 8 jam, mana orang yang paling memberikan keuntungan terbesar bagi pabrik? a. A b. B c. C d. D e. E 8 𝑗𝑎𝑚 = 480 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 480 𝐴 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 = 24 20 24 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 → $66 480 𝐵 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 = 20 24 20 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 → $52 480 𝐶 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 = 16 30 16 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 → $46 480 𝐷 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 = 12 40 12 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 → $32 480 𝐸 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 = 10 48 10 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 → $28 𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑒𝑟 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑎𝑡: 𝐴: 𝐵: 𝐶: 𝐷: 𝐸



Kitab Numerik



66 52 46 32 28 : : : : 24 20 16 12 10



52 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 20 𝑔𝑎𝑗𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 1 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 ∴ [𝐵] 18. Tentukan hubungan yang tepat. A 15 + 17 + 19 a. A > B



B (15 + 17 + 19)



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidka cukup untuk memilih salah satu dari ketiga pilihan di atas 𝑎 + 𝑏 < (𝑎 + 𝑏) , 𝑎, 𝑏 > 0 ∴ [𝐵] 19. Diberikan 𝐴 = {−2, −1, 0, 1, 2} dan 𝐵 = {−4, −2, 0, 2, 4}. A Jumlah dari hasil kali setiap elemen pada A dengan elemen pada B a. A > B



B 0



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidka cukup untuk memilih salah satu dari ketiga pilihan di atas 𝐴 = {−2, −1, 0, 1, 2} 𝐵 = {−4, −2, 0, 2, 4} 𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑏𝑎 𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 −2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝐵 8+4+0−4−8 =0 … 𝑝𝑜𝑙𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝐴 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 ∴ [𝐶] 20. Variabel acak 𝑥 memiliki peluang √ distribusi kontinu di 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 seperti yang ditunjukkan pada



Modul 21: Soal Sulit gambar dengan sumbu x di horizontal:



Peluang 𝑥 < 0 sama dengan √ peluang 𝑥 > 2 sama dengan 0. Berapakah median 𝑥? a. b. c. d. e.



√



−



√



√ √



2



−



+



√



𝑥 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑟𝑖 √ 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 √ √ 2 1 = =√ = 2 − 2 2 ∴ [𝐶]



Kitab Numerik



Modul 22: Geometri 1 - Sudut Geometri 1 ini berhubungan dengan sudut-sudut. 1. Pada gambar di bawah, nilai 𝑥 dan 𝑦 secara berturut-turut adalah …



∴ [𝐴] 3. Pada gambar di bawah, nilai 𝑥 adalah …



a. b. c. d. e.



64°, 76° 76°, 64° 104°, 64° 64°, 104° 36°, 54°



∴ [𝐶] 2. Pada gambar di bawah, nilai 𝑥



a. b. c. d. e.



63° 65° 59° 54° 56°



adalah …



∴ [𝐸] 4. Pada gambar di bawah ini, nilai 𝑥 a. b. c. d. e.



121° 101° 73° 48° 111°



Kitab Numerik



adalah …



Modul 22: Geometri 1 - Sudut a. b. c. d. e.



6. Pada gambar di bawah ini, nilai 𝑥



171° 109° 142° 327° 154°



adalah …



∴ [𝐶] 5. Pada gambar di bawah ini, nilai 𝑥



a. b. c. d. e.



112° 108° 118° 102° 104°



dan 𝑦 secara berurutan adalah …



a. b. c. d. e.



𝑥 = 360 − 116 − 136 𝑥 = 108° ∴ [𝐵] 7. Pada gambar di bawah ini, nilai 𝑥



24°, 43° 20°, 40° 27°, 41° 29°, 42° 25°, 45°



adalah …



180 = 137 + 𝑥 + 19 𝑥 = 24° 𝑦 = 24 + 19 = 43° ∴ [𝐴]



Kitab Numerik



a. b. c. d. e.



40° 38° 36° 34° 32°



Modul 22: Geometri 1 - Sudut



2𝑥 + 𝑥 = 102 3𝑥 = 102 → 𝑥 = 34° ∴ [𝐷] 8. Pada gambar di bawah ini, nilai 𝑥 adalah …



a. b. c. d. e.



42° 38° 45° 50° 48°



𝑥° = 180 − 90 − 42 = 48° ∴ [𝐸] 9. Pada gambar di bawah ini, besar sudut yang diarsir sebesar …



Kitab Numerik



a. b. c. d. e.



31° 33° 32° 28° 24°



118 + 2𝑥 = 180 2𝑥 = 62° 𝑥 = 31° ∴ [𝐴] 10. Pada gambar di bawah ini, besar sudut yang diarsir sebesar …



a. b. c. d. e.



48° 50° 53° 51° 43°



Modul 22: Geometri 1 - Sudut



2𝑥 + 74 = 180 2𝑥 = 106 𝑥 = 53° ∴ [𝐶] 11. Pada gambar di bawah ini, besar sudut yang diarsir adalah …



a. b. c. d. e.



29° 31° 19° 25° 32°



𝑥 = 180 − 119 − 32 𝑥 = 29° ∴ [𝐴] 12. Pada gambar di bawah ini, besar sudut yang diarsir adalah …



Kitab Numerik



] a. b. c. d. e.



20° 24° 26° 28° 22°



𝑥 = 180 − 27 − 129 𝑥 = 24° ∴ [𝐵] 13. Pada gambar di bawah ini, besar sudut yang diarsir adalah …



a. b. c. d. e.



37° 43° 47° 53° 57°



Modul 22: Geometri 1 - Sudut



𝑥 = 180 − 133 = 47° ∴ [𝐶] 14. Pada gambar di bawah ini, besar



a. b. c. d. e.



32° 64° 60° 30° 48°



sudut yang diarsir sebesar …



a. b. c. d. e.



210° 218° 188° 200° 208°



𝑥 = 360 − 152 𝑥 = 208° ∴ [𝐸] 15. Pada gambar di bawah ini, besar sudut yang diarsir adalah …



Kitab Numerik



2𝑥 = 180 − 58 − 58 2𝑥 = 64° 𝑥 = 32° ∴ [𝐴] 16. Pada gambar di bawah ini, besar sudut yang diarsir sebesar …



a. b. c. d. e.



300° 330° 310° 320° 315°



Modul 22: Geometri 1 - Sudut a. b. c. d. e.



𝑥 = 360 − 30 = 330° ∴ [𝐵] 17. Pada gambar di bawah ini, nilai dari 𝑥 adalah …



101° 110° 100° 111° 121°



𝑥 = 180 − 𝑦 2𝑦 = 180 − 42 2𝑦 = 138 → 𝑦 = 69° 𝑥 = 180 − 69 = 111° ∴ [𝐷] 19. Pada gambar di bawah ini, nilai dari 𝑥 adalah …



a. b. c. d. e.



312° 306° 316° 318° 326°



𝑥 = 360 − 44 = 316° ∴ [𝐶] 18. Pada gambar di bawah ini, nilai



a. b. c. d. e.



258° 102° 264° 242° 218°



dari 𝑥 adalah …



𝑥 = 360 − (𝑦 + 𝑧) 𝑥 = 360 − 102 𝑥 = 258° ∴ [𝐴]



Kitab Numerik



Modul 22: Geometri 1 - Sudut 20. Pada gambar di bawah ini, nilai dari 𝑥 adalah …



a. b. c. d. e.



137° 133° 143° 147° 153°



2𝑥 + 54 = 360 2𝑥 = 306 𝑥 = 153° ∴ [𝐷] 22. Pada gamber di bawah ini, besar 𝑥 adalah …



180 = 𝑥 + 33 𝑥 = 147° ∴ [𝐷] 21. Pada gambar di bawah ini, kedua segitiga merupakan segitiga sama sisi. Nilai dari x adalah …



a. b. c. d. e.



150° 140° 110° 120° 130°



180 − 𝑥 + 75 + 2𝑥 − 180 2 180 − 𝑥 285 = + 2𝑥 2 570 = 180 − 𝑥 + 4𝑥 390 = 3𝑥 𝑥 = 130° ∴ [𝐸] 23. Diagram berikut terdiri dari 2 180 =



a. b. c. d. e.



147° 133° 143° 153° 150°



buah persegi dan 1 buah segitiga sama sisi. Besar dari 𝑥 adalah …



Kitab Numerik



Modul 22: Geometri 1 - Sudut



a. b. c. d. e.



110° 120° 100° 130° 140°



𝑃𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑒𝑛𝑎𝑚, 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡𝑛𝑦𝑎 (6 − 2) × 180 𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛, 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡𝑛𝑦𝑎: 180 4× = 120° 6 180 = 120 + 2𝑥 𝑥 = 30° ∴ [𝐴] 25. Diagram berikut adalah sebuah segilima beraturan. Besar dari 𝑥 adalah …



𝑥 = 360 − (240) 𝑥 = 120° ∴ [𝐵] 24. Diagram berikut adalah sebuah segienam beraturan. Besar dari 𝑥 adalah …



a. b. c. d. e.



30° 40° 20° 35° 45°



Kitab Numerik



a. b. c. d. e.



40° 72° 36° 30° 45°



𝑃𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑙𝑖𝑚𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛, 3 × 180 𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 5 = 108° 72 + 𝑥 = 108 𝑥 = 36°



Modul 22: Geometri 1 - Sudut ∴ [𝐶] 26. Diagram berikut terdiri dari segiempat, segitiga sama sisi, segilima beraturan, dan segienam beraturan. Besar dari 𝑥 dan 𝑦 berturut turut adalah …



b. c. d. e.



20° 10° 30° 25°



𝑃𝐸𝐹 = 𝐸𝐺𝐷 𝐸𝐺𝐷 = 80° → 𝑄𝐺𝐶 = 100° 𝑥 + 𝑄𝐺𝐶 = 120 𝑥 = 20° ∴ [𝐵] 28. Pada diagram di bawah ini, 𝑦: 𝑧 = 4: 5. Tentukan besar 𝑥!



a. b. c. d. e.



60°, 90° 90°, 60° 72°, 90° 90°, 72° 45°, 45°



𝑥 = 360 − 288 𝑥 = 72° 𝑦 = 360 − 260 𝑦 = 90° ∴ [𝐶] 27. Diagram di bawah ini



a. b. c. d. e.



100° 120° 110° 115° 122°



𝑥=𝑧 𝑦 = 4𝑘, 𝑧 = 5𝑘 4𝑘 + 4𝑘 + 5𝑘 + 5𝑘 = 360 18𝑘 = 360 → 𝑥 = 20 𝑥 = 𝑧 = 5𝑘 𝑥 = 100° ∴ [𝐴] 29. Pada gambar di bawah ini, tentukan besar 𝑥 dan 𝑦 secara berurutan!



menunjukkan suatu susunan garisgaris. Besar dari 𝑥 adalah …



a. 40°



Kitab Numerik



a. 90°, 30° b. 79°, 37°



Modul 22: Geometri 1 - Sudut c. 89°, 47° d. 79°, 47° e. 89°, 37°



𝐴𝐸𝐵 = 91°, 𝐷𝐹𝐴 + 𝐴𝐸𝐷 = 180° 𝐷𝐹𝐴 = 89° = 𝑥 𝑦 = 180 − 𝑥 − 54 𝑦 = 37° {𝑥, 𝑦} = {89°, 37°} ∴ [𝐸] 30. Pada gambar di bawah ini, CPB membentuk sudut siku-siku. Nilai 𝑥 + 𝑦 adalah …



a. b. c. d. e.



75° 85° 70° 90° 80°



∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐵𝐷𝐶 = 𝑥° 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑔ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐵𝐶 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑎. ∆𝐵𝑃𝐷 = 90° 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 ∆𝐵𝑃𝐷. ∠𝐵𝑃𝐷 + ∠𝑃𝐷𝐵 + ∠𝐷𝐵𝑃 = 180° 90° + 𝑥° + 𝑦° = 180° 𝑥° + 𝑦° = 90°



Kitab Numerik



∴ [𝐷]



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas Geometri 2 ini berhubungan dengan panjang dan luas. 1. Pada gambar di bawah ini, luas daerah yang diarsir sebesar …



√ e. 36𝜋 + 27 3 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 − 𝐽𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑂𝐴𝐵 + ∆𝑂𝐴𝐵 60 1 𝜋6 − 𝜋6 + × 6 × 6 360 2 × sin 60 √ 5 𝜋 × 36 + 9 3 6 √ 30𝜋 + 9 3 ∴ [𝐷] 3. ABCD adalah sebuah persegi dan salah satu sisinya, AB, adalah tali



a. 18 b. 20 c. 24



busur dari lingkaran seperti pada diagram di bawah. Berapa luas persegi tersebut?



d. 28 e. 32



𝐿𝑢𝑎𝑠 = 𝐴𝐶𝐸 − 𝐵𝐶𝐷 1 1 = × 12 × 7 − × 8 × 6 2 2 42 − 24 = 18 ∴ [𝐴] 2. Pada gambar di bawah ini, luas daerah yang diarsir sebesar (OA = 6) …



a. 3 b. 9 c. 12



√ d. 12 2 e. 18



√ 𝐴𝐵 = 3 2 (𝑝ℎ𝑦𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠) √ 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 2 = 18 ∴ [𝐸] 4. Pada gambar di bawah ini, ABCD adalah sebuah persegi panjang dan AF sejajar BE. Apabila 𝑥 = 5 dan 𝑦 = 10, maka luas ∆𝐴𝐹𝐷 adalah …



√ a. 10𝜋 + 27 3 √ b. 10𝜋 + 3 √ c. 30𝜋 + 27 3 √ d. 30𝜋 + 9 3



Kitab Numerik



a. 2,5 b. 5



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas c. 12,5 d. 5 e. 50 + 5𝑦



𝐴𝐹 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝐸 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟, 𝐴𝐷 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝐶 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐵𝐸 = 𝐴𝐹 1 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐹𝐷 = × 5 × 5 2 = 12,5 ∴ [𝐶] 5. Pada gambar di bawah ini, ABCD adalah sebuah persegi, dan BC menyinggung suatu lingkaran



𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 4 × 4 = 16 ∴ [𝐶] 6. AB dan CD adalah tali busur suatu lingkaran. E dan F adalah titik tengah masing-masing tali busur. Apabila EF melalui titik pusat O lingkaran, dan EF = 17, jari-jari lingkaran memiliki panjang …



dengan jari-jari 3. Apabila 𝑃𝐶 = 2, luas dari persegi ABCD adalah … (Gambar tidak sesuai skala)



a. 10 b. 12 c. 13 a. 9 b. 13 c. 16 d. 18 e. 25



Kitab Numerik



d. 15 e. 25



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas



𝑟 = 𝑥 + 5 = (17 − 𝑥) + 12 𝑥 + 25 = 289 − 34𝑥 + 𝑥 + 144 34𝑥 = 408 → 𝑥 = 12 𝑟 = 5 + 12 = 13 ∴ [𝐶] 7. Pada diagram di bawah, berapakah luas ∆𝐴𝐵𝐶 apabila = 3? (Gambar tidak sesuai skala)



∆𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 ∆𝐸𝐶𝐷 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐷𝐶 𝐸𝐶 = 𝐵𝐶 𝐴𝐶 4 12 = 9 𝐴𝐶 9 𝐴𝐶 = 12 × = 27 4 1 ∆𝐴𝐵𝐶 = × 9 × 27 = 121,5 2 ∴ [𝐷] 8. Pada diagram di bawah, 𝐴𝐵 = 10. Panjang CD adalah … (Gambar tidak sesuai skala)



a. 12 b. 24 c. 81 d. 121,5 e. 143



Kitab Numerik



a. 5 √ b. 5 3 c. √ d. 10 √ e. 10 3



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas e. 12a



𝐴𝐵 =√ 10 𝐴𝐶 = 5 3 ∆𝐴𝐶𝐵 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 ∆𝐸𝐶𝐷 𝐷𝐶 𝐸𝐶 = 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐶 10 = √ 5 5 3 10 𝐷𝐶 = √ 3 ∴ [𝐶] 9. Pada diagram di bawah, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 adalah sebuah segienam beraturan dan 𝐴𝑂𝐹 adalah segitiga sama sisi. Apabila keliling ∆𝐴𝑂𝐹 adalah 2a, maka keliling segienam adalah …



𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝐴𝑂𝐹 = 3𝑥 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 = 6𝑥 = 2 × 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝐴𝑂𝐹 = 2 × 2𝑎 = 4𝑎 ∴ [𝐶] 10. Mana yang menunjukkan bahwa ∆𝐴𝐵𝐶 merupakan segitiga sikusiku? (I)



Sudut-sudutnya memiliki perbandingan 1: 2: 3



(II)



Salah satu dari sudutnya merupakan jumlah dari kedua sudut lainnya



(III)



∆𝐴𝐵𝐶 sebangun dengan segitiga siku-siku ∆𝐷𝐸𝐹



a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. I, II, dan III



a. 2a b. 3a c. 4a d. 6a



Kitab Numerik



(𝐼) 𝑘 + 2𝑘 + 3𝑘 = 180 6𝑘 = 180 → 𝑘 = 30 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 3𝑘 = 90° → 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 (𝐼𝐼) 𝐴=𝐵+𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180 2𝐴 = 180 → 𝐴 = 90° → 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 (𝐼𝐼𝐼) 𝑆𝑢𝑑𝑎ℎ 𝑗𝑒𝑙𝑎𝑠. ∴ [𝐸]



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas 11. Mana yang menunjukkan hubungan yang tepat dalam segiempat berikut? (Gambar tidak digambar sesuai skala)



a. 3 b. 4



a. b. c. d. e.



∠A = ∠C ∠B > ∠D ∠A < ∠C ∠B = ∠D ∠A = ∠B



c. 5 √ d. 15 √ e. 3 2 𝑃𝑅 = 𝐴𝐶 = 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 (𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛) 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 ∆𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐶 = 5 + 3 = 34 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 ∆𝑃𝑄𝑅 𝑃 𝑅 = 𝑃 𝑄 + 𝑄𝑅 34 = 𝑙 +√16 √ 𝑙 = 18 → 𝑙 = 9 × 2 = 3 2 ∴ [𝐸] 13. Berapakah keliling dari ∆𝐴𝐵𝐶 seperti pada diagram?



𝐴𝐵𝐷 > 𝐵𝐷𝐴 (𝑖) 𝐷𝐵𝐶 > 𝐶𝐷𝐵 (𝑖𝑖) 𝐴𝐵𝐷 + 𝐷𝐵𝐶 > 𝐵𝐷𝐴 + 𝐶𝐷𝐵 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐵 > 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐷 ∴ [𝐵] 12. Pada diagram di bawah, ABCD dan PQRS adalah persegi panjang yang berada di dalam lingkaran. AB = 5, AD = 3, dan QR =4. Panjang dari 𝑙 adalah …



a. b. c. d. e.



√ 2+4 2 √ 4+2 2 8 √ 4+4 2 √ 4+4 3 𝑦=𝑧=𝑥 (𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑙𝑎𝑘𝑎𝑛𝑔) 𝐷𝑎𝑙𝑎𝑚 ∆𝐴𝐵𝐶, 𝑧 + 𝑧 + 2𝑧 = 180° 4𝑧 = 180° → 𝑧 = 45°



Kitab Numerik



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas 𝐴𝐵𝐶 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝐴 𝐴𝐵 = √2 𝐵𝐶 = 2√2 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 2 + 2 + 2 2 √ =4+2 2 ∴ [𝐵] 14. Dalam diagram berikut, ABCD adalah suatu persegi panjang. Titik E dan F terletak pada BC dan CD secara berturut-turut sehingga EC =3 dan FC = 4. Diketahui bahwa AD = 12, dan luas ∆𝐴𝐹𝐶 = luas ∆𝐴𝐸𝐶. Mana yang merupakan keliling dari persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷?



a. 42 b. 50 c. 56 d. 64 e. 72 4 × 12 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐹𝐶 = = 24 2 3 × 𝐴𝐵 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐸𝐶 = = 24 2 𝐴𝐵 = 16 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 12 × 2 + 16 × 2 = 56 ∴ [𝐶] 15. Pada diagram di bawah, 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah sebuah persegi panjang, dan luas dari 𝐴𝐹𝐶𝐸 sama dengan luas 𝐴𝐵𝐶. Nilai x adalah …



Kitab Numerik



a. 5 b. 6 c. 7 d. 12 e. 15 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐶𝐹𝐸 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐶𝐷 − 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐹𝐷 + 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐵𝐶 − 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐸𝐵𝐶 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐵𝐶 … ∗ 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑙𝑢𝑎𝑠 ∗ 𝐴𝐶𝐷 =∗ 𝐴𝐹𝐷 +∗ 𝐸𝐵𝐶 1 ∗ 𝐴𝐶𝐷 = × 8 × 4 = 16 2 1 ∗ 𝐴𝐹𝐷 = × 5 × 4 = 10 2 ∗ 𝐸𝐵𝐶 = 6 1 6 = × 4 × (8 − 𝑥) 2 3=8−𝑥 𝑥=5 ∴ [𝐴] 16. Pada diagram di bawah, ABCD adalah sebuah persegi panjang, F dan E adalah sebuah titik yang terletak pada AB dan AC. Luas ∆𝐷𝐹𝐵 adalah 9 dan luas ∆𝐵𝐸𝐷 adalah 24. Berapa keliling persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷?



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas a. 18 b. 23 c. 30 d. 42 e. 48



a. I dan II saja b. II dan III saja c. III dan IV saja ∆𝐷𝐹𝐵 = 9 = ∆𝐴𝐵𝐷 − ∆𝐴𝐹𝐷 1 1 (𝑥 + 2)(𝑦 + 4) − 𝑥(𝑦 + 4) = 9 2 2 1 (𝑦 + 4)(2) = 9 2 𝑦+4=9→𝑦 =5 ∆𝐵𝐸𝐷 = 24 = ∆𝐶𝐷𝐵 − ∆𝐶𝐷𝐸 1 1 (𝑥 + 2)(𝑦 + 4) − (𝑥 + 2)(𝑦) = 24 2 2 1 (𝑥 + 2)(4) = 24 2 𝑥 + 2 = 12 𝑥 = 10 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 2(12) + 2(9) = 42 ∴ [𝐷] 17. Pada diagram di bawah, ABC dan ADC adalah segitiga siku-siku. Mana yang bisa merupakan panjang dari AD dan CD secara



d. IV dan I saja e. I, II, dan III saja 𝐴𝐶 = 5 𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝐷, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐶 √ 25 = 1 + 24 (𝐼𝐼𝐼) 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝐴, 𝐴𝐶 + 𝐴𝐷 =√𝐷𝐶 25 + 1 = 26 (𝐼𝑉 )𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 ∴ [𝐶] 18. Pada diagram di bawah, jari-jari lingkaran yang besar bernilai tiga kali lebih besar dari jari-jari lingkaran kecil. Kedua lingkaran disusun konsentris, berapakah perbandingan daerah yang diarsir dengan yang tidak diarsir?



berurutan? (Diagram tidak digambar sesuai skala, sudut sikusiku pada ADC dapat berada di A, C, ataupun D) √ √ (I) 3 dan 4 (II) (III) (IV)



4 dan 6 √ 1 dan 24 √ 1 dan 26 a. 10: 1 b. 9: 1 c. 8: 1



Kitab Numerik



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas d. 3: 1 e. 5: 2 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 = 3𝑟 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 𝑟 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟: 𝜋(3𝑟) − 𝜋𝑟 = 𝜋9𝑟 − 𝜋𝑟 = 8𝜋𝑟 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟: 𝜋𝑟 8∶1 ∴ [𝐶] 19. Pada diagram di bawah, QRST adalah sebuah persegi. Apabila daerah yang diarsir dibatasi oleh busur-busur lingkaran yang berpusat di Q, R, S, dan T, maka luas daerah yang diarsir adalah …



√ a. 2 b. 4 √ c. 2𝜋 √ d. 4 2 e. 32 𝑟 = 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 √ 2𝜋 = 𝜋𝑟 → 𝑟 = 2 √ 𝑆𝑖𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 =√4𝑟 = 4 2 𝐿𝑢𝑎𝑠 = 4 2 = 32 ∴ [𝐸] 21. Diagram berikut menunjukkan sebuah lingkaran yang terpotong ditempelkan di atas sebuah persegi dengan panjang sisi 4. Kelling luar



a. 9



dari diagram tersebut adalah …



b. 36 c. 36 − 9𝜋 d. 36 − 𝜋 e. 9 − 3𝜋 𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑇𝑆 = 3 − (−3) = 6 𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = 3 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 1 = 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 − 4 × 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 4 1 6 × 6 − 4 × 𝜋(3) 4 36 − 9𝜋 ∴ [𝐶] 20. Pada diagram di bawah, QRST adalah sebuah persegi. Apabila luas setiap lingkaran adalah 2𝜋, luas persegi 𝑄𝑅𝑆𝑇 adalah …



Kitab Numerik



a.



+ 12



b. 𝜋 + 12 c. + 12 d.



+ 12



e. 9𝜋 + 12 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖, 4 × 3 = 12 𝑟 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas (𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖) 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛, 360 − 60 × 2𝜋𝑟 360 300 = × 2𝜋 × 4 360 20𝜋 3 20𝜋 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑘𝑎𝑛, + 12 3 ∴ [𝐷] 22. Sebuah segitiga sama sisi diletakkan pada lingkaran seperti



√ 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = 2 × sin 60 = 3 𝐷𝑖𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 (2 + 1) √ 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑠 2 × 3 √ √ 1 ×3×2 3 = 3 3 2 ∴ [𝐷] 23. Pada diagram di bawah, sebuah lingkaran dengan pusat O diletakkan dalam persegi PQRS. Luas daerah yang diarsir adalah …



pada gambar. Apabila jari-jari lingkaran 2, berapakah luas segitiga tersebut?



a. 36 − 9𝜋 b. 36 − c.



a.



√



√ b. 2 √ c. 3 √ d. 3 3 √ e. 10 3 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖



−



d. 18 − 9𝜋 e. 9 − 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = 𝜋(3) = 9𝜋 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 = (6) = 36 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 − 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 2 36 − 9𝜋 = 2 ∴ [𝐶] 24. Pada diagram di bawah, panjang QS adalah …



𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ,



𝑀𝑒𝑛𝑔𝑔𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖, 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙 = 2 × cos 60 = 1



Kitab Numerik



√ a. 51 √ b. 61 √ c. 69



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas √ d. 77 √ e. 89 𝑃𝑆 =



10 − (5 + 3) = 6 √ 𝑄𝑆 = 5 + 6 = 61 ∴ [𝐵] 25. Pada diagram di bawah, apabila rusuk 𝑥 ditambah 3 satuan, hasilnya menjadi sebuah persegi dengan luas 20. Berapakah luas awalnya?



c. 28𝜋 d. 32𝜋 e. 56𝜋 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑂 𝑝𝑢𝑠𝑎𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛, 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐴𝑂𝐶 = 2 × 40 = 80° 𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐶 = 80 × 2𝜋𝑟 360 2 = × 2 × 𝜋 × 18 = 8𝜋 9 𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵𝐶 = 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 − 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐶 2𝜋(18) − 8𝜋 = 28𝜋 ∴ [𝐶] 27. Pada diagram di bawah, keliling lingkaran adalah 20𝜋. Mana yang merupakan luas maksimal dari



a. b. c. d. e.



√ 20 − 3 20 √ 20 − 2 20 √ 20 − 20 √ 20 − 2 19



(𝑥 + 3) = 20 √ 𝑥+3= √ ± 20 𝑥 = 20√− 3 𝑦 = 𝑥 + 3 = 20 √ √ 𝑥𝑦 = 20 − 3 20 √ = 20 − 3 20 ∴ [𝐴] 26. Pada diagram di bawah ini, apabila diameter lingkaran 36, berapakah panjang busur ABC?



a. 8 b. 8𝜋



Kitab Numerik



segiempat yang berada di dalam lingkaran?



a. 80 b. 200 c. 300 √ d. 100 2 √ e. 200 2 𝑀𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑎𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖.



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas 2𝜋𝑟 = 20𝜋 → 𝑟 = 10 𝑆𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡 = 10√2 𝐿𝑢𝑎𝑠 = 10√2



= 200 ∴ [𝐵] 28. Pada diagram di bawah, sebuah lingkaran dengan pusat O memiliki √ keliling sebesar 12𝜋 3. Apabila AC adalah diameter lingkaran, berapakah panjang AB? a. b. c. d. e.



a. b. c. d. e.



√ 3 2 6 √ 6 3 18 √ 18 3



𝐴𝐶 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐶𝐵𝐴 = 90° √ 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 𝜋𝐷 = 12𝜋 3 √ √𝐷 = 12 3 𝐴𝐵 = 12 3 × sin√30 =6 3 ∴ [𝐶] 29. Pada diagram di bawah, sebuah



√ 3−𝜋 √ 9 3 − 3𝜋 √ 27 3 − 9𝜋 √ 6 3 − 3𝜋 √ 6 3 − 2𝜋



𝑟 tan 30 = √ 3 3 √ 1 𝑟 = 3 3×√ = 3 3 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = 𝜋3 = 9𝜋



lingkaran diletakkan dalam sebuah segitiga sama sisi dengan panjang √ sisi 6 3. Berapakah luas daerah yang diarsir?



1 √ 6 3 (9) 2 √ = 27 3 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 √ 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟: 27 3 − 9𝜋 ∴ [𝐶] 30. Pada diagram di bawah, dua buah 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 =



lingkaran identik diletakkan dalam sebuah persegi yang memiliki sisi



Kitab Numerik



Modul 23: Geometri 2 – Panjang dan Luas √ dengan panjang ( 2 + 2). Berapakah luas daerah yang diarsir?



a. b. c. d. e.



√ 6 + 4 2 − 6𝜋 √ 6 + 2 2 − 4𝜋 √ 6 + 4 2 − 2𝜋 √ 6 + 2 2 − 2𝜋 √ 6 + 4 2 − 4𝜋



√ √ 𝐴𝐷 =√ 2 + 2 = 𝑟 √2 + 2𝑟 2+2 = 𝑟 2+2 𝑟=1 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 √ √ = 2+ 2 = 4+4 2+2 √ =6+4 2 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = 𝜋(1) = 𝜋 2 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 → 2𝜋 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟: 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 − 𝑙𝑢𝑎𝑠 2 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 √ 6 + 4 2 − 2𝜋



Kitab Numerik



∴ [𝐶]



Modul 24: Geometri Koordinat 1. Pada diagram di bawah, ABCO



𝑆𝑢𝑑𝑎ℎ 𝑗𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎, 𝑅(2,0)



adalah sebuah persegi. Apabila



𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦 𝑇𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ = ( + ) 2 2



koordinat B adalah (h,4), nilai dari h adalah …



2+2 2+0 , 2 2 = (2,1) ∴ [𝐷] 3. Pada diagram di bawah, gradien 𝑚𝑎𝑘𝑎, 𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑇 =



dari garis yang menghubungkan kedua titik adalah …



a. 4 √ b. 4 2 √ c. −4 2 d. −4 e. Informasi yang diberikan tidak cukup. 𝐵 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑑𝑖 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 4 𝑀𝑎𝑘𝑎 𝐶 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑑𝑖 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 4. 𝐶(0,4) 𝑑𝑎𝑛 𝑂(0,0) 𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦𝑎 4. 𝑀𝑎𝑘𝑎, 𝐵(−4, 4) ∴ [𝐷] 2. Pada diagram di bawah, PQRO adalah sebuah persegi. Apabila T adalah titik tengah dari QR, koordinat T adalah …



a. b. 1 c. d. e. 2 ∆𝑦 4 − 2 2 = = ∆𝑥 5 − 1 4 1 = 2 ∴ [𝐶] 4. Pada diagram di bawah, luas dari 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 =



bangun segiempat yang diarsir adalah …



a. (1, 1) b. (1, 2) c. (1,5, 1,5) d. (2, 1)



a. 2



e. (2, 3)



b. 4



Kitab Numerik



Modul 24: Geometri Koordinat c. 6



6. Pada diagram di bawah, panjang



d. 8



OP = 6. Mana yang pasti benar



e. 11



untuk ordinat (y) dari titik P?



a. y < 6 b. y > 6 c. y > 5 𝐿𝑢𝑎𝑠 = 2 𝑙𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 1 =2× ×4×2 2 =8 ∴ [𝐷] 5. Pada diagram di bawah, keliling



d. y = 6 e. y < 5



dari segitiga ABC adalah …



|𝑃 𝑃 | < |𝑂𝑃 | 𝑦 B



Luas segiempat JKLM



b. B > A c. A = B d. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memilih salah satu dari ketiga jawaban di atas



A Gradien 𝑙 a. A > B



B Gradien 𝑙



b. B > A



𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐾𝐿𝑀𝑁 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝑁𝑀𝐾 + ∆𝑀𝐾𝐿 1 1 (8)(5) + (8)(5) = 40 2 2 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐽𝐾𝐿𝑀 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐽𝐾𝑀 + ∆𝑀𝐾𝐿 1 1 (8)(5) + (8)(5) = 40 2 2 𝐴=𝐵 ∴ [𝐶] 13. Pada diagram di bawah, gradien



c. A = B



garis yang menghubungkan A



d. Informasi yang diberikan tidak



dengan C adalah



cukup untuk memilih salah satu dari ketiga jawaban di atas.



dan panjang



𝐵𝐶 adalah 4. Berapakah panjang AB?



𝑀𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥, |𝑚| ≪ |𝑚 | < |𝑚 | 𝑁𝑎𝑚𝑢𝑛, 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑚 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑚 > 𝑚 ∴ [𝐴] 12. Disajikan diagram seperti di bawah:



a. b. c. 3 d. 4 e. 12



A



Kitab Numerik



B



𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝐵(−𝑎, 𝑏) 𝑀𝑎𝑘𝑎: 𝐶(−𝑎 + 4, 𝑏) 𝐴 = (−𝑎, 𝑥)



Modul 24: Geometri Koordinat 1 ∆𝑦 = 3 ∆𝑥 1 (𝑏 − 𝑥) = 3 −𝑎 + 4 − (−𝑎) 1 𝑏−𝑥 = 3 4 4 =𝑏−𝑥 3 4 𝑥=𝑏− 3 4 𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 𝐴 −𝑎, 𝑏 − 3 𝑡𝑒𝑟ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝐵(−𝑎, 𝑏) 4 = 3 ∴ [𝐵] 14. Pada diagram di bawah, luas dari daerah yang diarsir adalah …



1 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝑃𝑅𝑆 = × 4 × 3 = 6 2 6+1 = 7 ∴ [𝐸] 15. Pada diagram di bawah, koordinat dari titik E adalah …



a. 4 b. 4,5 c. 5 d. 6,5 e. 7



a. (2, 0) b. (2, 3) c. (6, 2) d. (6, 6) e. (6, 8)



1 1 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝑃𝑄𝑅 = × 4 × = 1 2 2



Kitab Numerik



Modul 24: Geometri Koordinat ∆𝐴𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 ∆𝐷𝐶𝐸 𝐶𝐵 𝐴𝐶 = 𝐷𝐶 𝐶𝐸 3 6 = 4 𝐶𝐸 𝐶𝐸 = 8 𝐸 = (6, 8) ∴ [𝐸]



Kitab Numerik