Pembuktian Tautologi Dan Invalid [PDF]

Citation preview

INDIRECT PROOF, ATURAN PEMBUKTIAN TAUTOLOGI & PEMBUKTIAN INVALIDITAS ARGUMEN



INDIRECT PROOF



Pembuktian Tak Langsung → IP



Reductio ad Absordum (RAA) Pembuktian validitas argument dilakukan dengan cara mengkombinasikan premis-premis dengan penyangkala konklusinya, sehingga diperoleh kontradiksi. Pembuktian validitas argumen dengan metode ini dilakukan dengan jalan membentuk negasi dari



konklusinya, yang kemudian dijadikan premis tambahan. Jika sebagai akibat langkah ini muncul sebuah kontradiksi, maka apa yang kita buktikan berarti semua argumen yang valid.



Dengan menggunakan bukti tak langsung ( Indirect Proof ) aturan penarikan kesimpulan dan susunlah bukti formal



validitas argumen berikut: a.



Bukti Validitas: 1. N  M



Pr.



1. N  M



Pr.



2. M  D



Pr.



2. M  D



Pr.



3. M  P



Pr.



3. M  P



Pr.



4. ~P



Pr.



4. ~P



Pr.



5. M  N



Pr. /  D



5. M  N



Pr. /  D



6. ~D



(IP)



7. N  D



1,2 HS



8. ~N



7,6 MT



9. ~M



3,4 MT



10. N



5,9 DS



11. N  ~N



8,10 Conj



b.



Bukti Validitas: 1. P  (L  G) 2. P  ~G



Pr. Pr. /  ~L



Bukti Validitas: 1. P  (L  G)



2. P  ~G 3. L 4. P



Pr.



Pr. /  ~L (IP) 2, Simp



5. L  G



1, 4 MP



6. G



3,5 MP



7. ~G  P 8. ~G 9. G  ~G



2, Comm 7, Simp 6,8 Conj.



c.



1. (S  Q)  R 2. (P  S)  Q /  P R



1. (S  Q)  R



Pr.



2. (P  S)  Q



Pr. /  P R



3. P



CP / R



4. ~R



(IP)



5. ~(S  Q)



1,4 MT



6. S  ~Q



5, Equiv



7. ~Q  S



6, Comm



8. ~Q



7, Simp



9. ~(P  S)



2,8 MT



10. ~S  ~P



9 De M



11. S



6, Simp



12. ~~S



11, DN



13. ~P



10,12 DS



14. P  ~P



3,13 Conj



d. 1. P 2. (P  R)  D



Pr. Pr. /  P  D



Bukti Validitas:



e.



1. ~A  ~B 2. (A  C)  [(A  C)  B]



Pr. Pr. /  (A  C)  ~A



Bukti Validitas:



1. P



Pr.



1. ~A  ~B



Pr.



2. (P  R)  D



Pr. /  P  D



2. (A  C)  [(A  C)  B]



Pr. /  (A  C)  ~A



3. ~(P  D)



IP



3. A  C



CP /  ~A



4. ~D  ~P



3, De M



4. ~~A



IP



5. ~P  ~D



4, Comm



5. ~B



1,4 DS



6. ~~P



1, DN



6. [(A  C)  B]  (A  C)



2, Comm



7. ~D



5,6 DS



7. (A  C)  B



6, Simp



8. ~(P  R)



2,7 MT



8. B



7,3 MP



9. ~R  ~P



8, De M



9. ~B  B



5,8 Conj



10. ~P  ~R



9, Comm



11. ~P



10, Simp



12. P  ~P



1,11 Conj



TAUTOLOGI



Tautologi adalah pernyataan yang selalu benar tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponennya.



• Untuk membuktikan tautologi biasanya kita gunakan tabel kebenaran. Jika hasilnya bernilai kebenaran B semua untuk setiap kemungkinan / komposisi nilai kebenaran komponen penyusunnya, maka berarti pernyataan tersebut termasuk Tautologi. • Setiap pernyataan kondisional berkorespondensi dengan sebuah argumen yang premisnya adalah anteseden dari kondisionalnya, sedangkan konklusinya merupakan konsekuennya. Pernyataan kondisional merupakan Tautologi jika dan hanya jika argumen yang berkorespondesi dengan kondisional



tersebut merupakan argumen yang valid.



Contoh 1: (P R)  P merupakan tautologi.



Pernyataan (P R)  P diimplikasi menghasilkan: ~(P R)  P ≡ (P  ~R)  P Pernyataan diatas berkorespondensi dengan:



(P  ~R) / P Dengan P  ~R sebagai premis, lalu kita operasikan dengan



Tabel Kebenaran



P



simplikasi akan menghasilkan P, maka terbukti bahwa pernyataan



R



P R



(P R)  P



1



1



1



1



1



0



0



1



0



1



1



1



0



0



1



1



(P  ~R) / P valid. Karena (P  ~R) / P valid, maka (P R)  P merupakan



tautologi.



Pernyataan (P ∧ Q)  (P Q) berkorespondensi dengan:



Contoh 2: (P ∧ Q)  (P Q) merupakan



(P  Q)



/ P Q



tautologi.



P



CP/ Q



Bukti Validitas:



Tabel Kebenaran



P



Q



1



1



P ∧ Q P Q 1



1



(P ∧ Q)  (P Q) 1



1



0



0



0



1



0



1



0



1



1



0



0



0



1



1



1. (P  Q)



/ P Q



2. P



CP/ Q



3. P  (P  Q)



2,1 Conj



4. (P  P)  Q



3, Ass



5. T  Q



4, Taut



6. Q  T



5, Comm



7. Q



6, Simp



Contoh 3:



Pernyataan



[ P  Q  Q  R ]  P  R adalah tautologi



[ PQ  QR ] PR berkorespondensi dengan argumen:



PQ (Q  R)



Tabel Kebenaran P



Q



R



PQ



QR



PQ  QR



PR



[ PQ  QR ]  PR



1



1



1



1



1



1



1



1



1



1



0



1



0



0



0



1



1



0



1



0



1



0



1



1



1



0



0



0



1



0



0



0



1



1



1



1



1



0



1



0



1



0



0



0



1



1



0



0



0



1



(CP) P  R Pembuktian Validitas argument



1. P  Q



Pr.



1



2. Q  R



CP /  P  R



1



1



3. P  R



1,2 HS



0



1



1



1



1



1



1



1



1



1



1



Pernyataan (P ∧ Q) ∨ (∼ P ∨ (P ∧ ∼Q)) diimplikasi menghasilkan:



Contoh 4:



~(P ∧ Q)  ∼P ∨ (P ∧ ∼Q) ≡ (~Q ∨ ~P)  (~~P  (P ∧ ∼Q))



(P ∧ Q) ∨ (∼P ∨ (P ∧ ∼Q)) is a tautology.



Pernyataan diatas berkorespondensi dengan:



(~Q  ~P) / ~~P  (P ∧ ∼Q)



Pembuktian Validitas: Tabel Kebenaran



P



Q ∼P ∼Q P ∧ ∼Q



1



1 0



0



0



∼P ∨ (P ∧ ∼Q)



P∧Q



(P ∧ Q) ∨ (∼P ∨ (P ∧ ∼Q)



0



1



1



1



0 0



1



1



1



0



1



0



1 1



0



0



1



0



1



0



0 1



1



0



1



0



1



1. (~Q ∨ ~P)



/ ~~P  (P ∧ ∼Q)



2. ~~P



CP /  P ∧ ∼Q



3. ~P ∨ ~Q



1, Comm



4. ~Q



3,2 DS



5. P



2, DN



6. P ∧ ∼Q



5,4 Conj



PEMBUKTIAN INVALIDITAS ARGUMEN



Argumen yang mepunyai premis-premis bernilai benar sedangkan konklusinya bernilai salah disebut Argumen Invalid. • Nyatakanlah sebuah situasi dimana premisnya benar sedangkan konklusinya salah.



• Memeriksa apakah argumen yang harus dibuktikan kevaliditasannya mempunyai bentuk atau susunan yang sama dengan argumen tertentu yang telah diketahui invaliditasnya. • Pembuktian melalui tabel kebenaran. Ini dapat terjadi karena sebuah argumen termasuk invalid jika paling sedikit mempunyai satu "Substitution Instance" dengan premis-premis yang benar dan sebuah konklusi yang salah. Adanya



hal ini memberikan petunjuk kepada kita bahwa ternyata ada metode singkat (jalan pintas) dalam memperlihatkan invaliditas sebuah argumen.



Contoh 1: Perhatikan argumen berikut :



P Q



Pr.



Q R



Pr. /  P  R



Dalam pernyataan kondisional yang berkorespondensi dengan argumen diatas, argumen tersebut dapat dinyatakan dengan :



[(P  Q)  (Q  R)]  (P  R) 0



1 1 0



1 1



1



0 0



0



0



Karena saat P bernilai salah, Q benar, dan R salah mengakibatkan pernyataan [(P  Q)  (Q  R)]  (P  R) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa argument diatas invalid.



Tabel Kebenaran [ PQ  QR ] PR



P



Q



R



PQ



QR



PR



1



1



1



1



1



1



1



1



0



1



1



1



1



0



1



1



1



1



1



0



0



1



0



1



0



1



1



1



1



1



0



1



0



1



1



0



PQ  QR



[ PQ  QR ]  PR



0



0



1



0



1



1



1



1



0



0



0



0



0



0



1



1



1



1



Terlihat pada tabel diatas baris kritisnya (baris dengan semua premis bernilai



0



1



benar) adalah baris 1, 2, 3, 5 & 6.



1



1



Karena pada baris ke-6 menghasilkan konklusi yang salah, maka terbukti



1



0



0



1



0



1



bahwa argument tersebut invalid. Sehingga nilai kebenaran seluruh argument



terlihat seperti tabel di samping.



Contoh 2 : Perhatikan argumen berikut : P  (Q  ~R)



Pr.



Q  (P  R)



Pr. /  P  R



Dalam pernyataan kondisional yang berkorespondensi dengan argumen diatas, argumen tersebut dapat dinyatakan dengan :



[P  (Q  ~R)  Q  (P  R)]  (P  R) 1



1



0



1



0 1



1



1 0



1



0



0



0



0



0



Karena saat P bernilai benar, Q salah, dan R salah atau saat semua premis bernilai benar mengakibatkan pernyataan [P  (Q  ~R)  Q  (P  R)]  (P  R) bernilai salah, maka terbukti bahwa argument diatas invalid.



Tabel Kebenaran [P  (Q ~R)  Q  (P  R)]  (P  R) P



Q



R



~R



Q ~R



PR



P  (Q ~R)



Q (P  R)



PR



1



1



1



0



1



1



1



1



1



1



1



0



1



1



0



1



0



0



Karena



pada



baris



ke-4



1



0



1



0



0



1



0



1



1



1



0



0



1



1



0



1



1



0



salah



0



1



1



0



1



0



1



0



1



maka terbukti bahwa argument



0



1



0



1



menghasilkan konklusi yang untuk



premis



tersebut invalid.



0



1



0



1



1



0



0



1



0



0



0



1



1



1



0



0



0



1



1



0



1



1



1



benar,



(P  Q)  (Q  P)  (P  Q) (PQ)  (P  Q)



Contoh 3: Show that the argument P  Q Q  P



0



1



 PQ



0



is invalid



0



0



0



0



Karena saat P dan Q bernilai salah atau saat premis bernilai benar



mengakibatkan pernyataan (PQ)  (P  Q) bernilai salah, maka terbukti bahwa argument diatas invalid. Tabel Kebenaran (PQ)  (P  Q)



P



Q



PR



PQ



1



1



1



1



1



0



0



1



salah



0



1



1



1



maka terbukti bahwa argument



0



0



1



0



tersebut invalid.



Karena pada baris terakhir menghasilkan konklusi yang



untuk



premis



benar,



1



1 1 0



Contoh 4 : Perhatikan argumen berikut : P  (Q  R) Pr ~R Pr /  P  Q



Dalam pernyataan kondisional yang berkorespondensi dengan argumen diatas, argumen tersebut dapat dinyatakan dengan :



[(P  (Q  R))  ~𝐑]  (P  Q) 1 1



1 0



0



0 0



0



0



0 0



Terlihat bahwa terdapat ketidaksesuaian untuk argument P  (Q  R), karena saat P bernilai 0, haruslah Q  R bernilai 1 atau sebaliknya agar P  (Q  R) bernilai 1. Namun, hal tersebut tidak dapat terpenuhi karena akan bertentangan dengan



premis lain dan konsekuennya. Karena terjadi perbedaan beberapa nilai, maka argument diatas tidak terbukti invalid.



Bukti Validitas:



1. P  (Q  R)



Pr



2. ~R



Pr /  P  Q



Tabel Kebenaran P PQ (Q  R)



1. P  (Q  R)



Pr



2. ~R



Pr /  P  Q



3. ~(P  Q)



IP



4. ~Q  ~P



3, De M



5. ~P  ~Q



4, Comm



6. ~P



5, Simp



P



Q



R



QR



~R



1



1



1



1



0



1



1



7. Q  R



1,6 DS



1



1



0



1



1



1



1



8. ~Q



4, Simp



1



0



1



1



0



1



1



9. R



7,8 DS



1



0



0



0



1



1



1



10. ~R  R



2,9 Conj



0



1



1



1



0



1



1



0



1



0



1



1



1



1



Karena pada baris ke-2, 4, dan 6 menghasilkan konklusi



yang benar untuk semua premis benar, maka terbukti 0



0



1



1



0



1



0



bahwa argument tersebut valid. 0



0



0



0



1



0



0



Contoh 5: Perhatikan argumen berikut : (S  W)  (B  T) Pr (T  H)  M Pr S Pr / M Dalam pernyataan kondisional yang berkorespondensi dengan argumen diatas, argumen tersebut dapat dinyatakan dengan :



[((S  W)  (B  T))  ((T  H)  M)  S]  M 1



1



1



0



1



0



0



1



0



1 0 dan 1



0



0



0



0



Terlihat bahwa terdapat ketidaksesuaian untuk argument S  W, karena saat S bernilai 1, haruslah S  W bernilai 1 juga. Namun, sebagai akibat dari premis (S  W)  (B  T) bernilai 1 untuk B  T bernilai 0, haruslah S  W bernilai 0.



Karena terjadi perbedaan untuk nilai S  W, maka argument diatas tidak terbukti invalid.



Pembuktian validitas argument:



(S  W)  (B  T)



Pr



1. (S  W)  (B  T)



Pr



(T  H)  M



Pr



2. (T  H)  M



Pr



S



Pr / M



3. S



Pr / M



4. ~M



(IP)



5. ~(T  H)



2,4 MT



6. ~H  ~T



5, De M



7. ~T  ~H



6, Comm



8. ~T



7, Simp



9. S  W



3, Add



10. B  T



1,9 MP



11. T  B



10, Comm



12. T



11, Simp



13. ~T  T



8,12 Conj