Penerapan Baris Dan Deret Dalam Ekonomi [PDF]

Citation preview

PENERAPAN BARIS DAN DERET DALAM EKONOMI



Dosen Pembimbing M.ZAIYAR, S.Pd.,M.Pd.



Disusun oleh AINI AULIA (1032018002) NADYA ALMUNAWARAH (1032018008)



INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) LANGSA FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN TAHUN AJARAN 2020 i



KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah senantiasa kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya. Sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini guna memenuhi tugas kelompok untuk mata kuliah Matematika Ekonomi, dengan judul “Penerapan Baris dan Deret dalam Ekonomi”. Kami menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini tidak terlepas dari bantuan banyak pihak yang dengan tulus memberikan doa, saran dan kritik sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Kami menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna dikarenakan terbatasnya pengalaman dan pengetahuan makalah yang kami miliki. Oleh karena itu, kami mengharapkan segala bentuk saran serta masukan bahkan keritik yang membangun dari berbagai pihak. Akhirnya kami berharap semogga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi perkembangan dunia pendidikan.



Medan, 8 April 2020



Penulis



i



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR DAFTAR ISI



i ii



BAB I PENDAHULUAN 1.1 latar belakang 1.2 rumusan maslah 1.3 tujuan



1 1 2



BAB II PEMBAHASAN A. Bunga sederhana dan potongan sederhana



3



B. Bunga majemuk



5



C. Nilai sekarang dengan bunga majemuk



7



D. Nilai yang akan datang dari Anuitas



8



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran



12 12



DAFTAR PUSTAKA



13



ii



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Suatu barisan adalah merupakan susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan diantara suku-suku yang berurutan ditentukan oleh suatu pertambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu. Penerapan barisan dan deret dalam suatu kasus Ekonomi dan Bisnis sering kali diperlihatkan khususnya dalam bidang kajian keuangan. Bidang kajian keuangan ini meliputi prosedur untuk mengombinasikan antar tingkat bunga dan pertimbangan waktu. Dalam analisis bidang keuangan biasanya meliputi variabel bebas ( periode waktu dan tingkat bunga), sedangkan untuk variabel tidak bebasnya meliputi ukuran nilai sekarang, pembayaran periodik yang dibutuhkan dalam suatu perkiraan, atau pembayaran per periode dari suatu pinjaman. Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus- kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung maupun deret ukur,. B. Rumusan Masalah 1. Apa itu bunga sederhana dan potongan sederhana? 2. Bagaimana bunga majemuk? 3. Bagaimana nilai sekarang dengan bunga majemuk? 4. Bagaimana nilai masa datang dari anuitas? 5. Bagaimana nilai sekarang dari anuitas?



1



C. Tujuan 1. Untuk mengetahui bunga sederhana dan potongan sederhana 2. Untuk mengetahui bunga majemuk 3. Untuk mengetahui nilai sekarang dengan bunga majemuk 4. Untuk mengetahui nilai masa datang dari anuitas 5. Untuk mengetahui nilai sekarang dari anuitas



2



BAB II PEMBAHASAN A. Bunga sederhana dan potongan sederhana 1. Bunga sederhana Bunga merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilamana kita menggunakan uang, jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank di sebut modal awal atau pinjaman pokok (principal).1 Misalkan p adalah investasi dan I adalah tingkat suku bunga tahunan, maka pendapatan bunga (interest earned) pada akhir tahun pertama adalah Pi dan jumlah dari p adalah ( p + pi ), sedangkan pada akhir tahun kedua nilai akumulasinya adalah p + p (2i) dan seterusnya sampai akhir tahun ke n, nilai akumulasinya adalah p+ pin Dari analisis sederhana di atas, selanjutnya pendapatan bunga tersebut di formulasikan ( bunga sederhana), sebagai berikut: I = Pin Dimana : I = jumlah pendapatan bunga p =Pinjaman pokok ( jumlah yang diinvestasikan ) i = tingkat bunga tahunan n = jumlah tahunan ( waktu) Adapun jumlah akumulasi selama n tahun dengan modal awal P, dinyatakan dengan formulasi : Fn = P + Pin atau Fn = P ( 1 + in)



Contoh : Jika besarnya pinjaman Rp 20.000.000,- dengan bunga sebesar 11% per tahunnya, maka berapakah nilai secara keseluruhan jika harus dikembalikan selama 12 tahun ? Jawab : 1



. Mesra , Penerapan Ilmu Matematika dalam Ekonomi dan Bisnis, (Deepublish, Yogyakarta: 2016). Hlm



80.



3



Diketahui P = 20.000.000,i= 11% maka: bunga per tahun : I = Pin = ( RP 20.000.000,-) . ( 0,11) = RP 2.200.000,Bunga selama 12 tahun : RP 2.200.000,- ( 12) = RP 26.400.000,Nilai yang terakumulasi selama 12 tahun : Fn = P + Pin = ( RP 20.000.000,-) + ( RP 26.400.000,-) = RP 46.400.000,-2 1. Potongan Sederhana Proses yang digunakan untuk memperoleh perhitungan nilai sekarang dari suatu nilai masa dating tertentu. Bila nilai dari masa dating (Fn), tingkat bunga (i) dan jumlah tahun (n) telah diketahui, maka rumus untuk memeperoleh nilai sekarang (p) adalah: P=



Fn ( 1+i. n )



atau P=Fn[



Fn ] ( 1+i . n )



Dimana: P = nilai sekarang Fn = nilai masa dating ke-n I = tingkat bunga N = jumlah tahun Contoh:



2



. Andi Supangat, Matematika Untuk Ekonomi dan Bisnis,(Kencana, Jakarta ,2006). Hlm:185-156.



4



Nona lisa ingin mengetahui berapa banyak nilai uang yang harus diinvestasikan di Bank saat ini, jika tingkat bunga di Bank per tahun 15 persen (bukan bunga majemuk) agar supaya pada akhir tahun kelima nilai uangnya menjadi Rp.20.000.000.3 Jawab : Diket: F₅ = 20.000.000 i = 0,15 n= 5 Tanya: P = ….? Jawab: P=



Fn ( 1+i. n )



P=



20.000.000 ( 1+0,15 ( 5 ) )



=



20.000.000 ( 1+0,75 )



=



20.000.000 1,75



=11.428.571, 429



B. BUNGA MAJEMUK Maksud dan pengertian dari bunga majemuk adalah merupakan perhitungan modal awal yang diakumulasikan dengan nilai bunga selama kurun waktu tertentu. Misalkan suatuonverstasi dari P rupiah pada tingkat suku bunga i per tahun , maka pendapatan bunga pada tahun pertama adalah Pi, sedangkan pendapatan bunga pada tahun 3



. Mesra , Penerapan Ilmu Matematika dalam Ekonomi dan Bisnis, (Deepublish, Yogyakarta: 2016). Hlm:81-82.



5



kedua , modal awal P sudah ditambahkan dengan tingkat suku bunga i , sehingga nilai uang pada akhir tahun pertama ( masuk ke tahun kedua) menjadi : P + Pi = P(1+ i ) Dan pada akhir tahun kedua ( masuk ke tahun ketiga ),menjadi : P (1 + i ) + P (1 + i) i = P + Pi + Pi + Pi2 = Pi2 + 2Pi + P = P (1 + i )2 Modal awal pada awal tahun ke tiga, menjadi : P (1 + i) 2 i , dan seterusnya sehingga pada awal tahun ke n, modal awal diformulasikan : Fn = P (1+ i) n Di mana: Fn : modal awal pada awal tahun ke n P : Investasi i



: tingkat suku bunga



n



: jumlah periode pinjaman



Sebagai ilustrasi dari contoh soal di atas, jika tingkat suku bunganya menggunakan model bunga majemuk, maka nilai pada akhir tahun ke 12, menjadi : Fn = ( Rp 20.000.000,- ) (1 + 0,11)12 Fn = Rp 69.969.012,Untuk kasus pembayaran bunga majemuk secara kuartal, bulanan, dan semesteran ( yang terjadi selama ini pada bank-bank komersial ), formulasinya dinyatakan dengan :4 Fn = P¿ Dimana : Fn = Nilai uang dimasa mendatang 4



. Andi Supangat, Matematika Untuk Ekonomi dan Bisnis,(Kencana, Jakarta ,2006). Hlm:187-189.



6



P = Modal awal i = tingkat suatu bunga per tahun m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun n = periode waktu yang ditetapkan Dari kasus contoh soal di atas, jika pengembalian dilakukan setiap bulan, maka: P = Rp 20.000.000,I = 11% m = 12 bulan n = 12 tahun Uang yang harus dikembalikan kepada yang meminjamkan : Fn= P¿ Fn = (20.000.000,-) (1+



0,11 (12 )(12) ¿ 12



= 74.419.574



C. Nilai sekarang dengan bunga majemuk        Nilai sekarang atau present value adalah berapa nilai uang saat ini untuk nilai tertentu di masa yang akan datang. Present value atau nilai sekarang bisa di cari dengan menggunakan rumus future value atau dengan rumus berikut ini : PV = FV ( 1 + r ) ^-n Keterangan : FV = ( Future value ( nilai pada akhir tahun ke n ) PV = ( Nilai sekarang ( nilai pada tahun ke 0 ) r = Suku bunga n = Waktu ( tahun ) ^ = tanda pangkat    Rumus diatas mengasumsikan bahwa bunga di gandakan hanya sekali dalam setahun, jika bunga digandakan setiap hari, maka rumusnya menjadi: PV = FV ( 1 + r / 360 ) ^-360 n 7



D. Nilai yang akan datang dari Anuitas       Nilai yang akan datang atau future value adalah nilai uang di massa yang akan datang dengan tingkat bunga tertentu.Future value atau nilai yang akan datang dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut : FV = PV ( 1 + r ) ^ n Keterangan: FV = ( Future value ( nilai pada akhir tahun ke n ) PV = ( Nilai sekarang ( nilai pada tahun ke 0 ) r = Suku bunga n = Waktu ( tahun ) ^ = tanda pangkat Rumus diatas mengasumsikan bahwa bunga di gandakan hanya sekali dalam setahun, jika bunga digandakan setiap hari , maka rumusnya menjadi: FV = PV ( 1 + r /360 ) ^ 360n Untuk menggambarkan penggunaan rumus diatas, maka diberi contoh berikut ini: Pada tanggal 2 januari 2000, Agung menabung uangnya ke bank mandiri sebesar Rp 2.000.000 dengan tingkat bunga sebesar 12 % pertahun. Hitung nilai tabungan agung pada tanggal 2 Januari 2002 dengan asumsi: Bunga dimajemukkan setahun sekali Bunga dimajemukkan sebulan sekali Bunga dimajemukkan setiap hari Jawab : FV = Rp 2.000.000 ( 1 + 0,12 ) ^2 = Rp 2.508.800 FV = Rp 2.000.000 ( 1 + 0,12 /12 ) ^12 ( 2 ) = Rp 2.539.470 FV = Rp 2.000.000 ( 1 + 0,12 /360 ) ^360 ( 2 ) = 2.542.397 Anuitas



8



     Anuitas adalah suatu rangkaian penerimaan atau pembayaran tetap yang dilakukan secara berkala pada jangka waktu tertentu. Selain itu anuitas juga diartikan sebagai kontrak di mana perusahaan asuransi memberikan pembayaran secara berkala sebagai imbalan premi yang telah Anda bayar. Contohnya adalah bunga yang diterima dari obligasi atau dividen tunai dari suatu saham preferen. 1. Anuitas biasa       anuitas yang pembayaran atau penerimaannya terjadi pada akhir periode. Berdasarkan tanggal pembayarannya, anuitas biasa dapat dibagi 3 bagian: 1. Ordinary annuity 2. Annuity due 3. Deferred annuity. Rumus dasar future value anuitas biasa adalah sebagai berikut: FVn = PMT1 + in – 1 i Keterangan : FVn = Future value (nilai masa depan dari anuitas pada akhir tahun ke-n) PMT = Payment (pembayaran anuitas yang disimpan atau diterima pada setiap periode) i = Interest rate (tingkat bunga atau diskonto tahunan) n = Jumlah tahun akan berlangsungnya anuitas Rumus dasar present value anuitas biasa adalah sebagai berikut: PVn = FVn1 – 1 ( 1 + i ) n i Keterangan: PVn = Present value (nilai sekarang dari anuitas pada akhir tahun ke-n) 2. Anuitas terhitung      Anuitas yang pembayarannya dilakukan pada setiap awal interval. Awal interval pertama merupakan perhitungan bunga yang pertama dan awal interval kedua merupakan perhitungan bunga kedua dan seterusnya. Rumus dasar future value anuitas terhutang: FVn = PMT ( FVIFAi,n ) ( 1 + i )  



9



Rumus dasar present value anuitas terhutang: PVn = PMT ( PVIFAi,n ) ( 1 + i )   3. Nilai sekarang anuitas      Nilai Sekarang Anuitas adalah nilai hari ini dari pembayaran sejumlah dana tertentu yang dilakukan secara teratur selama waktu yang telah ditentukan. Dengan kata lain, jumlah yang harus anda tabung dengan tingkat bunga tertentu untuk mandapatkan sejumlah dana tertentu secara teratur dalam jangka waktu tertentu. 4. Anuitas Abadi    Anuitas abadi adalah serangkaian pembayaran yang sama jumlahnya dan diharapkan akanberlangsung terus menerus. PV (Anuitas Abadi) = Pembayaran = PMT 5. Nilai sekarang dan seri pembayaran yang tidak rata     Dalam pengertian anuitas tercakup kata jumlah yang tetap, dengan kata lain anuitas adalah arus kas yang sama di setiap periode. Persamaan umum berikut ini bisa digunakan untuk mencari nilai sekarang dari seri pembayaran yang tak rata: Nilai sekarang anuitas abadi = pembayaran/tingkat diskonto = PMT/r Langkah 1: Cari nilai sekarang dari $ 100 yang akan diterima di tahun 1: $100 (0,9434) = $ 94,34 Langkah 2: Diketahui bahwa dari 2 tahun sampai tahun 5 akan diterima anuitas sebesar $ 200 setahun. Dicari dulu anuitas 5 tahun, kemudian kurangi dengan anuitas 1 tahun, sisanya adalah anuitas 4 tahun dengan pembayaran pertama yang diterima setelah tahun ke-2: Pvanuitas = $ 200(PVIFA(6%,5tahun))- $ 200 (PVIFA(6%,1tahun)) Pvanuitas = $ 200(PVIFA(6%,5tahun))- $ PVIFA(6%,1tahun) Pvanuitas= $ 200(4,2124-0,9434) Pvanuitas= $653,80 Langkah 3: Cari nilai sekarang dari $1000 yang akan diterima di tahun ke-7 $1000(0,6651) = $ 665,10 10



Langkah 4: Jumlahkan komponen-komponen yang diperoleh dari langkah 1 hingga langkah 3 tersebut : $ 94,34 + $ 653,80 + $ 665,10 = $1413,24 6. Periode kemajemukan tengan tahunan atau periode lainnya       Bunga majemuk tahunan adalah proses aritmatika untuk menentukan nilai akhir dari arus khas atau serangkaian arus kas apabila suku bunga ditambahkan satu kali dalam setahun. Sedangkan bunga majemuk setengah tahunan adalah proses aritmatika untuk menentukan nilai akhir dari arus khas atau serangkaian arus kas apabila suku bunga ditambahkan dua kali dalam setahun. 7. Amortisasi Pinjaman       Merupakan suatu pinjaman yang akan dibayarkan dalam periode yang sama panjangnya (bulanan, kuartalan, atau tahunan). Digunakan untuk menghitung pembayaran pinjaman atau angsuran sampai jatuh tempo. a. Dalam pembayaran angsuran terkandung : pembayaran cicilan hutang dan bunga. b. Angsuran berupa pembayaran yang tetap seperti anuitas. c. Pinjaman atau loan, diterima pada saat ini atau present value sehingga konsepnya menggunakan present value annuity (PVIFA). d. Pembayaran angsuran dapat dilakukan di awal periode atau diakhir periode. e. Formula dapat disesuaikan dengan antara annuity due atau ordinary annuity. f. Pada saat jatuh tempo nilai saldo hutang sama dengan nol atau mendekati nilai nol. g. Pembayaran bunga berdasarkan pada jumlah saldo pinjaman, sehingga bunga dapat semakin menurun.5



5



. https://valvaliano.wordpress.com/2013/11/15/nilai-sekarang-dan-nilai-masa-datang/



11



BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Penerapan barisan dan deret dalam suatu kasus Ekonomi dan Bisnis sering kali diperlihatkan khususnya dalam bidang kajian keuangan. Bidang kajian keuangan ini meliputi prosedur untuk mengombinasikan antar tingkat bunga dan pertimbangan waktu. 1. Bunga merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilamana kita menggunakan uang, jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank di sebut modal awal atau pinjaman pokok (principal). 2. Bunga majemuk adalah merupakan perhitungan modal awal yang diakumulasikan dengan nilai bunga selama kurun waktu tertentu. 3. Nilai sekarang atau present value adalah berapa nilai uang saat ini untuk nilai tertentu di masa yang akan datang. 4. Nilai yang akan datang atau future value adalah nilai uang di massa yang akan datang dengan tingkat bunga tertentu.



B. SARAN Penulis tentunya masih menyadari jika makalah diatas masih terdapat banyak kesalahan dan jauh dari kata kesempurnaan. Penulis akan memperbaiki makalah tersebut dengan berpedoman pada banyak sumber serta yang membangun darai pembaca.



12



DAFTAR PUSTAKA



Andi Supangat, Matematika Untuk Ekonomi dan Bisnis,(Kencana, Jakarta ,2006). https://valvaliano.wordpress.com/2013/11/15/nilai-sekarang-dan-nilai-masa-datang/ Mesra , Penerapan Ilmu Matematika dalam Ekonomi dan Bisnis, (Deepublish, Yogyakarta: 2016).



13