Pengertian Limit Dari Suatu Titik 0 PDF [PDF]

Citation preview

Kurikulum 2013 Revisi



Kelas XII



MATEMATIKA PEMINATAN



Limit Tak Hingga Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat mendeskripsikan konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata. 2. Dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut. 3. Dapat menggunakan teorema-teorema dalam perhitungan limit fungsi aljabar. 4. Dapat menentukan nilai limit tak hingga fungsi aljabar. 5. Dapat menentukan nilai limit tak hingga fungsi trigonometri. 6. Dapat menerapkan konsep limit fungsi aljabar dalam kehidupan sehari-hari. 7. Dapat menerapkan konsep limit tak hingga fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.



A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Ibu rutin berbelanja bahan pokok setiap minggu di supermarket. Bahan pokok yang dibeli selalu sama, baik macam maupun banyaknya. Sulit ditentukan dengan pasti dana yang dibutuhkan karena harga bahan pokok yang tidak stabil. Untuk itu, ibu menyiapkan uang Rp500.000,00 untuk pembelian bahan pokok dan uang cadangan untuk berjagajaga. Kenyataannya, jumlah uang yang dihabiskan ibu tidak pernah persis Rp500.000,00. Jumlahnya bisa lebih atau juga kurang. Jika lebih dari target, ibu terpaksa menambahkan pembayarannya dengan uang cadangan. Uang yang dihabiskan ibu untuk berbelanja bahan pokok dalam 6 minggu adalah Rp499.900,00, Rp500.500,00, Rp500.050,00, Rp499.500,00, Rp500.100,00, dan Rp499.950,00. Jika diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, akan diperoleh tabel seperti berikut.



Dalam rupiah



499.500 499.900 499.950 500.000 500.050 500.100 500.500 Target



Jika dimisalkan x sebagai uang belanja ibu per minggu, nilai x < 500.000 merupakan bilangan yang mendekati 500.000 dari kiri (ditulis: x → 500.000–) dan x > 500.000 merupakan bilangan yang mendekati 500.000 dari kanan (ditulis: x → 500.000+). Secara umum, bilangan-bilangan itu disebut mendekati 500.000 atau x → 500.000 atau nilai hampiran x terhadap 500.000. Nilai hampiran suatu variabel terhadap suatu bilangan real tertentu disebut dengan limit yang dinotasikan sebagai berikut. lim f  x   L atau f  x   L untuk x  c dengan L, c  R x c



(dibaca: limit fungsi f (x) untuk x mendekati c sama dengan L). Nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L jika nilai x yang diambil dekat dengan c, untuk x ≠ c.



Suatu limit fungsi dikatakan ada (terdefinisi) jika nilai limit kiri dan kanan untuk x mendekati c sama. Secara Matematis, dapat dituliskan sebagai berikut. lim f  x   L jika dan hanya jika lim f  x   lim f  x   L x c



x c



x c



Keterangan: lim f  x  disebut limit kiri; dan



x c 



lim f  x  disebut limit kanan.



x c 



Contoh Soal 1



Buktikan bahwa lim x 2



x2  4 ada. x 2



Pembahasan: Misalkan . Fungsi f (x) merupakan fungsi rasional. Oleh karena itu, daerah asalnya adalah semua x є R dengan syarat penyebutnya tidak 0, atau dapat dituliskan sebagai berikut.



{ x x ∈ R , x ≠ 2} Limit Tak Hingga



2



Ini berarti, f (x) tidak terdefinisi untuk x = 2. Meskipun demikian, pembuktiannya masih dapat diselesaikan. Hal ini dikarenakan pada limit fungsi, nilai x yang digunakan adalah yang mendekati 2, bukan nilai 2 itu sendiri. Dengan mensubstitusikan nilai x < 2 (limit kiri) dan x > 2 (limit kanan) ke f (x), diperoleh:



x < 2 (limit kiri)



x > 2 (limit kanan)



x



1,5



1,9



1,99



1,999



...



2



...



2,001



2,01



2,1



2,5



f (x)



3,5



3,9



3,99



3,999



...



?



...



4,001



4,01



4,1



4,5



Dari tabel tersebut, diketahui bahwa jika x bergerak semakin dekat dengan 2, baik dari kiri maupun dari kanan, f (x) akan bergerak semakin dekat dengan 4. Ini berarti: x2  4 4 x 2



limit kirinya adalah lim x 2



limit kanannya adalah lim x 2



x2  4 4 x 2



Dengan demikian, diperoleh: lim



x 2



x2  4 x2  4  lim 4 x  2 x 2 x  2



Jadi, terbukti bahwa lim x 2



x2  4 ada. x 2



Contoh Soal 2 Diketahui: x 0, hasil = ∞  m > n, dengan a0 < 0, hasil = −∞  a0 x m + a1x m−1 + ....  lim a0  x →∞ b x n + b x n −1 + , hasil = .... m n= 0 1 b0    0 m < n, hasil =



Contoh Soal 10



Tentukan nilai dari lim



x 



4  15 x 2  6 x 3 . x 4  3x3  2



Pembahasan: Variabel dengan pangkat tertinggi pada pembilang: x³. Variabel dengan pangkat tertinggi pada penyebut: x⁴. Secara keseluruhan, variabel dengan pangkat tertinggi: x⁴.



Limit Tak Hingga



11



Dengan demikian, diperoleh: 4 15 x 2 6 x 3 − 4 − 4 4 − 15 x − 6 x x4 x x lim lim = x →∞ x 4 + 3 x 3 − 2 x →∞ x 4 3x3 2 + − x4 x4 x4 4 15 6 − 2− 4 x x = lim x x →∞ 3 2 1+ − 4 x x 4 15 6 − − =∞ ∞ ∞ 3 2 1+ − ∞ ∞ 0−0−0 = 1+ 0 − 0 =0 2



Jadi, lim x →∞



3



4 − 15 x 2 − 6 x 3 = 0. x 4 + 3x3 − 2



Contoh Soal 11 4 x 5 + 7 x 3 − 20 x 2 − 1 . x →∞ 2 x 4 + 14 x 3 + 12 x + 2016



Tentukan nilai dari lim Pembahasan:



Variabel dengan pangkat tertinggi pada pembilang: x⁵. Variabel dengan pangkat tertinggi pada penyebut: x⁴. Secara keseluruhan, variabel dengan pangkat tertinggi: x⁵. Dengan demikian, diperoleh: 4 xx 55 77xx33 2200xx22 11 4 + 5 −− 5 −− 5 + 44xx ++77xx −−20 20xx −−11 = lim xx 55 xx5 xx5 xx5 lim lim 4 3 44 33 4 3 x x→∞ x →∞ →∞22xx + 12xx 2016 2016 +14 14xx ++12 12xx ++ 2016 2016 x →∞ 2 x 14 x 12 + 55 + 55 ++ 55 55 x x xx xx 7 20 11 4 + 2 − 33 −− 55 x x xx = lim x →∞ 2 14 12 2016 2016 + + + 55 x x 2 x 44 xx 7 20 1 4+ − − ∞ ∞ ∞ = 2 14 12 2016 2016 + + + ∞ ∞ ∞ ∞ 4 +0−0−0 = 0+0+0+0 4 = 0 =∞ 55



33



22



4 x 5 + 7 x 3 − 20 x 2 − 1 = ∞. x →∞ 2 x 4 + 14 x 3 + 12 x + 2016



Jadi, lim



Limit Tak Hingga



12



Contoh Soal 12 24 x 2014 + 15 x 2015 − ( 3 x 672 )



3



Tentukan nilai dari lim



3 x 2016 − 5 ( x 403 ) − 2 5



x →∞



Pembahasan: Mula-mula, sederhanakan bentuk pangkatnya. 24 x 2014 + 15 x 2015 − ( 3 x 672 )



3



lim



x →∞



3 x 2016 − 5 ( x



)



403 5



−2



24 x 2014 + 15 x 2015 − 27 x 2016 x →∞ 3 x 2016 − 5 x 2015 − 2



= lim



Ini berarti, variabel dengan pangkat tertinggi pada pembilang sama dengan penyebut, yaitu x²⁰¹⁶. Selanjutnya, bagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan x²⁰¹⁶ sehingga diperoleh: lim



x →∞



24 x



+ 15 x − 27 x 2015 3x − 5x −2



2014



2015



2016



2016



24 x 20114 15 x 2015 27 x 2016 + 2016 − 2016 2016 x = lim x 2016 x 2015 x →∞ 2 3x 5x − 2016 − 2016 2016 x x x 24 15 + − 27 2 x = lim x x →∞ 5 2 3 − − 2016 x x 24 15 + − 27 = ∞ ∞ 5 2 3− − ∞ ∞ 0 + 0 − 27 = 3−0−0 = −9



24 x 2014 + 15 x 2015 − ( 3 x 672 )



3



Jadi, lim



x →∞



3 x 2016 − 5 ( x 403 ) − 2 5



= −9.



SUPER "Solusi Quipper" m > n, dengan a0 > 0, hasil = ∞  m > n, dengan a0 < 0, hasil = −∞  a0 x m + a1x m−1 + ....  lim a0  x →∞ b x n + b x n −1 + , hasil = .... m n= 0 1 b0    0 m < n, hasil =



Sekarang, mari selesaikan contoh soal 10, 11, 12 dengan SUPER "Solusi Quipper". Limit Tak Hingga



13



Penyelesaian contoh soal 10 dengan SUPER "Solusi Quipper". Dari lim x →∞



4 − 15 x 2 − 6 x 3 , diperoleh pangkat tertinggi pembilang, m = 3 dan pangkat tertinggi x 4 + 3x3 − 2



penyebut, n = 4. 4 − 15 x 2 − 6 x 3 =0. x →∞ x 4 + 3 x 3 − 2



Oleh karena m < n, maka lim



Penyelesaian contoh soal 11 dengan SUPER "Solusi Quipper". 4 x 5 + 7 x 3 − 20 x 2 − 1 , diperoleh pangkat tertinggi pembilang, m = 5 dan pangkat x →∞ 2 x 4 + 14 x 3 + 12 x + 2016



Dari lim



tertinggi penyebut, n = 4. Oleh karena m > n dengan koefisien pangkat tertinggi pada pembilang bernilai positif, 4 x 5 + 7 x 3 − 20 x 2 − 1 =∞ . x →∞ 2 x 4 + 14 x 3 + 12 x + 2016



maka lim



Penyelesaian contoh soal 12 dengan SUPER "Solusi Quipper". 24 x 2014 + 15 x 2015 − ( 3 x 672 )



3



lim



x →∞



3 x 2016 − 5 ( x 403 ) − 2 5



24 x 2014 + 15 x 2015 − ( 3 x 672 )



3



Dari lim x →∞



24 x 2014 + 15 x 2015 − 27 x 2016 , diperoleh pangkat tertinggi x →∞ 3 x 2016 − 5 x 2015 − 2



= lim



3 x 2016 − 5 ( x 403 ) − 2 5



pembilang, m = 2016 dan pangkat tertinggi penyebut, n = 2016. 24 x 2014 + 15 x 2015 − ( 3 x 672 )



3



Oleh karena m = n, maka lim



3 x 2016 − 5 ( x



x →∞



)



403 5



−2



=



−27 = −9 . 3



Contoh Soal 13



Tentukan nilai dari lim



x →∞



Pembahasan:



5x + x2 + 6 2x − x2 − 6x + 4



.



Soal ini dapat diselesaikan dengan SUPER "Solusi Quipper". Dari lim



x →∞



5x + x2 + 6 2x − x2 − 6x + 4



, diperoleh pangkat tertinggi pembilang, m = 1 (karena



)



dan pangkat tertinggi penyebut, n = 1. Oleh karena m = n, maka: lim



x →∞



5x + x2 + 6 2x − x − 6x + 4 2



Jadi, lim



x →∞



= lim



x →∞



5x + x2 + 6 2x − x2 − 6x + 4



5x + x2 2x − x



2



= lim



x →∞



5x + x 6x = lim =6 x →∞ 2x − x x



= 6.



Limit Tak Hingga



14



Contoh Soal 14



Tentukan nilai dari lim



x →∞



4 x 6/5 + 3 x 3/5 . −2 x 5/3 + 6 x 8/7



Pembahasan: 5



8



−2 x 3 + 6 x 7 . Misalkan f= ( x ) 4 x 6/5 + 3 x 3/5 dan g ( x ) =



Perhatikan bahwa variabel dengan pangkat tertinggi pada f (x) adalah x pada g (x) adalah x 5/3



adalah



5/3



6/5



. Sementara



. Ini berarti, variabel dengan pangkat tertinggi secara keseluruhan



. Dengan demikian, kita akan membagi setiap suku dengan x 6



1



4x5



5/3



.



3



3x 5



+ 5   5 5 3 3 x x x3 × = lim lim 5 5 8 8 x →∞ x →∞ 1 3 7 −2 x 3 + 6 x 7 x x 2 6 5 − 5 + 5 3 x x3   x3 4 3 + 16 7 6



3



4 x 5 + 3x 5  



  



15 x 15 = lim x x →∞ 6 −2 + 11 x 21 4 3 + = ∞ ∞ 6 −2 + ∞ 0+0 = −2 + 0 =0



Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 0. Penyelesaian contoh soal 14 dengan SUPER "Solusi Quipper". 6 4 x 6/5 + 3 x 3/5 , diperoleh pangkat tertinggi pembilang = m = dan pangkat 5/3 8/7 x →∞ −2 x 5 + 6x 5 4 x 6/5 + 3 x 3/5 tertinggi penyebut = n = . Oleh karena m < n, maka lim =0 . 3 x →∞ −2 x 5/3 + 6 x 8/7



Dari lim



Contoh Soal 15 Untuk t ≠ 1, nilai limit berikut adalah ....



lim x →∞



tx 162 − (1− t ) x 81



(1 − t ) x



81



− tx 9



Limit Tak Hingga



15



Pembahasan: x) Misalkan f (=



tx 162 − (1− t ) x 81 dan g ( x ) = (1− t ) x 81 − tx 9 .



Perhatikan bahwa variabel dengan pangkat tertinggi pada f (x) dan g (x) adalah sama, yaitu x⁸¹. Ini berarti, variabel dengan pangkat tertinggi secara keseluruhan adalah x⁸¹. Dengan demikian, kita akan membagi setiap suku dengan x⁸¹. tx 162 (1− t ) x 1 162 81 − ⋅ tx − − t x 1 ( ) 162 81 x 162 = lim x lim x x →∞ x →∞  1 (1− t ) x 81 − tx 9  ⋅  1− t ) x 81 − tx 9  81 (  81 x x 81   x



81



= lim x →∞



t−



(1 − t )



x 81  t  (1− t ) − x 72   



t−



(1 − t )



∞  t  (1 − t ) − ∞    t −0 = (1 − t ) − 0 =



=



t 1− t



Penyelesaian contoh soal 15 dengan SUPER "Solusi Quipper". Dari lim



x →∞



tx 162 − (1− t ) x 81 , diperoleh pangkat tertinggi pembilang = m = 81 dan pangkat (1− t ) x 81 − tx 9



tertinggi penyebut = n = 81. Oleh karena m = n, maka: lim



x →∞



tx 162 − (1− t ) x 81 tx 162 t x 81 t = lim = lim = 81 9 81 81 x →∞ x →∞ t) (1 − (1− t ) x − tx (1− t ) x (1− t ) x



Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah



t . 1− t



b. Menentukan Nilai Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar dengan Mengalikan Akar Sekawan Langkah-langkah menyelesaikan limit fungsi berbentuk lim



x →∞



sebagai berikut. 1.) Mengalikan fungsi sekawannya, yaitu



(



)



f ( x ) − g ( x ) adalah



dengan bilangan 1 dalam bentuk akar . Dengan demikian, diperoleh:



 f ( x ) + g( x )  f ( x ) − g( x )  = lim lim  f ( x ) − g ( x ) × x →∞  x →∞ f ( x ) + g ( x )  f ( x ) + g( x ) 



Limit Tak Hingga



16



2.) Sederhanakan fungsi yang terbentuk dari langkah 1. 3.) Bagi setiap suku dari fungsi pada langkah 2 dengan variabel berpangkat tertinggi.



SUPER "Solusi Quipper"



Contoh Soal 16 Tentukan nilai dari lim



x →∞



(



)



x 2 + 2 x + 12 − x 2 + 8 x .



Pembahasan: Dengan menggunakan akar sekawannya, diperoleh: lim



x →∞



(



)



x 2 + 2 x + 12 − x 2 + 8 x = lim



x →∞



= lim



x →∞



= lim



x →∞



(



)



x 2 + 2 x + 12 − x 2 + 8 x × x 2 + 2 x + 12 − ( x 2 + 8 x )



x 2 + 2 x + 12 + x 2 + 8 x x 2 + 2 x + 12 + x 2 + 8 x



x 2 + 2 x + 12 + x 2 + 8 x −6 x + 12 x 2 + 2 x + 12 + x 2 + 8 x



(Bagi pembilang dan penyebut dengan x atau = lim



x →∞



= lim



x →∞



=



x2



)



−6 x 12 + x x 2 x x2 8x 2 x 12 + 2+ 2 + + 2 x x x x2 x2 12 −6 + x 2 12 8 1+ + 2 + 1+ x x x −6 + 0



1+ 0 + 0 + 1+ 0 = −3



Jadi, nilai dari lim



x →∞



(



)



x 2 + 2 x + 12 − x 2 + 8 x = −3 .



Limit Tak Hingga



17



Contoh Soal 17 Nilai dari lim



x →∞



(



A. −6



)



4 x 2 + 4 x − 3 − ( 2 x − 5 ) = .... (UN 2016) B. −4



C. −1



D. 4



E. 6



Jawaban: E Pembahasan: Mula-mula, ubah bentuk (2x − 5) ke dalam bentuk akar.



Misalkan lim



x →∞



(



)



4 x 2 + 4 x − 3 − ( 2 x − 5) = p



Tentukan nilai limit fungsinya menggunakan perkalian akar sekawan seperti berikut.



( = lim (



p = lim



x →∞



x →∞



= lim



x →∞



= lim



x →∞



) − 20 x + 25 ) ×



4 x 2 + 4 x − 3 − 4 x 2 − 20 x + 25 4 x2 + 4 x − 3 − 4 x2



4 x 2 + 4 x − 3 − ( 4 x 2 − 20 x + 25 )



4 x 2 + 4 x − 3 + 4 x 2 − 20 x + 25 4 x 2 + 4 x − 3 + 4 x 2 − 20 x + 25



4 x 2 + 4 x − 3 + 4 x 2 − 20 x + 25 24 x − 28 4 x 2 + 4 x − 3 + 4 x 2 − 20 x + 25



(Bagi pembilang dan penyebut dengan x atau



x2



)



24 x 28 − x x = lim 2 x →∞ 4x 4x 3 4 x 2 20 x 25 + − + − 2 + 2 x2 x2 x2 x2 x x 28 24 − x = lim x →∞ 4 3 20 25 4+ − 2 + 4− + 2 x x x x 24 − 0 24 = = =6 4+0−0 + 4−0+0 4



Jadi, nilai dari lim



x →∞



(



)



4 x 2 + 4 x − 3 − ( 2 x − 5) = 6 .



SUPER "Solusi Quipper"



Sekarang, mari selesaikan contoh soal 16 dan 17 dengan SUPER "Solusi Quipper". Limit Tak Hingga



18



Penyelesaian contoh soal 16 dengan SUPER "Solusi Quipper". Dari lim



x 2 + 2 x + 12 − x 2 + 8 x , diperoleh a = 1, b = 2, d = 1, dan e = 8.



x →∞



Oleh karena a = d, maka: x 2 + 2 x + 12 − x 2 + 8 x =



lim



x →∞



b−e 2 a



=



2−8 2 1



= −3



Penyelesaian contoh soal 17 dengan SUPER "Solusi Quipper". Dari lim x →∞



(



)



4 x 2 + 4 x − 3 − ( 2 x − 5 ) = lim



x →∞



(



)



4 x 2 + 4 x − 3 − 4 x 2 − 20 x + 25 , diperoleh



a = 4, b = 4, d = 4, dan e = −20. Oleh karena a = d, maka: lim



x →∞



(



)



4 x 2 + 4 x − 3 − 4 x 2 − 20 x + 25 =



4 − ( −20 )



2 4 24 = 4 =6



E. Aplikasi Limit Fungsi Aljabar dalam Kehidupan Sehari-Hari Pada umumnya, aplikasi limit fungsi disajikan dalam bentuk soal cerita terkait disiplin ilmu lain seperti Fisika, Biologi, Ekonomi, Kimia, dan sebagainya. Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita tekait dengan limit fungsi adalah sebagai berikut. 1. Tentukan nilai yang didekati oleh x untuk melengkapi notasi limit fungsinya. 2. Selesaikan limit fungsi yang diperoleh dengan cara substitusi langsung terlebih dahulu. 3. Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, gunakan cara alternatif yang sesuai dengan bentuk fungsinya.



Contoh Soal 18 Populasi kijang di suatu hutan lindung sangat memengaruhi populasi predatornya, seperti harimau dan ular. Hubungan antara populasi kijang dan predatornya dinyatakan dengan fungsi



, y = populasi predator dan x = populasi kijang. Jika populasi



kijang meningkat tanpa batas, tentukan jumlah populasi predatornya. Pembahasan: Oleh karena populasi kijang (x) meningkat tanpa batas, maka x → ∞. Dengan cara membagi dengan pangkat tertinggi untuk limit fungsi mendekati tak hingga, populasi predator dapat ditentukan sebagai berikut.



Limit Tak Hingga



19



4.000 x 4.000 x 4.000 x y = lim = = = 2.000 x →∞ 8 + 2 x 8 2x 2 + x x



Jadi, populasi predatornya adalah 2.000 ekor.



F. Menentukan Nilai Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri Selain soal-soal tentang nilai limit tak hingga fungsi aljabar, sering kali kamu juga dihadapkan dengan soal-soal tentang nilai limit tak hingga fungsi trigonometri. Sebelum mempelajari cara menentukan nilai limit tak hingga fungsi trigonometri, kamu harus memahami dahulu sifat-sifat limit fungsi trigonometri yang sering digunakan, yaitu sebagai berikut. sin x x = lim = 1 1.  lim x →0 sin x    x →0 x tan x x = lim = 1 2.  lim x 0 →         x →0 tan x x sin x tan x = lim = 1 3.  lim x →0 sin x    x →0 tan x sin ax ax a = lim = 4.  lim x 0 →         x →0 sin bx b bx tan ax ax a = lim = 5.  lim x 0 →         x →0 tan bx b bx sin ax tan ax a 6.  lim = lim = x →0 sin bx         x →0 tan bx b tan ax a sin ax = lim = 7.  lim x →0 tan bx        x →0 sin bx b



Sementara itu, beberapa identitas dan rumus trigonometri yang sering digunakan adalah sebagai berikut. 1. Identitas trigonometri



sin2 x + cos2 x = 1 2 sec x tan2 x + 1 = 2 csc x cot 2 x + 1  =



2. Rumus penjumlahan sudut



sin= ( A ± B ) sin A cos B ± cos A sin B



cos ( A ± B ) = cos A cos B  sin A sin B tan A ± tan B tan ( A ± B ) = 1  tan A tan B Limit Tak Hingga



20



Contoh Soal 19 Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut.



lim x →0



4 sin2 2 x x tan 2 x



(Sumber: UN 2013) Pembahasan: Mula-mula, ubah bentuk sin² 2x menjadi sin 2x · sin 2x. Ini berarti:



4 sin2 2 x 4 sin 2 x ⋅ sin 2 x   = lim x →0 x tan 2 x x →0 x tan 2 x



lim



= 4lim x →0



sin 2 x sin 2 x ⋅ lim   x →0 tan 2 x x



Dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri, diperoleh: = 4⋅



=8



2 2 ⋅ 1 2



Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 8.



Contoh Soal 20 Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut. lim x →0



4x sin 2 x



(Sumber: SNMPTN 2010) Pembahasan: Dengan menggunakan teorema limit dan penyederhanaan bentuk fungsi, diperoleh: lim x →0



1



 2 ⋅ 2x 2  =  lim    sin 2 x  x →0 sin 2 x  4x



1



 2x 2 =  2 ⋅ lim  x →0 sin 2 x   1



 2 2 = 2 ⋅  2  = 2



Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah



2.



Limit Tak Hingga



21



Selanjutnya, kita akan membahas tentang limit tak hingga fungsi trigonometri. Berikut adalah sifat-sifat yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal terkait limit tak hingga fungsi trigonometri. 1.  lim



sin x =0 x



2.  lim



cos x =0 x



x →∞



x →∞



3.  lim sin x = tak terdefinisi x →∞



4.  lim cos x = tak terdefinisi x →∞



 1  1 5.  lim sin = 0 0 =   sin =   sin x →∞ x   ∞  1  1 6.  lim cos= 0 1 =   cos=   cos x →∞ x   ∞ a a 7.  lim sin   = sin   = sin 0 = 0  ( a ∈ ,a ≠ 0 ) x →∞ x   ∞ a a 8.  lim cos   = cos   = cos 0 = 1  ( a ∈ ,a ≠ 0 ) x →∞ x   ∞



Contoh Soal 21 Tentukan nilai limit tak hingga fungsi trigonometri berikut.  2 x − cos x  lim   x →∞ 5x  



Pembahasan: Mula-mula, uraikan bentuk fungsinya menjadi seperti berikut.  2 cos x   2 x cos x  − lim   −   = lim x →∞ x →∞ 5 x 5 x 5x    5



 cos x  2 1 − ⋅ lim   x →∞ 5 5  x 



=



Oleh karena  lim x →∞



cos x = 0 , maka diperoleh: x



=



2 1 − ⋅0 5 5



=



2 5



Jadi, nilai limit tak hingga fungsi trigonometri tersebut adalah 2 . 5



Limit Tak Hingga



22



Contoh Soal 22 Tentukan nilai limit tak hingga fungsi trigonometri berikut. lim x →∞



2x + 3 6 x + x sin x 2



Pembahasan: Mula-mula, ingat bahwa dalam konsep limit tak hingga, kamu dapat membagi setiap suku dengan pangkat tertinggi. Pada fungsi tersebut, pangkat tertingginya adalah 2. Ini berarti: 1 2 3 + 2 2x + 3 x x2 x = lim lim ⋅ 2 x →∞ 1 sin x x →∞ 6 x + x sin x 6+ 2 x x 2 3 + ∞ ∞ = sin x 6 + lim x →∞ x



Oleh karena  lim x →∞



sin x = 0 , maka diperoleh: x 0+0 = 6+0 =



0 6



=0



Jadi, nilai limit tak hingga fungsi trigonometri tersebut adalah 0.



Contoh Soal 23 Misalkan g (x) = ax + b memotong fungsi linear f (x) = px + q. Titik pertemuan antara fungsi f (x) dan g (x) dapat diselesaikan dengan persamaan berikut.  1  lim  ( ax − b ) ⋅ sin  + 60°   =3 t →∞ t  



Tentukan titik potong kedua fungsi tersebut dalam bentuk (x , f (x)). Pembahasan: Diketahui:  1  lim  ( ax − b ) ⋅ sin  + 60°   =3 t →∞ t    1  ⇔ ( ax − b ) lim  sin  + 60°   =3 t →∞ t  



Limit Tak Hingga



23



Ingat bahwa, sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B . 1   1  1 sin =  + 60°  sin   cos 60° + cos   sin 60° t t     t  1 2



= 



  1  1   sin   + 3 cos    t    t  



Ini berarti: 























( ax − b ) lim  sin  1t + 60°   =3 t →∞



⇔ ( ax − b ) lim t →∞



⇔ ⇔



 1  1  1 3  sin   + 3 cos    = 2 t   t 



(



)



1 3 ( ax − b ) 0 + 3 = 2 3 ( ax − b ) =3 2



2 ⇔ ( ax − b ) = ⇔ ax =2 + b 2+b ⇔x= a



2+b



= Jadi, titik potongnya adalah ( x , f ( x )) 



 a



 2+b , p   + q . a   



Dengan menjawab soal ini, kamu telah menemukan rumus baru, yaitu sebagai berikut.  1  lim  sin  + α =  sin α t →∞ t  



G. Penerapan Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari Fungsi trigonometri banyak berkaitan dengan masalah dalam kehidupan seharihari. Contohnya adalah gelombang cahaya dalam ilmu fisika, sudut ganda pada ilmu astronomi, dan masih banyak lagi. Sekarang, kamu akan mempelajari beberapa contoh soal tentang penerapan limit tak hingga fungsi trigonometri dalam kehidupan seharihari.



Limit Tak Hingga



24



Contoh Soal 24 Diketahui laju pertumbuhan nyamuk di negara PQR dinyatakan dalam fungsi µ ( t= )



 1 1 − 2 sin2   , dengan t adalah variabel waktu. Negara tetangga PQR menangani t 



wabah nyamuk dengan lebih serius, sehingga laju pertumbuhan nyamuk di negara tersebut dapat dinyatakan dalam  λ ( t ) =



µ (t ) t



. Tentukan laju pertumbuhan nyamuk pada



negara tetangga PQR jika t → ∞. Pembahasan: Diketahui:



µ ( t= ) λ (t ) =



 1 1 − 2 sin2   t 



µ (t ) t



Laju pertumbuhan nyamuk pada negara tetangga PQR jika t → ∞ adalah sebagai berikut.  1 1 − 2 sin2   t  lim   = lim t →∞ t →∞ t



2 cos   t t



Oleh karena cos 2α = 1 – 2 sin² α, maka:  1 1 − 2 sin2   t  lim   = lim t →∞ t →∞ t



2 cos   ∞ ∞



=



cos ( 0 )



= =



2 cos   t t



∞ 1 ∞



=0



Laju pertumbuhan nyamuk pada negara tersebut adalah 0. Dengan kata lain, populasi nyamuk pada negara tersebut lama-kelamaan akan habis atau punah. Jadi, laju pertumbuhan nyamuk pada negara tetangga PQR jika t → ∞ adalah 0.



Limit Tak Hingga



25



Contoh Soal 25 Sebuah radar dapat menangkap sinyal dengan amplitudo gelombang yang dinyatakan dalam fungsi waktu t sebagai berikut.     A= ( t ) cos  2t  − sin  2t + 45°     



Tentukan amplitudo radar tersebut saat t → ∞. Pembahasan: Amplitudo radar tersebut jika digunakan pada waktu t → ∞ adalah sebagai berikut.  2 2  lim cos   − sin  + 45°   t →∞ t t  



Ingat bahwa, sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B. 2  2 2 sin =  + 45°  sin   cos 45° + cos   sin 45° t  t t =



 2  2  1 2  sin   + cos    2 t    t  



Ini berarti:  2 1 2  2  1  lim cos   − 2 lim  sin   + cos     = 1− 2   ( 0 + 1) t →∞ t →∞ 2 t 2 t  t   1 2 = 1− 2 1 Jadi, amplitudo radar tersebut saat t → ∞ adalah = 1 − 2



2 .



Limit Tak Hingga



26