Program Tujuan Ganda [PDF]

Citation preview

BAB 2 LANDASAN TEORI



2.1 Program tujuan ganda



Program tujuan ganda merupakan variasi khusus dari program linear. Analisisnya bertujuan untuk meminimumkan jarak antara atau deviasi deviasi terhadap tujuan atau sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mencapai tujuan secara memuaskan sesuai dengan syarat ikatan yang ada, yang membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan dan sebagainya. (Nasendi et al, 2005).



Dalam keadaan di mana seorang pengambil keputusan dihadapkan kepada suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan, sehingga program linear tak dapat membantunya untuk memberikan pertimbagan secara rasional, karena program linear terbatas pada satu tujuan (tujuan tunggal), maka untuk menyelesaikannya diperlukan program tujuan ganda. Program tujuan ganda berusaha untuk meminimumkan deviasi berbagai tujuan, sasaran atau target yang telah ditetapkan dan program tujuan ganda juga akan mencoba untuk memuaskan atau memenuhi target yang telah ditentukan menurut skala prioritas masing-masing.



2.1.1 Konsep Dasar Program tujuan ganda



Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari, pembaca selalu harus mengerti istilah-istilah dan lambing-lambang khusus yang digunakan. Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambing yang biasa digunakan pada program tujuan ganda.



Universitas Sumatera Utara



Decision variables: seperangkat variable yang tak diketahui (dalam model program tujuan ganda dilambangkan dengan 𝑥𝑖𝑗 , di mana j = 1,2,…,n) yang akan dicari nilainya. (variable keputusan). Righthand side values (RHS): nilai-nilai yang biasanya menunjukkan ketersediaan sumberdaya (dilambangkan dengan 𝑏𝑖 ) yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya. (nilai sisi kanan) Goal: keinginan untuk meminimalkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu kendala tujuan tertentu. (tujuan). Goal Constrain: yaitu suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematik dengan memasukkan variable simpangan. (kendala tujuan) Preemtive Priority Factor: suatu sistem urutan (yang dilambangkan dengan 𝑃𝑘 , di mana 𝑘 = 1,2, … , 𝐾 dan K menunjukkan banyaknya tujuan dalam model) yang memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model program tujuan ganda. Sistem urutan menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan seperti berikut: 𝑃1 > 𝑃2 >>> 𝑃𝐾 𝑃1 merupakan tujuan yang paling penting. 𝑃2 merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya. Deviational



variables:



variable-variabel



yang



menunjukkan



kemungkinan



penyimpangan negatif dari suatu nilai RHS kendala tujuan (dalam model program tujuan ganda dilambangkan dengan 𝑑𝑖−, di mana 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan m adalah banyaknya kendala tujuan dalam model) atai penyimpangan positif dari suatu nilai RHS (dilambangkan dengan 𝑑𝑖+. Variabel-variabel ini serupa dengan slack variabel dalam program linear. (variabel simpangan). Differential weight: timbangan matematika yang diekspresikan dengan angka kardinal (dilambangkan dengan 𝑤𝑘𝑖 di mana 𝑘 = 1,2, … , 𝐾; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚) dan digunakan untuk membedakan variabel simpangan i di dalam suatu tingkat prioritas k. (Bobot). Technological coefficient: nilai-nilai numerik (dilambangkan dengan 𝑎𝑖𝑗 ) yang menunjukkan penggunaan nilai 𝑏𝑖 per unit untuk menciptakan 𝑥𝑗 . (koefisien teknologi).



Program tujuan ganda biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan linear dengan memasukkan berbagai tujuan yang dinyatakan sebagai goal dalam



Universitas Sumatera Utara



formulasi modelnya. Setiap tujuan direpresentasikan secara numerik, Tujuan inilah yang ingin dicapai. Tetapi, berbagai tujuan tidak selalu dapat dicapai bersamaan , penyimpangan (deviasi) dari tujuan dapat terjadi. Maka dalam formulasi program tujuan ganda, tujuan dalam numerik untuk setiap tujuan harus ditetapkan terlebih dahulu. Kemudian solusi yang ingin dicapai adalah meminimumkan jumlah penyimpangan tujuan-tujuan ini terhadap masing-masing tujuannya.



Perbedaan utama antara program linear dan program tujuan ganda terletak pada struktur fungsi tujuannya. Dalam linear programming funsi tujuannya hanya mengandung satu tujuan, sedangkan program tujuan ganda satu fungsi tujuan atau beberapa fungsi tujuan digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Hal ini dapat dilakukan dengan mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk sebuah kendala, memasukkan suatu variabel simpangan dalam kendala itu, untuk menggambarkan seberapa jauh tujuan itu dapat dicapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan. Tujuan dalam program linear dapat maksimalkan atau minimalkan, sedangkan tujuan dalam program tujuan ganda adalah meminimalkan penyimpanganpenyimpangan dari tujuan-tujuan tertentu. Berarti semua masalah program tujuan ganda adalah masalah meminimalkan.



2.1.2 Unsur-Unsur Program tujuan ganda



Setiap program tujuan ganda paling sedikit terdiri dari tiga komponen, yaitu:



1. Fungsi Tujuan Fungsi tujuan dalam program tujuan ganda umumnya adalah masalah minimisasi karena dalam program tujuan ganda terdapat variabel deviasi di dalam fungsi tujuan yang harus diminimumkan. Hal ini merupakan konsekuensi logis dari adanya vaiabel deviasi dalam fungsi kendala tujuan. Sehingga fungsi tujuan dalam program tujuan ganda adalah minimisasi penyimpangan atau minimisasi variabel deviasi. Fungsi tujuan dalam program tujuan ganda ada tiga jenis: m



a. Minimumkan Z   d i  d i i 1



Universitas Sumatera Utara



Fungsi tujuan di atas gigunakan apabila variabel deviasi dalam suatu permasalahan tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. m



b. Minimumkan Z   Pk (d i  d i ) untuk k  1, 2,..., K i 1



Fungsi tujuan di atas digunakan apabila urutan dari tujuan diperlukan tetapi variabel deviasi setiap tingkat prioritas dari tujuan memiliki kepentingan yang sama. m



c. Minimumkan Z  Wki Pk (d i  d i ) untuk k  1, 2,..., K i 1



Fungsi tujuan di atas digunakan apabila tujuan-tujuan diurutkan berdasarkan prioritas dan dibedakan dengan diberikan bobot yang berlainan Wki .



2. Kendala Tujuan Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Setiap kendala tujuan harus memiliki satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-kendala yang tidak memiliki variabel simpangan. Kendala-kendala ini sama seperti kendala persamaan linear.



Tabel 2.1. Jenis-jenis kendala tujuan Variabel Kendala Tujuan



Simpangan dalam fungsi tujuan



Kemungkinan simpangan



Penggunaan Nilai RHS yang diinginkan



𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑑𝑖− = 𝑏𝑖



𝑑𝑖−



Negative



= 𝑏𝑖



𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 − 𝑑𝑖+ = 𝑏𝑖



𝑑𝑖+



Positif



= 𝑏𝑖



𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑑𝑖− − 𝑑𝑖+ = 𝑏𝑖



𝑑𝑖−



neg dan pos



𝑏𝑖 atau lebih



𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑑𝑖− − 𝑑𝑖+ = 𝑏𝑖



𝑑𝑖−



neg dan pos



𝑏𝑖 atau kurang



𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑑𝑖− − 𝑑𝑖+ = 𝑏𝑖



𝑑𝑖−dan 𝑑𝑖+



neg dan pos



= 𝑏𝑖



𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 − 𝑑𝑖+ = 𝑏𝑖



𝑑𝑖+(artf)



tidak ada



pas = 𝑏𝑖



Sumber: Mulyono, Sri. 1991. Operation Research. Lembaga Penerbit Fakultas ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta.



Universitas Sumatera Utara



3. Kendala Non-Negatif Seperti dalam program linear, variabel-variabel model program tujuan ganda biasanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model program tujuan ganda terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non negatif dilambangkan sebagai: 𝑥𝑗 , 𝑑𝑖− , 𝑑𝑖+ ≥ 0 4. Kendala Stuktural Selain tiga komponen, program tujuan ganda terkadang juga mengandung kendala struktural. Kendala struktural yaitu kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-tujuan dari masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan dalam kendala ini, karena itu kendala ini tidak diikutsertakan dalam fungsi tujuan.



2.1.3 Asumsi Model Program Tujuan Ganda



Sebelum merumuskan model, perlu diketahui bahwa model program tujuan gandamemerlukan sejumlah asumsi. Jika dalam membuat modeldari suatu masalah tentu asumsi-asumsi tidak dapat dipenuhi, maka program tujuan ganda bukan merupakan model yang cocok untuk masalah yang sedang dipelajari. Jadi asumsi model membatasi penerapan program tujuan ganda.



1. Addivitas dan linearitas Diasumsikan bahwa proporsi penggunaan 𝑏𝑗 yang ditentukan oleh 𝑎𝑖𝑗 harus tetap benar tanpa memperhatikan nilai solusi 𝑥𝑗 yang dihasilkan. Artinya, LHS dari kendala tuuan harus sama dengan RHS. Dalam kehidupan sehari-hari, hubungan sinergistik dapat menyebabkan penyimpangan asumsi ini. Suatu contoh adalah ketika seseorang ditempatkan dalam suatu lingkungan yang kompetitif. Prosedur model lain, seperti program stokastik, cocok untuk memodelkan jenis persoalan ini. 2. Divisibilitas Diasumsikan bahwa nilai-nilai 𝑥𝑗 , 𝑑𝑖−, 𝑑𝑖+ yang dihasilkan dapat dipecah. Artinya, kita dapat menyelesaikan jumlah pecahan nilai 𝑥𝑗 dan menggunakan



Universitas Sumatera Utara



jumlah pecah sumber daya dalam situasi itu. Asumsi ini tidak membatasi penggunaan model program tujuan ganda, karena prosedur solusi program tujuan yang lain, yaitu program tujuan integer, dapat mencari solusi integer. 3. Terbatas Diassumsikan bahwa nilai 𝑥𝑗 , 𝑑𝑖−, 𝑑𝑖+ yang dihasilkan terbatas. Artinya, kita tidak dapat



memiliki nilai variabel keputusan, sumber daya, atau



penyimpangan tujuan yang tak terbatas. Segalanya dalam dunia ini terbatas. 4. Kepastian dan periode waktu statis Diasumsikan bahwa parameter model program tujuan ganda seperti 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖 , 𝑃𝐾 , 𝑤𝑘𝑖 diketahui dengan pasti dan mereka akan tetap statis selama periode perencanaan di mana hasil model digunakan.



2.1.4 Perumusan Masalah Program Tujuan



Agar mengerti bagaimana merumuskan suatu masalah program tujuan ganda, perlu diketahui prosedur perumusan. Kemudian diterapkan prosedur itu pada beberapa situasi persoalan yang berlainan. 1. Prosedur Perumusan Perumusan suatu masalah program tujuan ganda sangat mirip deengan perumusan sebuah masalah program linear. Penjelasan variabel keputusan 𝑥𝑗 , koefisien 𝑎𝑖𝑗 , dan nilai sisi kanan 𝑏𝑖 , diperlukan baik pada program linear maupun program tujuan ganda. Langkah-langkah perumusan program tujuan ganda meliputi beberapa tahap. a. Tentukan variabel keputusan Kuncinya adalah menyatakan dengan jelas variabel keputusan yang tak diketahui. Makin tepat definisi akan makin mudah pekerjaan pemodelan yang lain. b. Nyatakan sistem kendala Kuncinya adalah menentukan nilai-nilai sisi kanan dan kemudian menentukan koefisien teknologi yang cocok dan variabel keputusan yang diikut sertakan dalam kendala. Juga perhatikan jenis penyimpangan yang diperbolehkan dari



Universitas Sumatera Utara



nilai RHS. Jika penyimpangan diperbolehkan dua arah, tempatkan hanya satu variabel simpangan yang tepat pada kendala yang bersangkutan. c. Tentukan prioritas utama Kuncinya adalah membuat urutan tujuan-tujuan. Biasanya urutan tujuan merupakan pernyataan preferensi individu. Jika persoalannya tidak memiliki urutan tujuan, lewati langkah ini dan kemudian kelangkah berikutnya. d. Menentukan bobot Disini kuncinya adalah membuat urutan didalam suatu tujuan tertentu, jika tidak diperlukan lewati langkah ini. e. Nyatakan fungsi tujuan Pilih variabel simpangan yang benar untuk dimasukkan dalam fungsi tujuan. Tambahkan prioritas dan bobot yang tepat jika diperlukan. f. Nyatakan keperluan non-negatif Langkah ini merupakan bagian resmi dari perumusan program tujuan ganda.



Prosedur



formulasi



ini



merupakan



salah



satu



pendekatan



yang



mungkinbermanfaat dalam perumusan model program tujuan ganda.



2. Model Tujuan Tunggal Program tujuan ganda dan program linear memiliki hubungan. Sebuah program linear dapat diubah menjadi program tujuan ganda dengan model tujuan tunggal. Bentuk umum model tujuan tunggal: Suatu persamaan linear: 𝑛



𝑍=



𝑐𝑗 𝑋𝑗 𝑖=1



Kendala: 𝑛



𝑎𝑖𝑗 𝑋𝑗 ≤ atau ≥ 𝑏𝑖 𝑖=1



𝑋𝑗 ≥ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛



Universitas Sumatera Utara



Diubah menjadi Program tujuan ganda: Min 𝑑 + + 𝑑 − Kendala 𝑛



𝑐𝑗 𝑋𝑗 + 𝑑 − − 𝑑 + = 𝑔 𝑖=1 𝑛



𝑎𝑖𝑗 𝑋𝑗 ≤ atau ≥ 𝑏𝑖 𝑖=1



𝑋𝑗 , 𝑑 +, 𝑑 − ≥ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 3. Model banyak tujuan Ada 3 jenis model banyak tujuan, yaitu: a. Tujuan banyak tanpa prioritas. Bentuk umum: Min 𝑚



𝑑𝑖+ + 𝑑𝑖− 𝑖=1



Kendala 𝑛



𝑐𝑗 𝑋𝑗 + 𝑑𝑖− − 𝑑𝑖+ = 𝑔 𝑖=1 𝑛



𝑎𝑖𝑗 𝑋𝑗 ≤ atau ≥ 𝑏𝑖 𝑖=1



𝑋𝑗 , 𝑑𝑖− , 𝑑𝑖+ ≥ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 b. Tujuan banyak dengan prioritas. Model umum: Min 𝑚



𝑃𝑦 𝑑𝑖+ + 𝑃𝑠 𝑑𝑖− 𝑖=1



Kendala 𝑛



𝑐𝑗 𝑋𝑗 + 𝑑𝑖− − 𝑑𝑖+ = 𝑔 𝑖=1 𝑛



𝑎𝑖𝑗 𝑋𝑗 ≤ atau ≥ 𝑏𝑖 𝑖=1



Universitas Sumatera Utara



𝑋𝑗 , 𝑑𝑖− , 𝑑𝑖+ ≥ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛



c. Tujuan banyak dengan prioritas dan bobot. Model umum: Min 𝑚



𝑃𝑦 𝑊𝑖+,𝑦 𝑑𝑖+ + 𝑃𝑠 𝑊𝑖−,𝑠 𝑑𝑖− 𝑖=1



Kendala 𝑛



𝑐𝑗 𝑋𝑗 + 𝑑𝑖− − 𝑑𝑖+ = 𝑔 𝑖=1 𝑛



𝑎𝑖𝑗 𝑋𝑗 ≤ atau ≥ 𝑏𝑖 𝑖=1



𝑋𝑗 , 𝑑𝑖− , 𝑑𝑖+ ≥ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛



2.2 Transportasi



Metode transportasi adalah metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan produk tersebut secara optimal. (Fien Zulkarnaen,2004).



Ciri-ciri khusus metode transportasi Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan. 1. Jumlah yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan adalah tertentu. 2. Jumlah yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan sesuai dengan permintaan atau kapasitas sumber. Jumlah permintaan dan persediaan harus seimbang, dan apabila tidah seimbang maka harus ditambahkan variabel dummy. 3. Biaya Transportasi dari suatu sumber ke suatu tujuan adalah tertentu.



Universitas Sumatera Utara



4. Jumlah variabel dasar 𝑚 + 𝑛 − 1, di mana m jumlah sumber dan n jumlah tujuan. Apabila kurang maka harus di tambahkan variabel dasar dengan nilai nol.



Model matematika untuk transportasi berdasarkan Nasendi dan Affendi (2005): Minimumkan: 𝑚



𝑛



𝑍=



𝑐𝑖𝑗 𝑋𝑖𝑗 𝑖=1 𝑗 =1



Batasan: 𝑛



𝑋𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝑗 =1 𝑚



𝑋𝑖𝑗 = 𝑏𝑗 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑖=1



𝑋𝑖𝑗 ≥ 0



Keterangan: 𝑋𝑖𝑗



= Variabel pengambil keputusan,produk yang diangkut dari sumber i ke tujuan j.



𝑎𝑖



= Jumlah yang disediakan untuk diangkut (jumlah persediaan) di sumber i.



𝑏𝑖



= Jumlah yang diminta untuk didatangkan (jumlah permintaan) di titik tujuan j.



𝑐𝑖𝑗



= Ongkos pengangkutan per unit produk 𝑋𝑖𝑗 .



m



= Jumlah sumber.



n



= Jumlah tujuan.



2.3 Himpunan Fuzzy



Dalam kehidupan sehari-hari sering digunakan himpunan tegas, yaitu himpunan yang terdefinisi secara tegas, dalam arti bahwa untuk setiap elemen dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas apakah merupakan anggota dari himpunan itu atau tidak. Dengan kata lain, terdapat batas yang tegas antara unsur-unsur yang merupakan anggota dan unsur-unsur yang tidak merupakan anggota dr suatu



Universitas Sumatera Utara



himpunan. Tetapi dalam kenyataannya tidak semua himpunan yang ada dalam kehidupan sehari-hari tidak semua terdefinisi secara tegas.. Misalnya himpunan orang kaya, mahasiswa pandai, tinggi badan, umur dan sebagainya. Pada himpunan umur, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seseorang muda, setengah baya atau tua, tanpa mendefinisikannya. Misalnya variabel umur dibagi menjadi 3 kategori yaitu: Muda



umur < 35 tahun



Setengah baya



35 ≤ umur ≤ 55 tahun



Tua



umur > 55 tahun.



Pemakaian himpunan tegas untuk menyatakan umur sangat tidak adil, karena adanya perubahan kecil saja sudah mengakibatkan kategori yang cukup signifikan.



Himpunan fuzzy digunakan untuk mengantisipasi hal tersebut. Seseorang dapat masuk dalam 2 himpunan yang berbeda, misalnya muda dan setengah baya, setengah baya dan tua, dan sebagainya. Seberapa besar eksistensinya dalam himpunan tersebut, dapat dilihat pada nilai keanggotaan nya. 𝜇𝑎 𝑥



1



tua



Setengah baya



muda



0,5 0,25 0



25



35



40



45



50



55



65



Gambar 2.1 Himpunan fuzzy variabel umur



Pada gambar dapat dilihat bahwa seseorang yangberusia 40 tahun termasuk dalam himpunan muda dengan µ muda(40) = 0,25, namun dia juga termasuk dalam himpunan setengah baya dengan µstgahbaya(40) = 0,5. Begitu juga dengan seseorang yang berumur 50 tahun, termasuk dalam himpunan setengah baya dengan µ stghbaya(50) = 0,25, namun dia juga termasuk dalam himpunan tua dengan µ tua(50) = 0,5.



Universitas Sumatera Utara



2.3.1 Fungsi Keanggotaan



Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaan atau derajat keanggotaan yang memiliki interval antara 0 sampai 1.



1. Fungsi Keanggotaan Segitiga Sebuah fungsi anggota himpunan kabur dikatakan fungsi keanggotaan segitiga jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu a1, a2 dan a3 adalah bilangan real dengan 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 dinyatakan sebagai berikut:



𝜇𝑎 𝑥 =



𝑥 − 𝑎1 𝑎3 − 𝑥



(𝑎2 − 𝑎1 ), untuk 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎2 𝑎3 − 𝑎2 , untuk 𝑎2 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎3 0, untuk yang lain



Gambar berikut merupakan gambar bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan segitiga 𝜇𝑎 𝑥 1



0



𝑎1



𝑎2



𝑎3



Gambar 2.2. Bilangan Fuzzy dengan Fungsi keanggotaan Segitiga



2. Fuzzy Keanggotaan Trapezoidal Suatu



bilangan



fuzzy



𝐴 = (𝑎1 , 𝑎, 𝑎3 , 𝑎4 )



adalah



trapezoidal,



dinotasikan



(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 ) di mana 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 dan 𝑎4 adalah bilangan real dan fungsi keanggotaan 𝜇𝑎 (𝑥) adalah



Universitas Sumatera Utara



𝜇𝐴 𝑥 =



𝑥 − 𝑎1 1, 𝑎4 − 𝑥 0,



(𝑎2 − 𝑎1 ), untuk 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎2 untuk 𝑎2 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎3 𝑎4 − 𝑎3 , untuk 𝑎3 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎4 untuk yang lain



Bilangan fuzzy trapezoidal direpresentasikan oleh 4 bilangan real yaitu 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 di mana (𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 < 𝑎4 ). Lihat Gambar 2.3. 𝜇𝐴 𝑥 1



0



𝑎1



𝑎2



𝑎3



𝑎4



Gambar 2.3 Bilangan Fuzzy dengan Fungsi keanggotaan Trapezoidal



2.3.2 Permasalahan Fuzzy transportasi



Model transportasi sangat penting bagi perencanaan produksi, parameter-parameter pada model transportasi adalah biaya, nilai persediaan, dan nilai permintaan. Pada prakteknya besar biaya, nilai permintaan dan jumlah persediaan pada suatu transportasi tidak dapat diketahui secara pasti. Apabila hal ini terjadi, maka salah satu solusinya dapat dicari dengan menggunakan operasi fuzzy.



Pada bagian ini, besarnya biaya ditetapkan secara eksak, sedangkan jumlah persediaan dan permintaan belim diketahui secara pasti. Ketidakjelasan ini bisa disebabkan oleh kurangnya informasi atau kebijakan khusus dari suatu perusahaan. Pada masalah transportasi biasa dengan nilai persediaan dan permintaan yang bernilai integer akan selalu menghasilkan solusi yang juga bernilai integer. Pada fuzzy integer transportation problem, dibutuhkan suatu algoritma khusus untuk mendapatkan suatu nilai integer yang optimal.



Universitas Sumatera Utara



Formulasi permasalahan fuzzy transportasi adalah sebagai berikut: Minimumkan: 𝑚



𝑛



𝑐𝑖𝑗 𝑋𝑖𝑗 = 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 , 𝑐4 = 𝑐(𝑋𝑖𝑗 )



𝑍= 𝑖=1 𝑗 =1



Batasan: 𝑛



𝑋𝑖𝑗 ≅ 𝑎𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝑗 =1 𝑚



𝑋𝑖𝑗 ≅ 𝑏𝑗 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑖=1



𝑋𝑖𝑗 ≥ 0



Keterangan: 𝑋𝑖𝑗



= Variabel pengambil keputusan, jumlah produk yang diangkut dari sumber i ke tujuan j.



𝑎𝑖



= Jumlah yang disediakan untuk diangkut (jumlah persediaan) di sumber i, berupa bilangan fuzzy.



𝑏𝑖



= Jumlah yang diminta untuk didatangkan (jumlah permintaan) di titik tujuan j, berupa bilangan fuzzy.



𝑐𝑖𝑗



= Ongkos pengangkutan per unit produk 𝑋𝑖𝑗



m



= Jumlah sumber.



n



= Jumlah tujuan.



2.4 Pengenalan Software QM for Windows



Program QM for windows merupakan paket program komputer untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, managemet sains atau riset operasi. QM for windows merupakan gabungan dari program terdahulu DS dan POM for Windows, jadi jika dibandingkan dengan program POM for Windows, modul-modul yang tersedia di QM for Windows lebih banyak. Namun ada modul-modul yang hanya



Universitas Sumatera Utara



tersedia di program POM for Windows atau hanya tersedia di program DS for Windows.



Program-program QM for Windows, DS for Windows dan POM for Windows, diterbitkan oleh Prentice Hall (www.prentice-hall.com), dan sebagian program merupakan bawaan dari beberapa buku terbitan Prentice Hall. Tampilan sementara (splash) setelah program QM for Windows dijalankan tampak pada Gambar 2.1



Gambar 2.4 Tampilan sementara (splash) dari program QM for Windows



Setelah tampilan sementara, akan muncul tampilan seperti Gambar 2.2.



Gambar 2.5 Tampilan Awal QM for Windows



Universitas Sumatera Utara



Gambar 2.6 Pilihan Modul yang tersedia pada QM for Windows



Gambar 2.7 Baris menu (menu bar) sebelum dipilih Modul



Gambar 2.8 Baris Menu (menu bar) setelah dipilih suatu Modul



Gambar 2.9 baris tool (tool bar) sebelum dipilih Modul



Gambar 2.10 Baris Tool (tool bar) setelah dipilih suatu Modul



Universitas Sumatera Utara



Gambar 2.11 Ruang Instruksi



Gambar 2.8 Baris Utilitas (utility bar)



Universitas Sumatera Utara