Project Kalkulus Multivariabel Rosida [PDF]

Citation preview

MEDIA PEMBELAJARAN UNTUK INTEGRAL TAK WAJAR PROJECT DOSEN PENGAMPU: Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd. Mhd. Bazlan Darari, S.Pd., M.Pd. Disusun oleh : FELIX YOSUA FLIPPO SINAGA 4181111026



PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2019



KATA PENGANTAR Puji dan syukur saya panjatkan kehadirat Tuhan Yanag Maha Esa yang telah senantiasa memberi berkat urapan tanganNya dan kasih penyertanNya sehingga saya dapat menyelesaikan Laporan Project Kalkulus dengan judul "Uji Turunan Pertama Pada Titik Ekstrim dan Penerapan Masalah-Masalah Maksimum dan Minimum". Saya menyadari sepenuhnya makalah ini banyak terdapat kekurangan dan kelemahan. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, saya mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak yang bersifat membangun untuk penyempurnaan laporan ini. Semoga laporan ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Terakhir saya ucapkan terimakasaih, kiranya Tuhan memberkati kita semua.



Medan, November 2019



Penulis



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR...............................................................................................1 DAFTAR ISI..............................................................................................................2 BAB I PENDAHULUAN 1.1 LatarBelakang......................................................................................................3 1.2 RumusanMasalah.................................................................................................3 1.3 TujuanPenulisan...................................................................................................3 BAB II PEMECAHAN MASALAH 2.1 KajianPustaka.......................................................................................................4 2.2 RingkasanMateri..................................................................................................6 2.3 Kegunaan Media..................................................................................................6 2.4 Bahan/Alat............................................................................................................6 2.5 Langkah Cara.......................................................................................................6 2.6 ProsedurPenggunaan............................................................................................7 2.7 KelebihandanKekurangan....................................................................................7 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan..........................................................................................................8 DAFTAR PUSTAKA................................................................................................9 Lampiran....................................................................................................................10



BAB I PENDAHULUAN 1.1 LatarBelakang Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Di dalam kalkulus itu sendiri terdapat materi Turunan. Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Issac Newton (1646-1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi. 1.2 RumusanMasalah 1. Apa yang dimaksud dengan integral ? 2. Apa yang dimaksud dengan integral tak tentu ? 3. Bagaimana penerapan integral tak tentu? 1.3 TujuanPenulisan 1. Mahasiswa dapat mengerti dan memahami materi integral tak tentu 2. Mahasiswa dapat mengerti konsep dan dapat menyelesaikan soal-soal mengenai integral tak tentu. 3. Mahasiswa dapat mengerti konsep dari penerapan masalah-masalah integral tak tentu.



BAB II PEMECAHAN MASALAH 2.1 KajianPustaka 1. Pengertian Integral Tak Tentu Pengintegralan fungsi (𝑥) yang ditulis sebagai ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 disebut integral tak tentu dari 𝑓(𝑥). Jika (𝑥) anti turunan dari 𝑓(𝑥), maka



∫ f ( x ) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑐 Keterangan: ∫ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman) 𝑓 𝑥 = fungsi integran 𝑓 (𝑥) = fungsi integral umum yang bersifat 𝑓′ 𝑥 = 𝐹(𝑥) 𝑐 =konstanta pengintegrala a. Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Fungsi Aljabar Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.  𝑔1( 𝑥) = 𝑥, didapat 𝑔1′( 𝑥) = 1 Jadi, jika 1 ′(𝑥) = 1 maka 𝑔1 𝑥 = ∫ 𝑔1 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐1  𝑔2(𝑥) = 1/2 𝑥 , didapat 𝑔2′ (𝑥) = 𝑥 Jadi, jika 𝑔2′(𝑥) = 𝑥 maka 𝑔2(𝑥) = ∫ 𝑔2′(𝑥) 𝑑𝑥 = 1/2 𝑥 + 𝑐2 Dari uraian ini, tampak bahwa jika 𝑔′ 𝑥 = 𝑥𝑛, maka 1 1 n 𝑔 ( )= x n+1 + C Atau dapat ditulis ∫ x = x n+1 + C ,n1 n+1 n+1 . Misalnya 𝑘 konstanta real sembarang, dan 𝑔 𝑥 merupakan fungsi yang dapat diintegralkan, maka akan berlaku: a) ∫𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 b) ∫𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑓 𝑥 𝑑𝑥 c) ∫ 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 1 n d) ∫ x = x n+1 + C , n+1



2.2 RingkasanMateri Penerapan Integral Tak Tentu Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahanpermasalahan di bawah ini : 1. Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsinya diberikan. 2. Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda pada waktu tertentu. Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan a. Hubungan anatara s, v, dan a adalah sebagai berikut.



ds



dv



V= dt sehingga s =∫ v dt dan a = dt sehingga v=∫ a dt Agar lebih memahami aplikasi integral tak tentu, perhatikan contoh soal berikut ini! 1. Diketahui 𝑓′(𝑥) = 6 x 2 − 10𝑥 + 3 dan 𝑓 (−1) = 2. Tentukan (𝑥). Jawab:



𝑓′(𝑥) = 6 x 2 − 10𝑥 + 3 2



(𝑥) = ∫ 6 x −10𝑥+3𝑑𝑥 = 2 x3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 𝐶 (−1) = 2 2 = 2(−1)3 − 5 −1 2 + 3 −1 + 𝐶 2 = −2 − 5 − 3 + 𝐶 𝐶 = 12 Jadi, (𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 12 2. Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan a yang memenuhi persamaan 𝑎 = 2𝑡 − 1, 𝑎 dalam 𝑚/𝑠2 dan t dalam detik. Jika kecepatan awal benda 𝑣 = 5 𝑚/𝑠 dan posisi benda saat 𝑡 = 6 adalah 𝑠 = 92 𝑚, maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat t detik! Jawab. 𝑎 = 2𝑡 − 1 𝑣 = ∫ a 𝑑𝑡 𝑣 = ∫ 2 t − 1 𝑑𝑡 = t 2− 𝑡 + 𝐶 Kecepatan awal benda 5 𝑚𝑠−1, artinya saat t = 0 nilai v = 5 𝑣𝑡=0 = 5 02 −0+𝐶=5 𝐶=5 Sehingga:



𝑣 = x 2− 𝑡 + 5 S=∫ v dt =∫ ¿ ¿- t+5) 1



3



1



2



= 3 t - 2 t +5t+d 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑡=6 = 92



1 3 1 = 3 (6) - 2 (6)+5(6)+d=92



72 − 18 + 30 + 𝑑 = 92 84 + 𝑑 = 92 𝑑=8 Jadi, persamaan posisi benda tersebut saat t detik dirumuskan dengan 1



3



1



2



S= 3 t - 2 t +5t+8 2.3 Kegunaan Media Membantu dan mempermudah seseorang dalam mempelajari materi Integral tak tentu dan mengetahui penerapannya. 2.4 Bahan/Alat 



Microsoft Power Point



2.5 Langkah Cara Pengembangan Media Belum adanya dilakukan pengembangan media karena belum ada instruksi apakah PPT ini akan diunggah ke internet atau tidak. 2.6 Prosedur Penggunaan 1. Pahami materi yang akan dijelaskan. 2. Masukkan materi yang mau dijelaskan kedalam Microsoft power point. 2.7 KelebihandanKekurangan A. Kelebihan - Bahan dan alat yang digunakan mudah dijangkau dan sederhana. - Cara pembuatannya mudah. B. Kekurangan - Untuk membuat slide nya agak sulit karena banyak menggunakan simbol matematika.



BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Untuk mengetahui dan memahami materi Uji Turunan Pertama Pada Titik Ektrim dan Penerapan Masalah-Masalah Maksimum dan Minimum kita terlebih dahulu harus mengetahui pengertian dari maksimum lokal dan global serta minimum lokal dan global.



Perbedaan antara nilai maksimum lokal dan nilai maksimum global yaitu nilai maksimum global itu nilai yang terbesar diantara nilai-nilai maksimum lokal. Perbedaan antara nilai minimum lokal dan minimum global yaitu nilai minimum global itu nilai yang terkecil diantara nilai-nilai minimum lokal. Langkah-langkah menyelesaikan masalah terapan ini adalah sebagai berikut : 1. Carilah besaran yang dimaksimumkan dan diminimumkan. 2.



Menyatakan variabel tak bebas sebagai fungsi dari variabel bebas.



3.



Identifikasi Titik Ekstrim.



4.



Menjawab pertanyaan dalam masalah.



DAFTAR PUSTAKA Purcell, Edwin J, dkk.2003. Calculus (terjemahan oleh penerbit). Jilid 1, Edisi VIII. Jakarta : Erlangga. Purcell, Edwin J, dkk.1998. Calculus with Analytic Geometry 5thedition (terjemahan oleh penerbit). Jakarta : Erlangga. Purcell, Edwin J, dkk.1995. Kalkulus dan Geometri Analitik (terjemahan oleh LN. Susila, dkk). Jilid 1, Edisi V. Jakarta : Erlangga. Leithold, L. 1998. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik (terjemahan oleh Hutahaean, dkk). Jilid 1, Edisi V. Jakarta : Erlangga.