6 0 698 KB
RANCANGAN BLOK ACAK TAK LENGKAP BALANCED INCOMPLETE BLOCK DESIGN (BIBD)
Apabila dalam suatu keadaan tertentu tidak memungkinkan menggunakan keseluruhan kombinasi perlakuan-perlakuan dalam masing-masing blok, maka kita akan bekerja dengan menggunakan BIBD yaitu tidak semua perlakuan akan ada dalam masing-masing blok.
Ilustrasi penggunaan BIBD Misal membandingkan 4 perlakuan dalam blok ukuran 3 perlakuan. Treat\Blok 1 2 3 4
1 x x x
2 x x x -
3 x x x
4 x x x
Kemunculan tiap pasangan 2 perlakuan adalah sama2 kali Ciri BIBD
Banyaknya perlakuan = a Banyaknya blok = b
bila a = b, disebut rancangan simetris
Dengan : k = ukuran dari blok = jumlah perlakuan yang terisi dalam satu blok Blok mempunyai ukuran yang sama, dan ukuran blok lebih kecil dari jumlah perlakuan (k < a) r = Ukuran dari replikasi = jumlah replikasi dari blok yang terisi dalam satu perlakuan N = jumlah seluruh observasi = a×r = k×b λ = banyaknya setiap 2 perlakuan yang muncul bersama-sama dalam seluruh percobaan
r k 1 a 1
Model dan Tabel ANOVA BIBD Model untuk BIBD dapat ditunjukkan sebagai berikut. Yij i j ij
Dengan : Yij = hasil observasi ke-i dalam blok ke-j
= rata-rata keseluruhan i = efek treatmen ke-I
i = 1,2, …, a
j = efek blok ke-j
j = 1,2, …, b
ij = Error (sesatan random)~ NID 0, 2 a
Dengan diasumsikan
i 1
i
0 dan
b
j 1
j
0
Berikut akan ditunjukkan tabel ANOVA bila rancangan simetris a=b -Tabel ANOVA untuk mengetahui EFEK TREATMEN-
Tabel ANOVA Sumber Variasi τ adjusted β Error Total
db a-1 b-1 N-a-b-1 N-1
SS SSτ Adjust SSβ unadjust SSe SStot
MS MSτ adjust MSβ unadjust MSe
Fhit MSτ Adjust/MSe
Dengan menggunakan rumusan :
Y2 SStot Y N i 1 j 1 a
b
2 ij
= SS adjusted SS unadjust SSe a
SS adjust
k i2 i 1
untuk memisah efek perlakuan dengan efek blok
a
dengan i Yi
1 b ij Y j k j 1
i = 1,2, …, a
dimana ij 1, bila perlakuan i muncul pada blok ke j
ij 0, bila tidak
a
Catatan :
i 1
b
Y2j
j 1
k
SS unadjust
i
0
Y2 N
-Tabel ANOVA untuk mengetahui EFEK TREATMEN dan EFEK BLOK-
Bila ingin melihat efek blok, maka pengujian yang dilakukan adalah sebagai berikut. Partisi analisis : SStot = SSτ Unajust + SSβ Adjust + SSe a
b
SStot Yij2 i 1 j 1
Y2 N
= SS unadjusted SS adjust SSe
b
SS adjust
r 'j
2
j 1
b
dengan 'j Y j
1 a ij Yi r i 1
j =1,2, … b
dimana ij 1, bila perlakuan i muncul pada blok ke j
ij 0, bila tidak SS unadjust
Yi2 Y2 N i 1 k a
Tabel ANOVA Sumber Variasi τ adjust τ unadjust β unadjust β adjust Error Total
db a-1 a-1 b-1 b-1 N-a-b+1 N-1
SS SSτ adjust SSτ unadjust SSβ unadjust SSβ adjust SSe SStot
MS MSτ adjust MSτ unadjust MSβ unadjust MSβ adjust MSe
Fhit MSτ adjust/MSe MSβ adjust/MSe
Apabila didalam BIBD, kita mengabaikan efek blok (sering terjadi), maka disebut analisis INTRABLOK. Didalam analisis ini tidak diperhatikan apakah blok itu random atau tetap.
CONTOH KASUS (MANUAL) Sebuah rancangan dilakukan dilakukan untuk menguji tekanan pada empat buah jenis logam (j). Pengujian dilakukan terhadap 4 tekanan yang berbeda. Hasil dari eksperimen berupa rancangan blok acak tak lengkap yang ditampilkan dalam tabel berikut. Tekanan (treatmen), i 1 2 3 4 Y.j
1 80 86 92 258
83 75 88 246
Logam (Blok), j 2 3 78 90 94 262
Yi. 4 86 84 88 258
249 237 264 274 1024
Jawab : Dengan asumsi bahwa varians antar blok maupun antar treatmen telah terpenuhi, selanjutnya dilakukan uji ANOVA dua arah untuk BIBD. a = 4; b=4;
k=3;
r=3
N = a×r = 4×3 = 12
r k 1 33 1 2 a 1 4 1
Model : Yij i j ij
Dengan : Yij = hasil observasi ke-i dalam blok ke-j
= rata-rata keseluruhan i = efek tekanan ke-i j = efek jenis logam ke-j
Untuk mengetahui efek perlakuan
i Yi
1 b ij Y j k j 1
1 Y1
1 4 ij Y j 249 1 1 258 1 246 0 1 258 15 3 j 1 3 3
2 Y2
1 4 ij Y j 237 1 0 1 246 1 262 1 258 55 3 j 1 3 3
3 Y3
1 4 ij Y j 264 1 1 258 1 246 1 262 0 26 3 j 1 3 3
4 Y4
1 4 ij Y j 274 1 1 258 0 1 262 1 258 44 3 j 1 3 3
4
i 1
i
0
Maka, didapatkan perhitungan
a
SS adjust
k i2
2 2 2 2 3 15 55 26 44 3 3 3 3 i 1 244,25 a 2 4
b
Y2j
j 1
k
SS unadjust
Y2 2582 2462 2622 2582 10242 48 N 3 12
Untuk mengetahui efek blok
'j Y j
1 a ij Yi r i 1
1' Y1
1 4 ij Yi 258 1 1 249 0 1 264 1 274 13 3 i 1 3 3
2' Y2
1 4 ij Yi 246 1 1 249 1 237 1 264 0 12 3 i 1 3 3
3' Y3
1 4 ij Yi 262 1 0 1 237 1 264 1 274 11 3 i 1 3 3
4' Y4
1 4 ij Yi 258 1 1 249 1 237 0 1 274 14 3 i 1 3 3
4
i 1
' i
0
Maka, didapatkan perhitungan b
SS adjust
r 'j j 1
b
2
2 2 2 2 3 13 12 11 14 3 3 3 3 26 ,25 2 4
Yi2 Y2 249 2 237 2 264 2 274 2 1024 2 266 N 3 12 i 1 k a
SS unadjust
Dengan perhitungan SStotal a
b
SStot Yij2 i 1 j 1
Y2 10242 802 832 ... 882 352,667 N 12
Maka, didapatkan tabel ANOVA sebagai berikut. Sumber Variasi τ adjust τ unadjust β unadjust β adjust Error Total
db 3 3 3 3 5 11
SS 244,25 266 48 26,25 60,416 352,667
MS 81,467 88,667 16 8,75 12,0834
Fhit 6,7379 7,3379 1,3241 0,724
Uji Perlakuan τ:
H 0 :1 2 3 4 0 H1 : Paling tidak ada satu τi ≠ 0,
i=1,2,3,4
α = 0,05 Fhit = 6,7379 Ftabel = F 0,05(3,5) = 5,41 Kesimpulan : Fhit > Ftabel, maka tolak H0, artinya terdapat perbedaan efek kekuatan logam ketika tekanannya berbeda. *dilanjutkan dengan uji perbandingan ganda
Uji Blok β : H0 : β1 = β2 = β3 = β4 =0 H1 : Paling tidak terdapat satu βj ≠0,
j=1,2,3,4
α = 0,05 Fhit = 1,321 Ftabel = F0,05 (3,5) = 5,41 Kesimpulan : Fhit < Ftabel, maka gagal tolak H0 artinya tidak ada perbedaan efek kekuatan pada logam yang berbeda.
APLIKASI DENGAN MINITAB Berdasarkan soal pada contoh, dapat dilakukan perhitungan dengan menggunakan aplikasi dengan minitab. Langkah-langkah yang dijalankan dengan menggunakan minitab adalah sebagai berikut. 1) Susun crosstabs sebagai berikut.
2) Klik Stat – ANOVA – General Linear Model sehingga muncul tampilan sebagai berikut.
Dan menginputkan Responsen : Kekuatan Model : Temperatur, Jenis Logam (blok) 3) Output yang didapat adalah sebagai berikut. General Linear Model: Kekuatan versus Temperatur, Jenis Logam(blok) Factor Temperatur Jenis Logam(blok)
Type fixed fixed
Levels 4 4
Values 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4
Analysis of Variance for Kekuatan, using Adjusted SS for Tests Source Temperatur Jenis Logam(blok) Error Total S = 3.47611
DF 3 3 5 11
Seq SS 266.00 26.25 60.42 352.67
R-Sq = 82.87%
Adj SS 244.25 26.25 60.42
Adj MS 81.42 8.75 12.08
F 6.74 0.72
R-Sq(adj) = 62.31%
Unusual Observations for Kekuatan Obs 16
Kekuatan 88.0000
Fit 92.5833
SE Fit 2.6549
Residual -4.5833
4) Interpretasi model berdasarkan output pada poin (3)
St Resid -2.04 R
P 0.033 0.580
Berdasarkan perhitungan secara manual, pada dasarnya dihasilkan angka angka yang sama. Hal ini akan diperjelas pada tabel berikut.
Source
DF
Seq SS
Adj SS
Adj MS
F
P
Temperatur
3
266,00
244.25
81.42
6.74
0.033
Jenis Logam(blok)
3
26.25
26.25
8.75
0.72
0.580
Error
5
60.42
60.42
12.08
Total
11
352.67
SSβ adjusted
SSτ unadjusted
SSτ adjusted
τ adjusted
β adjusted
Sama dengan penyelesaian dengan menggunakan cara manual, karena statistic uji yang digunakan adalah statistic uji τ adjust dan β adjust, maka uji hipotesisnya adalah : Uji Perlakuan τ:
H 0 :1 2 3 4 0 H1 : Paling tidak ada satu τi ≠ 0,
i=1,2,3,4
α = 0,05 Fhit = 6,7379
;P-value =0,033
Ftabel = F 0,05(3,5) = 5,41 Kesimpulan : Fhit > Ftabel atau P-value α, maka gagal tolak H0 artinya tidak ada perbedaan efek kekuatan pada logam yang berbeda.
APLIKASI DENGAN SPSS 1) Sama halnya seperti pada penyelesaian dengan minitab, berdasarkan soal manual, maka di inputkan data pada SPSS dengan format sebagai berikut.
2) Selanjutnya, pada SPSS, klik Analyze General Linear Model Univariate , sehingga muncul tampilan berikut
Dengan menginputkan Dependent variable : kekuatan uji Fixed Factor(s) : Temperatur dan Jenis Logam (blok) Klik Model :
Costom dengan modelnya adalah mendeteksi main effect dari temperature dan logam SS Type 3 dan tidak memasukkan intersep dalam model. Klik Post-Hoc untuk uji perbandingan ganda:
Dengan memasukkan post hoc test for temperature dan logam, kemudian metode yang digunakan adalah Duncan dan Tamhane’s T2 OK 3) Output yang didapatkan dari SPSS adalah sebagai berikut. Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable:Kekuatan Uji Source
Type III Sum of Squares
Model
87673.583a
7
244.250
3
81.417
6.738
.033
Logam
26.250
3
8.750
.724
.580
Error
60.417
5
12.083
Total
87734.000
12
Tekanan
df
Mean Square
F
12524.798 1.037E3
Sig. .000
a. R Squared = .999 (Adjusted R Squared = .998) Sama seperti pengujian sebelumnya bahwa output yang didapat dengan menggunakan SPSS adalah statistic uji τ adjust dan β adjust. Berdasarkan p-value juga dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan efek kekuatan ketika ada perbedaan tekanan dalam pengujian. Oleh karena itu, dilakukan uji perbandingan ganda untuk variabel tekanan adalah sebagai berikut.